: The largest Clique ★★★★☆ 題組： Contest Archive with Online Judge 題號： 11324: The largest Clique 解題者：李重儀 解題日期： 2008 年 11 月 24 日 題意： 簡單來說，給你一個 directed graph G ，可以建一個新的 graph T(G) 包含和 G 相同的點。而 T(G) 中有一從 u 到 v 的邊 若且唯若 G 中有一從 u 到 v 的 path 。 定義在一有向圖中的 clique 為一個 set U ，使得 U 中任兩點 在原圖上都有一個邊 ( 不論方向 ) 。而該 clique 的 size 即為其 點數。 最後你的程式要輸出的是在 T(G) 中 size 最大的 clique 的 size 。

2 題意範例： Sample Input:Sample Output: 以圖形表示如下： G:T(G):

3 題意範例： 可以看出， T(G) 中 clique 的 size 最大是 4 ，以 下兩個紅色圈圈起來的點所成的集合分別 都是 size 最大的 clique 。 T(G):

4 解法： 先將原本的問題轉換到 G 上： 由於 T(G) 有一邊 (u,v) iff G 上有一條從 u 到 v 的 path 所以 求 T(G) 上最大的 clique 的 size 相當於求 G 中最大的點 集合 U 的元素個數，該集合滿足其中的任兩點 u 、 v 都有一 條 path( 而不論該 path 之方向為 u 到 v 或 v 到 u) 。 我們知道 strongly connected component (SCC) 中的任兩點 間必定會有 path ，我們可以將 G 先以求 SCC 的演算法求出 所有的 SCC ，然後將在同一個 SCC 的點全部歸為一個 supernode ，產生新的 graph G’ 。 之後由於已將 G 之所有 SCC 都各自轉成一個 node ，所以 G’ 將不會有 cycle 。之後可以求出他的 “longest path”( 和一般 longest path 不同的地方是它的 weight 在點上，而且等於該 點原先的 SCC 中的點數 ) 。那條 “longest path” 的「長度」， 就是我們要的答案了。

5 解法範例： 首先先找出它的所有 SCCs ： G:

6 解法範例： 之後產生新的 graph G’ ： G: 1,2, G’:G’: G ’ 圖中藍色的數字為 node 中的 weight ，其值等於合 併前的 node 個數。

7 解法範例： 之後找出 ”longest path” 的「長度」就可以囉！ 1,2, G’:G’: 上面以紅色標出其中的一條 “ longest path ” ，他之中所有 node 的 weight 加起來是 4 ，也就得到答案了。

8 討論： (1) 如何有效的求出最後一步的 “longest path” 的「長度」？ ( 可在 O(|V’|+|E’|) time 完 成，其中 G’=(V’,E’)) (2) 為何以上作法是正確的？ (3) 時間複雜度： O(|V|+|E|) 其中 G=(V,E)