תחשיב הפסוקים חלק ג'
צורות נורמליות א. DF – Disjunctive Form – סכום של מכפלות. דוגמא: (P ~Q R) (R P) (R ~Q ~P) הגדרה: נוסחה השקולה לנוסחה נתונה ורשומה כסכום של מכפלות נקראת DF של נוסחה זו. דוגמא: R (P Q) R (~P Q) (R ~P) (R Q)
צורות נורמליות - המשך ב. CF – Conjunctive Form – מכפלה של סכומים דוגמא: (P ~Q R) (R P) (R ~Q ~P) הגדרה: נוסחה השקולה לנוסחה נתונה ורשומה כמכפלה של סכומים נקראת CF של נוסחה זו. (P Q) (R S) (P Q) (~R S) (P ~R S) (Q ~R S)
צורות נורמליות - המשך מכפלה של סכומים היא טאוטולוגיה אם ורק אם כל גורם של המכפלה הוא טאוטולוגיה. סכום של מכפלות הוא סתירה אם ורק אם כל מחובר של הסכום הוא סתירה.
דוגמא: Q (P ~Q) (~P ~Q) Q ((P ~P) ~Q) (Q P ~P) (Q ~Q) (Q T) T T T T
צורות נורמליות קנוניות P Q (~P Q) (P ~Q) DNF: כל מכפלה מתאימה לשורה עם ערך T בטבלת אמת. לכל משתנה P אנו רושמים P אם ערכו T ו- ~P אם ערכו F בשורה זו. PQPQ QP FFF ~P Q TTF P~QP~Q TFT FTT
CNFCNF P Q (P Q) (~P ~Q) כל סכום מתאים לשורה עם ערך F בטבלת אמת. לכל משתנה P אנו רושמים P אם ערכו F ו- ~P אם ערכו T בשורה זו. PQPQ QP PQPQ FFF TTF TFT ~P ~Q FTT
הרחבת ערכי אמת לקבוצות נסמן את הקבוצה של כל הפסוקים האטומיים ואת הקבוצה של כל הנוסחאות בנויות היטב בקשרים , ו- ~ על ידי P ו - F בהתאמה. הערכה vשל הפסוקים אטומיים בקבוצה E היא פונקציה v: P 2 E
נרחיב את ההערכה v ל - F ברקורסיה הבאה v( 1 2 ) = v( 1 ) v( 2 ) v( 1 2 ) = v( 1 ) v( 2 ) v( ) = v( ) ______
דוגמא: עבור השמה ערכי אמת F ו- T v: P F,T וקבוצה E נגדיר את ההערכה v E על ידי אם v(P)=F אם v(P)=TE v E (P) = אזי לכל נוסחה, v E ( )=E אם ורק אם v( )=T. ההוכחה היא באינדוקציה על המורכבות של בהשתמש בהתאמה בין טבלאות האמת של הקשרים הלוגיים , ו- ~ והפעלות על קבוצות המקבילות.
מסקנה: תהי E קבוצה בת איבר אחד ותהי נוסחה בנויה היטב בקשרים , ו- ~. אזי היא טווטולוגיה אם ורק אם לכל הערכה v: P 2 E, v( )=E. הוכחה: משום ש- E היא קבוצה בת איבר אחד, 2 E = ,E והמסקנה נובעת מן הדוגמה הקודמת.
משפט: תהי E קבוצה סופית שאינה ריקה ותהי נוסחה בנויה היטב בקשרים , ו- ~. אזי היא טווטולוגיה אם ורק אם לכל הערכה v: P 2 E, v( )=E. הוכחה: החלק "אם" של המשפט נובע מן הדוגמא, מפני אם לכל הערכה v: P 2 E, v( )=E, אזי זה בפרט מתקיים להערכות שהטווח שלהן הוא E . להוכחת הקוון ההפוך של המשפט נעזר בלמה הבאה.
למה: תהינה E 1 ו- E 2 קבוצה זרות ותהינה v 1 : P 2 E ו- v 2 : P 2 E הערכות לקבוצות הנ"ל. נגדיר את הערכה v: P 2 E E על ידי v(P) = v 1 (P) v 2 (P). אזי, לכל F, v( ) = v 1 ( ) v 2 ( )
הוכחה: ההוכחה היא באינדוקציה על המורכבות של . הבסיס נובע מידית מן ההגדרה של v נבדוק את הצורות האפשריות של .
תהיה מן הצורה . אזי v( ) = v( ) v( ) = (v ( ) v ( )) (v 1 ( ) v ( )) = (v ( ) v 1 ( 2 )) (v 2 ( 1 ) v ( )) v ( ) v 2 ( )= התכונות של ההגדרה של v הנחת האינדוקציה ההגדרה של פונקציית ההערכה
תהיה מן הצורה . אזי v( ) = v( ) v( ) = (v ( ) v ( )) (v 1 ( ) v ( )) = (v ( ) v 1 ( 2 )) (v 1 ( 1 ) v ( )) (v 2 ( ) v 1 ( 2 )) (v 2 ( 1 ) v ( )) = (v ( ) v 1 ( 2 )) (v 1 ( 1 ) v ( )) v ( ) v 2 ( )= התכונות של ו - ההגדרה של v הנחת האינדוקציה ההגדרה של פונקציית ההערכה החתוך ריק, כי E 1 ו- E 2 קבוצה זרות
תהיה מן הצורה . אזי v( ) = v( ) = v ( ) v 2 ( ) (E 1 \v ( )) (E 2 \v ( )) = v ( ) v 2 ( )= ההגדרה של v הנחת האינדוקציה ההגדרה של פונקציית ההערכה __________________ _______ כי E 1 ו- E 2 קבוצה זרות
הוכחת המשפט: תהי E קבוצה סופית שאינה ריקה ותהי נוסחה בנויה היטב בקשרים , ו- ~. אזי היא טווטולוגיה אם ורק אם לכל הערכה v: P 2 E, v( )=E.
הוכחת החלק "רק אם" של המשפט: נניח ש- היא טווטולוגיה ותהי v: P 2 E. עלינו להראות ש- v( )=E, כלומר ש - x v( ) לכל x E. יהי x E ותהי E'=E\{x}. תהינה v': P 2 E ו- v x : P 2 {x} הערכות המוגדרות על ידי v'(P)=v(P) E' ו- v x (P)=v(P) {x} '
משום ש- היא טווטולוגיה, על פי המסקנה,v x ( )={x} ועל פי הלמה, v( )=v x ( ) v E ( ) לכן x v( ) שמסיים את ההוכחה. '