מתמטיקה בדידה תרגול 3

אינדוקציה אקסיומת האינדוקציה: טענה: לכל n, בהינתן קבוצת סוסים בגודל n, לכולם אותו הצבע. "הוכחה": הטענה ברורה כאשר n=1. נניח הטענה נכונה לכל קבוצה בגודל k. "נוכיח" עבור קבוצה בגודל k+1. נוציא מהקבוצה סוס, וניוותר עם קבוצה בגודל k. נניח צבע כל הסוסים הוא לבן. נחזיר את הסוס שהוצאנו, ונוציא סוס אחר. שוב לפנינו קבוצה בגודל k. לכן צבע כל הסוסים שוב לבן. כלומר צבע הסוסים בקבוצה בגודל k+1 הוא לבן.

אינדוקציה (המשך) הרמאות בהוכחה הזאת היא במעבר בין k=1 ל – k=2. כשנוציא סוס מהקבוצה, נישאר עם קבוצה בגודל אחד. לכל הסוסים אותו הצבע אמנם, אבל כשאנחנו חוזרים על התהליך פעמיים, הצבע של שתי קבוצות הסוסים בגודל אחד לא בהכרח זהה. אם היה נתון לנו שהטענה נכונה עבור k=2, כלומר שלכל זוג סוסים בעולם יש אותו הצבע, אז באמת היה נובע שבכל קבוצת סוסים בגודל כלשהי, צבע הסוסים זהה

כללי דה-מורגן למספר רב של משתנים טענה: לכל : הוכחה באינדוקציה: עבור n=2 כבר הראינו שהטענה נכונה. נניח הטענה נכונה עבור k . נוכיח עבור k+1.

כללי דה-מורגן ושלילת פסוק עם כמתים קיים קשר בין כללי דה-מורגן לבין שלילת פסוק עם כמתים. נניח נתון לנו . נניח גם ש – X קבוצה סופית, כלומר: . אזי את הפסוק ניתן גם להציג כ - . על-פי כללי דה-מורגן, שלילתו של פסוק זה היא , שהינו שקול לפסוק .

קבוצות - הגדרות שייך . למשל , אם"ם שייך . למשל , אם"ם אין חשיבות לסדר איברים 2. אין כפילות הכלה: הכלה ממש: הקבוצה הריקה: הקבוצה שכל האיברים לא שייכים אליה. זו הקבוצה שאין בה איברים.

קבוצות - דוגמאות קבוצה ריקה: :

קבוצות – הגדרות (המשך) לכל קבוצה : איחוד: חיתוך: משלים: הפרש: לכל קבוצה : איחוד: חיתוך: משלים: הפרש: הפרש סימטרי:

קבוצות - תכונות דיאגרמות ואן – טוב לאינטואיציה אבל לא להוכחה. אסוציאטיביות דיסטריבוטיביות קומוטטיביות. דה מורגן:

קבוצות - דוגמאות טענה: הוכחה:

קבוצות - כלל β כלל β לקבוצות מגדיר את אחד הסימונים לקבוצות: כאשר Ψ היא איזושהי נוסחא שבה המשתנה x הוא חופשי. הסימון מימין מיצג את הביטוי Ψ כאשר מחליפים בו את המופעים החופשיים של x ב –.t דוגמא: אם ורק אם כיוון ש זה אמת אזי גם אמת. דוגמה:

קבוצות – דוגמא (1) שאלה: הוכח או הפרך: דוגמא נגדית: מתקיים:

קבוצות – דוגמא (2) האם פתרון: נבדוק אם כלומר נבדוק אם נראה שזה שקר ע"י הוכחת השלילה שלו: זה פסוק אמת. הוכחה y=3 לכן שלילתו היא שקר. ו4 לא שייך לקבוצה.

קבוצת החזקה קבוצת כל הקבוצות החלקיות של של A זו קבוצת החזקה של A: תמיד מתקיים וגם . דוגמא: דוגמא:

קבוצת החזקה (המשך) תרגיל: אם אז . הוכחה: כמו כן לכן . תרגיל: אם אז . הוכחה: כמו כן לכן . הגדרה: עבור קבוצה סופית, העוצמה של הקבוצה הוא מספר האיברים בה. אם בקבוצה k איברים, אז בקבוצת החזקה שלה יש איברים.

מכפלה קרטזית הגדרה: מכפלה קרטזית של הקבוצות אוסף הזוגות הסדורים למשל: הגדרה: מכפלה קרטזית של הקבוצות אוסף הזוגות הסדורים למשל: למשל: אם העוצמה של A היא n, והעוצמה של B היא m, אז העוצמה של AXB היא nm.

מכפלה קרטזית הוכח או הפרך: 1) הטענה לא נכונה 2) הטענה לא נכונה

המשלים של קבוצה המשלים של קבוצה A ביחס לקבוצה E, , הוא : דוגמה : אם והקבוצה האוניברסלית היא קבוצת הממשיים, אז תמיד מתקיים: , ,

דוגמה (1) הוכח כי: הוכחה באינדוקציה: עבור n=1 אגף ימין:

דוגמה (2) הוכחת חוק דה מורגן הראשון:

דוגמה (3) הוכח

דוגמה (4) הוכח

תרגיל בית - 1 שאלה 3ג: