第二十三讲 7.3 利用频率采样法设计 FIR 滤波器

回顾窗函数设计法： 得到的启发：能否在频域逼近？ 用什么方法逼近？ 通过加窗实 现时域逼近

7.3 利用频率采样法设计 FIR 滤波器 设计思路 对理想频率响应等间隔抽样 作为实际 FIR 数字滤波器的频率特性的抽样值 ( 频域逼近 ) 用内插恢复公 式建立联系 用 IDFT 实现 抽样

复习内插公式： 内插函数 重构公式

1 、用频率采样法设计 线性相位滤波器的条件  为什么要讨论这个问题 ? 在时域逼近采用截断（加窗）、延时（附加 线性相位 ）保证了： 如果要求由频率采样信号 H(K) 恢复的系统频响 满足线性相位， H(K) 应满足什么条件 ?

2. 幅度函数： 1. 冲激响应 h(n) 偶对称 3. 相位函数： 复习：第一类线性相位约束条件 我们要讨论的问 题是如果对 w 抽样， 仍保证线性相位 时，对 H(k) 有什 么约束？

以第一类线性相位即 h(n) 偶对称为例： 幅度函数： 相位函数： 若在 0~2π 进行频域 N 点采样则有 : N 为奇数 N 为偶数 线性 相位 条件

对第一类线性相位进行频率抽样的分析： h(n) 为实数序列时， H(k) 圆周共轭对称 即： 对称中心： 幅度函数： 的进一步说明 注意与 h(n) 对 称中心的区别

当 N 为奇数时： 当 N 为偶数时： 线性相位： 的频率抽样表示

当 N 为奇数时： 当 N 为偶数时：

由抽样点重构的频率响应： 当 N 为奇数时： 当 N 为偶数时： 可利用的 重要公式 利用 N 个频域采样值重构 FIR 的系统函数与频响， 利用对称性化简.

2 、频率抽样点的分布

设用理想低通作为希望设计的滤波器，截止 频率为 ω c ，采样点数 N ， H g (k) 和 θ(k) 用下面公式计 算： N= 奇数时， (7.3.12) N/2 N 0

N= 偶数时， (7.3.13) 0 N N/2

3. 逼近误差及其改进措施 如果待设计的滤波器为 H d (ejω), 对应的单 位取样响应为 h d (n) ， 则由频率域采样定理知道，在频域 0~2π 之 间等间隔采样 N 点，利用 IDFT 得到的 h(n) 应是 h d (n) 以 N 为周期，周期性延拓乘以 R N (ω) ，即

由采样定理表明，频率域等间隔采样 H(k) ， 经过 IDFT 得到 h(n) ，其 Z 变换 H(z) 和 H(k) 的关系 为

 抽样点上，频率响应严格相等  抽样点之间，加权内插函数的延伸叠加  变化越平缓，内插越接近理想值，逼近误差较小 用频域抽样 H(K) 逼近理想频响的特点

增加过渡带抽样点，可加大阻带衰减 4 、过渡带抽样的优化设计 不加过渡抽样点： 加一点： 加两点： 加三点：

 增加过渡带抽样点，可加大阻带衰减，但导致 过渡带变宽  增加 N ，使抽样点变密，减小过渡带宽度，但 增加了计算量  优点：频域直接设计  缺点：抽样频率只能是 或 的整数倍， 截止频率 不能任意取值

例：利用频率抽样法设计一个频率特性为矩形的理想 低通滤波器，截止频率为 0.5π ，抽样点数为 N=33 ， 要求滤波器具有线性相位。 解： 按第一种频率抽样方式， N=33 ，得抽样点

由于 h(n) 为偶对称，且 N=33 为奇数，所以 对于 是偶对称。所以上图可画一半（到 ） 截止频率 ，即

得线性相位 FIR 滤波器的频率响应： 过渡带宽： 阻带衰减： -20dB

 增加一点过渡带抽样点 令 H(9)=0.5 过渡带宽： 阻带衰减： -40dB

 增加两点过渡带抽样点 且增加抽样点数为 N=65 令 H(17)= H(18)= 过渡带宽： 阻带衰减： -60dB

7.5 IIR 和 FIR 数字滤波器的比较 IIR 滤波器 FIR 滤波器  h(n) 无限长  h(n) 有限长  极点位于 z 平面任意位置  滤波器阶次低  非线性相位  递归结构  不能用 FFT 计算  可用模拟滤波器设计  用于设计规格化的选频 滤波器  极点固定在原点  滤波器阶次高得多  可严格的线性相位  一般采用非递归结构  可用 FFT 计算  设计借助于计算机  可设计各种幅频特性和 相频特性的滤波器

第七章习题讲解

解：线性相位理想低通滤波器 1 ．用矩形窗设计一个 FIR 线性相位低通数字滤波器。 已知 ， 。求出 并画出 曲线。 其单位抽样响应：

其中 用矩形窗截断得 FIR 滤波器： 其中是窗函数。

低通滤波器的幅频响应曲线：

则 FIR 滤波器的频率响应： 2 ．试用频率抽样法设计一个 FIR 线性相位数字低 通滤波器，已知 。， 解：根据题意有 按第一种频率抽样，得

是偶对称序列 3 ．已知 ， 圆周移位（移位） 后的序列。设 成立否？与 有 （1）问（1）问 什么关系？ （2）（2） ， 各构成一个低通滤波器，试问它 们是否是线性相位的？延时是多少？

解：（ 1 ）根据题意可知 则 由上式可以看出

（2）（2） 各构成低通滤波器时， ， 由于都满足偶对称，因此都是线性相位的。 延时为

4 ．请选择合适的窗函数及 N 来设计一个线性相位 低通滤波器 要求其最小阻带减为－ 45dB ，过渡带宽为 求出 并画出曲线（设）

解：根据低通滤波器的最小阻减为－ 45dB ，查表， 应选择海明窗： 得 过渡带宽应满足： 又求得理想低通滤波器的单位抽样响应为： 其中：

线性相位 FIR 低通滤波器：

用海明窗设计得到 FIR 滤波器的幅频响应：