1. Lecture 8 الحركــــة الاهتزازية او التذبذيهOscillatory Motion و
الحركـــة الموجيـة Wave Motion

2. Part 1 (Oscillatory Motion ) الحركه الاهتزازيه
تعريف الحركة الاهتزازية.
الحركة التوافقية البسيطة.
منظومة المكعب والزنبرك.
البندول البسيط.

3. {شكل (1): أمثلة على الحركة التذبذبية}
تعريف الحركة الاهتزازية:
هي الحركة التي يصنعها الجسم المهتز ذهاباً و إياباً على جانبي موضع سكونه أو اتزانه الأصلي.
{شكل (1): أمثلة على الحركة التذبذبية}

4. Simple Harmonic Motion
الحركة التوافقية البسيطه
Simple Harmonic Motion
الحركة التوافقية البسيطة :هي حالة خاصة من الحركة الاهتزازية التي تتناسب فيها قوة الإرجاع طردياً مع الإزاحة.
مثال :
جسم متصل بزنبرك Motion of an object attached to a spring
كمثال على الحركه التوافقيه البسيطه جسم متصل بزنبرك وتعرف هذه الحركه باسم الحركه التوافقيه البسيطه. ولشرح هذا النوع من الحركه نفترض منظومة تتكون من مكعب كتلته m(mass) متصل بنهاية زنبرك (spring) والمكعب حر الحركه على سطح افقي (horizontal) أملس عديم الاحتكاك (frictionless) كما في شكل 2.
اذا أُزيح المكعب مسافه صغيره x من وضع الاتزان فان الزنبرك يحدث قوة على هذا المكعب، هذه القوة تتناسب طردياً مع الإزاحة وفقاً لقانون هوك Hooke’s Law:
F = – k x
حيث k ثابت القوة (force constant) (ويسمى معامل مرونة النابض– مقياس الصلابة)
ويقاس بوحدة N/m.
تسمى هذه القوة بقوة الإرجاع لأنها دائماً تدفع الجسم نحو موضع الاتزان ولذلك فهي تكون عكس اتجاه الإزاحة وهذا يفسر وجود علامة السالب بقانون هوك.

5. a b c
شكل 2: جسم متصل مع زنبرك يتحرك على سطح افقي عديم الاحتكاك
(a عندما يكون في وضع الاتزان
(b عندما يتحرك الجسم ازاحه الى اليمين عن نقطة الاتزانx>0
(b عندما يكون ازاحة الجسم الى اليسار بحيث x<0

6. التمثيل الرياضي للحركه التوافقيه البسيطه The Equation of the Harmonic Oscillator
معادلة النابض هي: F = – k x (1) من قانون نيوتن الثاني: (2) F = m a =- kx a = – ( 𝒌 𝒎 ) x (3) اي ان التسارع (العجله ) يتناسب طرديا مع ازاحة المكعب واتجاهها عكس اتجاه الازاحه. وكل جسم يتصرف على هذا النحو فإن حركته تسمى بالحركه التوافقيه البسيطه. وعليه فإن الجسم يتحرك حركة توافقية بسيطة عندما يتناسب تسارعه طردياً مع سالب إزاحته عن وضع الاتزان

7. حيث ∅ ، 𝝎 ، و 𝑨 هي ثوابت الحركه
لوصف الحركه التردديه : نعلم أن التسارع هو معدل تغير السرعة بالنسبة للزمن فان مقدار
التسارع a يعطى على النحو التالي
𝒂= 𝒅𝒗 𝒅𝒕 = 𝒅 𝟐 𝒙 𝒅 𝟐 𝒕
من المعادله رقم (3):
𝒅 𝟐 𝒙 𝒅 𝟐 𝒕 =− 𝒌 𝒎 𝒙=− 𝝎 𝟐 𝒙 (𝟒)
حيث :
𝝎 𝟐 = 𝒌 𝒎
المعادله رقم 4 هي معادلة تفاضلية من الدرجة الثانية وتحتاج الى حل رياضي وهذا الحل سيكون دالة x(t) تحقق المعادلة، وتمثل هذا الدالة تغير موقع الجسم بالنسبة إلى الزمن
وعليه فان حل معادلة الحركه التوافقيه البسيطة هو :
(5)
حيث ∅ ، 𝝎 ، و 𝑨 هي ثوابت الحركه
ولكي نعرف المعنى الفيزيائي لها، فانه من المناسب ان نقوم بتمثيل هذه الحركة بيانياً حيث نرسم x كدالة في الزمن، كما هو موضح الجزء التالي:
𝒙 =𝑨 𝒄𝒐𝒔 ( 𝝎𝒕+ ∅ )

8. Simple Harmonic Motion Components
مركبات الحركة التوافقية البسيطة
Simple Harmonic Motion Components
𝒙 =𝑨 cos ( 𝝎𝒕+ ∅ )
الموضعPosition (x).
االسعهAmplitude (A).
زاوية الطورPhase Constant (Ø).
التردد الزاوي Angular Frequency(ω).
الزمن الدوريPeriod (T).
التردد (f) Frequency

9. 1) الموضع (x) Position:
موضع الجسم (x) ويتغير تبعاً لتغير الزمن كما هو موضح بالرسم.
ووفقاً للمعادلة: 𝒙 =𝑨 cos ( 𝝎𝒕+ ∅ )
شكل 3 موجة تتغير مع الزمن
2) السعه (A) : هو أقصى إزاحة للجسم في أي من الاتجاهين الموجب أو السالب للإزاحة x.
شكل 4 سعة الموجه

10. 3) ثابت الطـــور Ø Phase Constant
ثابت الطور (أو زاوية الطور): وتحدد بواسطة إزاحة وسرعة الجسم، فعندما يكون الجسم عند أقصى إزاحة له (أي: x=A) عند الزمن (t=0)، فإن ثابت الطور (Ø=0).
تقاس زاوية الطور بوحدة الراديان (radian)
الكمية (ωt+Ø) تسمى طور الحركة (the phase of the motion) وهي مفيدة عند مقارنة حركة ذبذبتين.
الدالة x(t) هي دالة دورية تكون قيمتها متساوية في كل مرة تصل فيها ωt الى المقدار 2π راديان (rad).
}شكل (5): تكرار الدالة x(t) مع تغير {ωt

11. (4الزمن الدوريPeriod (T).
الزمن الدوري: هو الزمن الذي يستغرقه الجسم ليكمل دورة كاملة ويقال ان الجسم قد قام بعمل ذبذبه واحده او (دوره واحده) ويقاس بوحدة الثانية (second)
الزمن الدوري
5) التردد Frequency: هو عدد الذبذبات التي يحدثها الجسم خلال وحدة الزمن وهو مقلوب الزمن الدوري.
وحدة قياسها هي (دوره لكل ثانيه)، (ثانية–1)، أو هيرتز (Hertz) Hz

12. 6) التردد الزاوي (ω) Angular frequency
التردد الزاوي: هو مقياس لمدى سرعة الذبذبات التي يحدثها الجسم.
كلما كان عدد الذبذبات التي تحدث في وحدة الزمن أكبر كلما كانت قيمة التردد الزاوي أكبر.
يقاس التردد الزاوي بوحدة: الراديان\ثانية (radian/second) (rad/s) أو راديان.هيرتز (Radian.Hertz) (rad.Hz)
ω = 2π f وكذلك ω= 2π 𝑇

13. مثال: منظومة المكعب والزنبرك
مكعب كتلته 200g مثبت في زنبرك خفيف ثابت قوته (force constant) 5.0N/mوهو حر التذبذب على منضدة أفقية عديمة الاحتكاك (frictionless). أزيح المكعب بمقدار 5.0cm من وضع الاتزان ثم ترك ليتذبذب من حالة السكون. اوجدي الزمن الدوري لحركة الجسم.

14. الحل: الزمن الدوري يساوي: ولحسابه نحتاج لحساب التردد الزاوي:
إذاً الزمن الدوري يساوي:

15. البندول البسيط The Simple Pendulum
البندول البسيط مثال للحركه الدوريه. وهو يتكون من ثقل كتلته m معلق بخيط خفيف طوله L مثبت من طرفه العلوي كما في الشكل (6). عند سحبه بزاويه 𝜃 صغيره (اقل من 10 ° ) فإن حركته تكون حركه توافقيه بسيطه حول موضع الاتزان 𝜃=0
التردد الزاوي للبندول البسيط يعطى بالعلاقة
الزمن الدوري للبندول البسيط:
الزمن الدوري والتردد للبندول البسيط يعتمد فقط على طول الخيط وتسارع الجاذبية.
شكل 6

16. أهمية البندول
-1 يمكن استخدامه كساعة تبين الوقت لان زمنه الدوري يتوقف فقط على طول الخيط وعجلة الجاذبية الارضية.
-2 يمكن استخدامه لعمل قياسات دقيقة لعجلة الجاذبية الأرضية، وهذه القياسات مهمة جداً لأن التغيرات المحليه في مقدار g يمكن ان تعطي معلومات عن أماكن تواجد البترول وخامات أخرى ذات أهمية اقتصادية.

17. مثال: العلاقة بين الزمن والطول
هيجنز(أشهر صانع ساعات)، اقترح أن تكون وحدة الأطوال الدولية معرفة على أساس طول بندول بسيط زمنه الدوري ثانية واحدة بالضبط. ما مقدار النقص في وحدة الأطوال الحالية لو كان اقتراح هيجنز قد نفذ؟
بحل معادلة (9) الزمن الدوري للبندول البسيط:
يمكننا ايجاد طول البندول وفقاً للعلاقة التالية:
هذا يعني أن وحدة الأطوال ستكون أقل من ربع وحدة الأطوال الحالية وهي المتر. لاحظ أن عدد الأعداد المعنوية يتحدد بدرجة الدقة في معرفة عجلة الجاذبية لأن الزمن حُدد على أنه ثانية واحدة بالضبط.

18. Wave Motion الحركه الموجيه أنواع الموجات انتشار الاضطراب.
المتغيرات الأساسية للحركة الموجية.
اتجاه إزاحة الموجة.
الموجات الجيبية.

19. أنــــــواع الموجــــــــات

20. هي اضطراب دوري ينتقل عبر وسط ما.
تعريف الموجة Wave:
هي اضطراب دوري ينتقل عبر وسط ما.
انتشار الاضطراب Propagation of a Disturbance :
كل الموجات الميكانيكية تحتاج إلى:
مصدر للاضطراب.
وسط يتم فيه الاضطراب.
وسيلة اتصال مادية تربط بين الأجزاء المتتالية للوسط بحيث يمكن لكل منها أن تؤثر على الآخر.
كل الموجات تحمل طاقة وكمية الطاقة التي تنتشر خلال الوسط وميكانيكية انتقالها تختلف من حاله لأخرى.

21. المتغيرات الاساسيه للحركه الموجيه Basic Variables of Wave Motion
تسمى النقطة التي تمثل اكبر ازاحه (للاعلى) من المستوى العادي بقمة الموجه (crest).
اما لنقطة التي يكون فيها اكبر إزاحة (للاسفل) من المستوى العادي تسمى القاع (trough).
الطول الموجي 𝜆(wavelength): هو أقصر مسافة بين أي نقطتين متماثلتين كقمتين متتاليتين أو قاعين متتاليين ويقاس بوحدة المتر.
الزمن الدوريT period: هو الزمن اللازم للانتقال بين قمتين (أو أي نقطتين متماثلتين) لموجتين متتاليتين.
التردد frequency f: وهو مقلوب الزمن الدوري 𝑓= 1 𝑇 ويعرف بانه عدد القمم أو القيعان (أو أي نقطة أخرى على الموجة) في وحدة الزمن.
السعهA amplitude : أكبر إزاحة للجزيء عن موضع اتزانه

22. أنواع الموجات Types of Waves
-1 الموجات المستعرضة Transverse Waves
-2 الموجات الطولية Longitudinal Waves .
الموجه المستعرضه هي الموجة أو النبضة المنتقلة التي تسبب تحرك جسيم الوسط المضطرب عمودياً على اتجاه انتشار الموجة.تتكون الموجه المستعرضه من قمم (اعلى نقطه من وضع الاتزان ) وقيعان (اقل نقطه من وضع الاتزان) من أمثلة الموجات المستعرضة: موجات الماء.
}شكل (7): انتشار نبضة موجية على حبل مشدود وتكون موجه مستعرضه.اتجاه حركة اي جزء من الحبل p (الموضح بالاسهم الزرقاء) يكون عموديا على اتجاه انتشارالموجه (الموضحه بالاسهم الحمراء)

23. الموجة الطولية Longitudinal Wave:
}شكل (8): موجة طولية على امتداد سلك زنبرك مشدود. تكون إزاحة اللفات المكونة للزنبرك في اتجاه حركة الموجة. كل منطقة مضغوطة يتبعها منطقة متمددة{
الموجه الطوليه: هي الموجة أو النبضة المنتقلة التي تسبب تحرك جسيم الوسط المضطرب موازياً لاتجاه انتشار الموجة.
من أمثلة الموجات الطولية: موجات الصوت والتي يكون فيها الاضطراب عباره عن تتابعات من مناطق التضاغطات والتخلخلات التي تنتشر خلال الهواء او اي وسط مادي.
التضاغط: منطقه تزداد فيها كثافة وضغط الموجه.
التخلخل: منطقه تقل فيها كثافة وضغط الموجه.

24. تظهر بعض الموجات في الطبيعة اتحاد إزاحات مستعرضة وطولية وموجات الماء السطحية تعتبر مثالاً جيداً لتلك الموجات. عندما تنتشر الموجات المائية على سطح مياه عميقة تتحرك الجزيئات الموجودة على السطح في مسارات دائرية تقريباً، ويكون لكل جزئ إزاحتان أفقية وعمودية عن موضع اتزانه كما هو موضح بالشكل.
}شكل (9): حركة جزيئات الماء على سطح بحيرة ماء عميقة{
الإزاحات المستعرضة (transverse displacement) التي تظهر في الشكل (9) هي عبارة عن تغير في الوضع العمودي (vertical) لجزيئات الماء.
أما بالنسبة للإزاحات الطولية (longitudinal displacements) فإنه عندما تمر الموجة على سطح الماء تتحرك جزيئات الماء عند القمم (crests) في اتجاه حركة الموجة بينما تتحرك الجزيئات عند القيعان (troughs) في عكس اتجاه الحركة.

25. الموجات الجيبية Sinusoidal Waves
الموجة الممثلة بالمنحنى الموضح بالشكل تسمى الموجة الجيبية لأنها تشبه تغير دالة الجيب 𝑠𝑖𝑛𝜃 مع الزاوية 𝜃. الموجه الجيبيه هي ابسط مثال للموجه الدوريه المستمره. ويمكن ان تستخدم في بناء موجات مركبه. ويمثل المنحنى الاحمر لقطه لموجة جيبية منتشره عند t=0 ، كما يمثل المنحنى الازرق لقطه للموجة عند زمن اخر t.
الدالة الموجة الجيبية:
عند الزمن t=0 يمكن كتابة الداله التي تمثل موقع جسيمات الوسط والتي تسير خلالها الموجه الجيبيه على الصوره:
𝑦=𝐴𝑠𝑖𝑛 2𝜋 𝜆 𝑥 .....(1)
حيث الثابت A يمثل سعة الموجة و 𝜆الطول الموجي.

26. اذا تحركت موجه إلى اليمين بسرعه 𝜐 تكون الداله الموجيه عند زمن اخر t هي :
𝑦=𝐴𝑠𝑖𝑛 2𝜋 𝜆 𝑥−𝜐𝑡
هذه المعادله تمثل سريان موجه جيبيه تتحرك جهة اليمين مسافة 𝜐𝑡 في زمن 𝑡
اما اذا اتجهت موجة نحو اليسار يُعبر عن الداله الموجيه على النحو التالي:
𝑦=𝐴𝑠𝑖𝑛 2𝜋 𝜆 𝑥+𝜐𝑡
ومن التعريف تنتقل الموجه مسافه تساوي طول موجي 𝜆 واحد في زمن دوري واحد T. ولذلك ترتبط سرعة الموجه والطول الموجي والزمن الدوري بالعلاقه :
𝜐= Δ𝑥 Δ𝑡 = 𝜆 𝑇 =𝜆𝑓......(2)

27. (5) 𝜐= 𝜆 𝑇 =𝜆𝑓= 𝜔 𝑘 𝑦=𝐴𝑠𝑖𝑛 𝑘 𝑥−𝜔𝑡 (6)
ويمكننا ان نعبر عن الداله الموجيه بشكل مناسب عندما نعرف كميتين أخرى وهي :
العدد الموجي الزاوي (Angular wave number) K
(3) 𝐾= 2𝜋 𝜆
التردد الزاوي (Angular Frequency )
(4) 𝜔= 2𝜋 𝑇
وباستخدام هذين التعريفين( معادله 3 و 4) يمكن ان نكتب سرعة الموجه الجيبيه :
(5) 𝜐= 𝜆 𝑇 =𝜆𝑓= 𝜔 𝑘
كما يمكن كتابة معادلة الموجه الجيبيه على الصوره :
𝑦=𝐴𝑠𝑖𝑛 𝑘 𝑥−𝜔𝑡 (6)
والصوره العامه للمعادله الموجيه هي :
General Expression for a Sinusoidal Wave Function
𝑦=𝐴𝑠𝑖𝑛 𝑘 𝑥−𝜔𝑡+𝜙 (7)
حيث 𝜙 هو ثابت الطور

28. مثال: دالة جيبية مرتحلة A Travelling Sinusoidal Wave
تنتقل موجة جيبية في الاتجاه الموجب لـ x بسعة(amplitude) تساوي 15cm وطول موجي (wavelength) 40cm وتردد (frequency) 8Hz. والإزاحة العمودية للوسط (vertical position of an element of the medium) عند t=0، x=0 هي أيضاً 15cm كما هو مبين في الشكل. (أ) جد العدد الموجي الزاوي angular wave number)) k والزمن الدوري (period) T والتردد الزاوي (angular frequency) ω والسرعة (speed) v لهذه الموجة. (ب) عين ثابت الطور (phase constant) Ø واكتب تعبيراً رياضياً عاماً للدالة الموجية.
}شكل (10): موجة جيبية ذات أبعاد محددة{

29. أ) باستخدام المعادلات (3)، (4)، (5) :
الحل:
أ) باستخدام المعادلات (3)، (4)، (5) :
ب ) ايجاد ثابت الطور :
بما ان : A=15cm، y=15cm عند x=0 و t=0 وبالتعويض في المعادلة (7) نحصل على:
15=15𝑠𝑖𝑛𝜙
𝑠𝑖𝑛𝜙= 𝑜𝑟 𝜙= 𝜋 2 𝑟𝑎𝑑
لذلك تكون الدالة الموجية على الصورة:
نجد أن دالة جيب التمام لها نفس الدالة الجيبية مزاحةً بمقدار 90º وبالتعويض بقيم A،k،ω في هذه المعادلة نحصل على: