1. Mehanika Fluida
Dr Oskar Bera
Uvodno predavanje

2. Osnovni podaci
Predavanja i vežbe: Dr Oskar Bera (kabinet 12/I, pored računarske učionice)
Fond: 3+3
Broj ESPB: 7
Predavanja: Četvrtak 8 časova 10/PR
Vežbe: Utorak 8 časova 10/PR
Obaveštenja, rezultati, dodatni materijal i prijava na test ili ispit se nalaze na internet stranici:
Cilj predmeta je da studenti steknu osnovna znanja o kretanju idealnih i realnih fluida, neophodna za razmatranje zakonitosti fenomena prenosa količine kretanja, toplote i mase, odnosno hidrodinamičkih procesa u aparatima i uređajima hemijske industrije.
Usvajanje osnovnih znanja o fluidima, njihovom kretanju, razumevanje razlika između realnih i idealnih fluida. Osposobljavanje studenata za samostalno rešavanje problema iz oblasti hidrodinamičkih dešavanja u uređajima u okviru tehnološkog procesa.
Način polaganja i bodovanje:
min. ukupno zadaci = 15
min. ukupno teorija = 15
min. za usmeni = 36
Test teorija I
Zadaci I
Test teorija II
Zadaci II
Aktivnost
Usmeni
Ukupno 15 10 30
100

3. Preporučena literatura:
Fundamentals of Fluid Mechanics
Bruce Munson, Alric Rothmayer, Theodore Okiishi, Wade Huebsch
Fluid Mechanics Fundamentals and Applications
Yunus Cengel, John Cimbala
Fox And Mcdonald’s Introduction to Fluid Mechanics
Philip Pritchard
Engineering Fluid Mechanics
Clayton T. Crowe, Donald F. Elger, Barbara C. Williams, John A. Roberson
Mehanika fluida
F. Zdanski
Zbirka rešenih zadataka iz mehanike fluida
B. Škrbić

4. Sadržaj predmeta: Uvod. Osnovni principi i pojmovi Svojstva fluida
Fluidi u mirovanju (statika fluida)
Strujanje fluida (kinematika fluida)
Opisivanje strujanja fluida primenom koncepta kontrolne (konačne) zapremine (integralni oblici zakona o održanju mase, energije i količine kretanja)
Diferencijalna analiza strujanja fluida (zakoni o održanju mase i količine kretanja, strujna funkcija, Košijeva i Navier-Stoksova jednačina)
Dimenziona analiza i teorija sličnosti
Strujanje neviskoznih fluida, Nerotaciono strujanje, Dvodimenzionalno strujanje, Strujna funkcija i potencijal brzina, Superpozicija
Strujanje viskoznih fluida u cevi. Laminarno i turbulentno strujanje.
Koncept graničnog sloja
Osnovni pojmovi računarske dinamike fluida

5. 1 Šta je fluid? Definicija fluida
Kratka istorija i oblasti primene mehanike fluida
Fizičke veličine, dimenziona homogenost i jedinice.
Šta je fluid?
Fluidi i matematika
Diferencijalni i vektorski račun
Diferencijalni i integralni pristup.
Postupak postavljanja i rešavanja problema 1

6. Šta je fluid? Šta je Mehanika Fluida? Fluidi
Agregatna stanja i svojstva materije: 
Fluidi
Svojstvo
Čvrsto
Tečno
Gasovito
Makroskopski opis
Imaju definisan oblik koji ne zavisi od posude
Zauzimaju zapreminu/oblik suda i ostaju u otvorenom sudu
Zauzimaju zapreminu/oblik suda i ispunjavaju ceo zatvoreni sud
Pokretljivost molekula
Veoma mala pokretljivost. Jake međumolekulske sile.
Velika pokretljivost uprkos relativno jakim međumolekulskim silama
Velika pokretljivost. Molekuli se slobodno kreću usled slabih međumolekulskih sila
Gustina
Visoka. Čelik:7700 kg/m3
Srednja. Voda: 1000 kg/m3
Niska. Vazduh: 1,2 kg/m3
Rastojanje između molekula
Malo. Molekuli su zbijeni.
Malo. Postoji delovanje međumolekulskih sila
Veliko.
Dejstvo smicajnog napona
Uzrokuje deformaciju.
Uzrokuje kontinualnu deformaciju (tečenje)
Dejstvo normalnog napona
Uzrokuje deformaciju i promenu zapremine koja može dovesti do razaranja celine
Uzrokuje deformaciju i promenu zapremine.
Viskoznost
Nije definisana.
Visoka. Opada sa porastom temperature.
Niska. Raste sa porastom temperature.
Kompresibilnost
Teško se komprimuje/sabija.
Čelik: 160 x 109 Pa
Voda: 2,2 x 109 Pa
Lako se komprimuje/sabija.
Gasovi: 105 Pa

7. Šta je fluid? Šta je Mehanika Fluida?
Površina
Fluid predstavlja supstancu koja se kontinualno deformiše (teče) pod dejstvom smicajnog tj. tangencijalnog napona bez obzira na intenzitet tog napona. Kod fluida u stanju mirovanja ne postoji napon smicanja, ali postoji normalan napon i on se naziva pritisak.
Mehanika fluida se može definisati kao nauka koja se bavi proučavanjem napona i brzina koje se javljaju kod fluida pri kretanju. Pri tome fluid u mirovanju predstavlja specijalan slučaj. F F F
Čvrsto i fluid
Čvrsto i fluid
Samo fluidi
Samo fluidi

8. Oblasti primene mehanike fluida
Mehanika fluida nalazi veoma široku primenu kako za opisivanje i rešavanje problema u industriji, tako i u svakodnevnim delatnostima čoveka i društva.
Ona se tradicionalno primenjuje u oblastima kao što su:
Projektovanje kanala, nasipa i brana
Dizajniranju pumpi, kompresora i cevovoda
Projektovanju uređaja i cevovoda u hemijskoj industriji
Aerodinamici automobila i aviona
U razvoju raznih mernih instrumenata itd.
Pored navedenih (i dalje veoma važnih oblasti) mehanika fluida je našla primenu i u oblastima koje su postale interesantne u poslednjih 20 godina:
Energija i zaštita životne sredine (vetroparkovi, energija talasa, izučavanje prirodnih pojava i nepogoda…)
Biomehanika (veštački krvni sudovi i srce, respiratorni sistem…)
Sport (dizajn sportske oprene i analiza kretanja)
„Pametni fluidi“, mikrofluidi, nanotehnologije…

9. Kratka istorija mehanike fluida
Mehanika fluida prisutna još od prvih civilizacija (proba-greška, bez teorijske i matematičke osnove) – koplja, strele, navodnjavanje…
Početak istraživanja fluida započeo je još u vreme starih Grka i rimskog carstva – akvadukti, kanali, brodovi…
Mračni srednji vek je usporio razvoj nauke, ali su se pojavile neke mašine koje se zasnivaju na principima mehanike fluida.
Renesansa je dovela do ponovne potrebe za izučavanjem mehanike fluida putem eksperimenata, ali i što je mnogo važnije do matematičkog opisivanja fenomena.
U XVII i XVIII veku dolazi do procvata nauke, pa samim time i nauke o fluidima. Veliki doprinos su imali Njutn, Bernulije, Ojler i mnogi drugi. Razvijen je diferencijalni račun i izvedene su jednačine od velikog naučnog i inženjerskog značaja. De Prony prvi uvodi nauku i matematiku u školovanje inženjera.
XIX vek predstavlja značaj doprinos razumevanju strujanja fluida, a tome doprinose radovi Rejnoldsa, Stoksa, Poaizijea, Rajliha, Fruda, Kelvina, …
XX vek – Braća Vrajt primenjuju aerodinamičke eksperimente. Navier-Stoksove jednačine počinju da daju rezultate. Prandtl definiše granični sloj, a Blazijus i Karman postavljaju jednačine graničnog sloja.
Moderna mehanika fluida donosi široku primenu računara i mogućnost izvođenja kompleksnih proračuna i simulacija. Ovo je dovelo ekspanzije praktične primene mehanike fluida.

10. Kratka istorija mehanike fluida 

11. Johann Carl Friedrich Gauss
Kratka istorija mehanike fluida – „Na plećima divova“
Augustin Louis Cauchy
Brook Taylor
Archimedes
Johann Carl Friedrich Gauss
Blaise Pascal
Claude-Louis Navier
Leonhard Euler
Pierre-Simon Laplace
Gaspard de Prony
Theodor von Kármán
Jean Poiseuille
Sir George Stokes
Joseph Louis Lagrange
d'Alembert
Paul Richard Heinrich Blasius

12. Fizičke veličine, dimenziona homogenost i jedinice
Prilikom izučavanje mehanika fluida kao i svojstava fluida neophodno je poznavanje velikog broja fizičkih veličina.
Fizičke veličine je neophodno opisati kvalitativno i kvantitativno. Kvalitativni opis smisao veličine koju razmatramo (dužina, brzina, viskoznost…), dok kvantitativni opis predstavlja brojnu meru te veličine. Pri kvantifikaciji veličine moraju postojati određeni standardi da bi se veličine upoređivale, ti standardi se nazivaju jedinice. Postoji Engleski (imperijalni) i međunarodni SI sistem jedinica
Postoje osnovne i izvedene fizičke veličine / dimenzije.
U tabeli su prikazane osnovne fizičke veličine:
U mehanici fluida se uz pomoć tri osnovne veličine (dužina, vreme i masa) mogu opisati sva neophodna svojstva (brzina, sila, napon, pritisak, gustina, viskoznost itd).
Primer konverzija jedinica između različitih sistema
Veličina
Osnovna merna jedinica
Oznaka
Dužina
Metar m
Masa
Kilogram kg
Vreme
Sekunda s
Jačina električne struje
Amper A
Temperatura
Kelvin K
Količina supstance
Mol
mol
Jačina svetlosti
Kandela cd
Dužina Masa Sila

13. Fizičke veličine, dimenziona homogenost i jedinice
U mehanici fluida i u inženjerstvu sve jednačine moraju posedovati dimenzionu homogenost tj. svi članovi u jednačini (sabirci) moraju imati iste jedinice.
Ukoliko to nije slučaj, došlo je do greške pri izvođenju modela. (veoma korisno za uočavanje grešaka)
Dimenziona homogenost se može iskoristiti za proveru formula ili čak za izvođenje formula. Primer:
Obratiti pažnju na jedinice i na dimenzionu homogenost tokom proračuna!!!
𝑘𝑔= 𝑘𝑔 𝑚 3 𝑚 3
𝑚=𝜌∙𝑉

14. Fizičke veličine, dimenziona homogenost i jedinice
Pri inženjerskim proračunima ne smemo izgubiti pojam o veličini i vezu sa stvarnim svetom oko nas!

15. Fluidi i matematika Vektori i tenzori (kratak uvod i definicije) 3n
Šta su vektori? Šta su tenzori? Primena i neophodnost u mehanici fluida.
U mnogim naukama proučavaju se vektorske i skalarne veličine. Skalarna veličina je određena svojom brojnom vrednošću u izabranom sistemu jedinica. Takve veličine su temperatura, težina tela, površina, zapremina itd.
Vektorska veličina je određena pravcem, smerom i intenzitetom. Takve veličine su na primer brzina, sila, ubrzanje itd.
Vektorske veličine kraće nazivamo vektorima i one se obeležavaju sa strelicom iznad oznake: 𝑎
Tenzor je veličina određena sa više od tri broja i nekim dodatnim svojstvima. Mnoge fizičke veličine određene su jednim brojem (temperatura, gustina, masa). Takve veličine se nazivaju skalarima. Usmerene veličine kao sila, brzina, ubrzanje određuju se sa tri broja, npr. njihovim koordinatma na tri normalne ose (x, y, z). To su vektori. Postoje i veličine koje su određene sa još više brojeva, kao npr. napon.
U mehanici fluida tenzorom drugog reda se opisuju naponi koji deluju na fluid i o njima će biti reči kasnije.
n=0, tenzor nultog reda, broj veličina = 1, skalar
n=1, tenzor prvog reda, broj veličina = 3, vektor
n=2, tenzor drugog reda, broj veličina = 9, tenzor napona
Tenzor n-tog reda i broj veličina 3n

16. Fluidi i matematika Operacije sa vektorima, vektorski račun
Vektori se mogu predstaviti dužima. Vektor čije su krajnje tačke A i B ima pravac određen pravom AB na kojoj leži ovaj vektor, pri čemu se ta prava naziva nosač vektora. Smer vektora čije su krajnje tačke A i B je određen uređenim parom gde je A početna, a B krajnja tačka vektora. Intenzitet (moduo) se predstavlja dužinom duži AB, tj. duž AB je takva da je njena mera jednaka intenzitetu vektora. Intenzitet je skalarna veličina i uvek je pozitivna. Vektor je zadat ako mu je zadat pravac, smer i intenzitet.
Neke osnovne definicije:
Dva vektora su jednaka ako su im jednaki pravac, smer i intenzitet.
Vektor je paralelan pravoj, ili nekoj ravni, ako je njegov nosač paralelan sa tom pravom ili sa tom ravni.
Vektori istog pravca ili paralelni istoj ravni nazivaju se kolinearnim vektorima.
Dva vektora istog pravca, istog intenziteta, a suprotnog smera nazivaju se suprotnim vektorima.
Vektori paralelni jednoj ravni nazivaju se komplanarni vektori.
Vektor čiji je intenzitet jednak jedinici naziva se jedinični vektor.
Ort vektora 𝑎 je jedinični vektor istog pravca i smera kao i vektor 𝑎 .
Nula vektor je vektor čiji intenzitet je jednak nuli. B 𝑎 A 𝑦 𝑥 𝑧 𝑖 𝑗 𝑘
𝑖 𝑗 𝑘
x y z
Jedinični vektori imaju intenzitet jednak jedinici:

17. Fluidi i matematika Operacije sa vektorima, vektorski račun𝑦 𝑥 𝑧 𝑖 𝑗 𝑘 𝑎
𝑎 𝑥
𝑎 𝑦
𝑎 𝑧
Operacije sa vektorima, vektorski račun
Sabiranje vektora
Intenzitet vektora a u pravcu z ose (projekcija na z osu)
𝑎 = 𝑎 𝑥 ∙ 𝑖 + 𝑎 𝑦 ∙ 𝑗 + 𝑎 𝑧 ∙ 𝑘
𝑏 = 𝑏 𝑥 ∙ 𝑖 + 𝑏 𝑦 ∙ 𝑗 + 𝑏 𝑧 ∙ 𝑘
𝑎 + 𝑏 =( 𝑎 𝑥 + 𝑏 𝑥 )∙ 𝑖 +( 𝑎 𝑦 + 𝑏 𝑦 )∙ 𝑗 +( 𝑎 𝑧 + 𝑏 𝑧 )∙ 𝑘
𝑎 − 𝑏 =( 𝑎 𝑥 − 𝑏 𝑥 )∙ 𝑖 +( 𝑎 𝑦 − 𝑏 𝑦 )∙ 𝑗 +( 𝑎 𝑧 − 𝑏 𝑧 )∙ 𝑘
𝑎 + 𝑏 𝑏
𝑎 − 𝑏
𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 𝑎 + 𝑏 + 𝑐
𝑎 + 0 = 𝑎
𝑎 + − 𝑎 = 0
𝑎 + 𝑏 = 𝑏 + 𝑎 𝑎 𝑏 𝑎

18. Fluidi i matematika Operacije sa vektorima, vektorski račun
Množenje vektora skalarom
Ukoliko vektor a pomnožimo skalarem α dobijamo vektor za koji važi: 𝑎 𝑎 𝑎
2 𝑎
Svojstva (k je skalar):
− 𝑎

19. Fluidi i matematika Operacije sa vektorima, vektorski račun
Skalarni proizvod vektora
Skalarni proizvod dva geometrijska vektora je realan broj (skalar) koji je jednak proizvodu intenziteta tih vektora i kosinusa ugla između njih: 𝑦 𝑥 𝑧 𝑖 𝑗 𝑘
cos 0° =1
cos 90° =0
𝑖 ∙ 𝑖 =1
𝑗 ∙ 𝑗 =1
𝑘 ∙ 𝑘 =1
𝑖 ∙ 𝑗 =0
𝑗 ∙ 𝑘 =0
𝑘 ∙ 𝑖 =0
𝑎 ∙ 𝑏 = 𝑎 𝑥 ∙ 𝑏 𝑥 + 𝑎 𝑦 ∙ 𝑏 𝑦 + 𝑎 𝑧 ∙ 𝑏 𝑧

20. Jedinični vektor normalan na ravan koju obrazuju vektori 𝑎 i 𝑏
Fluidi i matematika 
Operacije sa vektorima, vektorski račun, Vektorski proizvod vektora
U matematici, vektorski proizvod je operacija dva vektora u trodimenzionalnom Euklidovom prostoru čije je rezultat vektor koji je normalan na ravan koji sadrži dva početna vektora.
Jedinični vektor normalan na ravan koju obrazuju vektori 𝑎 i 𝑏
sin 0° =0
sin 90° =1
Intenzitet vektora:
𝑖 × 𝑖 =0
𝑗 × 𝑗 =0
𝑘 × 𝑘 =0
𝑖 × 𝑗 = 𝑘
𝑗 × 𝑘 = 𝑖
𝑘 × 𝑖 = 𝑗
𝑗 × 𝑖 =− 𝑘
𝑘 × 𝑗 =− 𝑖
𝑖 × 𝑘 =− 𝑗
Smer – ukoliko je smer množenja vektora obrnut od kretanja kazaljke na satu, smer dobijenog vektora je pozitivan. =
Svojstva:
𝑎 × 𝑏 = 𝑖 𝑗 𝑘 𝑎 𝑥 𝑎 𝑦 𝑎 𝑧 𝑏 𝑥 𝑏 𝑦 𝑏 𝑧
𝑎 × 𝑏 = 𝑖 𝑎 𝑦 𝑎 𝑧 𝑏 𝑦 𝑏 𝑧 + 𝑗 𝑎 𝑥 𝑎 𝑧 𝑏 𝑥 𝑏 𝑧 + 𝑘 𝑎 𝑥 𝑎 𝑦 𝑏 𝑥 𝑏 𝑦
𝑎 × 𝑏 =( 𝑎 𝑦 𝑏 𝑧 − 𝑎 𝑧 𝑏 𝑦 ) 𝑖 +( 𝑎 𝑥 𝑏 𝑧 − 𝑎 𝑧 𝑏 𝑥 ) 𝑗 +( 𝑎 𝑥 𝑏 𝑦 − 𝑎 𝑦 𝑏 𝑥 ) 𝑘

21. Fluidi i matematika Diferenciranje
Izvod je mera kako (koliko brzo) funkcija menja svoje vrednosti promenom nezavisne veličine (ulazne vrednosti). Izvod krive u nekoj tački predstavlja koeficijent pravca tangente u toj tački. Izvod se može odrediti analitički ili numerički.
𝑓 ′ 𝑥 = lim ∆𝑥→0 𝑓 𝑥+∆𝑥 −𝑓(𝑥) ∆𝑥
Parcijalni izvod funkcije f(x,y) po x predstavlja izvod te funkcije kada smatramo da je y konstantno.
𝑧=𝑓 𝑥,𝑦 = 𝑥 2 +𝑥𝑦+ 𝑦 2
𝜕𝑧 𝜕𝑥 =2𝑥+𝑦
Totalni diferencijal funkcije f(t,x,y) po t predstavlja izvod te funkcije kada smatramo da x, y i z zavise od t tj. ne možemo ih smatrati konstantama kao kod parcijalnog izvoda. Ovaj pristup se koristi u mehanici fluida pri definisanju supstancijalnog izvoda: 𝐷( ) 𝐷𝑡
Više o izvodima: Matematika I, Matematika II i Hemijsko inženjerski proračuni
𝑑𝑓 𝑑𝑡 = 𝜕𝑓 𝜕𝑡 + 𝜕𝑓 𝜕𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑡 + 𝜕𝑓 𝜕𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑡 + 𝜕𝑓 𝜕𝑧 𝑑𝑧 𝑑𝑡
𝑑𝑓 𝑑𝑡 = 𝜕𝑓 𝜕𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 + 𝜕𝑓 𝜕𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑡 + 𝜕𝑓 𝜕𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑡 + 𝜕𝑓 𝜕𝑧 𝑑𝑧 𝑑𝑡
𝑑𝑓= 𝜕𝑓 𝜕𝑡 𝑑𝑡+ 𝜕𝑓 𝜕𝑥 𝑑𝑥+ 𝜕𝑓 𝜕𝑦 𝑑𝑦+ 𝜕𝑓 𝜕𝑧 𝑑𝑧

22. Numeričko određivanje integrala – trapezno pravilo
Fluidi i matematika 
Integracija
Integracija je suprotna operacija diferenciranju. „Od beskonačno malih delova sklapa celinu (integral)“
Postoje određeni i neodređeni integral. Određeni integral neke krive predstavlja površinu ispod te krive u granicama integracije.
𝑆= 𝑎 𝑏 𝑓 𝑥 𝑑𝑥
Numeričko određivanje integrala – trapezno pravilo

23. Hamiltonov operator ili nabla operator (predstavlja simbolički vektor)
Fluidi i matematika 
Skalarno polje. Gradijent.
Prostor u čijoj je svakoj tački M definisana funkcija U(x,y,z) = U(M) zovemo skalarno polje.
Potražimo promenu funkcije U u pravcu l:
Pod ekviskalarnom površinom podrazumevamo geometrijsko mesto tačaka u kojima funkcija U ima istu vrednost:
gradU formira vektorsko polje
Pri ∆U = const manje rastojanje između ekviskalarnih površi ukazuje na bržu promenu polja
Hamiltonov operator ili nabla operator (predstavlja simbolički vektor)

24. Fluidi i matematika Vektorsko polje. Divergencija. Gausova teorema.
Pod divergencijom vektorskog polja podrazumeva se skalar
Može se pokazati da divergencija vektorskog polja predstavlja tzv. zapreminski izvod, definisan kao :
Hidrodinamička interpretacija divergencije je predstavlja jačinu ili izdašnost tačkastog izvora
Gausova teorema:
Količina fluida koju stvore izvori u proizvoljnom prostoru zapremine V tačno je jednaka količini fluida koja protekne kroz površ S koja ograničava taj prostor
Laplasijan - Laplasov operator

25. Fluidi i matematika Integralni i diferencijalni pristup
Tokom izučavanja kretanja fluida problemu ćemo prilaziti na dva načina: integralno (preko koncepta kontrolne zapremine) i diferencijalno.
Integralni oblik podrazumeva uvođenje kontrolne zapremine i postavljanje bilansa (crna kutija – black box).
Korisno za brzo postavljanje bilansa gde nas ne zanima sta se zaista događa sa fluidom u kontrolnoj zapremini.
Prilikom postavljanja diferencijalnog oblika moguće je rešiti bilans za bilo koju poziciju u domenu za bilo koje vreme.
Potreba za parcijalnim diferencijalnim jednačinama. “Beskonačno puno beskonačno malih kontrolnih zapremina”
Iako je integralni oblik jednostavniji za postavljanje i rešavanje, oba pristupa su veoma važna za razumevanje mehanike fluida.
Kontrolna zapremina
Domen razmatranja
Ulaz
Izlaz

26. Fluidi i matematika Postupak postavljanja i rešavanja problema.
Nacrtati skicu sistema.
Pažljivo proveriti korektnost pretpostavki i jednačina modela, uključujući dimenzionu homogenost.
Jasno utvrditi cilj proračuna.
Pažljivo pobrojati sve zadate parametre i proveriti da li se raspolaže neophodnim brojem podataka.
Utvrditi, ako je neophodno, osnovu proračuna .
Identifikovati tip problema i odabrati strategiju rešavanja. Najčešće je u pitanju neki standardan problem i na raspolaganju je veliki broj uslužnih programa (Excel, Mathcad, Matlab). Neki problemi se mogu vrlo lako i brzo rešavati „peške“ uz pomoć kalkulatora.
Proveriti rešenja, da li su prihvatljiva s obzirom na očekivane brojne vrednosti, tj. da li zadovoljavaju postavljena ograničenja (npr. brzina fluida je manja od brzine svetlosti, prečnik suda je manji od prečnika Zemlje…)