第九章 弯曲变形 静不定梁 §9-1 概 述 一、工程实践中的弯曲变形问题 在工程实践中，对某些受弯构件，除要求 具有足够的强度外，还要求变形不能过大，即 要求构件有足够的刚度，以保证结构或机器正 常工作。
摇臂钻床的摇臂或车床的主轴变形过大， 就会影响零件的加工精度，甚至会出现废品。
桥式起重机的横梁变形过大, 则会使小车行 走困难，出现爬坡现象。
但在另外一些情况下，有时却要求构件具 有较大的弹性变形，以满足特定的工作需要。 例如，车辆上的板弹簧，要求有足够大的 变形，以缓解车辆受到的冲击和振动作用。
1. 挠曲线 二、弯曲变形的基本概念 挠曲线
2. 挠度和转角 规定：向上的挠度为正 逆时针的转角为正 挠曲线方程： 转角方程：
§9-2 梁的挠曲线近似微分方程及其积分 一、梁的挠曲线近似微分方程式 曲线 的曲率为
梁的挠曲线近似微分方程 :
二、用积分法求梁的变形 式中积分常数 C 、 D 由边界条件和连续条件确定
例：已知梁的抗弯刚度为 EI 。试求图示简 支梁在均布载荷 q 作用下的转角方程、挠曲线 方程，并确定 θ max 和 v max 。
解： 由边界条件： 得：
梁的转角方程和挠曲线方程分别为： 最大转角和最大挠度分别为：
例：已知梁的抗弯刚度为 EI 。试求图示悬 臂梁在集中力 P 作用下的转角方程、挠曲线方 程，并确定 θ max 和 v max 。
解： 由边界条件： 得：
梁的转角方程和挠曲线方程分别为： 最大转角和最大挠度分别为：
例：已知梁的抗弯刚度为 EI 。试求图示简 支梁在集中力 P 作用下的转角方程、挠曲线方 程，并确定 θ max 和 v max 。
解： 由边界条件： 得： 由对称条件： 得：
AC 段梁的转角方程和挠曲线方程分别为： 最大转角和最大挠度分别为：
例：已知梁的抗弯刚度为 EI 。试求图示简支 梁的转角方程、挠曲线方程，并确定 θ max 和 v max 。
解：由对称性，只考虑半跨梁 ACD
由连续条件： 由边界条件： 由对称条件：
梁的转角方程和挠曲线方程分别为： 最大转角和最大挠度分别为：
§9-3 用叠加法计算梁的变形 梁的刚度计算 一、用叠加法计算梁的变形 在材料服从胡克定律、且变形很小的前提下, 载荷与它所引起的变形成线性关系。 当梁上同时作用几个载荷时，各个载荷所引 起的变形是各自独立的，互不影响。若计算几个 载荷共同作用下在某截面上引起的变形，则可分 别计算各个载荷单独作用下的变形，然后叠加。
例：用叠加法求
解：
例：已知梁的 为常数，今欲使梁的挠曲 线在 处出现一拐点，则比值 为多少？
解：由梁的挠曲线近似微分方程 知，在梁挠曲线的拐点处有： 从弯矩图可以看出：
例：两根材料相同、抗弯刚度相同的悬臂 梁Ⅰ、Ⅱ如图示，Ⅱ梁的最大挠度是Ⅰ梁的多少倍？
例：简支梁在整个梁上受均布载荷 q 作用，若 其跨度增加一倍，则其最大挠度增加多少倍？
例：欲使 AD 梁 C 点挠度为零，求 P 与 q 的关系。
解：
例：若图示梁 B 端的转角 θ B =0 ，则力偶矩ｍ 等于多少？
解：
例：求图示梁 C 、 D 两点的挠度 v C 、 v D 。
解：
例：求图示梁 B 、 D 两处的挠度 v B 、 v D 。
解：
例：求图示梁 C 点的挠度 v C 。
解：
例： 用叠加法求图示变截面梁 B 、 C 截面的 挠度 v B 、 v C 。
解：
例： 用叠加法求图示梁Ｃ端的转角和挠度。
解：
例： 用叠加法求图示梁跨中的挠度 v C 和 B 点 的转角 θ B （ｋ为弹簧系数）。
解：弹簧缩短量
例： 梁 AB ，横截面为边长为 a 的正方形， 弹性模量为 E 1 ；杆 BC ，横截面为直径为 d 的圆 形，弹性模量为 E 2 。试求 BC 杆的伸长及 AB 梁 中点的挠度。
例： 图示梁Ｂ处为弹性支座，弹簧刚度 。求 C 端挠度 v C 。
解： (1) 梁不变形，仅弹簧变形引起的 C 点挠度为 (2) 弹簧不变形，仅梁变形引起的 C 点挠度为 (3)C 点总挠度为
例：用叠加法求图示梁 B 端的挠度和转角。
解：
二、梁的刚度计算 刚度条件： [v] 、 [θ] 是构件的许可挠度和转角，它们决定于 构件正常工作时的要求。
例：图示工字钢梁， l =8m ， I z =2370cm 4, W z =237cm 3 ， [ v ]= l ／ 500 ， E=200GPa ， [σ]=100MPa 。试根据梁的刚度条件，确定梁的 许可载荷 [P] ，并校核强度。
解：由刚度条件
§9-4 提高弯曲刚度的措施 影响梁弯曲变形的因素不仅与梁的支承和载 荷情况有关，而且还与梁的材料、截面尺寸、形 状和梁的跨度有关。所以，要想提高弯曲刚度， 就应从上述各种因素入手。 一、增大梁的抗弯刚度 EI 二、减小跨度或增加支承 三、改变加载方式和支座位置
§9-5 用变形比较法解静不定梁 一、静不定梁的基本概念
用多余反力代替 多余约束，就得 到一个形式上的 静定梁，该梁称 为原静不定梁的 相当系统。
二、用变形比较法解静不定梁 例：求图示静不定梁的支反力。
解：将支座 B 看成 多余约束，变形协调 条件为：
另解：将支座 A 对截面 转动的约束看成多余约 束，变形协调条件为：
例：为了提高悬臂梁 AB 的强度和刚度， 用短梁 CD 加固。设二梁 EI 相同，试求 (1) 二梁接触处的压力； (2) 加固前后 AB 梁最大弯矩的比值； (3) 加固前后 B 点挠度的比值。
解： (1) 变形协调条件为： (2)
例：梁 ABC 由 AB 、 BC 两段组成，两段梁 的 EI 相同。试绘制剪力图与弯矩图。
解：变形协调条件为：