1 应用计量分析在公共财政领域的应用黄智聪 厦门大学财政系研究生课程 课程名称：应用计量分析在公共财政领域的 应用 授课老师：黄智聪 授课内容： 简单线性回归模型：报告结果 与选择函数造型 参考书目： Hill, C. R., W. E. Griffiths, and G. G. Judge, (2001), Undergraduate Econometrics. New York: John Wiley & Sons

2 应用计量分析在公共财政领域的应用黄智聪 简单线性回归模型 Y t = β 1 + β 2 X t +e t e t ~N(0,1) 两个分析模型的理由： 解释应变数 (y t ) 会如何随着自变数 (x t ) 的改变而 改变。 在 x 0 已知下预测 y 0 。

3 应用计量分析在公共财政领域的应用黄智聪 总平方和 (SST) 可解释的平方和 (SSR) 误差平方和 (SSE) SST = SSR + SSE

4 应用计量分析在公共财政领域的应用黄智聪 R2 = 判定系数 0 < R2 < 1 越接近 1 越好 若 R2 = 1: 表示回归模型「完全地」配合这份资料。 R2 = 0: 表示 y 与 x 的样本资料并不相关，而且 未显示任何的线性关系，则最小平方配 适线为「水平的」。

5 应用计量分析在公共财政领域的应用黄智聪 注 : 是一个叙述性的衡量值。它本身并不能衡 量回归模型的品质，只着重将 R2 最大化的回归 决策并非好方法。 解释 : R2=0.32 表示 Y 的变异中有 32% 可以 用 X 的变异来解释，或是说回归模型可以解释 32% Y 的变异，剩下 68% 的变异无法解释。 这样的 R2 看起来很低吗 ? 不，在使用横断面资料的回归研究，以不同时 点观察同一个体或其他经济行为的样本时，是 很具有代表性的。

6 应用计量分析在公共财政领域的应用黄智聪 (2) R2=(Yt, ) 的相关系数 = 简单线性回归的相关分析 (1) r2 = R2, r = Cov(X,Y) / = 举例来证明 r2 = 举例来证明 r2=R2

7 应用计量分析在公共财政领域的应用黄智聪 报告回归结果 = X t R 2 = ( ) (0.0305) (s.e) 或 = X t R 2 = (1.84) (4.20) (t)

8 应用计量分析在公共财政领域的应用黄智聪 选择函数形式 简单线性回归模型指的是参数不会相乘、相除、 平方、立方等。 满足 SR1 SR5 简单线性回归模型 转换（ Transformation ） (1) 变数间的线性关系 : β 2 = 斜率（ slope ） (2) 倒数（ Reciprocal ） :

9 应用计量分析在公共财政领域的应用黄智聪 给定一个模型，使其误差项具有下列性质： 1. E(e t )=0 2. Var (e t )=σ 2 3. Cov(e i,e j )=0 4. e t ~N(0, σ 2 ) 运用其他函数形式来进行回归分析。

10 应用计量分析在公共财政领域的应用黄智聪 选择函数形式：实证议题 1. 散布（ plot ） 2. 模型 Y t =β 1 +β 2 X t +e t 3. 估计 4. 预测 5. 残差分布 → 检查是否为常态分配 ? 技术的改变 时间

11 应用计量分析在公共财政领域的应用黄智聪 其他形式 Y t =β 1 +β 2 X t 3 +e t Z t 3 =X t 3 / = Z t 3 R 2 =0.751 R2 ↑ Notice : 残差方式也有许多其他的不足之处，例 如有被忽略的变数，异质变异性 （ heteroskedasticity ），自我相关 （ autocorrelation ） 错误建立回归模型。

12 应用计量分析在公共财政领域的应用黄智聪 残差为常态分配吗？ 1. 平均值 → 0 2. 杰古贝尔检定（ Jarque-Bera test for normality ），用来检定常态性。 Ho : 常态， H 1 : 非常态 若 P ＞ α 无法拒绝虚无假设

13 应用计量分析在公共财政领域的应用黄智聪 JB = T: 观察值的个数 S: 偏态（ skewness ） k: 峰态（ kurtosis ） Ex: T=30 ， S= ， K= JB= JB ﹤ 5.99 =  2 2, 0.05 JB 值

14 应用计量分析在公共财政领域的应用黄智聪 Ho ：常态分配（ Normal distribution ） JB ＜ 常态分配 包含截距项的系数个数 JB ＞ 拒绝常态分配 P ＜ 0.05 拒绝 Ho

15 应用计量分析在公共财政领域的应用黄智聪 y=  1 +  2 X+  3 Z 理论模型 解释 β 1, β 2, β 3 Model: y=E(y)+e t =  1 +  2 X+  3 Z +e t 假设 : (1) E(e t )=0 (2) Var(e t )=σ 2 (3) Cov(e t,e s )=0 (4) e t ~N(0, σ 2 ) 复回归模型

16 应用计量分析在公共财政领域的应用黄智聪 最小平方估计式的变异数与共变数 (1) σ 2 Var(b 2 ) 越不精确 (2)T Var(b 2 ) 越精确 (3)Var(X 2 ) Var(b 2 ) 越精确 (4)Cov(X 2, X 3 ) Var(b 2 ) 越不精确

17 应用计量分析在公共财政领域的应用黄智聪 误差为常态分配之最小平方估计式的性质 * K: 未知系数项的个数

18 应用计量分析在公共财政领域的应用黄智聪 衡量配适度 R 2 =1-(SSE/SST) R 2 的一个难题 R 2 的难题是若加入越来越多的变数，会变的很 大，即使这些加入的变数在理论上不具任何适 当性。 若模型中包含 T-1 个变数，则 R 2 =1 R 2 =1- 其中， T 代表观察数目 K 代表变数个数 SSE SST

19 应用计量分析在公共财政领域的应用黄智聪 R 2 （调整后 R 2 ） 的使用 : * 优点 : 当变数增加时 R 2 并不会一直上升。 * 缺点 : (1) 失去原有的解释，即 R 2 不再是被解释的变异百 分比。 (2) 此修正后的 R 2 有时会被误用为选择一组适当的 解释变数之方法。 (3) 若模型未包含截距项，则衡量的 R 2 就不适合 了。

20 应用计量分析在公共财政领域的应用黄智聪 受限制的最小平方 单一参数 t 检定 联合虚无假设 F 检定 F 检定的基础是在于比较原始且未受限制之复 回归模型的误差平方和，以及认为虚无假设为 真时的回归模型之误差平方和 。 复回归模型的进一步推论

21 应用计量分析在公共财政领域的应用黄智聪 例 : y=α 0 +α 1 X 1 +α 2 X 2 + α 3 X 3 + e H 0 : α 2 = α 3 = 0 即 y= α 0 +α 1 X 1 + e F= F ≧ F (J,T-K, α) 拒绝虚无假设 P=P ﹝ F (2,96) ≧ F ﹞＜ 0.05 拒绝虚无假设 SSE R -SSE u /J SSE u /(T-K) J=2 T= 观察值个数 (100) K=4 2, 96, 0.05

22 应用计量分析在公共财政领域的应用黄智聪 虚无假设中不能包含任何「大于」或者「小于」 的假设。 H 0 : β 2 =0, β 3 =0… β K =0 H 1 : β 2  0 或 β 3  0 ， 或两者都不为零， β K 中 至少有一个不是零 若 J=1 ， F= T 2

23 应用计量分析在公共财政领域的应用黄智聪 注意若模型为 : y= β 0 + β 1 X 1 + β 2 X e = 2β 2 X 2 隐含 X 2 对每个 y 有不 同程度的影响 = β 1 X 1 对于所有的 y 的影响都相同 dy dX 2 dy dX 1

24 应用计量分析在公共财政领域的应用黄智聪 其他例子 y= β 0 + β 1 X 1 + β 2 X 2 + e H 0 : β 1 =β 2 H 1 : β 1  β 2 y= β 0 + β 1 (X 1 + X 2 )+ e F test F (1,T-3, α)

25 应用计量分析在公共财政领域的应用黄智聪 模型设置 模型选择的三个重要要素 : (1) 函数形式的选择 (2) 选择包含的解释变数（回归式）的模型。 (3) 复回归模型的假设 MR1-MR6 是否成立。

26 应用计量分析在公共财政领域的应用黄智聪 1. 遗漏以及不相关的变数 例 : y= β 0 + β 1 X 1 + β 2 X 2 + e 假设我们漏了 X 2, 以下列式子进行回归分析： y= β 0 +β 1 *X 1 + e 若 Cov(X 1,X 2 )  0 则 β 1 *  β 1 我们得到非常强的虚无假设， β 2 =0 。 然而， Cov(X 1,X 2 )=0 的情形非常少见 E(b 1 *)=β 1 +β 2 Cov(X 1, X 2 ) Var(X 1 )

27 应用计量分析在公共财政领域的应用黄智聪 若估计出的方程序有出现未预期，或大小不符 现实的系数时，造成这些怪异结果的一个可能 原因就是遗漏了重要的变数。 T 检定或 F 检定这两种显着检定可以评估是否一 个变数或一组变数包含在一个方程序中。

28 应用计量分析在公共财政领域的应用黄智聪 必须注意，有两种可能的原因，不拒绝虚无假 设的结果。 (1) 对应的变数不会影响 y ，且可以排除在模 型之外。 ( 但是结果不能拒绝虚无假设 ) (2) 对应的变数对于纳入模型来说是很重要的， 但因资料不够充分而无法拒绝 H 0 。

29 应用计量分析在公共财政领域的应用黄智聪 1.P( 无法拒绝 H 0 │ 虚无假设为真 ) Accept H 0 => 不显着系数 2.P( 无法拒绝 H 0 │ 虚无假设不为真 ) 如果因为不显着就去除此变数，要小心喔！ 我们可能会排除一个不相关的变数，但也可能 造成剩余的系数估计值会产生遗漏变数的偏误。

30 应用计量分析在公共财政领域的应用黄智聪 所以 ，尽可能在模型中纳入最多的变数 ? Y=β 0 +β 1 X 1 +β 2 X 2 +e <= true model (1) 但是估计 Y=β 0 +β 1 X 1 +β 2 X 2 +β 3 X 3 +e (2) Var (b 1 ),Var (b 2 ),Var (b 3 ) 在 (2) 式中比在 (1) 式中来 的大。 若 X 3 与 X 2 ， X 1 相关，但是理论上 X 3 不影响 Y 。

31 应用计量分析在公共财政领域的应用黄智聪 2. 检定模型是否设置错误 : RESET 检定 是否设置错误可用下列问题了解 : (1) 是否遗漏重要变数？ (2) 是否纳入重要变数？ (3) 是否选择错误的函数形式？ (4) 是否违背假设？ RESET 检定（ Regression Specification Error Test ） RESET 的用意是发现遗漏的变数，以及不正确的函 数形式。

32 应用计量分析在公共财政领域的应用黄智聪 假设 : Y=β 0 +β 1 X 1 +β 2 X 2 +e =b 0 +b 1 X 1 +b 2 X 2 Y=β 0 +β 1 X 1 +β 2 X 2 +r 1 2 +e (1) Y=β 0 +β 1 X 1 +β 2 X 2 +r r 2 3 +e (2) (1) 检定 H 0 : r 1 =0 H 1 : r 1 ≠0 (2) 检定 H 0 : r 1 = r 2 =0 H 1 : r 1 ≠0 或 r 2 ≠0 拒绝 H 0 表示原始的模型不适当，且可以改进。 无法拒绝 H 0 表示此检定没有发现任何设置错 误的情况。 只能告诉模型不好，不能告诉模型是好的。