1. 1

2.  Materi 1 Macam-macam sistem koordinat - Sistem loordinat Kartesian - Sitem koordinat silinder - Sistem koordinat Bola  Materi 2 Transformasi koordinat - Contoh soal 2

3.  Pertemuan ini membahas tentang penggunaan sistem koordinat Kartesian, sistem koordinat silinder, sistem koordinat bola, transformasi koordinat dan contoh-contoh soal-soal.  Aplikasi dari analisa vektor ini terdapat dalam bidang listrik dan gelombang, mekanika, mekanika teknik, mekanika zat alir dan lain-lain. Setelah menyelesaikan dengan baik marei. 3

4. 4 1. Macam-macam sistim koordinat 1.1 Sistim koordinat Kartesian Z z P(x,y,z) Titik P koordinat Y nya x, y dan z X Elemen volum di titik P : dV = dx dy dz Z dz dy dx P Y X Elemen panjang, dL 2 = dx 2 + dy 2 + dz 2

5. 5 1.2 Sistim koordinat Silinder Z z P (r,φ, z) x = r cos φ Y y = r sin φ φ r z = z X Z dφ dz r dφ Elemen volum diferen. P dr sial : dV = r dr dφ dz φ r Y X Elemen garis diferensial dL adalah diagonal melalui P : dL 2 = dr 2 + (r dφ) 2 + dz 2

6. 6 Vektor satuan a r, a φ dan a z = k... Z a z a φ r z a r y φ X a r ┴ a φ ┴ a Z Hubungan koordinat Kartesian dengan.. … koordinat silinder : x = r cos φ r = √( x 2 + y 2 ) ; r ≥ 0 y = r sin φ φ = atan (y/x) z = z z = z

7. 7 1.3.Sistim koordinat bola a r a φ θ P Koordinat titik M.. Θ’ r a θ adalah r, φ dan θ’.... … M (r, φ, θ’) φ Ke tiga vektor satuan saling tegak lurus,.. a r ┴ a φ ┴ a θ x = r sin θ cos φ ; r = √( x 2 + y 2 + z 2 ); r ≥ 0 y = r sin θ sin φ ; θ = cos -1 (z/(√( x 2 + y 2 + z 2 )) z = r cos θ ; ( 0 0 ≤ θ ≤ 180 0 ) … φ = tan -1 (y/x)

8. 8 Elemen garis diferensial, dL Z dr r sin θ dφ θ P dθ Y φ r dθ X dL 2 = dr 2 + (r dθ) 2 + (r sin θ dφ) 2 Elemen volum diferensial, dV dV = r 2 sin θ dr dθ dφ

9. 9 2. Transformasi koordinat 2.1 Transformasi S.K.Kartesian ke S.K.Silin-.. … der Dengan mempergunakan tabel di bawah.. … ini, hasil dari perkalian titik antara dua.. … vektor satuan. Vektor A dalam koordinat Kartesian A = A X i + A Y j + A Z k a r a φ a Z i cos φ - sin φ 0 j sin φ cos φ 0 k 0 0 1

10. 10 Vektor A dalam koordinat silindris A = A r a r + A φ a φ + A z a z Cara mencari komponen vektor silindris adalah dengan melakukan “dot product “ antara vektor dalam koordinat Kartesian dengan salah satu vektor satuan dalam koordinat silindris. Sebagai contoh mencari komponen A r : A r = (A r a r + A φ a φ + A Z a Z ) ● a r A r = (A X i + A Y j + A Z k ) ● a r = A X i ● a r + A Y j ● a r + A Z k ● a r Menurut tabel : I ● a r = cos φ j ● a r = sin φ dan k ● a r = 1

11. 11 sehingga komponen silindris A r memberikan A r = A X cos φ + A Y sin φ Cara yang sama dihasilkan A φ dan A Z A φ = - A X sin φ + A Y cos φ A Z = A Z Contoh : Transformasikan ke koordinat tabung vektor B = yi – xj + zk Jawaban : B r = B a r B r = (yi – xj + zk) a r = y cos φ - x sin φ = 0 B φ = (y i – x j + z k) a φ = (y i – x j) a φ = - r → B = - ra φ + z k

12. 12 2.2 Transformasi S,K.Kartesian ke S.K.Bola Tabel “ dot product” vektor satuan dalam … S.K. Karrtesian dengan vektor satuan … … ….. dalam S.K.Bola Contoh : Nyatakan medan vektor. W = (x - y) a Y dalam koordinat. bola a r a φ a θ isin θ cos φcos θ cos φ - sin φ jsin θ sin φcos θ sin φ cos φ k cos θ - sin θ 0

13. 13 Jawaban : W = (x - y) a y W = W r a r + W φ a φ + W θ a θ W r = (x - y) a Y ● a r = (x - y) sin θ sin φ W φ = (x - y) a Y ● a φ = (x - y) cos θ sin φ W θ = (x - y) a Y ● a θ = (x - y) cos φ x = r sin θ cos φ y = r sin θ sin φ z = r cos θ x – y = r sin θ (cos φ - sin φ ) →

14. 14 W = r sin θ (cos φ - sin φ ) [sin φ (sin θ a r +. cos θ a φ ) + cos φ a θ ]

15. 15 Rangkuman : 1. Sistem koordinat Kartesiaan. - Elemen garis diferensial, ∆L :. dL 2 = dx 2 + dy 2 + dz 2. - Elemen diferensial volum, dV :. dV = dx dy dz 2. Sistem koordinat silinder (tabung) Z X Y θ r P (r, φ, Z ) x = r cos φ y = r sin φ z = z

16. 16 - Elemen garis diferensial, ∆L.. ∆L 2 = dr 2 + (rdφ) 2 + z 2.. - Elemen diferensial volum,dV... dV = r dr dφ dz Transformasi koordinat silinder : a r a φ a Z i cos φ - sin φ 0 j sin φ cos φ 0 k 0 0 1

17. 17 3. Sistem koordinat bola - Elemen garis diferensial,dL. dL 2 = dr 2 + (rdθ) 2 + (r sinθ dφ) 2 - Elemen volum diferensial, dV dV = r 2 sin θ dr dθ dφ Z X Y φ θ r P(r, φ,θ) X = r sin θ cos φ y = r sin θ sin φ z = r cos θ

18. 18 4. Transformasi koordinat bola : a r a φ a θ isin θ cos φcos θ cos φ - sin φ jsin θ sin φcos θ sin φ cos φ k cos θ - sin θ 0

19. 19 Setelah mengikuti dengan baik mata kuliah ini, mahasiswa diharapkan sudah mampu menyele- saikan masalah-masalah yang berkaitan dengan analisa vektor,khususnya yang terkait dengan bidang sistem komputer.