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§8-3 电场强度一、电场近代物理证明：电场是一种物质。它具有能量、动量、质量。电荷电场电荷电场对外的表现 : 1) 电场中的电荷要受到电场力的作用 ; 2) 电场力可移动电荷作功.

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？小数乘整数制作人：吴运粮复习１．下面乘积得多少？８ × ３＝８ × ３用加法表示什么意思？３个８相加 24.

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项目七： PLC 功能指令应用带进位循环左移指令 XXXXX. 项目七： PLC 功能指令应用 FX2 系列可编程控制器移位控制指令有移位、循环移位、字移位及先进先出 FIFO 指令等 10 条指令。带进位循环右移指令 RCR 带进位循环左移指令 RCL 字右移位指令 WSFR 先入先出读出指令.

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力的合成力的合成一、力的合成二、力的平行四边形上一页下一页目录退出. 一、力的合成 O. O. 1. 合力与分力我们常常用一个力来代替几个力。如果这个力单独作用在物体上的效果与原来几个力共同作用在物体上的效果完全一样，那么，这一个力就叫做那几个力的合力，而那几个力就是这个力的分力。

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目录上页下页返回结束二、无界函数反常积分的审敛法 * 第五节反常积分无穷限的反常积分无界函数的反常积分一、无穷限反常积分的审敛法反常积分的审敛法  函数第五章第五章.

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§7.2 估计量的评价标准上一节我们看到，对于总体 X 的同一个未知参数，由于采用的估计方法不同，可能会产生多个不同的估计量．这就提出一个问题，当总体的一个参数存在不同的估计量时，究竟采用哪一个好呢？或者说怎样评价一个估计量的统计性能呢？下面给出几个常用的评价准则．一．无偏性.

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吉林大学远程教育课件主讲人 : 杨凤杰学时： 64 ( 第二十五讲 ) 离散数学

定理群定义中的条件（ 1 ）和（ 2 ）可以减弱如下：（ 1 ） ’ G 中有一个元素左壹适合 1 · a=a; （ 2 ） ’ 对于任意 a ，有一个元素左逆 a -1 适合 a -1 · a=1 。证明：只要证明由（ 1 ） ’ 、（ 2 ） ’ （和其余的条件联合）可以推出 (1) 和 (2) ，即只需证明 a · 1 = a 和 a · a -1 = 1 。

先证 a · a -1 =1 。因为 (a -1 · a) · a -1 = 1 · a -1 = a -1 ，故 (a -1 · a) · a -1 = a -1 。由（ 2 ） ’ ， a -1 也应该有一个左逆适合 b · a -1 =1 。于是, 一方面有： b · （（ a -1 · a ） · a -1 ） )=b · a -1 =l ，另一方面有： b · ((a -1 · a) · a -1 )=(b · a -1 ) · (a · a -1 ) =1 · （ a · a -1 ） = a · a -1 ，因此， a · a -1 =1 。再证 a · 1=a 。事实上， a · 1 = a · （ a -1 · a ） = （ a · a -1 ） · a = 1 · a = a 。自然，把（ 1 ） ’, （ 2 ） ’ 中对于左边的要求一律改成对于右边的要求也是一样。

定理群定义中的条件（ 1 ）和（ 2 ）等于下列可除条件：对于任意 a ， b ，有 χ 使 χ · a=b ，又有 y 使 a · y=b 。证明：首先证明在任一群中可除条件成立。因为，取 χ=b · a -1 ， y=a -1 · b ，即得 χ · a=b ， a · y=b ，故，由 (1) 和 (2) 可以推出可除条件成立。再证明由可除条件也可以推出 (1) ’,(2) ’ ，因而可以推出 (1),(2) 。事实上, 取任意 c ∈ G ，命 1 为适合 х · c=c 的 х ，则 1 · c=c 。今对于任意 a, 有 y 使 c · y=a, 故 1 · a=1 · (c · y)= （ 1 · c ） · y=c · y=a ，即（ 1 ） ’ 成立。至于（ 2 ） ’ ，只要令 a -1 为适合 х · a=1 的 х ，则 a -1 · a=1 。

定理设 G 是一个群，在一个乘积 a 1 … a n 中可以任意加括号而求其值。证明：要证定理，只要证明任意加括号而得的积等于按次序由左而右加括号所得的积 ( … ((a 1 · a 2 ) · a 3 ) …· a n-1 ) · a n （ 1 ）（ 1 ）式对于 n=1 ， 2 不成问题；对于 n=3, 由结合律也不成问题。现在对 n 用归纳法, 假定对少于 n 个因子的乘积（ 1 ）式成立，试证对 n 个因子的乘积（ 1 ）式也成立。

a 1 … a n 任意加括号而得到的乘积 A ，求证 A 等于 (1) 式。设在 A 中最后一次计算是前后两部分 B 与 C 相乘： A = （ B ） · （ C ）今 C 的因子个数小于 n ，故由归纳假设,C 等于按次序自左而右加括号所得的乘积（ D ） · a n 。由结合律， A=(B)(C)=(B) · ((D) · a n )=((B) · (D)) · a n 。但（ B ） · （ D ）的因子个数小于 n ，故由归纳假设，（ B ） · （ D ）等于按次序由左而右加括号所得的乘积 (B) · (D)=( … ((a 1 · a 2 ) · a 3 ) …· a n-2 ) · a n-1 因而

A =((B) · (D)) · a n =(( … ((a 1 · a 2 ) · a 3 ) …· a n-2 ) · a n-1 ） · a n 即 A 等于（ 1 ）式。 n 个 a 连乘所得的积称为 a 的 n 次方，记为 a n 。我们规定 a 0 =1 ， a -n = （ a n ） -1 。象在普通代数中一样，可以证明对于任意整数 m ， n ， a m · a n =a m+n ，（ a m ） n =a mn 。

定义若群 (G, · ) 的运算 · 适合交换律，则称（ G ， · ）为 Abel 群或交换群定理在一个 Abel 群（ G ， · ）中，一个乘积可以任意颠倒因子的次序而求真值。证明：考虑一个乘积 a 1 ·…· a n 。设 σ 是 {1 ， … ， n} 上的一个一对一变换，欲证 a σ （ 1 ） · …· a σ （ n ） =a 1 ·…· a n 对 n 用归纳法， n=1 时只有一个 a 1 定理自然成立，假定 n-1 时定理已真，证明 n 时定理亦真。

设将 a 1 ·…· a n 中各因子任意颠倒次序而得一式 P = a σ （ 1 ） ·…· a σ （ n ）因子 a n 必在 P 中某处出现，因而 P 可以写成 P = （ P′ ） ·…· a n · （ P″ ） P ˊ或 P″ 中可能没有元素，但照样适用以下的论证，由交换律， P=P ˊ · (a n · P″)=P ˊ · (P″ · a n) =(P ˊ · P″) · a n ，现在 P ˊ · P″ 中只有 n-1 个元素 a 1, …,a n-1, 只不过次序有颠倒，故由归纳法假定， P ˊ · P″= a 1 ·…· a n-1 。因此,P = （ P ˊ · P″ ） · a n = a 1 ·…· a n-1 · a n ，从而归纳法完成，定理得证。

在 Abel 群中，易见有第三指数律：（ a · b ） m =a m · b m ， m 为任意整数。如果群 G 的运算不写作乘 · 而写作加 + ，则 G 叫做一个加法群，我们永远假定一个加法群是一个 Abel 群： a+b=b+a 在乘法群中写做 1 的现在写做 0 ： a+0=a 在乘法群中写做 a -1 而称为 a 的逆的, 现在写做 -a 而称为 a 的负： a+ （ -a ） = 0 n 为任意整数时，在乘法群中写作 a n 而称为 a 的 n 次方的，现在写做 na 而称为 a 的 n 倍。三个指数律现在成为下面的形式：（ m+n ） a = ma+na ， m （ a+b ） = ma+mb ， m （ na ） = （ mn ） a 。