الرياضيات الصف الحادي عشر التأسيسي الفصل الدراسي الثاني نسخة تجريبية

الرياضيات الصف الحادي عشر التأسيسي الفصل الدراسي الثاني نسخة تجريبية
هيئة التعليم EDUCATION INSTITUTE الرياضيات الصف الحادي عشر التأسيسي الفصل الدراسي الثاني 2012 – 2011 نسخة تجريبية

INDEX الفهرست السادسة 7 - 19 السابعة 21 - 58 الثامنة 59 – 80 التاسعة
الوحدة الموضوع الصفحات السادسة الهندسة و القياس 2 السابعة الإحصاء 1 & 2 الثامنة الهندسة و القياس 4 59 – 80 التاسعة العدد و الجبر 81 – 98 العاشرة الهندسة و القياس 3 99 – 119 الحادية عشرة الجبر 2

الوحدة السادسة : الهندسة و القياسات 2
الوحدة السادسة : الهندسة و القياسات 2 الوحدة 6 تطبيقات على نظرية فيثاغورس

معادلة الدائرة المسافة بين نقطتين تقاطع مستقيم مع دائرة
الفهرس رقم الصفحة اسم الدرس الرقم 9 معادلة الدائرة 1 11 المسافة بين نقطتين 2 14 تقاطع مستقيم مع دائرة 3 الفهرس

معادلة الدائرة ( x -  ) 2 + ( y -  ) 2 = r 2 ∙
6.1 الوحدة السادسة Equation of the Circle معادلة الدائرة الأهداف: Objectives: أن يكون الطالب قادرا̋ على أن: يكون معادلة الدائرة بمعلومية احداثيات مركزها وطول نصف قطرها. يستخدم نظرية فيثاغورث في حساب المسافة بين نقطتين في المستوى الإحداثي المعايير: Standards: 6.6 المصطلحات: Vocabulary : Equation معادلة Circle دائرة Origin نقطة الأصل أولاً: معادلة الدائرة التي مركزها نقطة الأصل: معادلة الدائرة التي مركزها النقطة ( 0 , 0 ) ونصف قطرها r هي: The equation of the circle with center at (0,0) and radius r is x2 + y2 = r2 r o مثال 1: أوجد معادلة الدائرة التي مركزها النقطة ( 0 , 0 ) ونصف قطرها 4 سم. الحل :Solution : Find the equation of a circle with center (0,0) radius r = 4 cm x 2 + y 2 = r 2 x 2 + y 2 = 16 ثانياً: معادلة الدائرة التي مركزها النقطة ( ,  ) : معادلة الدائرة التي مركزها النقطة ( ,  ) ونصف قطرها r هي: The equation of the circle with center at ( ,  ) and radius r is ( x -  ) 2 + ( y -  ) 2 = r 2 o ( ,  ) ∙

أوجد معادلة الدائرة التي مركزها النقطة M ونصف قطرها r في كل مما يلي:
Unit 6 الوحدة السادسة مثال 2: أوجد معادلة الدائرة التي مركزها النقطة ( 3 , -2 ) ونصف قطرها 7 سم. الحل :Solution : ( x - 3 )2 + ( y + 2 )2 = 49 Find the equation of a circle with center ( 3 , -2 ) and radius 7 cm ( x -  )2 + ( y -  )2 = r2 ( x - 3 )2 + ( y + 2 )2 = 72 تدريب 1: أوجد معادلة الدائرة التي مركزها النقطة M ونصف قطرها r في كل مما يلي: Find the equation of a circle with center M and radius r: 1) M ( 0 , 0 ) and r = 10 cm 2) M ( 2 , 3 ) and r = 8 cm 3) M ( -5 , -1 ) and r = 6 cm 4) M ( -4 , 7 ) and r = 5 cm 5) M ( 0 , -3 ) and r = 2.3 cm 6) M ( 1 , 0 ) and r = 9 cm

The distance between two points
Unit 6 الوحدة السادسة المسافة بين نقطتين The distance between two points تعلمت من خلال دراستك السابقة كيفية إيجاد طول المسافة بين نقطتين في المستوى الإحداثي باستخدام القانون التالي: The distances between two points A(x1 , y1) and B( x2 , y2) denote by the rule AB = (𝒙 𝟐 − 𝒙 𝟏 ) 𝟐 +( 𝒚 𝟐 − 𝒚 𝟏 ) 𝟐 مثال 1: أوجد المسافة بين النقطتين التاليتين: Find the distance between the two points: الحل::Solution AB = (𝟐+𝟒) 𝟐 +( −𝟓−𝟑) 𝟐 = (𝟔) 𝟐 +( −𝟖) 𝟐 = 100 = units A = ( -4 , 3 ) , B = (2 , -5 ) تدريب 1: أوجد المسافة بين كل نقطتين مما يلي: Find the distance between each two points: 1) 2) A = ( 6 , -1 ) , B = ( 8 , 9 ) A = ( 4 , 3 ) , B = (7 , -2 )

وذلك باستخدام نظرية فيثاغورس Pythagoras’ Theorem)) وهذه الطريقة يتم
Unit 6 الوحدة السادسة الآن سنتعلم طريقة أخرى لكيفية إيجاد طول المسافة بين نقطتين في المستوى الإحداثي وذلك باستخدام نظرية فيثاغورس Pythagoras’ Theorem)) وهذه الطريقة يتم استخدامها كما هو مبين في المثال التالي: مثال 2: باستخدام نظرية فيثاغورس أوجد المسافة بين النقطتين المبينتين في الشكل التالي: Using Pythagoras’ Theorem find the distance between the showing two points: الحل::Solution بإكمال المثلث القائم الزاوية والذي وتره هو المسافة بين النقطتين كما هو بالشكل التالي: ومن خلال مقارنة الإحداثيات الأفقية والرأسية للنقطتين نجد أن البعد الأفقي (x) هو 15 وحدة ، والبعد الرأسي (y) هو 10 وحدات. ثم باستخدام نظرية فيثاغورث نحسب المسافة كما يلي: D = 𝟏𝟓 𝟐 + 𝟏𝟎 𝟐 = 𝟑𝟐𝟓 ≈ units

بطريقتين مختلفتين أوجد المسافة بين النقطتين التاليتين:
Unit 6 الوحدة السادسة تدريب 2: أوجد المسافة بين كل نقطتين مما يلي باستخدام نظرية فيثاغورس: Using Pythagoras’ Theorem find the distance between each two points: 1) 2) A = ( 5 , -4 ) , B = ( -1 , -10 ) A = ( -3 , 6 ) , B = ( 2 , 7 ) التمارين الداعمة بطريقتين مختلفتين أوجد المسافة بين النقطتين التاليتين: By two different methods find the distance between the following two points: A = ( 5 , 2 ) , B = (-1 , -6 ) التمارين الإضافية 1) أوجد معادلة الدائرة التي مركزها نقطة الأصل ( 0 , 0 ) وتمر بالنقطة ( -3 , 4 ). Find the equation of the circle with center ( 0 , 0 ) and passes through ( -3 , 4 ) 2) أوجد معادلة الدائرة التي مركزها النقطة ( 3 , -5 ) وتمر بالنقطة ( -2 , 7). Find the equation of the circle with center ( 3 , -5 ) and passes through ( -2 , 7 ) (3أوجد مركز ونصف قطر كل دائرة مما يلي: Find the center and radius of the circle in each of the following a) X 2 + Y 2 = 4 b) ( X - 5 ) 2 + ( Y + 2 ) 2 = 36 c) (X – 4 ) 2 + Y 2 = 9

Intersection of Line and Circle
6.2. الوحدة السادسة تقاطع مستقيم مع دائرة Intersection of Line and Circle في هذا الدرس سنتعلم كيفية إيجاد نقاط تقاطع خط مستقيم مع دائرة إذا علم معادلة كل منهما ، وذلك جبرياً عن طريق التعويض بمعادلة المستقيم في معادلة الدائرة وحل المعادلة الناتجة من هذا التعويض وتجري خطوات هذه الطريقة كما يتبين من الأمثلة التالية: الأهداف: Objectives: أن يكون الطالب قادرا̋ على أن: يعين جبرياً نقاط تقاطع مستقيم مع دائرة باستخدام طريقة التعويض. المعايير: Standards: 6.7 المصطلحات: Vocabulary : Intersection تقاطع Substitution تعويض Algebraically جبرياً مثال 1: حل المعادلتين الآتيتين جبرياً: الحل: Solution: نقوم بالتعويض بمعادلة المستقيم في معادلة الدائرة ثم نحل المعادلة الناتجة كما يلي: وبالتعويض في معادلة المستقيم بقيمتي x كل على حدة نجد أن: ; وبذلك تكون نقطتا تقاطع المستقيم و الدائرة هما: ( (4 , 3),(-4 , -3 Solve this system of equations algebraically: x2 + y2 = (Equation of a circle center (0,0), radius 5) 4y = 3x (linear equation) Substitute from the linear equation into the quadratic equation and solve. 𝑦= 3 4 𝑥 → 𝑥 𝑥 2 =25 𝑥 𝑥 2 = 25 16 𝑥 𝑥 2 = 400 25 𝑥 2 = 400 𝑥 2 = 16 Then 𝑥= ± 4

Unit 6 الوحدة السادسة تدريب 1: أوجد جبرياً نقاط تقاطع المستقيم والدائرة التاليين (إن وجدت): Find the intersection points of the following Line and Circle algebraically: x2 + y2 = 49 2y = 5x مثال 2: أوجد (إن وجدت) نقاط تقاطع المستقيم والدائرة جبرياً: Find the intersection points of the following Line and Circle algebraically: الحل: Solution: أيضاً نقوم بالتعويض بمعادلة المستقيم في معادلة الدائرة ثم نحل المعادلة الناتجة كما يلي: ثم بالتعويض في معادلة المستقيم بقيمتي x كل على حدة نجد أن: ; وبذلك تكون نقطتا تقاطع المستقيم و الدائرة هما: ( (5 , -1),(1 , -5 x2 + y2 = (Equation of a circle) x - y = (linear equation)

وبذلك تكون نقطتا تقاطع المستقيم و الدائرة هما:
Unit 6 الوحدة السادسة مثال 2: أوجد (إن وجدت) نقاط تقاطع المستقيم والدائرة الآتيين جبرياً: Find the intersection points of the following Line and Circle algebraically: الحل: Solution: بالتعويض بمعادلة المستقيم في معادلة الدائرة ثم حل المعادلة الناتجة كما يلي: ثم بالتعويض في معادلة المستقيم بقيمتي x كل على حدة نجد أن: وبذلك تكون نقطتا تقاطع المستقيم و الدائرة هما: (x - 9)2 + (y - 6)2 = 25 y = -2 x + 14 (x - 9)2 + ( - 2 x )2 = 25 x 2 – 18x ( - 2 x + 8 )2 = 25 x 2 – 18x x 2 – 32x + 64 – 25 = 0 5 x x = 0 x x + 24 = 0 ( x – 4 ) ( x – 6 ) = 0 x = 4 or x = 6 Then y = 6 or y = 2 The intersection points are (6,2) ; (4,6)

X = −𝒃± 𝒃 𝟐 −𝟒𝒂𝒄 𝟐𝒂 = −𝟓 ± 𝟐𝟓 −𝟒×𝟏×𝟐 𝟐×𝟏 = −𝟓 ± 𝟏𝟕 𝟐
Unit 6 الوحدة السادسة مثال 3: أوجد (إن وجدت) نقاط تقاطع المستقيم والدائرة الآتيين جبرياً: Find the intersection points of the following Line and Circle algebraically: الحل:Solution: بتعديل معادلة المستقيم لتكون على الصورة: وهذه المعادلة التربيعية لايمكن حلها بالتحليل فنلجأ للقانون العام لحلها كما يلي: 𝑎=1 , 𝑏=5 , 𝑐=2 X = −𝒃± 𝒃 𝟐 −𝟒𝒂𝒄 𝟐𝒂 = −𝟓 ± 𝟐𝟓 −𝟒×𝟏×𝟐 𝟐×𝟏 = −𝟓 ± 𝟏𝟕 𝟐 Then x = −𝟓+ 𝟏𝟕 𝟐 ≈−0.4, x = −𝟓− 𝟏𝟕 𝟐 ≈− 4.6 ثم بالتعويض في معادلة المستقيم بقيمتي x كل على حدة نجد أن: y = = , y = = - 2.6 وبذلك تكون نقطتا تقاطع المستقيم والدائرة هما:(-4.6 , ) , (-0.4 , 1.6) x 2 + y 2 + 4x + 2y - 4 = 0 x – y + 2 = 0 ثم بالتعويض في معادلة الدائرة وتبسيطها كما يلي وبالقسمة على (2)

أوجد جبرياً نقاط تقاطع الدائرة والمستقيم في كل مما يأتي:
Unit 6 الوحدة السادسة التمارين الداعمة أوجد جبرياً نقاط تقاطع الدائرة والمستقيم في كل مما يأتي: 1) and x + y = 7 2) 3) and y = 5 x 4) ( X + 2)2 + (Y - 1)2 = and x + y = -2 5) (X - 4)2 + Y2 = and y + 2x = 6 Find the points of intersection of The circle and line of each of the following: x 2 + y 2 = 25 x2 + y2 = and y = –x – 3 (x - 3)2 + (y – 4)2 = 4 التمارين والمسائل التمارين الإضافية (1احسب نقاط تقاطع الدائرة والمستقيم في كل مما يأتي جبرياً: 1) and y = - x + 1 2) and 3) and y = 5x Calculate the points of intersection between The circle and line of: x2 + y2 − 2x + 4y − 4 = 0 x2 + y2 − 2x − 3 = 0 3x + y − 5 = 0 x2 + y2 − 2x - 4y − 60 = 0 2) عددان صحيحان يزيد أحدهما عن ثلاثة أمثال الآخر بمقدار (2) ، فإذا كان مجموع مربعيهما يساوي 68 ، فما العددان ؟

Unit 6 الوحدة السادسة التكامل تنتشر في دولة قطر العديد من الدوارات التي تنظم حركة السيارات بين الطرق التي تتقاطع عند كل منها. وهذه بعض المعلومات عن التصميم الهندسي للدوار: * يتم تصميم الدوار في الحالات التي تتوافر فيها مساحة الأرض اللازمة للدوار ويفضل أن تكون الأفرع المتقاطعة أربعة أو أكثر. * يعتبر الدوار أفضل من الإشارات المرورية حتى حجم مروري معين وخاصة إذا كانت أحجام المرور في الأفرع متساوية ويجب الأخذ في الاعتبار أن يزيد القطر الإجمالي الخارجي للدوار عن عرض أكبر طريق متقاطع (مثلاً طريق عرض 60 م متقاطع مع طريق عرض 40 م لا يقل القطر الخارجي للدوار عن 60 م). فإذا افترضنا أن مركز أحد الدوارات الدائرية يقع في المستوى الإحداثي عند النقطة ( 2 , 3 ) وطول قطر هذا الدوار 26 م ، يقطعه طريق مستقيم معادلته 5y = x . فأوجد نقاط تقاطع هذا الطريق مع الدوار ( المستقيم مع الدائرة). المشروع التكامل + المشروع الشكل التالي يبين الحالات الثلاث للعلاقة بين الدائرة والمستقيم. ادرس كل حالة على حدة موضحاً النقاط التالية لكل منها: 1) مثال عددي على كل حالة. 2) كيفية تمييز كل حالة من الحل الجبري لمعادلتي الدائرة والمستقيم. 3) اسم المستقيم بالنسبة للدائرة في كل حالة.

الوحدة السابعة : الإحصاء 1 & 2
الوحدة السابعة : الإحصاء 1 & 2 الوحدة ( ) الإحصاء ( 2 & 1 ) الإحصاء Statistics

المجتمع الإحصائي والعينات الإحصائية الاستبيانات
رقم الصفحة اسم الدرس الرقم 23 المجتمع الإحصائي والعينات الإحصائية 1 25 الاستبيانات 2 27 مدرجات التكرار النسبي وتوزيعات التكرار التراكمي 3 29 جدول التكرار التراكمي 4 32 المخططات الإحصائية 5 36 مقاييس النزعة المركزية 6 الفهرس

المجتمع الإحصائي والعينات الإحصائية
7.1 Statistics الإحصاء المجتمع الإحصائي والعينات الإحصائية الأهداف: Objectives: أن يكون الطالب قادرا̋ على أن: يعرف كيفية اختيار عينة احصائية جيدة. يميّز بين العينة المتحيزة والعينة غير المتحيزة. . المعايير: Standards: المصطلحات: Vocabulary : Representative samples عينات ممثلة Unbiased sample عينة غير متحيزة Biased sample عينة متحيزة المجتمع الإحصائي Statistical population المجتمع الإحصائي هو عبارة عن جميع المفردات موضع الدراسة والتي نرغب في معرفة حقائق عنها سواء كانت على شكل إنسان أو حيوان أو جماد أو درجات امتحان أو منازل أو مزارع أو سفن … الخ. وقد يتكون المجتمع من: (1عدد محدود (Finite)من المفردات مثل عدد أفراد مدينة ما أوعدد المنازل بها. (2عدد غير محدود (Infinite) مثل عدد الأسماك في الخليج العربي أوعدد النجوم. وإذا تم جمع البيانات لجميع مفردات المجتمع فتسمى هذه العملية بالحصر الشامل. وفى بعض الحالات لا نتمكن من حصر كل المفردات للمجتمع مثل مجتمعات الأسماك أو النباتات، أو أن تؤدي عملية الحصول على البيانات لمفردات المجتمع إلى إتلافها أو هلاكها، مثال ذلك فحص دم المريض كله يؤدي إلى وفاة الشخص، وكذلك فحص جميع أعواد الثقاب يؤدي إلى إتلاف هذا المنتج بالكامل وهكذا..... وبالتالى لا يمكن جمع البيانات من كل المفردات، أو قد تحتاج عملية جمع البيانات إلى وقت طويل أو جهد كبير أو تكاليف باهظة. وفى مثل هذا الحالات السابقة يتم جمع من البيانات عن جزء فقط من مفردات المجتمع يسمى العينة sample العينة الإحصائية Statistical sample وهي جزء من مفردات المجتمع يتم اختيارها بحيث تكون ممثلة للمجتمع ككل. وأسلوب أخذ العينات شائع الاستعمال عند إجراء الدراسات والبحوث الإحصائية لأن تكاليفه أقل، وبواسطته يمكن الحصول على نتائج سريعة، مقارنة بأسلوب الحصر الشامل الذي يتم فيه جمع البيانات من كل مفردات المجتمع. وتمثل العينة على سبيل المثال جزء من سكان مدينة معينة أو جزء من درجات الطلاب لأحد المقررات الدراسية وهكذا. ويوجد علم خاص بطرق أخذ العينات يسمى المعاينة الإحصائية statistical sampling . ومن العينة الإحصائية يتم الوصول إلى نتائج يمكن تعميمها على المجتمع الإحصائي محل الدراسة ككل. ومن المهم أن يتم اختيار عينات تمثل المجتمع الإحصائي تمثيلاً صحيحاً (Representative samples ) ففى حالة احتمال عدم تمثيل العينة تمثيلا حقيقيا، فإن الاستدلال الإحصائي يمكن الباحث من قياس الخطأ الناتج عن ذلك. وهنا يجب التمييز بين نوعين من العينات هما: 1) عينة غير متحيزة Unbiased sample وهي التي تمثل المجتمع الإحصائي تمثيلاً صحيحياً وتعطي نتائج جيدة. 2) عينة متحيزة biased sample وهي التي لاتمثل المجتمع الإحصائي تمثيلاً صحيحياً وتعطي نتائج مضللة. المجتمع الإحصائي و العينة الإحصائية

أراد سعيد عمل استطلاع رأي حول الرياضة المفضلة لدى عينة من سكان مدينته
أراد سعيد عمل استطلاع رأي حول الرياضة المفضلة لدى عينة من سكان مدينته. فوقف بالقرب من بركة السباحة في أحد النوادي الرياضية ، وسأل عدداً من المتجهين لهذه البركة عن رياضتهم المفضلة. هل العينة التي اختارها سعيد متحيزة أم غير متحيزة (Biased or unbiased)؟ وكيف لسعيد أن يحسن من استطلاعه ليعطي نتائج جيدة؟ الحل: بالطبع العينة التي اختارها سعيد متحيزة Biased وذلك لسببين: أولاً: المكان الذي اختاره سعيد يعطي نتائج متحيزة لرياضة السباحة. ثانياً: اختار سعيد مكاناً واحداً فقط وهذا لا يعطي نتائج جيدة. ولكي يحسن سعيد من استطلاعه عليه معالجة النقطتين السابقتين: 1) يجب عليه الوقوف في مكان عام يمر منه الكثير من الناس على اختلاف اهتماماتهم. 2) يجب عليه الوقوف في عدة أماكن مختلفة ولا يكتفي في بمكان واحد. مثال 1: إدعت مقالة في إحدى الصحف بأن % 87 من الموظفين يذهبون متأخرين عن دوامهم يومياً. ولكن المقالة لم تقل كيف عرف الصحافي أن % 87 من الموظفين يذهبون متأخرين عن دوامهم كل يوم. يعتقد بعض الطلاب أن النسبة المئوية لعدد الموظفين الذين يذهبون متأخرين عن دوامهم كل يوم هي أقل بكثير من % 87 ، فقرروا القيام بدراسة مسحية عن هذا الموضوع واستخدموا الطرق التالية: أ) خطط جابر لسؤال 10 أشخاص عما إذا كانوا يذهبون متأخرين عن دوامهم كل يوم. أعطِ سببين يبينان أن أسلوب جابر قد لا يعطي بيانات جيدة. ب) قررت عائشة الذهاب الى إحدى الشركات في صباح يوم الأربعاء. وتقف هناك أمام الشركة وتسجل عدد الموظفين الذين يدخلون الشركة وعدد الموظفين منهم الذين يأتون متأخرين. أعطً سببين مختلفين يبينان أن أسلوب عائشة قد لا يعطي بيانات جيدة. تدريب 1: أمثلة و تدريبات على العينات أراد يوسف أن يستقصي ما إذا كان عدد الطلاب الذين ينوون دراسة الطب في مرحلة الجامعة أكثر من الذين ينوون دراسة الهندسة. وهو ينوي سؤال جميع طلاب صفه ما إذا كانوا ينوون دراسة الطب أو الهندسة. ناقش الطرائق التي يمكن ليوسف أن يحسّن بها مسحه الإستطلاعي. تدريب 2:

الاستبيانات Questionnaires
الإحصاء 7.2 Statistics الاستبيانات Questionnaires الأهداف: Objectives: أن يكون الطالب قادرا̋ على أن: يحدد شروط عمل الاستبيان الجيد. يعطي أمثلة لأسئلة تصلح لتصميم استبياناً جيداً. المعايير: Standards: 8.2 المصطلحات: Vocabulary : Questionnaire استبيان Primary Data بيانات أولية Secondary data بيانات ثانوية تعريف الاستبيان: Definition of questionnaire يمكننا تعريف الاستبيان بأنه أداة لجمع البيانات المتعلقة بموضوع بحث محدد عن طريق استمارة يجري تعبئتها من قبل مجموعة من الأفراد. أنواع الاستبيان: Types of questionnaire يمكن تقسيم الاستبيان إلى ثلاثة أنواع : 1- الاستبيان المقيد : حيث توجه للشخص أسئلة مغلقة تتطلب الإجابة بنعم أو لا أو يقترح لصاحب الاستبيان بدائل محددة للاستجابات. مثال: هل لديك اليوم واجب منزلي؟ ( نعم / لا ) 2- الاستبيان المفتوح : في هذه الحالة توجه للشخص أسئلة مفتوحة ويترك له حرية الإجابة بالتعبير الحر التلقائي من رأيه و موقفه وبألفاظه هو نفسه. مثال: ما رأيك في الواجبات المنزلية التي تعطيها المدرسة للطالب ؟ 3- الاستبيان المزدوج أو( المقيد المفتوح ): في هذه الحالة توجه للشخص أسئلة محددة ومغلقة ثم تحدد بدائل الاستجابات وعليه اختيار أحداها و يبرر اختياره. مثال: هل تعتقد أن الواجب المنزلي يساعد في رفع مستوى الطالب؟ (نعم / لا) إذا كانت الإجابة بنعم فكم برأيك عدد الواجبات المناسب أسبوعياً؟ ..... مواصفات الاستبيان الجيد : 1-اللغة المفهومة والأسلوب الواضح الذي لا يتحمل التفسيرات المتعددة. 2- يجب ألا تكون الأسئلة: مركبة – منفية - طويلة – شخصية - محرجة. 3-إعطاء عدد كافي من الخيارات المطروحة مما يمكن المبحوثين من التعبير عن آرائهم المختلفة تعبيراً دقيقاً. 4-الترابط بين أسئلة الاستبيان وكذلك الترابط بينها وبين موضوع البحث ومشكلته 5-تزويد المبحوثين بمجموعة من التعليمات والتوضيحات المطلوبة في الإجابة وبيان الغرض من الاستبيان ومجالات استخدام المعلومات التي سيحصل عليها الباحث. وإليك بعض الأمثلة لأسئلة التي يمكن استخدامها في الاستبيان: 1- تساعد الدراسة الجامعية على تحقيق مستقبل أفضل . 1) لاأوافق بشدة 2)لا أوافق )لا أدرى )أوافق )أوافق بشدة 2- ماهي رياضتك المفضلة؟ 3- كم عدد الطلاب في صفك؟ الاستبيانات

الإحصاء مثال 1: تدريب 1: المشروع التكامل Unit 7 Statistics
لايجب أن يتضمن الاستبيان الأسئلة التالية : اذكر السبب 1) كم يبلغ دخلك الشهري؟ ( سؤال شخصي ) 2) ما رأيك في الحياة؟ (سؤال مفتوح غير محدد) 3) ألا توافق على أن حرارة الطقس هذا العام أقل من العام الماضي؟ (سؤال منفي متحيز) 4) إذا ذهبت إلى أحد المجمعات التجارية و لم تجد مكاناً توقف فيه سيارتك فهل تظل تدور في المكان حتى تجد مكاناً أم تذهب إلى مجمع آخر؟ (سؤال طويل ومركب من عدة إجابات ولايعطي حرية الإجابة) تدريب 1: صف بعض الأخطاء التي توجد في كل من العينات التالية: 1) اختارت شركة القطارات عشوائياً عدد من ركاب القطار الصباحي لسؤالهم عن زحام المواصلات في المدينة 2) وقف حسن أمام أحد مطاعم الأكلات النباتية لسؤال زبائنه عن حبهم للأطعمة النباتية. 3) أجرت إحدى الصحف عن طريق الهاتف استبياناً لعدد قرائها واختارت الاتصال بين الساعة 1م والساعة 4م 4) عن طريق البريد الإلكتروني سألت شركة لخدمات الإنترنت مشتركيها هل يخططون لشراء جهاز كمبيوتر جديد خلال السنتين القادمتين. أمثلة وتدريبات – التكامل – المشروع – الإحصاء (1) المشروع التكامل من خلال اختيارعينة عشوائية من طلاب مدرستك أجري استبياناً عن أي لغة يفضلها الطالب لدراسة الرياضيات اللغة الإنجليزية أم العربية واستخلص النتائج من هذا الاستبيان موضحاً مبررات كل رأي – استعن بالبرامج الكمبيوترية Excel أو Access لتسجيل وتمثيل النتائج. سجل نتائج الاستبيان على مستوى مدرستك. قارنه باستبيانات مماثلة أجريت في مدارس أخرى . سجل رايك الشخصى وبين خلاصة البحث. 1- العلوم الطبيعية: صمم استبيانا لدراسة العلاقة بين مدى تأثر عدد مرتادي مطاعم الأكلات السريعة بعد معرفة أضرار هذه الوجبات على صحة الإنسان. 2- تكنولوجيا المعلومات + الرياضة: صمم استبيانا في مدرستك عن العلاقة بين عدد الساعات التي يقضيها الفرد أمام الكمبيوتر وبين لياقته البدنية. 3- جميع المواد: صمم استبيانا لزملائك بالصف عن أفضل ثلاث مواد دراسية لدى كل طالب مرتبة تنازلياً.

مدرجات التكرار النسبي وتوزيعات التكرار التراكمي
الإحصاء 7.3 Statistics مدرجات التكرار النسبي وتوزيعات التكرار التراكمي الأهداف: Objectives: أن يكون الطالب قادرا̋ على أن: يحسب كثافة التكرار لفئات جدول تكراري. يرسم مدرج كثافة التكرار. ينشئ جدول التكرار النسبي لتوزيع تكراري. يكوّن جدول التكرار التراكمي. يرسم منحنى التكرار التراكمي المعايير: Standards: 8.4 المصطلحات: Vocabulary : Frequency density كثافة التكرار Relative frequency التكرار النسبي Cumulative frequency التكرار التراكمي أولاً: مدرج كثافة التكرار : Frequency density Histogram تحسب كثافة التكرار بقسمة كل تكرار على عرض الفئة المناظرة له. 𝐹𝑟𝑒𝑞𝑢𝑒𝑛𝑐𝑦 𝑑𝑒𝑛𝑠𝑖𝑡𝑦= 𝐹𝑟𝑒𝑞𝑢𝑒𝑛𝑐𝑦 𝐶𝑙𝑎𝑠𝑠 𝑊𝑖𝑑𝑡ℎ بيانات التوزيع التكراري المجاور تمثل أطوال مجموعة من الأفراد. 1) احسب كثافة التكرار لكل فئة من الفئات. 2) ارسم مدرج كثافة التكرار لهذا التوزيع. الحل: 1) نحسب كثافة التكرار لكل فئة من الفئات كما بالجدول المجاور 2) نرسم مدرج كثافة التكرار كما هو مبين حيث يتم تمثيل الفئات على المحور الأفقي ويتم اختيار مقياس مناسب لكثافة التكرار وتمثيلها على المحور الراسي. مثال 1: Class Frequency 65 ≤ h < 75 2 75 ≤ h < 80 7 80 ≤ h < 90 21 90 ≤ h < 105 15 105 ≤ h < 110 12 class (height - h) cm class width frequency frequency density 65 ≤ h < 75 10 2 2 ÷ 10 = 0.2 75 ≤ h < 80 5 7 7 ÷ 5 = 1.4 80 ≤ h < 90 21 21 ÷ 10 = 2.1 90 ≤ h < 105 15 15 ÷ 15 = 1.0 105 ≤ h < 110 12 12 ÷ 5 = 2.4 مدرج كثافة التكرار

الإحصاء مثال 1: Unit 7 Statistics
ثانياً: مدرج التكرار النسبي : Relative Frequency Histogram يحسب التكرار النسبي لبيانات تكرارية بقسمة كل تكرار على مجموع التكرارات ، ويمكن كتابة التكرار النسبي على صورة كسر اعتيادي أو عشري أو على صورة نسبة مئوية ، يكون مجموع التكرارات النسبية لبيانات أي جدول يساوي واحد صحيح أو 100 % 𝑅𝑒𝑙𝑎𝑡𝑖𝑣𝑒 𝐹𝑟𝑒𝑞𝑢𝑒𝑛𝑐𝑦= 𝐹𝑟𝑒𝑞𝑢𝑒𝑛𝑐𝑦 𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 𝐹𝑟𝑒𝑞𝑢𝑒𝑛𝑐𝑖𝑒𝑠 أنشئ جدول التكرار النسبي لبيانات التوزيع التكراري المجاور. عبر عن التكرار النسبي لكل قيمة بأكثر من صورة. Construct the relative frequency table for the shown table Express the results with more than one form. الحل: حيث أن مجموع التكرارات = 20 فإن التكرار النسبي لكل قيمة بالجدول ينتج من قسمة كل قيمة على 20 ويمكن كتابة الناتج على صورة كسر عشري أو نسبة مئوية كما هو مبين بالجدول المجاور. مثال 1: Data Value Frequency 2 3 5 4 6 7 1 Data Value Frequency Relative Frequency 2 3 3 ÷ 20 = or 15% 5 5 ÷ 20 = or 25% 4 3 ÷ 20 = or 15% 6 6 ÷ 20 = or 30% 2 ÷ 20 = or 10% 7 1 1 ÷ 20 = or 5% Total 20 1 Or 100% مدرج التكرار النسبي تدريب (1) المدرج التكراري الموضح يبين أطوال مجموعة من أشجار الكرز الأسود في إحدى الغابات: 1) كوّن الجدول التكراري لهذه البيانات. 1) Construct the frequency table. 2) أنشئ جدول التكرار النسبي لها. 2) Construct the relative frequency table.

جدول التكرار التراكمي Cumulative Frequency Table
الإحصاء Unit 7 Statistics جدول التكرار التراكمي Cumulative Frequency Table يسمى الجدول الذي تتجمع فيه التكرارات على التوالي من أحد طرفيه إلى طرفه الآخر وصولاً إلى التكرار الكلي بـ ( الجدول التراكمي أو المتجمع Cumulative Frequency Table) ويكون على شكلين : في بداية برنامج علاجي للمرضى تم تسجيل أوزان المشاركين في البرنامج وجاءت النتائج كما هو مبين بالجدول المجاور: 1) كوّن جدول التكرار التراكمي Cumulative Frequency Table 2) ارسم منحنى التكرار التراكمي. Cumulative Frequency graph 3) من الرسم: أ – قدّر قيمة الوسيط (median) لهذه الأوزان. ب- عدد الأشخاص الذين تقل أوزانهم عن 83 كج. جـ - عدد الأشخاص الذين تزيد أوزانهم عن 102 كج. الإجابة : أ- نوجد رتبة الوسيط بقسمة (مجموع التكرارات +1) على 2 أي: = ومن الرسم نوجد الوزن المناظر لهذه الرتبة نجد أن الوسيط هو 92 كم تقريبا. ب – من الرسم أيضاً نجد أن عدد الأشخاص الذين يقل أوزانهم عن 83 كم هو 9 أشخاص. حـ - وعدد الأشخاص الذين تزيد أوزانهم عن 102 كم هو 4 أشخاص ) 60 – 56 = 4 ). مثال 1: 2) منحنى التكرار التراكمي جدول التكرار التراكمي 1) جدول التكراري التراكمي

الإحصاء Unit 7 Statistics التمارين الإضافية
1) فيما يلي جدول تكراري يبين درجات 30 طالباً في اختبار للرياضيات. The following frequency table shows the marks of 30 students in math test. أ ) أكمل الجدول لإيجاد التكرار التراكمي Cumulative Frequency ب) ارسم منحنى التكرار التراكمي. Cumulative Frequency graph ج) من الرسم أوجد القيمة التقريبية لكل من: 1- الوسيط (median) لهذه الدرجات. 2- كم طالباً حصل على درجة أقل من الدرجة 77. 3- كم طالباً حصل على درجة أعلى من الدرجة 93. Score Frequency 4 11 9 8 5 3 2) المدرج التكراري التالي يوضح نتائج استبيان أجري على 300 شخص تم سؤالهم عن الزمن الذي يستغرقه كل واحد منهم في الوصول من مدينة الدوحة إلى مدينة الخور. The following frequency histogram shows the results of a survey of 300 people who were asked how long it took them to get from Doha City to Al-Khor City. أ) كوّن جدول التكرار التراكمي Cumulative Frequency Table ب) ارسم منحنى التكرار التراكمي. Cumulative Frequency graph ج) من المنحنى قدّر لهذه البيانات قيمة كل من: 1- الوسيط (median). 2- الربيّع الأول Q1 First quartile 3- الربيّع الثالث Q3 Third quartile 4- المدى الربيعي IQR Interquartile

الإحصاء المشروع التكامل Unit 7 Statistics
1- في استيبان لمعرفة الزمن الي يقضيه طلاب إحدى المدارس يومياً لإنجاز الواجبات المنزلية كانتت النتائج: أ) كوّن جدول التكرار التراكمي Cumulative Frequency Table ب) ارسم منحنى التكرار التراكمي Cumulative Frequency histogram ج) من المنحنى قدّر لهذه البيانات قيمة كل من: 1- الوسيط (median). 2- الربيّع الأول Q1 First quartile 3- الربيّع الثالث Q3 Third quartile 4- المدى الربيعي IQR Interquartile التمارين الداعمة 15 70 Time (min) Number of students 0 < x ≤ 20 20 < x ≤ 40 55 40 < x ≤ 60 60 < x ≤ 80 40 80< x ≤ 100 10 التمارين والمسائل المشروع التكامل 1) أحضر مقياساً للطول ( بالمتر و السم ). 2) قم بقياس أطوال زملائك طلاب صفك. 3) سجل نتائجك في جدول مقسماً الأطوال إلى فئات مناسبة. 4) ارسم منحنى التكرار التراكمي Cumulative Frequency histogram د) من المنحنى قدّر لهذه البيانات قيمة كل من: الوسيط (median) ، الربيّع الأول Q1 First quartile الربيّع الثالث Q3 Third quartile ، المدى الربيعي IQR العلوم الطبيعية: لمدة 25 يوماً تساقط الجليد على سفح أحد الجبال و قيست طبقة الجليد يومياً لأقرب سنتيمتر فجاءت النتائج كالتالي: 242, 228, 217, 209, 253, 239, 266, 242, 251, 240, 223, 219, 246, 260, 258, 225, 234, 230, 249, 245, 254, 243, 235, 231, 257. كون جدول التكرار التراكمي لهذه القياسات ، ومن ثم ارسم منحنى التكرار التراكمي ومن الرسم استنتج الوسيط والمدى الربيعي لهذه البيانات.

المخططات الإحصائية Statistical Diagrams
7.4 Statistics الإحصاء المخططات الإحصائية Statistical Diagrams الأهداف: Objectives: أن يكون الطالب قادرا̋ على أن: يرسم مخطط الساق والورقة لبيانات احصائية. يستخدم مخطط العلبة والشعرتين لتمثيل بيانات احصائية. المعايير: Standards: 8.5 المصطلحات: Vocabulary : Stem-and-leaf diagram مخطط الساق و الورقة Box-and-whisker plot مخطط العلبة والشعرتين المدى Range Minimum value القيمة الصغرى Maximum value القيمة العظمى median الوسيط The lower quartile الربيّع الأدنى The upper quartile. الربيّع الأعلى Stem-and-leaf Diagrams (Box Plots) أولاً: مخطط الساق و الورقة هي طريقة احصائية لتنظيم البيانات نقوم فيها بتجزئة العدد إلى رقم الآحاد كقسم أول وباقي الأرقام كقسم ثاني، ففي حالة العدد الصحيح فالعدد 13 مثلاً نجعل رقم الآحاد 3 (ورقة) على يمين خط عمودي (الساق) والعدد الخاص بالعشرات على يسار الخط العمودي بالصورة 3│1. وعليه تمثل الأعداد 21، 13، 19 بالصورة │1 مثال 1: إذا كانت لدينا البيانات التالية: 41, 46, 47, 49, 54, 63, 64, 66, 68, 68, 72, 72, 75, 76, 81, 84, 88 نظم هذه البيانات باستخدام مخطط الساق والورقة. Stem and leaf diagram احسب المدى (range) لهذه البيانات. أوجد الوسيط. (Median) الحل: 1) يتم تنظيم البيانات كما في المخطط المبين. 2) المدى = أكبر قيمة – أصغر قيمة Range = max value – min value = 41 – 88 = 3) ترتيب الوسيط (median) هو = 9 إذن الوسيط (median) = key: 6|3=6 Stem Leaf 4 5 6 7 8 Stem and leaf تدريب 1: البيانات تمثل درجات الحرارة المسجلة في الدوحة خلال شهر يوليو. 39 ، 35 ، 27 ، 31 ، 25 ، 46 ، 24 ، 31 ، 28، 42 ، 37 27 ، 24 ، 33 ، 35 ، 36 ، 29 ، 47 ، 50 ، 43 ، 32 25 ، 36 ، 38 ، 49 ، 23 ، 46 ، 28 ، 38 ، 34 ، استخدام مخطط الساق والورقة (Stem and leaf diagram) لتنظيم هذه البيانات. احسب مدى (range) هذه الدرجات. أوجد درجة الحرارة التي تمثل الوسيط (Median).

الإحصاء Unit 7 Statistics ثانياً: مخطط العلبة و الشعرتين: هي طريقة مناسبة لتمثيل البيانات الإحصائية بشكل يمثل من خلال تحديد الخمس قيم التالية للبيانات: القيمة الصغرى The minimum value. (Min) القيمة العظمى. The maximum value. (Max) الربيّع الأدنى The lower quartile. ( Q1 ) الوسيط (الربيّع الثاني). The median ( Q2 ) الربيّع الأعلى. The upper quartile. ( Q3 ) Box-and-whisker plots (Box Plots) مثال 1: في رحلة لصيد الأسماك تمكن ناصر من صيد 13 سمكة وقام بقياس أطوالها فكانت كالتالي: 12 , 13 , 5 , 8 , 9 , 20 , 16 , 14 , 14 , 6 , 9 , 12 , 12 أوجد القيم الخمس اللازمة لرسم مخطط العلبة والشعرتين Box-and-whisker Plot ثم ارسم المخطط. الحل : أولا: بعد ترتيب الأطوال تصاعديا تكون القيمة الصغرى Min= 5 والقيمة العظمى Max = 20 ثانياً: ترتيب الوسيط 7= فيكون الوسيط هو القيمة السابعة median = 12 ثالثاً: ترتيب الربيّع الأدنى 3.5= أي هو متوسط القيمتين الثالثة والرابعة: Q1= 8.5 رابعاً: ترتيب الربيّع الأعلى = 3( ) أي متوسط القيمتين العاشرة والحادية عشرة: Q3 = 14 خامساً: نحدد أماكن القيم الخمس وبالتالي نرسم المخطط المطلوب كما يلي: Box-and-Whisker تدريب 1: البيانات التالية تمثل درجات 14 طالباً في أحد الاختبارات: 85, 100, 97, 84, 73, 89, 73, 65, 50, 83, 79, 92, 78, 10 أنشئ مخطط العلبة والشعرتين الذي يمثل هذه الدرجات. Create a box and whisker plot to represent this data.

الإحصاء Unit 7 Statistics التمارين الإضافية
1- البيانات التالية تمثل درجات أحد الطلاب في اختبارات الرياضيات: 73, 42, 67, 78, 99, 84, 91, 82, 86, 94 أ) ارسم مخطط الساق و الورقة (Stem-and-Leaf Diagram) لهذه البيانات. ب) ما هو الوسيط (median) لهذه الدرجات. 2- الدرجات التالية تمثل درجات 20 طالباً في اختبار نهايته العظمى 50. ب) كم تبلغ النسبة المئوية لعدد الطلاب الحاصلين على 40 درجة أو أكثر؟ حـ) كم تبلغ النسبة المئوية لعدد الطلاب الحاصلين على أقل من 30 درجة؟ 3- القيم التالية تمثل أطوال عدد من لاعبي كرة السلة لفريقين في دوري كرة السلة: أ) أكمل مخطط الساق والورقة لهذا التوزيع. ب) أوجد المدى لكل من الفريقين . ج) أوجد الوسيط لكل من الفريقين . د) أوجد النسبة المئوية لعدد اللاعبين الذين تعدى طولهم المترين. التمارين الإضافية التمارين والمسائل الفريق B 179, 201, 187, 189, 205, 202, 196, 194, 180, 188 الفريق A 177, 203, 188, 181, 204, 178, 195, 190, 178, 180

الإحصاء المشروع التكامل Unit 7 Statistics
3- أنشئ مخطط « العلبة و الشعرتين للبيانات المعطاة. Construct a box–and–whisker plot for the given data. 56, 32, 54, 34, 23, 67, 23, 45, 12, 32, 34, 24, 36, 47, 19, 43 (4عقدت مدرستان إحداهما للبنين والأخرى للبنات نفس الإمتحان في الرياضيات. درجات البنات كانت كما يلي: 97, 98, 57, 45, 63, 75, 87, 34, 56, 28, 67, 89, 45, 61, 53, 49, 81, 32, 23, 45, 47, 72, 34, 54, 23, 100, 76, 47 أما درجات البنين فكانت كما يلي: 67, 87, 83, 92, 34, 31, 23, 25, 29, 39, 89, 91, 54, 47, 41, 50, 77, 18, 89, 100, 26, 62, 39, 14, 90 أ) ارسم مخططات “ الساق والورقة “ متعاقبة ((stem-and-leaf, back-to-back لبيان هذه الدرجات. ب) قارن أداء البنين والبنات، مع شرح الطرائق التي اتبعتها ونواتجها. ج) استخدم هذه البيانات لرسم مخطط تكراري تراكمي لعلامات البنين. ماهو الوسيط (median)لهذه الدرجات. ما هو المدى الربيّعي (Interquartile IQR ) لتوزيع الدرجات؟ د) ارسم مخطط ’ العلبة والشعرتين ‘ (box-and-whisker plots) لتمثيل درجات البنات. ارسم مدرج تكرار نسبي لهذه البيانات. التمارين و المسائل المشروع التكامل 1) أحضر ميزاناً لقياس الأوزان ( متوفر بالمدارس ). 2) قم بوزن زملائك طلاب صفك. 3) سجل نتائجك في جدول مقسماً الأوزان إلى فئات مناسبة. 4 ( أنشئ مخطط الساق و الورقة (Stem-and-Leaf Diagram) لهذه البيانات. 5) أوجد الوسيط (median) لهذه الأوزان. 6) أوجد المدى (The Range) لهذه الأوزان. 7) سجل ملاحظاتك على أوزان زملاءك واستنتج ما قد يمثل علاقة بينها وهل هي في المستوى الطبيعى ؟ 8) ابعث بنصائحك لبعض زملائك. الكيمياء: احضر قائمة تحوي العدد الذري لكل من العناصر الكيميائية التي تدرسها هذا العام. أوجد القيم الخمس اللازمة لرسم مخطط العلبة والشعرتين Box-and-whisker Plot ثم ارسم المخطط. العلوم الاجتماعية: حدد درجات الحرارة المحتملة خلال أحد أشهر السنة في الدوحة ثم ارسم مخطط العلبة والشعرتين لهذه الدرجات.

مقاييس النزعة المركزية Measures of Central Tendency
الإحصاء 7.5 Statistics مقاييس النزعة المركزية Measures of Central Tendency الأهداف: Objectives: أن يكون الطالب قادرا̋ على أن: يحسب الوسط والوسيط والمنوال لبيانات احصائية مفردة. تكرارية. المعايير: Standards: 8.3 8.6 9.1 المصطلحات: Vocabulary : Mean الوسط الحسابي Median الوسيط Mode المنوال مقاييس النزعة المركزية هي مقاييس عددية تستخدم لقياس موضع تركز أو تجمع البيانات. إذ أن بيانات أي ظاهرة تنزع في الغالب إلى التركز والتجمع حول قيم معينة . هذه القيم هي ما يسمى بمقاييس النزعة المركزية . ومقاييس النزعة المركزية تستخدم لتلخيص البيانات عددياً إذ أنها تعتبر قيم نموذجية أو مثالية للبيانات. كما أن هذه المقاييس تستخدم لوصف مجموعة البيانات وكذلك لمقارنة مجموعات البيانات المختلفة. ومن أهم هذه المقاييس : الوسط الحسابي (Mean)، والوسيط (Median)، والمنوال (Mode). أولاً: حساب الوسط الحسابي: Calculating the mean يعتبر الوسط الحسابي من أهم وأفضل مقاييس النزعة المركزية ومن أكثرها شيوعاً واستخداماً في التحليل الإحصائي وذلك لما يتمتع به من خصائص وصفات إحصائية جيدة. ولإيجاد الوسط الحسابي للبيانات فيجب أن نفرق بين البيانات المنفصلة أو المفردة (discrete data) والبيانات المتصلة أو ذات المجموعات (continuous data)(الممثلة في جدول تكراري). Mean , median and mode 1) حساب الوسط الحسابي لبيانات مفردة: Calculating the mean for discrete data يحسب الوسط الحسابي (Mean) لعدة بيانات منفصلة أو مفردة بقسمة مجموع هذه البيانات على عددها. The mean of a numeric variable is calculated by dividing the sum of the values of all observations in a data set by the number of observations in the set. Mean = sum of all the observation values number of observations فإذا كان عدد البيانات n وكانت القيم أو المشاهدات هي 𝑥 1 , 𝑥 2 , ……, 𝑥 𝑛 فإن الوسط الحسابي (Mean) ويرمز له بالرمز 𝑥 هو 𝑥 = 𝑖=1 𝑛 𝑥 𝑖 𝑛

الحل: البيانات التالية عبارة عن أوزان مجموعة من الأشخاص (بالكيلوجرام)
The following data show the weights of a group of people (Kg) 25, 30, 40, 45, 35, 55, 50 أوجد الوسط الحسابي لهذه الأوزان.Find the mean for this weights. الحل: الوسط الحسابي = مجموع القيم ÷ عددها Then: 𝑥 = 𝑖=1 𝑛 𝑥 𝑖 𝑛 = = =40 مثال 1: Mean = sum of all the data values ÷ number of data احسب الوسط الحسابي للبيانات التالية: Find the mean of the following data: مثال 2: 3, 7, 5, 13, 20, 23, 39, 23, 40, 23, 14, 12, 56, 23, 29 الحل: The sum of these numbers is مجموع هذه الأعداد هو There are fifteen numberوعدد هذه الأعداد هو 15 The mean: 𝑥 = 𝑖=1 𝑛 𝑥 𝑖 𝑛 = =22 إذن الوسط الحسابي هو: تدريب 1: البيانات تمثل أطوال مجموعة من الطلاب (بالسنتيمتر). The following data show the heights of a group of students (cm) 39 ، 35 ، 31 ، 31 ، 28، 42 ، 37 أوجد الوسط الحسابي لهذه الأطوال.Find the mean for this heights.

أوجد الوسط الحسابي لهذه الأطوال.Find the mean for this heights.
الجدول التالي يبين عدد الأشخاص الذين قتلوا في الحوادث المرورية لأكثر من 10 سنوات , خلال هذه الفترة ، ماهو متوسط عدد الأشخاص الذين ماتول خلال عام؟ وكم عدد الأشخاص الذين ماتوا في اليوم الواحد في الحوادث المرورية خلال هذه الفترة؟ الحل: باستخدام الصيغة الخاصة بالبيانات المنفصلة أو المفردة يكون ما يلي: 𝑥 = 𝑖=1 𝑛 𝑥 𝑖 𝑛 = = =745.3 مثال 3: Number of fatalities in traffic accidents Year Fatalities 1 959 2 1,037 3 960 4 797 5 663 6 652 7 560 8 619 9 623 10 583 The following table lists the number of people killed in traffic accidents over a 10 year period. During this time period, what was the average number of people killed per year? How many people died each day on average in traffic accidents during this time period? Using the formula to calculate the mean for discrete variables, you can see that: تدريب 2: الجدول التالي يبين درجات أحد الطلاب في اختبارات عدد من المواد الدراسية: The following table showing the marks of a student in some subjects: أوجد الوسط الحسابي لهذه الأطوال.Find the mean for this heights. Social English science Math Islamic Arabic Subject 44 38 40 41 49 47 Mark

2) حساب الوسط الحسابي لبيانات ممثلة في جداول تكرارية:
Calculating the mean for frequency table data: تمثل الجداول التكرارية قائمة بعدد المشاهدات التي تقع في أي مجموعة بيانات معطاة. وهذه الجداول التكرارية نوعان إما جداول بسيطة أو جداول ذات مجموعات. فعلى سبيل المثال ، إذا أردت وضع الأعمار الفعلية لبعض الأشخاص في جدول تكراري فيمكنك استخدام الجدول التكراري البسيط (بدون فئات) ويمكنك كذلك استخدام الجدول التكراري ذي الفئات بتقسيم الأعمار إلى فئات عمرية مناسبة. A frequency table lists the number of observations that lie in any given data set. It can be used with grouped or ungrouped variables. For example, to provide a frequency table of the age of people in a data set, you can produce a table using the exact age (ungrouped), or you can group the ages (grouped). أ) حساب الوسط الحسابي لجدول تكراري بسيط: The mean of an ungrouped data: ويتم ذلك بضرب كل درجة بالتكرار المناظر لها ثم جمع نواتج عمليات الضرب وقسمتها على مجموع التكرارات أي باستخدام الصيغة التالية: وسنناقش هذه الطريقة من خلال المثال التالي. الجدول المقابل يبين عدد الأهداف التي سُجلت في عدد من المباريات في لعبة كرة القدم. The showing table shown the number of goals scored in some football matches احسب الوسط الحسابي لعدد الأهداف في هذه المباريات. Calculate the mean of this numbers of goals. مثال 4: Number of goals Frequency 1 3 4 5 7 2 8 Total 10

Total number of goals (xf)
الحل: نقوم بإضافة عمود ثالث للجدول لكتابة حواصل ضرب كل عدد في التكرار المناظر له ثم جمعها كما هو مبين بالجدول المجاور وبالتالي ايجاد الوسط الحسابي باستخدام الصيغة السابق ذكرها كما يلي: 𝑥 = 𝑥𝑓 𝑓 = =5 Number of goals (x) Frequency (f) Total number of goals (xf) 1 3 4 5 20 7 2 14 8 Total 10 50 الجدول التالي يبين عدد أيام غياب عدد من الموظفين في إحدى الشركات The following table shows the number of absent’ days against to the number of employees in a company. أوجد الوسط الحسابي لعدد أيام الغياب.Find the mean for this absent’ days. تدريب 3: أمثلة و تدريبات الدرجات المبينة هي درجات 100 طالب في أحد الاختبارات: أوجد الوسط الحسابي لهذه الدرجات.Find the mean for this marks. تدريب 4: The marks obtained by 100 students in a test were as follows Mark x 5 6 7 8 9 Frequency (f) 25 28 27 11

الحل: ب) حساب الوسط الحسابي لجدول تكراري ذي فئات:
The mean of a grouped data: نتبع نفس الطريقة السابقة المستخدمة مع البيانات ذات التكرار البسيط مع استبدال الدرجات بمراكز الفئات أي أن xf ستكون حاصل ضرب مركز الفئة في التكرار المناظر لهذه الفئة. The calculation is the same as that used in the previous example, except that the xf is now the product of the midpoint of the interval multiplied by the frequency of the same interval. وسنوضح هذه الطريقة من خلال المثال التالي. الجدول المبين يعرض أطوال مجموعة مكونة من 50 طالباً اختيرت عشوائياً من طلاب الصف الحادي عشر. ماهو الوسط الحسابي لأطوال هذه المجموعة من الطلاب؟ الحل: نضيف للجدول عمود يلي عمود الفئات نحدد فيه مركز كل فئة من الفئات ثم نضيف عموداً آخر يلي عمود التكرار نكتب فيه حاصل ضرب مركز كل فئة في التكرار المناظر لها أي xf وبالتالي إيجاد مجموعها. مثال 5: Height (cm) Frequency (f) 150 –< 155 4 155 –< 160 7 160 –< 165 18 165 –< 170 11 170 –< 175 6 175 –< 180 Total 50 The showing table shows the heights of 50 randomly selected from Grade 11 students. What is the mean height of the students? Determine the midpoint of each class interval for a variable, add a column after first column to write the midpoints of sets, and another column after the frequency column to write the product of the midpoint of the interval multiplied by the frequency of the same interval, and find the sum of (xf).

وتتضح خطوات الحل من خلال الجدول التالي:
To illustrate the solution steps look at the following table: وباستخدام مجموع العمودين الأخيرين من الجدول يمكن ايجاد الوسط الحسابي كما يلي: 𝒙 = 𝒙𝒇 𝒇 = 𝟖𝟐𝟐𝟓 𝟓𝟎 =𝟏𝟔𝟒.𝟓 Height (cm) Midpoint x Frequency f Midpoint × Frequency x f 150 –< 155 152.5 4 610 155 –< 160 157.5 7 1102.5 160 –< 165 162.5 18 2925 165 –< 170 167.5 11 1842.5 170 –< 175 172.5 6 1035 175 –< 180 177.5 710 Total ----- 50 8225 أمثلة و تدريبات لأقرب سنتيمتر، تم تسجيل أطوال نوع من النبات لمدة 6 أشهر بعد زراعته. احسب الوسط الحسابي لهذه الأطوال Calculate the mean of this heights. تدريب 5: The heights to the nearest centimeter of a type of plant were recorded 6 months after planting. Height 3 - 5 6 - 8 9- 11 Frequency (f) 5 8 22 12

ثانياً: حساب الوسيط: Calculating the median
الوسيط هو أحد مقاييس النزعة المركز ية المشهور ة. ويعرف الوسيط لمجموعة من البيانات على أنه تلك القيمة التي تتوسط البيانات عند ترتيبها تصاعدياً (أو تنازلياً ) أي أنه تلك القيمة التي تقسم البيانات بعد ترتيبها إلى جزأين متساويين فتكون البيانات في الجزء الأول تقل عن أو تساوى الوسيط والبيانات في الجزء الثاني تزيد عن أو تساوى الوسيط . أي أن 50% من البيانات تساوي أو تقل عن الوسيط و 50% من البيانات تساوي أو تزيد عن الوسيط . 1) حساب الوسيط لعدة بيانات مفردة: Calculating the median for discrete data إذا كان عدد بيانات العينة هو n وكان قيم العينة هي 𝑥 1 , 𝑥 2 , ………, 𝑥 𝑛 فإن الوسيط (Median) له حالتان لإيجاده هما: أولاً: إذا كان حجم العينة nعدداً فردياً فإن: الوسيط = القيمة التي في منتصف البيانات بعد ترتيبها وهي القيمة ذات الترتيب 𝑛+1 2 * For an odd number of values: The median is the middle observation in the ordered list. The median is the ( 𝑛+1 2 )th item, where n is the number of values على سبيل المثال: For example: لحساب الوسيط لمجموعة المشاهدات التالية: To calculate the median for the following set of observations: , 5 , 2 , 12 , 9 , 8 , 7 نبدأ بترتيب القيم كما يلي: Start by sorting the values: 2 , 3 , 5 , 7 , 8 , 9 , 12 فيكون الوسيط (median) هو ( القيمة التي في منتصف القائمة المرتبة للقيم ) Then, the median is (the middle observation in the ordered list) ثانياً: إذا كان حجم العينة nعدداً زوجياً فإن: الوسيط = متوسط القيمتين اللتين في منتصف البيانات بعد ترتيبها وهما القيمتان المرتبتان ذاتا الترتيب 𝑛 و 𝑛 2

فعلى سبيل المثال: For example
** For an even number of values: the median is the arithmetic mean of the two middle observations in the ordered list. The median is the arithmetic mean of the ( 𝑛 2 )th and ( 𝑛 2 +1)th item, where n is the number of values. فعلى سبيل المثال: For example لحساب الوسيط لمجموعة المشاهدات التالية: To calculate the median for the following set of observations: , 6 , 13 , 1 , 10 , 4 نبدأ بترتيب القيم كما يلي: Start by sorting the values: 1 , 4 , 6 , 9 , 10 , 13 فيكون الوسيط (median) هو الوسط الحسابي للقيمتين 6 , 9 Then, the median is the arithmetic mean of the two values 6 , 9 أي أن الوسيط هو= 𝟔 + 𝟗 𝟐 = median 1) احسب الوسيط لعدد المجلات المشتراه من أحد المحلات ل 7 من الزبائن. 2) خلال الفصل الدراسي الأول ، حصل أحمد في التطبيقات القصيرة في الرياضيات على الدرجات90, 92, 93, 88, 95, 88, 97, 87, ماهي درجة التطبيق الوسيط . 2) 3) سجلت أعمار 10 من طلاب الجامعة. أوجد الوسيط إذا كانت الأعمار المسجلة هي: 18, 24, 20, 35, 19, 23, 26, 23, 19, 20 3) تدريبات : 1) Find the median number of magazines purchased in a store by 7customers. 1, 7, 9 , 7 , 3, 6 , 4 During the first semester of the study year, Ahmed's math quiz scores were 90, 92, 93, 88, 95, 88, 97, 87, and 98. What was the median quiz score? The ages of 10 college students are listed below. Find the median , 24, 20, 35, 19, 23, 26, 23, 19, 20

𝑛+1 2 = 38+1 2 = 19.5 فيكون 𝑛+1 2 وحيث أن الوسيط القيمة ذات الترتيب
2) حساب الوسيط لبيانات ممثلة في جداول تكرارية: Calculating the median for frequency table data: أ) حساب الوسيط لجدول تكراري بسيط: The median of an ungrouped data: في الجداول التكرارية البسيطة نوجد الوسيط بنفس طريقة حسابه بالنسبة للبيانات المفردة الأخذ في الاعتبار التكرار المناظر لكل مفرة في الجدول. و تتضح طريقة إيجاد الوسيط لجدول تكراري بسيط من خلال المثال التالي. البيانات التي في الجدول التالي تبين عدد الأشخاص الذين يجلسون على كل طاولة في أحد المطاعم. أوجد الوسيط لهذه البيانات. The data in the table below shows the number of people on each table at restaurant. Find the median of this data. الحل Solution العدد الكلي لقيم هذه المجموعة من البيانات هو مجموع التكرارات أي أن: 𝑛=38 The total number of data values is the number of tables in the restaurant. It is the sum of the frequencies, which is 𝑛=38 𝑛+1 2 = = 19.5 فيكون 𝑛+1 2 وحيث أن الوسيط القيمة ذات الترتيب أي أن الوسيط هو متوسط القيمتين رقمي 19 و 20 في ترتيب القيم The median is the average of the 19th and 20th data values. مثال 1: Number of people 5 6 7 8 9 10 11 12 Frequency 1 3 4 2

وكما هو مبين على الجدول:
البيانات من رقم 14 إلى من قيم البيانات رقم 25 كلها القيمة أقل من أو تساوي 8 13 data values of 8 or less The 14th to the 25th are all 9s فيكون الوسيط : ∴𝑡ℎ𝑒 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎𝑛= =9 Number of people 5 6 7 8 9 10 11 12 Frequency 1 3 4 2 أ) الجدول التالي يبين عدد ضربات الإرسال التي تم إحصاؤها لعدد من لاعبي كرة المضرب (التنس) في أول مجموعة لهم في إحدى المباريات. أوجد الوسيط لهذا العدد من الضربات. A) The table below shows the number of aces served by tennis players in their first set of a tournament. Find the median number of aces for these sets. ب) تصور أن فريق كرة السلة بمدرستك قد سجل هذا العدد من الضربات البعيدة المدى في 10 مباريات. فكم سيكون الوسيط؟ تدريب 1: Number of aces 1 2 3 4 5 6 Frequency 11 18 13 7 Number of home runs Frequency 4 1 5 2 6 7 8 9 B) Imagine that your school basketball team scores the following number of home runs in 10 games. what would the median be?

ب) حساب الوسيط لجدول تكراري ذي فئات: The median of a grouped data:
يلزم لحساب الوسيط لمجموعة من البيانات مسجلة في جدول تكراري ذي فئات تحديد الحدود الفعلية لفئات ، كذلك إضافة عمود للجدول لجمع التكرارات بصورة متتالية ويسمى بالتكرار المتجمع ( Cumulative Frequency ) والذي يتم من خلاله تحديد الفئة التي تحوي الوسيط وكذلك التكرارالمتجمع السابق لفئة الوسيط ومن ثم استخدام الصيغة التالية لحساب الوسيط: ترتيب الوسيط – التكرار المتجمع للفئة السابقة للفئة الوسيطية الوسيط = الحد الأدنى للفئة الوسيطية + ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ × طول الفئة تكرار الفئة الوسيطية حيث يرمز كل من: الحد الأدنى الفعلي للفئة الوسيطية - ترتيب الوسيط - التكرار المتجمع السابق للفئة الوسيطية - تكرار الفئة الوسيطية - طول الفئة وسنتناول طريقة حساب الوسيط للجدول التكراري ذي المجموعات من خلال المثال التالي.

Actual boundaries of sets Cumulative Frequency ( cf )
The table below shows the ages of 30 patients of a hospital at one day. Find the median age of these patients. الحل: solution نضيف للجدول عمود يلي عمود الفئات نحدد فيه الحدود الفعلية للفئات ( ونحصل عليها بطرح 0.5 من الحد الأدنى لكل فئة وجمع 0.5 على الحد الأعلى لكل فئة ) ثم نضيف كذلك عموداً آخر يلي عمود التكرار نوجد فيه التكرار المتجمع ( cf) وهوالذي ينتج من الجمع المتتالي للتكرارات كما هو مبين بالجدول التالي: ثم نتبع الخطوات التالية: مثال 2: الجدول التكراري الآتي يبين بيانات أعمار 30 مريض من مراجعي المستشفى في أحد الأيام. احسب العمر الوسيط لهؤلاء المرضى. Interval 12 – 14 15 – 17 18 – 20 21 – 23 24 – 26 27 – 29 Total Frequency 8 4 7 6 2 3 30 Sets Actual boundaries of sets Frequency ( f ) Cumulative Frequency ( cf ) 12 – 14 11.5 – 14.5 8 15 – 17 14.5 – 17.5 4 12 18 – 20 17.5 – 20.5 7 19 21 – 23 20.5 – 23.5 6 25 24 – 26 23.5 – 26.5 2 27 27 – 29 26.5 – 29.5 3 30 Total - 15

1) نوجد ترتيب الوسيط بقسمة مجموع التكرارات على 2 أي:= 15 = 𝟑𝟎 𝟐 𝒏 𝟐
2) نحدد مكان الوسيط بين القيم في عمود التكرار المتجمع لإيجاد التكرار المتجمع السابق لفئة الوسيط أي أن: 3) تكرار الفئة الوسيطية هو: 4) وطول الفئة 5) الحد الأدنى الفعلي للفئة الوسيطية هو: وباستخدام الصيغة يكون الوسيط : ∴𝒕𝒉𝒆 𝒎𝒆𝒅𝒊𝒂𝒏=𝟏𝟕.𝟓+ 𝟏𝟓 −𝟏𝟐 𝟕 ×𝟑 =𝟏𝟕.𝟓+𝟏.𝟐𝟗 =𝟏𝟖.𝟕𝟗 قيست أطوال 50 طالباً في إحدى المدارس وسجلت النتائج في الجدول المقابل احسب الطول الوسيط لهذه البيانات. A) The table at left shows the heights of 50 students in a school. Calculate the median height of this data set. تدريب 2: Height (cm) Frequency 150 to < 155 4 155 to < 160 7 160 to < 165 18 165 to < 170 11 170 to < 175 6 175 to < 180

الحل: ثالثاً: حساب المنوال: Calculating the mode
القيمة الأكثر شيوعاً. وقد لا يكون للقيم منوال وأيضاً قد يوجد لها منوالان (Bimodal) أو ثلاثة (tri modal) أو متعددة المنوال (Multimodal). وفي حالة بيانات الجدول التكراري ذي الفئات تكون الفئة المنوالية هي الفئة المقابلة لأكبر تكرار. المنوال = القيمة الأكثر تكراراً بين مجموعة القيم. In a set of data, the mode is the most frequently observed data value. There may be no mode if no value appears more than any other. There may also be two modes (bimodal), three modes (tri modal), or four or more modes (multimodal). In the case of grouped frequency distributions, the modal class is the class with the largest frequency. Mode = the most frequently observed data value 1) حساب المنوال لعدة بيانات مفردة: Calculating the mode for discrete data المنوال لعدة بيانات مفردة هو ببساطة القيمة الأكثر تكراراً بين القيم ، والمنوال لا يلزم لتعيينه ترتيب القيم و لا يحتاج إلى إجراء أي عمليات حسابية. The mode for discrete data is simply the most observed value. To work out the mode, observations do not have to be placed in order, although for ease of calculation it is advisable to do so. أوجد المنوال لمجموعة القيم التالية: For the following data set, find the mode الحل: حيث أن أكثر قيمة تكررت بين القيم هي 0 لذلك يكون المنوال Mode = 0 مثال 1 : 0, 0, 1, 0, 0, 2, 3, 1, 0, 1, 2, 3, 1, 0

أوجد المنوال لمجموعة القيم التالية: For the following data set, find the mode
الحل: حيث أن القيمتان 4 ، 7 تكررتا بنفس العدد كأكثر القيم تكراراً فإن هذه المجموعة من القيم This data set has two modes (Bimodal) = 4 & 7 مثال 2 : 7 , 3 , 4 , 9 , 4 , 7 , 5 , 2 , 7 , 5 , 4 لها منوالان وهما 7, 4 وتسمى مجموعة ذات منوالين Bimodal أوجد المنوال لمجموعة القيم التالية: For the following data set, find the mode 11 , 13 , 5 , 15 , 14 الحل: حيث أنه لا توجد بين القيم قيمة تكررت أكثر من غيرها لذا فإن هذه المجموعة من القيم ليس لها منوال مثال 3 : Since each value occurs only once in the data set, there is no mode for this set of data. أوجد المنوال لكل مجموعة القيم التالية: For each of the following data set, find the mode تدريب 1: 1) 14, 14, 15, 16, 14, 16, 16, 18, 14, 16, 16 2) 22 , 7 , 9 , 12 , 9 , 10 , 2 , 11 ,10 , 9 , 2 3) 2.7 , 3.5 , 4.9 , 5.1 , 8.3 4) -21 , 0 , +2 , -15 , 0 , +5 , -18 , +7 , 0 , -32 , +21

الحل Solution مثال 4: 2) حساب المنوال لبيانات ممثلة في جداول تكرارية:
Calculating the mode for frequency table data: أ) حساب المنوال لجدول تكراري بسيط: The mode of an ungrouped data: في الجداول التكرارية البسيطة يكون المنوال Mode هو القيمة التي تقابل أكبر تكرار كما يتضح من المثال التالي. البيانات التي في الجدول التالي تبين عدد الأشخاص الذين يجلسون على كل طاولة في أحد المطاعم. أوجد المنوال لهذه البيانات. The data in the table below shows the number of people on each table at restaurant. Find the mode of this data. الحل Solution حيث أن أكبر تكرار هو 12 فإن المنوال هو القيمة المناظرة له أي أن: Mode = 9 مثال 4: Number of people 5 6 7 8 9 10 11 12 Frequency 1 3 4 2 أوجد المنوال للتوزيع التكراري التالي: For of the following table, find the mode تدريب 1: Wages of workers 3800 4100 4400 4900 5200 5500 6000 Number of workers 12 13 25 17 15 6

The modal-class interval is 160 –< 165 cm
ب) حساب المنوال لجدول تكراري ذي فئات: The mode of a grouped data: * في الجداول التكرارية ذات الفئات تكتفي بعض المراجع الرياضية بتعيين الفئة المنوالية (Modal Class) وهي الفئة التي تناظر أكبر تكرار في الجدول التكراري. كما سنوضح ذلك من خلال المثال التالي. الجدول المبين يعرض أطوال مجموعة مكونة من 100 طالب من طلاب الصف الحادي عشر. حدد الفئة المنوالية لهذه الأطوال. الحل: يتبين من قراءة الجدول أن أكبر تكرار هو 33 لذا فإن الفئة المنوالية هي مثال 5: Height (cm) Frequency (f) 150 –< 155 14 155 –< 160 27 160 –< 165 33 165 –< 170 31 170 –< 175 26 175 –< 180 19 Total 100 The showing table shows the heights of 100 Grade 11 ‘ students. Determine the modal class for this heights. The modal-class interval is 160 –< 165 cm حدد الفئة المنوالية للتوزيع التكراري التالي: Determine the model class: تدريب 2: set 4 - 7 8 - 11 12- 15 Frequency 11 14 21 26 19 9

**وفي بعض المراجع الرياضية الأخرى تستخدم لحساب المنوال من الجداول التكرارية
ذات الفئات الصيغة التالية: Mode = حيث الحد الأدنى الحقيقي للفئة الوسيطية = 𝐿 1 زيادة تكرار الفئة المنوالية عن تكرار الفئة قبل المنوالية = ∆ 1 زيادة تكرار الفئة المنوالية عن تكرار الفئة بعد المنوالية = ∆ 2 طول الفئة المنوالية = C ولتطبيق هذه الطريقة سنناقش المثال التالي. الحل: نستخرج من الجدول المعلومات اللازمة لحساب المنوال والمتضمنة في الصيغة وهي: 𝐿 1 = , ∆ 1 =11−6=5 , ∆ 2 =11−8=3 , C = 2 وبالتعويض بهذه القيم نحصل على: مثال 5: Temperature ̊ Frequency 30 - 2 32 - 6 34 - 11 36 - 8 3 Total 30 الجدول المقابل هو بيان لدرجات الحرارة المسجلة في أحد أشهر السنة. احسب المنوال لهذه الدرجات. The opposite table shows the temperature degrees recorded in one month of a year. Calculate the mode for this degrees.

احسب المنوال للتوزيع التكراري التالي:
Calculate the mode for the following frequency distribution. تدريب 3: set 5 - 9 20 – 24 Frequency 11 14 21 26 19 أ) أوجد الوسط الحسابي و الوسيط والمنوال لمجموعة القيم التالية: التمارين الإضافية Find the mean, median, and mode for the following list of values: 1) 1, 2, 4, 7 2) 13, 18, 13, 14, 13, 16, 14, 21, 13 3) 8, 9, 10, 10, 10, 11, 11, 11, 13, 12 4) 18, 24, 20, 35, 19, 23, 26, 23, 19, 20 ب) أوجد الوسط الحسابي و الوسيط والمنوال للتوزيع التكراري التالي: B) Find the mean, median, and mode for the following table of values: Mark 1 2 3 4 Frequency 19 25 29 23

1) أوجد الوسط الحسابي و الوسيط والمنوال لكل من مجموعات القيم التالية:
الإحصاء Unit 7 Statistics ج) الجدول المجاور يبين أوزان مجموعة من الأطفال في أحد الصفوف. باستخدام هذه المعلومات: This table shows the weights of children in a class. Using this information: 1) احسب الوزن الذي يمثل الوسط الحسابي 1) Calculate the mean weight ) أوجد الفئة المنوالية 2) Find the modal class 3) احسب الوزن الوسيط 3) Calculate the median weight. 4) احسب المنوال لهذه الأوزان 4) Calculate the mode for this weights. Mass (m) kg Frequency 30 ≤ m < 40 7 40 ≤ m < 50 6 50 ≤ m < 60 8 60 ≤ m < 70 4 Total التمارين الداعمة 1) أوجد الوسط الحسابي و الوسيط والمنوال لكل من مجموعات القيم التالية: 1) Find the mean, median, and mode. 1) 239, 230, 500, 120 2) 32, 54, 87, 12, 30, 72, 13, 49, 80, 72 3) 34.9, 23.5, 83.7, 65.8, 34.9, 20 4) 73.3, 48.61, 45.4, 37.8, 210 5) 29.80, 27.39, 12.73, 49.80, 27, , 37.01 6) 0.4, 0.03, 0.2, 0.043, 0.015, 0.04, 0.08, 0.075 7) سجل فريق كرة القدم بإحدى الكليات عدد الحضور في 7 مباريات فكانت: 7) A college football team recorded attendance for its 7 home games. 24, , , , , , ,704 احسب كل من الوسط الحسابي و الوسيط والمنوال Find the mean, median, and mode.

في آخر اختبار ليحقق المعدل الذي يريده؟
2) حصل أحد الطلاب في اختباراته على الدرجات التالية 87 , 95 , 76 , 88 ، ويريد هذا الطالب الحصول على درجة 85 أو أكثر. ما هي أقل درجة يجب عليه أن يحصل عليها في آخر اختبار ليحقق المعدل الذي يريده؟ 2) A student has gotten the following grades on his tests: 87, 95, 76, and 88. He wants an 85 or better overall. What is the minimum grade he must get on the last test in order to achieve that average? 3) فيما يلي مقاسات القمصان المصنعة لدى أحد الخياطين وعدد المطلوب منها: 3) The size of shirts manufactured by a tailor are as follows: أوجد الوسط الحسابي و الوسيط والمنوال لهذه المقاسات. 1) Find the mean, median, and mode for these sizes. Size of shirts 32 33 35 36 37 39 42 Number of shirts 2 3 1 4 4) للتوزيع التكراري التالي أوجد: 4) For the following frequency distribution, find. أ) الوسط الحسابي A) The mean ب) الوسيط B) The median ج) الفئة المنوالية C) Modal Class د) المنوال D) The mode 3 7 Class interval Frequency 5 ≤ x < 10 10 ≤ x < 15 5 15 ≤ x < 20 20 ≤ x < 25 2 25 ≤ x < 30 4

مساحات و أحجام الأشكال الهندسية
الوحدة الثامنة : الهندسة و القياس 4 الوحدة 6 مساحات و أحجام الأشكال الهندسية

طول القوس ومساحة القطاع الدائري مساحات وأحجام الأشكال الهندسية
الفهرس رقم الصفحة اسم الدرس الرقم 61 طول القوس ومساحة القطاع الدائري 1 67 مساحات وأحجام الأشكال الهندسية 2 73 الانحراف عن الشمال 3 76 المقاييس المركبة 4 الفهرس

Arc Length and Area of Sector طول القوس ومساحة القطاع الدائري
8.1 الوحدة الثامنة Arc Length and Area of Sector طول القوس ومساحة القطاع الدائري الأهداف: Objectives: أن يكون الطالب قادرا̋ على أن: يحسب طول القوس ومساحة القطاع الدائري باستخدام القياس الستيني يحسب طول القوس ومساحة القطاع الدائري باستخدام القياس الدائري المعايير: Standards: 6.13 المصطلحات: Vocabulary : Centre مركز radiusنصف قطر Diameterقطر Circumference محيط الدائرة arc length طول القوس sector قطاع دائري تعريف القطاع الدائري: القطاع الدائري هو جزء من الدائرة محدود بقوس ونصفي قطر في الدائرة. A sector of a circle is a pie-shaped region bounded by an arc and two radii. طول القوس ومساحة القطاع الدائري: أولاً: حساب طول القوس ومساحة القطاع الدائري بالقياس الستيني (القياس الستيني هو الذي يكون فيه قياس الزاوية بالدرجات): calculate the arc length and area of a sector by degrees measure. (1 طول القوس بالقياس الستيني: Arc Length: (2 مساحة القطاع الدائري بالقياس الستيني: Sector Area: طول القوس ومساحة القطاع الدائري

مثال 1: تدريب 1: أولاً: باستخدام قانون طول القوس وبالتعويض بقيم Ѳ و r
الوحدة الثامنة مثال 1: أوجد طول القوس ومساحة القطاع الدائري في الدائرة التي نصف قطرها 15 سم وقياس زاويته المركزية 60° . Find the length of the arc and area of the sector of a circle with radius 15 cm and central angle 60°. الحل :Solution : أولاً: باستخدام قانون طول القوس وبالتعويض بقيم Ѳ و r وباستخدام الحاسبة نحصل على: ثانياً: باستخدام قانون مساحة القطاع الدائري تدريب 1: أوجد طول القوس ومساحة القطاع الدائري في الدائرة التي نصف قطرها 7 سم وقياس زاويته المركزية 120° . Find the length of the arc and area of the sector of a circle with radius 7 cm and central angle 120°.

The radian measure of a central angle Ѳ of a
تعريف القياس الدائري: القياس الدائري للزاوية المركزية Ѳ لدائرة يعرف بأنه النسبة بين طول قوس هذه الزاوية s مقسوماً على نصف قطر الدائرةr The radian measure of a central angle Ѳ of a circle is defined as the ratio of the length of the arc of the angle subtends, s, divided by the radius of the circle, r. أي: طول القوس ومساحة القطاع الدائري: ثانياً: حساب طول القوس ومساحة القطاع الدائري بالقياس الدائري Calculation of the arc length and area of a sector by radian measure. (1 طول القوس بالقياس الدائري: Arc Length: s = r Ѳ (2 مساحة القطاع الدائري بالقياس الدائري: Sector Area:

الوحدة الثامنة مثال 2: أوجد طول القوس ومساحة القطاع الدائري في الدائرة التي نصف قطرها 7 سم وقياس زاويته المركزية 2.5 راديان . Find the length of the arc and area of the sector of a circle with radius 7 cm and central angle 2.5 radians. الحل :Solution : أولاً: طول القوس s من القياس الدائري للزاوية Ѳ هو: s = r Ѳ وبالتعويض بقيم Ѳ و r = 7 × 2.5 = 17.5 cm ثانياً: مساحة القطاع الدائري A : وبالتعويض بقيم Ѳ و r تدريب 2: أوجد طول القوس ومساحة القطاع الدائري في الدائرة التي نصف قطرها 4 سم وقياس زاويته المركزية 5.1راديان. Find the length of the arc and area of the sector of a circle with radius 4 cm and central angle 5.1 radian.

التمارين الإضافية التمارين الداعمة
الوحدة الثامنة التمارين الداعمة (1 في الدائرة المبينة إذا كان r = 8 cm فأوجد كلاً من طول القوس AB ومساحة القطاع الدائري ABO 1) If r = 8 cm, find the length of arc AB and the area of the sector ABO. (2 الدائرة التي أمامك مبين عليها قياس الزاوية المركزية AOB للقوس AB بالتقدير الدائري وطول نصف قطرها r = 5 cm فأوجد كلاً من طول القوس AB ومساحة القطاع الدائري AOB For the circle shown, calculate: i) The length of the arc AB ii) The area of the sector AOB. التمارين الإضافية (1 رتب الأقواس التي في الشكل التالي ترتيباً تصاعدياً حسب أطوالها. Arrange the arcs in the figure in the ascending order of its lengths.

(2 إذا كان لدينا أنبوب للري طوله 450 متر.
(2 إذا كان لدينا أنبوب للري طوله 450 متر. فما هي المساحة التي يمكن ريها بعد دورانه بزاوية مقدرها بالقياس الدائري 2) If the irrigation pipe is 450 m in length, what is the area that can be irrigated after a rotation of radians? (3 قطاع دائري طول نصف قطره سم و قياس زاويته المركزية ° . ما هو محيط هذا القطاع الدائري ؟ 3) A circular sector with radius cm and central angle °. What is the perimeter of this sector? (4جزء من رصيف للمشاة على شكل قطاع دائري طول نصف قطره 1.25 متر و قياس زاويته المركزية 50.6 ° . ما هي مساحة هذا الجزء من الرصيف؟ 4) A section of side walk is a circular sector of radius 1.25 m and central angle 50.6°. What is the area of this section of sidewalk? (5إذا كان طول نصف قطر عجلة دراجة هوائية هو 50 سم. فكم عدد الدورات التي تدورها هذه العجلة إذا سارت الدراجة الهوائية لمسافة 270 متر ؟ 5) The radius of a bicycle wheel is 50 cm. How many revolutions does the wheel make when the bicycle travels 270 m?

مساحات وأحجام الأشكال الهندسية Areas and Volumes of Geometrical Shapes
8.2 الوحدة الثامنة مساحات وأحجام الأشكال الهندسية Areas and Volumes of Geometrical Shapes الأهداف: Objectives: أن يكون الطالب قادرا̋ على أن: يحسب مساحات وأحجام أشكال هندسية متنوعة. المعايير: Standards: 7.1 المصطلحات: Vocabulary : area مساحة Volume حجم Geometrical shape شكل هندسي تذكر أن: Shapes Formula Rectangle: A = lw P = 2l + 2w Parallelogram Area = Base X Height A = b.h P = 2a + 2b b Triangle Area = 1/2 of the base X height A = 1/2 bh Perimeter = a + b + c Trapezium Area Perimeter = a + b1 + b2 + c Circle Circumference c = pd = 2 pr Area A = pr2

Prisms Volume = Base X Height v = B h Surface area = 2B + Ph
Shapes Formula Rectangular Solid Volume = Length X Width X Height V = lwh Surface = 2lw + 2lh + 2wh Prisms Volume = Base X Height v = B h Surface area = 2B + Ph (B is the area of the base and P is the perimeter of the base) Cylinder Volume V = pr2 h Surface area = 2prh + 2pr2 Pyramid V = 1/3 Bh (B is the area of the base) Cones Volume V= 1/3 pr2h Surface area = pr2 + prs Sphere Volume V = 4/3 pr3 Surface Area = 4pr2

مثال 1: احسب مساحة الشكل المبين: الحل: Solution:
الوحدة الثامنة مثال 1: احسب مساحة الشكل المبين: Calculate the area of the shown shape الحل: Solution: Area of rectangle = 4 × 8 = 32 m² Radius of semicircle = 4 ÷ 2 = 2 m Area of semicircle = 1/2 × π × 2² ≈ 6.23 m² Total area = ≈ 38.3 m² تدريب 1: احسب مساحة كل شكل من الأشكال التالية: Calculate the area of each of the following shapes:

الوحدة الثامنة مثال 2: الشكل التالي يبين أن المنطقة غير المظللة هي لبطاقة دائرية تم قصها من متوازي الأضلاع. احسب مساحة المنطقة المظللة. The diagram shows a piece of card in the shape of a parallelogram, that had a circular hole cut in it. Calculate the area of the shaded part. الحل: Solution: Area of parallelogram = 11 × 6 = 66 cm² Radius of circle = 4 ÷ 2 = 2 cm Area of circle = π × 2² = 12.6 cm² Area of shape = 66 – 12.6 ≈ 53.4 cm² تدريب 2: الشكل التالي يبين طبق معدني مستطيل الشكل. تم قطع أربع قطع دائرية قطر كل منها 8 مم. احسب مساحة الجزء المتبقي من المعدن. A rectangular metal plate as shown in the diagram. Four holes of diameter 8 mm are drilled in the plate. Calculate the area of the remaining metal

مثال 3: تدريب 2: هذا الشكل مصمم باستخدام 3 أنصاف دوائر.
الوحدة الثامنة مثال 3: هذا الشكل مصمم باستخدام 3 أنصاف دوائر. This shape is designed using 3 semi-circles. أنصاف الأقطار لأنصاف الدوائر هي 3a , 2a , a . احسب مساحة هذا الشكل. The radii of the semi-circles are 3a, 2a and a. Find the area of this shape> الحل: Solution: Area first semicircle = 1/2 π r² = 1/2 π (3a)² = 4.5 π a² Area second semicircle = 1/2 π r² = 1/2 π (2a)² = 2 π a² Area third semicircle = 1/2 π r² = 1/2 π (a)² = 0.5 π a² Total area = 4.5 π a² + 2 π a² π a² = 6 π a² تدريب 2: احسب مساحة الشكل المبين ( الأجزاء التي تمثل منحنيات هي أنصاف دوائر ) Calculate the area of the shown shape. Each of the curved parts is a semicircle.

الوحدة الثامنة مثال 1: الشكل التالي يبين حوض مجهز للتركيب على سطح أحد المنازل. القطع العرضي للحوض عبارة عن نصف دائرة طول قطرها 20 سم. فكم لتراً من الماء يسع هذا الحوض؟ The diagram shows a gutter which is to be fitted to the roof of a house. The gutter has a cross-section which is a semi-circle with diameter 20 cm. How many litres of water can the gutter hold? الحل: Solution: الحوض عبارة عن نصف اسطوانة وكمية الماء التي يسعها هي حجم نصف الاسطوانة V = ⅟2 pr2 h = ⅟2 p × 102 × ( 10 m = 1000 cm ) = cm3 ≈ 157 litres تدريب 3: ما هو حجم الماء الموجود في الحوض الزجاجي المبين؟ What is the volume of water in the rectangular tank?

Bearing مثال (1): Earth’s surface. القياسات على الكرة الأرضية الأهداف:
8.3 الوحدة الثامنة Earth’s surface القياسات على الكرة الأرضية Bearing الانحراف عن الشمال : The great-circle distance is the shortest distance between any two points on the surface of a sphere measured along a path on the surface of the sphere مسافة أكبر دائرة هي أقصر مسافة بين نقطتين يمكن قياسها على سطح الكرة. Because the Earth is nearly spherical equations for great-circle distance can be used to roughly calculate the shortest distance between points (cities) on the surface of the Earth and so have applications in navigation. وباعتبار أن الكرة الأرضية شبه كروية فيمكن حساب المسافات بين النقاط ( المدن ) التي تقع على سطح الكرة الأرضية كما هي حسابات الدائرة والتي تعتبر أهم تطبيقات الملاحة ( الجوية أو البحرية). الأهداف: Objectives: أن يكون الطالب قادرا̋ على أن: يستخدم الانحراف عن الشمال وخطوط العرض والطول وخط الاستواء لإيجاد المسافة والموقع على سطح الكرة الأرضية. المعايير: Standards: 7.2 المصطلحات Vocabulary Bearings الانحراف عن الشمال Longitude خطوط الطول Latitude خطوط العرض great circle أكبر دائرة Hemisphere نصف الكرة الأرضية Equator خط الاستواء Nautical mile الميل اليحري (وحدة قياس الطول) الأسس مثال (1):

Activity : Modelling the Earth
الوحدة الثامنة An equator is the intersection of a Sphere’s surface with the plane perpendicular to the sphere's axis of rotation and containing the sphere's center of mass. The Equator refers to the earth’s equator and is an imaginary line on the Earth's surface equidistant from the North Pole and South Pole , dividing the Earth into the Northern Hemisphere and Southern Hemisphere. خط الاستواء :هو خط وهمي يمثل تقاطع سطح الكرة الأرضية مع سطح الأعمدة المقامة من مركز كتلة الأرض ومحاور الدوران للكرة الأرضية ، وهو على بعد متساو من القطب الشمالي والقطب الجنوبي أي يقسم الكرة الأرضية إلى النصف الشمالي من الكرة الأرضية والنصف الجنوبي. ( انظر الشكل ) Activity : Modelling the Earth Use an orange to make a model to represent the Earth. Use an atlas to mark on the North and South Poles and the locations of Bahrain and Tokyo. Use a string to find the shortest distance between the two locations. Cut the orange along the line of greatest distance and demonstrate that this splits the orange into two hemispheres. ( as shown in figure ) استخدم برتقاله لتمثيل الكرة الأرضية ، وبيّن عليها القطب الشمالي والجنوبي وخط الاستواء وباستخدام الخريطة حدد موقع مدينة طوكيو والبحرين ، ثم أحضر خيطا لتحديد المدينتين على البرتقالة ثم قم بقطع البرتقالة مارا بأكبر دائرة تقطع البرتقالة إلى نصفين متساويين. ( كما هو موضح بالرسم ) نشاط : تمثيل الكرة الأرضية الأسس

مثال (1): تدريب (1): تمرين : الوحدة الثامنة
From the map shown below, represent the longitude and latitude to identify places on a globe for the following cities: Q , P1 , E1 Solution: Q is 60°2′ N, 10°21′ W P1 is 55°3′ N, 5° 5′ E E1 is 0° N, 40°2′ E From the map shown above, represent the longitude and latitude to identify places on a globe for the following cities: P2 , E2 , P3 , Es On the map above plot the following cities : 1- Cairo is 30° 2′ N, 31° 5′ E. 2- Jakarta is 6° 5′ S, 106°48′ E. 3- Ankara 39° 5′ N, 32° 55′ E? حدد على الخريطة السابقة المدن التالية : تدريب (1): مثال (1): تمرين : من الخريطة المرسومة في الأسفل حدد خطوط الطول والعرض وأماكن المدن التالية : من الخريطة المرسومة أعلاه حدد خطوط الطول والعرض وأماكن المدن التالية

Compound measures. المقاييس المركبة
8.4 الوحدة الثامنة الأهداف: Objectives: أن يكون الطالب قادرا̋ على أن: يميز المقاييس المركبة يحل مسائل لفظية تتضمن المقاييس المركبة المعايير: Standards: 7.3 المصطلحات Vocabulary compound measure المقاييس المركبة Density الكثافة Speed السرعة Acceleration العجلة Rate معدل average speed متوسط السرعة population density الكثافة السكانية What do you mean by Compound Measure ? ما المقصود بالمقاييس المركبة ؟ A compound measure is made up of two (or more) other measures. المقاييس المركبة : هي وحدة قياس تتكون من وحدتي قياس أو أكثر. For example : Speed is a compound measure made up from a measure of length (kilometers) and a measure of time (hours). تعتبر وحدة قياس السرعة هي وحدة قياس مركبة من وحدة الطول ( كيلومتر ) ووحدة قياس الزمن ( الساعة ). What is the compound measures for each of the following giving an example for each: 1- Speed acceleration. 3- Density Population density Solution: 1- Speed = Distance / time ( km/h or km h-1 , m/s or m s-1 ) 2- acceleration = Distance / time2 ( m/s2 or m s-2 ) 3- Density = mass/volume ( kg/cm3 or kg cm-3 ) 4- Population density = number of people/ area ( people/km2 ) Compound measures المقاييس المركبة مثال :

تدريب 1: تمارين : الوحدة الثامنة
A train is travelling between two stations in 1.5 hours where the distance between them is 12km. What was the average speed of the train? يقطع القطار المسافة بين مدينتين في ساعة ونصف وكانت المسافة بينهما 12 كيلو متر . ما هي السرعة المتوسطة للقطار؟ 1- A cleaning solution uses 5 grams of powder to every 10 liters of water. a) What is the compound unit? b) How much powder would be needed for 6 liters of water? 1- تستخدم 5 جم من محلول للنظافة من البودرة لتنظيف 10 لترات من الماء. أ- ماهي الوحدة المركبة المستخدمة؟ ب - كم نحتاج من البوردة لتنظيف 6 لترات من الماء؟ 2- A man walks a distance of 24 meters in 10 seconds. Calculate his speed in k/h. 2- يتحرك رجل مسافة 24 كم في 10 ثواني. احسب سرعته بالكيلو متر / ساعة. 3- The number of citizen people in Al-Khor is Evaluate the population of Al-Khor if the area is 50 km2 . 3- إذا كان عدد المواطنين في مدينة الخور شخصا ومساحة الخور 50 كم2 . فاوجد الكثافة السكانية لمدينة الخور. تمارين : العدد العشري الدوري

4- A piece of a cubic wood has length 10 cm and mass 20 gm.
الوحدة الثامنة 4- A piece of a cubic wood has length 10 cm and mass 20 gm. Find the density of wood. 5- A car consume 6 galloon of petrol to travel 800 km. What is the compound unit? How much gallons of petrol would be needed for 1200 km? c) How much kilometers would be traveled for 10 gallons of petrol ? 6- On average, a nursing home for 16 people uses 40 kg of potatoes every 5 days. Complete the following statement. 6- في مركز للتمريض كان معدل استخدام 40 كيلوجراما من البطاطس لعدد 16 من المرضى خلال خمسة أيام. أكمل الجمل التالية : a) Each day 40 kg/5 = kg of potatoes are used. b) Each person would consume 8 kg/16 = kg each day The compound measure would be: kg per person per day. 4- قطعة من الخشب على شكل مكعب طول ضلعه 10 سم وكتلتها 20 جم. أوجد كثافة قطعة الخشب. ب- كم جالونا من البنزين تحتاج السيارة لقطع 1200كم ؟ حـ - كم كيلومترا تقطعه السيارة باستخدام 10 جالونات من البترول ؟ 5- تستهلك سيارة 6 جالون من البنزين لتفطع 800 كم . أ- ماهي وحدة القياس المستخدمة ؟ العدد العشري الدوري

عدد من أنصاف الدوائر مرسومة كما هو مبين على خط طوله 7 متر.
الوحدة الثامنة المشروع عدد من أنصاف الدوائر مرسومة كما هو مبين على خط طوله 7 متر. نصف الدائرة الأول طول نصف قطره 17 سم. نصف القطر لنصف الدائرة التالي طوله هو نصف طول نصف القطر لنصف الدائرة السابق له. ما هو مجموع أطوال الأقواس لكل أجزاء أنصاف الدوائر؟ Semi circles are drawn on a line of length 7 m as shown. The first semicircle has a radius of 17 cm. Radius of each consecutive semicircle is half the radius of the preceding semi circle. What is the sum of the arc lengths of all the semicircular portions? التكامل + المشروع

الوحدة التاسعة : العدد والجبر
Number and algebra المتتاليات والتعبيرات والصيغ الرياضية Sequences, expressions and formulae

83 المتتاليات 1 90 الصيغ الفيزيائية 2 95 ضرب الحدوديات 3 رقم الصفحة
الفهرس رقم الصفحة اسم الدرس الرقم 83 المتتاليات 1 90 الصيغ الفيزيائية 2 95 ضرب الحدوديات 3

المتتاليات Sequences مثال (1): الأهداف: أن يكون الطالب قادرا̋ على:
الوحدة التاسعة الجبر والأعداد 9.1 المتتاليات Sequences الأهداف: Objectives: أن يكون الطالب قادرا̋ على: إيجاد مجموع المتتالية الهندسية اللانهائية. . المعايير: Standards: 4.1 المصطلحات Vocabulary geometric sequence, متتالية هندسية infinite geometric series, متتالية هندسية لانهائية Sum مجموع common ratio أساس المتتابعة The properties of infinte geometric sequences: خواص المتتابعة الهندسية اللانهائية : درست فيما سبق المتتاليات وعرفت نوعين منها: المتتاليات الحسابية Arithmetic sequences والمتتاليات الهندسية Geometric sequences . فالمتتالية التالية تمثل متتالية حسابية : 4 , 7 , 10 , 13 , 16 , , , . . . حدها الأول هو 4 وأساسها ( مقدار الزيادة ) هو 3 وحدها العام هو Tn = a + ( n-1) d والمتتالية التالية تمثل متتالية هندسية : 4 , 8, 16 , 32 , 64 , , , . . . حدها الأول هو 4 وأساسها هو 2 وحدها العام هو un+1 = u1. r n Find the first term and common ratio of the following geometric sequence then find the 6th term and the sum of the first 6th terms. أوجد الحد الأول والأساس للمتتالية الهندسية التالية ثم أوجد الحد السادس ومجموع الحدود الستة الأولى. 2 , 6, 18 , 54 , , , . . . Solution: So, a = 2 , r = 6 ÷ 2 = 3 * Then: u6 = = 486 مثال (1):

تدريب (1): تمارين : ثم: ** الوحدة التاسعة الجبر والأعداد
Find the sum of the first 5th terms of the following geometric sequence. أوجد مجموع الحدود الخمسة الأولى للمتتالية الهندسية التالية . 64 , 32, 16 , 8 , , , . . . تمارين : 1- Find the sum of the first 6th terms of the following geometric sequence. 1- أوجد مجموع الحدود الستة الأولى للمتتالية الهندسية التالية . 1 , 3, 9 , 27 , , , . . . 2- Gasem invests $1000 in a bank at rate 5% annually. Find the balance after 4 years. 2- يستثمر جاسم مبلغ دولار بفائدة مركبة 5% سنويا . أوجد جملة المبلغ يعد 4 سنوات. ] استخدم القانون [ 3- $5000 is invested for 4 years at 7% per a year compound interest, compounded annually. What will it amount to at the end of this period? 3- استثمر مبلغ 5000 دولار لمدة 4 سنوات بفائدة مركبة 7% سنويا. أوجد جملة المبلغ في نهاية المدة؟

مثال (1): مجموع المتتالية الهندسية اللانهائية: الوحدة التاسعة
الجبر والأعداد 4- The initial population of rabbits on a farm was 50. The population increased by 7% each week. How many rabbits were present after 15 weeks. 4- مجموعة من الأرانب عددها 50 تزيد بمعدل 7% كل اسبوع . أوجد عدد الأرانب بعد 15 أسبوعا. The sum of Infinite geometric sequence مجموع المتتالية الهندسية اللانهائية: To evaluate the sum of geometric sequence, the common ratio ( r ) must be a fraction less then 1. The sum is given by the formula : where | r | < 1 لإيجاد مجموع المتتالية الهندسية اللانهائية لابد وأن يكون أساس المتتالية أقل من واحد أي كسراً حقيقيا و يعطى المجموع بالقانون التالي : حيث | r | < 1 Find the sum of the following infinite geometric sequence: أوجد مجموع المتتالية الهندسية اللانهائية التالية : 18 , 12 , 8 , Solution: مثال (1):

تدريب (1): الوحدة التاسعة الجبر والأعداد
A ball takes 1 second to hit the ground when dropped. It then takes 90% of this time to rebound to its new height and this continues until the ball comes to rest. تستغرق كرة ثانية واحدة لتصطدم بالأرض. وترتد في زمن 90% من الزمن السابق للوصول للإتفاع الجديد. وتستمر هكذا حتى تتوقف الكرة تماما. (a) Show that the total time of the motion is given by: أ – بين أن الزمن الكلي للحركة يعطى بالمعادلة التالية: ( 0.9 ) + 2 ( 0.9 ) ( 0.9 ) Find Sn for the series in (a) ب – أوجد المجموع Sn للمتسلسلة السابقة. ( c) How long does it take for the ball to be at rest? حـ – أوجد الزمن الكلي حتى تسكن الكرة تماماً. تدريب (1):

مثال (2): تدريب (2): الوحدة التاسعة الجبر والأعداد
Write as a rational number. اكتب الكسر الدوري على شكل كسر اعتيادي. Solution: Which is a geometric series with infinitely many terms. Consider اعتبر أن: which is an infinite geometric series. متتالية هندسية غير منتهية a) What are u1 and r ? b) Show that مثال (2): تدريب (2):

التمارين الإضافية: الوحدة التاسعة الجبر والأعداد
1- Write as a rational number : (a) (b) 2- Find the sum Sn for the following series: (c) 3- Find the sum of each of the following infinite geometric series: (b) …

المشروع الوحدة التاسعة الجبر والأعداد رقاقة الثلج : Snowflakes
Draw an equilateral triangle with sides 9 cm long. Divide each side into three and construct another equilateral triangle on the middle third of each side. Repeat the process to form the third snowflake design and again for the fourth, drawing equilateral triangles on the middle third of each side of the previous design. Calculate the length of the perimeter for each of the designs. • What happens to the length of the perimeter as the number of steps increases? • Evaluate the perimeter 4th step. • Write a rule to evaluate the perimeter nth step. [ Hint : Is it a geometric Or Arithmetic sequence or neither nor? ارسم مثلثا متساوي الأضلاع بطول 9 سم - كما بالشكل (1). قسّم كل جانب إلى ثلاثة أجزاء وبناء مثلث متساوي الأضلاع على الثلث الأوسط من كل جانب - كما بالشكل (2) والجزء المرسوم يسمى ندبة أو نتوء. كرر العملية السابقة مع كل ضلع للشكل (2) لتشكيل ندبات أخرى – كما بالشكل (3). احسب طول المحيط لكل من الأشكال السابقة. • ماذا يحدث لطول المحيط بعد زيادة كل خطوة؟ • أوجد محيط الشكل الرابع . • اكتب قاعدة لاستنتاج محيط أي شكل ناتج من تكرار السلسلة السابقة. مساعدة : قبل الإجابة ناقش - هل هي متتالية حسابية أو هندسية أم غير ذلك؟ الشكل (1) الشكل (2) الشكل (3)

9.2 الوحدة التاسعة الجبر والأعداد
الصيغ الفيزيائية : نستخدم كثير من الصيغ الرياضية في علوم الفيزياء ومنها على سبيل المثال ما يلي: معادلة حجم الهرم V الذي قاعدته مربعة الشكل تعطى بالقانون V = 1⁄3 b2h حيث b هو طول ضلع القاعدة و h الارتفاع العمودي على القاعدة. (1ما هو حجم الهرم عندما يكون طول ضلع القاعدة المربعة 5 سم والارتفاع 6 سم؟ (2هرم رباعي آخر طول ضلع قاعدته المربعة هو 4سم وحجمه 48سم3 . ماهو ارتفاعه العمودي؟ (3حجم هرم قاعدته مربعة هو 25سم3 وارتفاعه العمودي 12 سم . فما هو طول ضلع القاعدة ؟ من خلال المناقشة السابقة نحتاج لكتابة المعادلة بأكثر من صيغة وهذا ما يسمى إعادة ترتيب المعادلة أو القانون Rearrange Formulae Generate and use formulae from physical contexts such as: The formula for the volume V of a square-based pyramid is V = 1⁄3 b2h, where b is the base length and h is the perpendicular height. 1) A square-based pyramid has base length 5 cm and perpendicular height 6 cm. What is its volume? 2) A different square-based pyramid has base length 4 cm. Its volume is 48 cm3. What is its perpendicular height? 3) The volume of another square-based pyramid is 25 cm3. Its perpendicular height is 12 cm. What is its base length? Formulae from Physical Context: الأهداف: Objectives: أن يكون الطالب قادرا̋ على أن: إعادة ترتيب معادلة. إعادة ترتيب قانون فيزيائي. . المعايير: Standards: 4.7 المصطلحات: Vocabulary : Rearrange يعيد ترتيب Formulae معادلة / قانون Physical فيزيائي/ طبيعي Variable متغير

تدريب (1): الوحدة التاسعة الجبر والأعداد
The diagram shows a square, ABCD, of side length (p + q). Inside it a square, EFGH, of side length r. Write a simplified expression for: • the area of square EFGH (in terms of r); • the area of triangle DEH (in terms of p and q); • the area of square ABCD (in terms of p and q). الرسم يوضح مربع ABCD طول ضلعه ( p + q ) . يوجد بداخله المربع EFGH طول ضلعه r. أكتب تعبيرا رياضيا يمثل كل مما يلي : مساحة المربع EFGH بدلالة r. مساحة المثلث DEH بدلالة p و q. مساحة المربع ABCD بدلالة p و q. Square ABCD is made up from four congruent triangles and square EFGH. The four triangles are all congruent to triangle DEH. Use this information to write an expression in terms of p, q and r for the area of square ABCD. المربع ABCD يتكون من أربعة مثلثات متطابقة مع المثلث DEH والمربع EFGH. استخدم هذه المعطيات لكتابة تعبير جبري يمثل مساحة المربع ABCD بدلالة p , q و r . Use the two different expressions for the area of square ABCD to express r2 in terms of p2 and q2. استخدم التعبيرين الجبريين لتمثيل مساحة المربع ABCD بدلالة r2 و p2 , q2 تدريب (1):

مثال (1): تدريب (1): إعادة ترتيب الصيغ Rearrange formulae:
الوحدة التاسعة الجبر والأعداد تدريب (1): مثال (1): إعادة ترتيب الصيغ Formulae from science Rearrange and use formulae from science, such as: • The time for a pendulum swing is given by T2 = 4π2 l/g. Write the formula to give I in terms of g and T. أعد صياغة القوانين العلمية التالية : معادلة زمن تحرك البندول تعطى بالقانون T2 = 4π2 l/g. اكتب القانون بدلالة l. Solution: T2 = 4π2 l/g multiply both sides by ( g ) g T2 = 4π2 l divide both sides by (4π2 ) l = g T2 / 4π2 h = 1⁄2 gt2. Rewrite this to give t in terms of g and h. Ek = 1⁄2 mv2. What is v in terms of the other variables? Fg = Gm1m2/r2 . Rewrite this to give G in terms of Fg , m1 , m2 and r. What other rearrangements can you make that are equivalent? Rearrange formulae:

التمارين الإضافية الوحدة التاسعة الجبر والأعداد
1- There are five constant acceleration formulae commonly used in physics. These are: 1- أمامك خمسة قوانين ثابتة العجلة تستخدم في علم الفيزياء وهي كالتالي: • v2 – u2 = 2as • d = u + at • s = ut + 1⁄2 at2 • s = vt – 1⁄2 at2 • s = 1⁄2 (u + v)t What connections can you find between the equations? أ ) ما هو الرابط الذي يمكنك أن تجده بين المعادلات؟ b) Can you use any two of them to derive a third? ب ) هل يمكن استخدام أي معادلتين منهم لاشتقاق معادلة ثالثة؟ التمارين الإضافية

الوحدة التاسعة الجبر والأعداد 2- The formula that connects the volume V of an air bubble at the water surface, its initial volume U, and the distance d it has risen is: where V and U are in cm3 and d is in metres. 2- القانون الذي يربط حجم فقاعة هوائية V مغمورة في الماء بحجم ابتدائي U والمسافة التي يرتفعها d هو حيث V و U تقاس السم3 والمسافة d بالأمتار. At 50 metres below the water surface a bubble has a volume of 9.57 × 10–4 cm3. What is the volume of the bubble at the water surface? على بعد 50م تحت سطح الماء كان حجم الفقاعة 9.57 × 10–4 cm3 فما هو حجم الفقاعة عند سطح الماء؟ (b) The volume of a bubble at the water surface is 4 times its initial volume. By how many metres has the bubble risen? ب- حجم الفقاعة عند سطح الماء أربع أضغاف الحجم الإبتدائي . فكم مترا ارتفعت الفقاعة؟ ( c) At the water surface a bubble has a volume of 2.46 × 10–2 cm3. What was the initial volume of this bubble when it was 20 m below the water surface? حـ - حجم الفقاعة عند سطح الماء هو 2.46 × 10–2 cm3 . فماهو الحجم الإبتدائي للفقاعة عندما كانت على عمق 20 مترا تحت سطح الماء.

ضرب الحدوديات تمارين : 9.3 الوحدة التاسعة الجبر والأعداد
Multiply ( x + 2 ) ( x + 3 ) by using the diagram. مستخدما الشكل الذي أمامك اضرب ( x + 2 ) ( x + 3 ) بعد إجراء عملية الضرب نقوم بجمع الحدود المتشابه Like terms . Multiply the following by using suitable diagram. اضرب المقادير التالية باستخدام أشكال مناسبة . 3x ( x + 5 ) (b) (x + 1 ) ( x + 7 ) (c) (x - 4 ) ( x + 6 ) (d) (x - 2 ) ( x - 9 ) (e) (f) Multiply Polynomials : الأهداف: Objectives: أن يكون الطالب قادرا̋ على : ضرب الحدوديات . تبسيط الحدوديات. تحليل المقادير الجبرية . المعايير: Standards: المصطلحات: Vocabulary : Algebraic fractions الكسور الجبرية Factorise يحلل Simplify تبسيط surds. الجذور الصم x + 2 + 3 x2 3 x 2 x 6 x2 + 3x 2x + 6 x2 + 5x + 6 تمارين :

تمارين : الوحدة التاسعة الجبر والأعداد تحليل المقدار الجبري
حلل المقادير الجبرية التالية : x2 – 25 = x2 – 49 = 4 x2 – 81 = 16 x2 – y2 = x2 – 0.25 = x2 – a2 b2 = ( a + b )2 – 9 = ( a - 3 )2 – 16 = 1 – ( a + b )2 = 81 – ( a - 10 )2 = ( a + b )2 – ( a - b )2 = ( a - 3 )2 – ( a - 2 )2 = Factorising algebraic expression : Factorise expressions of the form a2x2 – b2y2 is ( a x – b y ) ( a x + b y ) تمارين : Factorise the following quadratic expressions :

التمارين الإضافية: الوحدة التاسعة الجبر والأعداد
1- Grains of rice are placed on each square of a chessboard. The board has 64 squares. One grain is placed on the first square, two on the second, four on the third, eight on the fourth, and so on. Calculate the total number of grains of rice on the chessboard. 1- تم وضع حبات من الأرز على لوحة الشطرنج ، والتي تتألف من 64 مربعاً. حيث تم وضع حبة أرز واحدة في المربع الأول ، وحبتان في المربع الثاني ، وأربعة حبات في المربع الثالث ، وثمانية حبات في المربع الرابع ، وهكذا. المطلوب : حساب العدد الإجمالي لحبوب الأرز التي تم وضعها على لوحة الشطرنج. If one kilogram of rice contains approximately 16 000 grains of rice. Estimate the weight of all the rice on the chessboard. وإذا علمت أن الكيلوجرام الواحد من الأرز تحتوي على ما يقرب من حبة من الأرز. المطلوب : تقدير وزن الأرز الذي تم وضعة على لوحة الشطرنج. 2- The sum of the infinite geometric series 1 – 1⁄2 + 1⁄4 – 1⁄8 + … is 2- مجموع المتتالية اللا نهائية 1 – 1⁄2 + 1⁄4 – 1⁄8 + … هو A. 5⁄ B. 2⁄ C. 3⁄ D. 3⁄2 3- Orange cost QR 1.5 each and apples cost QR 3.75 per kilogram. A man buys apples and orange at the supermarket. Write a formula to describe the total cost of his purchase. Investigate how many orange and how many kilograms of apples he could buy for QR 30 3- اشترى رجل برتقالا بسعر 1.5 ريالا ، وتفاحا بسعر 3.75 ريالا للكيلو الواحد. أكتب معادلة رياضية تحسب السعر الكلي لمشترواته. كم كيلوجراما من البرتقال والتفاح يستطيع أن يشتري بمبلغ 30 ريالا.

الوحدة التاسعة الجبر والأعداد 4- The volume of a solid cylinder of length h and radius r is V. (a) Find a formula for the curved surface area, A, of the cylinder in terms of r and h. (b) Use this formula to find a formula expressing V in terms of A and r. 4 - حجم اسطوانة دائرية قائمة هو V إرتفاعها h ونصف قطر قاعدتها r. أكتب صيغة لحساب مساحة سطحها الجانبي A بدلالة r و h. استخدم الصيغة السابقة لإيجاد صيغة للحجم V بدلاله A و r. 5- Find R in terms of R1 and R2 when 1/R = 1/R1 + 1/R2. 5 - إذا علمت أن المقاومة R تعطى بالقاعدة : 1/R = 1/R1 + 1/R2 أوجد R بدلالة R1 و R2 6- Simplify (2x – 3)(x2 + x – 10). 6 - ضع في أبسط صورة (2x – 3)(x2 + x – 10) 7- Without using a calculator, find the exact value of – 7- بدون استخدام الآلة الحاسبة أوجد القيمة الفعلية للمقدار : – 2.082 8- Explain why (a + b)2 ≠ a2 + b2. 8- اشرح لماذا (a + b)2 ≠ a2 + b2 9- Draw a diagram to represent the identity (a + b)2 = a2 + 2ab + b2. 9 - ارسم شكلا هندسيا يوضح أن : (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 10- Rationalise the expression 1/(√2 + √3). 10- اجعل المقام عددا صحيح للمقدار : 1/(√2 + √3)

الوحدة العاشرة الهندسة والقـياس 3
الخواص الهندسية للدوال المثلثية

الدوال المثلثية الأساسية رسم الدوال المثلثية الأساسية
الفهرس رقم الصفحة اسم الدرس الرقم 101 الدوال المثلثية الأساسية 1 105 رسم الدوال المثلثية الأساسية 2 الفهرس

الدوال المثلثية الأساسية The Main Trigonometric Ratios
10.1 الوحدة العاشرة الهندسة والقياس 3 الدوال المثلثية الأساسية The Main Trigonometric Ratios الأهداف: Objectives: أن يكون الطالب قادرا̋ على أن: يحسب الدوال المثلثية الأساسية Sin θ cos θ tan θ باستخدام الحاسبة المعايير: Standards: 6.10 المصطلحات Vocabulary Trigonometry حساب المثلثات circular functions الدوال الدائرية ِAn introduction مقدمة: كان أبو الوفاء من العلماء البارزين في الفلك والرياضيات. كما اعترف كثير من العلماء الغربيين بأنه من أشهر الذين برعوا في الهندسة. وترجع أهمية البوزجاني إلى إسهامه في تقدم علم حساب المثلثات، حيث يعترف "كارادي فو" بأن الخدمات التي قدمها أبو الوفاء لعلم المثلثات لا يمكن أن يجادل فيها، فبفضله أصبح هذا العلم أكثر بساطة ووضوحاً. فقد استعمل القاطع وقاطع التمام، وأوجد طريقة جديدة لحساب الجيب. كما أنه أول من أثبت القانون العام للجيوب في المثلثات الكروية. أما في الهندسة، فقد كان أبو الوفاء عالماً عبقرياً، حيث عالج عدداً من المسائل بخبرة كبيرة هل تعلم أنه: الأسس

إيجاد النسب المثلثية باستخدام الحاسبة:
Finding Trigonometric Ratios Using Calculator أولاً: إيجاد النسب المثلثية لزاوية معلومة باستخدام الحاسبة. مثال (1): Example (1) باستخدام الحاسبة أوجد قيمة كل مما يأتي مقرباً الجواب إلى 4 منازل عشرية: Using the calculator, find the answer of the following to 4 decimal places. 1) sin 49° 2) cos 27.53° 3) tan 26°35'57“ الحل Solution الحل هنا مجرد خطوة واحدة على الحاسبة 1) This is just one step on the calculator. sin 49° = 2) وهنا أيضاً الحل خطوة واحدة بالحاسبة 2) This is also just one step on calculator cos 27.53° = 3) لكن هنا نحتاج إلى إدخال الزاوية بالدرجات و الدقائق و الثواني: 3) For this next one, you need to make sure that you know how to enter an angle in DMS form (degrees - minutes - seconds). tan 26° 35' 57" =

تدريب1 1) cos 18° 2) tan 51.9° 3) sin 26° 22' 15“
باستخدام الحاسبة أوجد قيمة كل مما يأتي مقرباً الجواب إلى 4 منازل عشرية: Using the calculator, find the answer of the following to 4 decimal places. 1) cos 18° 2) tan 51.9° 3) sin 26° 22' 15“ ثانياً: إيجاد الزاوية بمعلومة النسبة المثلثية باستخدام الحاسبة. Finding Angles Given The Trigonometric Ratio الآن نحن نعلم قيمة النسبة المثلثية ولكن لا نعلم الزاوية الأصلية فانظر إلى المثال التالي : We are now going to work the other way around. We may know the final trigonometric ratio, but we don't know the original angle. مثال (2): Example (2) أوجد θ للنسبة المثلثية المعطاة: Find θ, given that tan θ = and 0° ≤ θ < 90°. الحل Solution: نحتاج إلى استخدام الدالة العكسية للدالة tan . إجابتنا يجب أن تكون قياس زاوية. We need to use the inverse tangent function. The answer will be an angle لذلك نستخدم التعبير "tan-1" من خلال استخدام المفتاحين SHIFT و tan فنحصل على: So we use the "tan-1" button, by using the two keys SHIFT tan and we have: θ = tan = °.

تدريب2 التمارين الداعمة 1) sin 18.34° 2) cos 5° 34' 72" 3) tan 73°
إذا كان sin-1 0.935 = x أوجد قيمة x مقرباً الجواب إلى 3 منازل عشرية If sin-1 0.935 = x find the value of x to the nearest 3 decimal places التمارين الداعمة 1) باستخدام الحاسبة أوجد قيمة كل مما يأتي مقرباً الجواب إلى 4 منازل عشرية: 1) Using the calculator, find the answer of the following to 4 decimal places. 1) sin 18.34° 2) cos 5° 34' 72" 3) tan 73° 2) أوجد θ حيث (0° ≤ θ < 90°) في الحالات التالية: 2) Find θ (0° ≤ θ < 90°) given that 1) sin θ = 2) tan θ = 3.689 3) cos θ = 4) sin θ =

رسم الدوال المثلثية الأساسية Graphing Trigonometric Ratios
10.2 الوحدة العاشرة الهندسة والقياس 3 رسم الدوال المثلثية الأساسية Graphing Trigonometric Ratios الأهداف: Objectives: أن يكون الطالب قادرا̋ على أن: يرسم الدوال المثلثية الأساسية Sin θ cos θ tan θ المعايير: Standards: 6.8 6.11 6.12 المصطلحات Vocabulary Trigonometry حساب المثلثات circular functions الدوال الدائرية استخدام دائرة الوحدة في رسم الدوال المثلثية : Using The Unit Circle to draw trigonometric functions. استرجاع مفهوم دائرة الوحدة Recall the unit circle الأسس

مثال 1 Finding the value of sine and cosine using the unit circle
الوحدة العاشرة الهندسة والقياس Finding the value of sine and cosine using the unit circle مثال 1

الوحدة العاشرة الهندسة والقياس تدريب 1: Find the value of sin θ and cos θ if the final side for θ cuts the unit circle at the point p(3/5, 4/5)? حقائق حياتية في حياتنا اليومية كثيرا ما نرى أسعار لبعض السلع تزيد وتنقص في أيام العام والتي يمكن تمثيل ارتفاع وانخفاض هذه الأسعار بالدوال الدورية مثل Sin θ وcos θ وكثيرا ما نرى فى مجال الطب تطبيقات للدوال الدورية كمثال لذلك دقات القلب وغيرها من التطبيقات العلمية الأخرى والتي تفيد في تشخيص وعلاج الأمراض والتي تساهم في أن يعيش الإنسان حياة أفضل

بعض الزوايا الخاصة cos لاحظ أن:

مثال 2 من الزوايا الخاصة والملاحظة السابقة ارسم منحنى الدالتين sin θ , cos θ الحل: نقوم بتمثيل الأعداد التي تمثل كلاً من sin θ و cos θ كما يلي: وبتحديد النقاط من صفر إلى 2π يمكن رسم النقاط باليد لأنها منحنى ثم نرسم المنحنى للدالة sin θ

Find the exact value for
تدريب 2 حاول رسم الدالتين من خلال الجدول في الصفحة السابقة ثم قارن بالحل الصحيح التالي: لاحظ أيضاً أن: مثال 3 Find the exact value for تدريب 3 : Calculate using the unit circle أوجد قيمة ما يأتي مستخدما دائرة الوحدة a) b)

مثال 4 ارسم منحنى الدالة y=sin θ في الفترة من -2πإلى 2π الحل: أولا: نقوم بعمل جدول لقيم الزواية θ والنسبة المقابلة sin θ لكل منها. ثانيا: نستخدم بالجدول القيم الممثلة لمجال الدالة وهو من 2π- إلى 2π ثالثا: نرسمها في الفترة المذكورة والآن حان دور الرسم

تدريب 4 ارسم منحنى الدالة y=-sin θ في الفترة من -2π إلى 2π ماذا تلاحظ ؟ مثال 5 ارسم منحنى الدالة y = cos θ في الفترة من -2π إلى 2π الحل نتبع نفس الخطوات التي اتبعناها في رسم منحنى دالة Sin السابقة كما يلي: أولا نقوم بعمل جدول لقيم الزواية θ والنسبة المقابلة cos θ لكل منها. ثانيا نستخدم بالجدول القيم الممثلة لمجال الدالة وهو من 2π- إلى 2π ثالثا نرسمها في الفترة المذكورة مرة أخرى حان دور الرسم

ارسم منحنى الدالة y=-cos θ في الفترة من -2π إلى 2π ماذا تلاحظ ؟
تدريب 5 ارسم منحنى الدالة y=-cos θ في الفترة من -2π إلى 2π ماذا تلاحظ ؟ مثال 6 ارسم منحنى الدالة y = tan θ في الفترة من -2πإلى 2π ماذا تلاحظ؟ Graph the function y = tan(x) in the interval -2π to 2π , what do you notice? الحل في البداية يجب تذكر أن: Remember that: نقوم بعمل جدول لقيم الزواية θ والنسبة المقابلة tan θ لكل منها والذي ينتج من قسمة القيم المتناظرة لكل من sin θ و cos θ من الجدولين السابقين. مع ملاحظة أن القيمة تكون غير معرفة عند القسمة على 0 ثم نرسم الدالة في الفترة المذكورة للقيم المعرفة.

تدريب 6 ارسم منحنى الدالة y = - tan θ في الفترة من -2πإلى 2π ماذا تلاحظ؟ مثال 7 ارسم منحنى الدالة y=2sin x في الفترة من -2π إلى 2πوقارنها مع y=sin x الحل لقيمة x المعطاة فإن قيمة y هي ضعف القيمة في حالة y = sin x كما هو مبين بجدول القيم. التغيير الوحيد في الرسم البياني سيكون في مدى الدالة فإنه سيكون [ -2 , 2 ] كما في الشكل التالي والذي يتضمن الشكل البياني للدالة y = sin x من أجل المقارنة بينهما. تدريب 7 ارسم منحنى الدالة y=2cos θ في الفترة من -2πإلى 2π قارنها مع y=cos θ

ثم أثبت العلاقة لأي مثلث.
مثال 9 باستخدام دائرة الوحدة أثبت أن: Sin 2 θ + cos2 θ = 1 ثم أثبت العلاقة لأي مثلث. الحل نعلم من دائرة الوحدة أن: ويمكن إثبات العلاقة لأي مثلث كالآتي:

ملاحظة باستخدام العلاقة السابقة يمكن الحصول على إحدى النسبتين بدلالة الأخرى كما هو مبين فيما يلي: مثال 10 إذا كان sin Ѳ = ⅟4 فأوجد جميع القيم الممكنة للدالة cos Ѳ . الحل: بتربيع طرفي المعادلة: فيكون: ثم بأخذ الجذر التربيعي للطرفين نحصل على ويمكن حل هذا المثال باستخدام المثلث المبين بوضع البيانات عليه وبالتالي إيجاد cos Ѳ.

ارسم منحنى الدالة y = cos ⅔Xلدورة واحدة
تدريب 9 مستخدما الملاحظة السابقة أوجد جميع القيم الممكنة للدالةcos x إذا علمت أن Sin x = 1/2 مثال 11 ارسم منحنى الدالة y = cos ⅔Xلدورة واحدة ويصبح الرسم كما هو مبين على اليسار.

(1صل كل دالة بالرسم البياني الممثل لها في التمارين من 1 إلى 4 التالية:
التمارين الداعمة (1صل كل دالة بالرسم البياني الممثل لها في التمارين من 1 إلى 4 التالية: In Exercises 1–4, match each function with its graph. 2) أوجد قيم sinθ ° , cos θ ° , tan θ ° إذا كان الضلع النهائي للزاوية θ يقطع دائرة الوحدة في النقطة P في كل مما يأتي: 2 ) find the value of sinθ , cos θ ° and tan θ if the final side for θ cuts the unit circle at the point p for each of the following:

(3ارسم منحنى الدالة y= cos θ في الفترة -2π إلى 2π
( 4ارسم منحنى الدالة y= tan θ في الفترة -2π إلى 2π ( 5 ارسم منحنى الدالة y= 1.5sin θ في الفترة -2π إلى 2π ( 6 ارسم منحنى الدالة y= -3cos θ في الفترة -2π إلى 2π ( 7ارسم منحنى الدالة y= 2tan θ في الفترة -2π إلى 2π ( 8 ارسم منحنى الدالة y= tan (θ/2 ) في الفترة -2π إلى 2π ( 9 ارسم منحنى الدالة y= -sin (θ/2 ) في الفترة -2π إلى 2π ( 10ارسم منحنى الدالة y= -cos (θ/2 ) في الفترة -2π إلى 2π (11ارسم منحنى الدالة y= sin (-θ) في الفترة -2π إلى 2π

(12مستخدما دائرة الوحدة أوجد:
Find :, Using the unit circle relation Sin 45 ° Sin 135 ° What do you notice ? ماذا تلاحظ ؟ What is the relation between sin θ and sin(180- θ) ? ما هي العلاقة بين sin θ و sin(180- θ) 13 ) Using the unit circle relation باستخدام دائرة الوحدة هل تستطيع أن تثبت أن Can you prove that sin θ = -sin θ Justify your answer فسر إجابتك. 14 ) Using the unit circle relation What is the relation between cos θ and cos (180- θ) ? Justify your answer. ما هي العلاقة بين cos θ و cos (180- θ)؟ 15) In the figure shown: في الشكل المقابل If sin s =0.46 , Using the unit circle relation, أوجد قيمة كل من: find the value of cos s tan s

16 ) Look at opposite photo
City firefighters are told that they can use their 1 - hm (hectometer) long ladder provided the measure of the angle that the ladder makes with the ground is at least 15° and no more than 75° من الشكل المقابل أخبر رجال المطافئ انه يمكن يستخدموا سلم المطافئ والذي طوله 1هيكتوميتربزاوية ميل على الأرض لا تقل عن 15 درجة ولا تزيد عن 75 درجة If θ represents the measure of the angle that the ladder makes with the ground in radians, what is a reasonable set of values for θ? Explain. ما هي قيم θ الممكنة ؟وضح ؟ b. Express as a function of θ, the height h of the point at which the ladder will rest against a building. ؟h و θ عبر عن العلاقة بين c. Graph the function from part (b) using the set of values for θ from part (a ) as the domain of the function. ؟h و θ ارسم العلاقة بين d. What is the highest point that the ladder is allowed to reach? ما هو أعلى ارتفاع يمكن أن يصله سلم المطافئ ؟

17 ) Graph over one period using the preceding guidelines.
17) ارسم الشكل البياني لدورة واحدة للدالة التالية: 17 ) Graph over one period using the preceding guidelines. y = - 2 sin 3x المشروع

الوحدة الحادية عشر : الجبر 2
Algebra 2 خواص الدوال والمتباينات Properties of functions and inequalities

خواص الدوال والمتباينات مماس الدالة عند نقطة واقعة عليه
الفهرس رقم الصفحة اسم الدرس الرقم 125 خواص الدوال والمتباينات 1 130 مماس الدالة عند نقطة واقعة عليه 2 135 المتباينات الخطية 3

خواص الدوال والمتباينات Properties of functions and inequality
الوحدة الحادية عشر الجبر 2 11.1 خواص الدوال والمتباينات الأهداف: Objectives: أن يكون الطالب قادرا̋ على أن: يستخدم الآلة الحاسبة الرسومية لرسم الدالة. يصنف الدالة صريحة أو ضمنية. . المعايير: Standards: 5.1 5.6 المصطلحات Vocabulary Plot يرسم Function. دالة Slope. ميل المستقيم implicit form. صورة ضمنية explicit form. صورة صريحة Continuous. متصلة Discontinuous. غير متصلة Properties of functions and inequality الدالة الصريحة والدالة الضمنية : Explicit and implicit form: الخط المستقيم على الصورة الصريحة y = mx + c يعبر عن دالة. أما الخط المستقيم على الصورة الضمنية ax + by + c = 0 قد يعبر أو لا يعبر عن دالة. A straight line in the explicit form y = mx + c represents a function, but a straight line in the implicit form ax + by + d = 0 may, or may not, be a function. Use a graphics calculator to plot the function y= 2x+1 then find the slope and y-intercept. باستخدام آلة حاسبة رسومية أو أي برنامج رسومي : ارسم الدالةy= 2x +1 ثم أوجد ميل المستقيم ونقطة التقاطع مع محور y. Solution: The slop is m=2 Y-intercept is (0,1) مثال (1):

الوحدة الحادية عشر الجبر 2 تدريب (1): Write equations for the lines that form the sides of the rectangle shown. اكتب معادلة المستقيمات للمستطيل المرسوم أمامك. Which of these are implicit functions and which are explicit? أ- أي منها دالة صريحة أو دالة ضمنية ؟ Are there any lines that cannot be written in explicit form? Why? هل يوجد أي خط مستقيم لايعبر عن دالة صريحة؟ ولماذا؟ تدريب (2): Write an equivalent equations for the following functions as an explicit : اكتب المعادلة المكافئة على الصورة الصريحة لكل من الدوال التالية: 2x – y + 3 = 0 4x – 2y - 7 = 0 x = 1⁄2(y – 3)

مثال (2): الدالة متصلة ومتزايدة على مجالها R وتمر بالنقطة ( 0 ، 0 ).
الوحدة الحادية عشر الجبر 2 مثال (2): Use a graphics calculator or graph plotting software such as Autograph to graph a range of the following functions and classify them, and note their distinctive features باستخدام الآلة الحسبة البيانية أو أي برنامج آخر ارسم الدوال التالية وحدد الصفات المميزة لكل منها . Solution: الدالة متصلة ومتزايدة على مجالها R وتمر بالنقطة ( 0 ، 0 ). الدالة متصلة على مجالها R ومتزايدة من إلى a ومن b إلى ومتناقصة على الفترة من a إلى .b

f) الدالة منفصلة ( غير متصلة ) عندما x = 0 ومتناقصة على مجالها R- {0}
الوحدة الحادية عشر الجبر 2 الدالة منفصلة ( غير متصلة ) عندما x = 0 ومتناقصة على مجالها R- {0} الدالة منفصلة ( غير متصلة ) عندما x = 0 ومتصلة على مجالها R- {0} ومتزايدة عندما R < 0 ومتناقصة عندما R > 0 الدالة متصلة ومتزايدة على مجالها R ≥ 0 وتمر بالنقطة ( 0 ، 0 ) الدالة منفصلة ( غير متصلة ) عندما x = 0 ومتناقصة على مجالها R- {0} f)

التمارين الإضافية: الوحدة الحادية عشر الجبر 2
1- Solve the following linear equations: 1- أوجد مجموعة حل المعادلات التالية : y = 4x – 1 y = 2x – 4 y = 6 – x 2x – y +4 = 0 2- Solve the system of the following simultaneous equations: 2- أوجد مجموعة حل المعادلات الآنية التالية : a) x + y = 3 x - y = 1 b) x + y = 4 2x - y = 2 c) x + y = 5 2x - 3y = 0 d) y = 5 y = 2x + 1

مثال (1): مماس الدالة عند نقطة واقعة عليه: الوحدة الحادية عشر 11.2
الجبر 2 11.2 مماس الدالة عند نقطة واقعة عليه: The tangent line at a point on the graph of a function. المماس هو مستقيم يمس محنى الدالة عن نقطة واحدة. Graph the quadratic function y = x2, then draw the tangents at the points shown below. Write your comments, the describe the behavior of the function at these points. ارسم الدالة التربيعية y = x2 ثم ارسم مماسات لهذا المنحنى عند النقاط التالية: x = 1 and x = 2 x = -1 and x = -2 x = 0 اكتب تعليقك على المماسات والمنحنى وصف سلوك الدالة عند هذه النقاط. Solution: The graph of the function y = x2 is shown below and the doted points are at x = - 2 , x = - 1 , x = 0 , x = 1 and x = 2 الأهداف: Objectives: أن يكون الطالب قادرا̋ على أن: رسم الدالة ورسم المماس لها عند نقطة. وصف الدالة من حيث التزايد/التناقص/ نقطة ثبات من خلال ميل المماس. المعايير: Standards: 5.3 5.7 المصطلحات: Vocabulary : Tangent مماس Stationary, نقطة ثبات Piecewise function دالة مجزأة Gradient ميل المماس Slope Rate of change معدل التغير Symmetry التماثل/التناظر مثال (1):

الوحدة الحادية عشر الجبر 2
The tangent at x = 1 and x = 2 are shown: You can note that: “ The tangent construct an acute angles with x-axis which means the gradient is positive. That’s implies the function y = x2 is increasing at that points. ” b) The tangent at x = -1 and x = -2 are shown: “ The tangent construct an obtuse angles with x-axis which means the gradient is negative . That’s implies the function y = x2 is decreasing c) The tangent at x = 0 : “ The tangent constructs a zero angle with x-axis i.e. parallel to x-axes which means, the gradient is zero. That’s implies the function y = x2 is neither increasing nor decreasing at x=0. It is called ( Stationary point ): Where the function goes from decreasing to increasing at the point x=0 ( or vise versa ) ” نلاحظ أن المماسات عند x = 1 , x = 2 تصنع زاوية حادة مع محور x لذلك نستنتج أن ميل المماس يكون موجبا وتكون الدالة متزايدة عند تلك النقاط. نلاحظ أن المماسات عند x = - 1 , x = - 2 تصنع زاوية منفرجة مع محور x لذلك نستنتج أن ميل المماس يكون سالبا وتكون الدالة متناقصة عند تلك النقاط. نلاحظ أن المماس عند x = 0 يصنع زاوية صفرمع محور x ( أي يوازيه ) لذلك نستنتج أن ميل المماس يكون صفرا وتسمى عندها النقطة بنقطة ثبات أي أن الدالة ليست متزايدة ولا متناقصة وإنما تتحول الدالة من تناقص إلى تزايد أو العكس.. العدد العشري الدوري

تدريب (1): الوحدة الحادية عشر الجبر 2
The graph shown below is for the piecewise function . Describe the behavior of the function at x = -3 , x = -1 , x = 0 and x= 3 تدريب (1): الرسم الموضح هو رسم الدالة المجزأة . صف سلوك الدالة عند النقاط x = -3 , x = -1 , x = 0 and x s= 3 التمارين الإضافية Graph the following piecewise function . Describe the behavior of the function at x = -3 , x = -2 , x = 1 and x= 3 ارسم الدالة المجزأة التي أمامك . صف سلوك الدالة عند النقاط

مثال (2): الوحدة الحادية عشر الجبر 2 نقط تقاطع الدالة مع محوري x و y
Intercept on the x- or y-axis نقط تقاطع الدالة مع محوري x و y To find y-intercept we substitute x= 0 In the equation. Also to find x-intercept we substitute y= 0 In the equation لإيجاد نقط تقاطع الدالة مع محورy نضع ( x = 0) ولإيجاد نقط تقاطع الدالة مع محورx نضع ( y = 0) مثال (2): Find y-intercept and x-intercept for the following equations : أوجد نقاط التقاطع مع محوري x و y لكل من المعادلات التالية: y = 2 x – 8 3 x – 5y – 15 = 0 Solution : y = 2 x – 8 Put x = 0 y = 2 (0) – 8 = – 8 Then y-intercept is y = – 8 y = 2 x – 8 Put y = 0 0 = 2x – 8 2x = 8 x = 4 Then x-intercept is x = 4 3 x – 5y – 15 = 0 put x = 0 3 (0) – 5y – 15 = 0 – 5y – 15 = 0 – 5y = 15 y = – 3 Then y-intercept is y = – 3 3 x – 5y – 15 = 0 put y = 0 3 x – 5(0) – 15 = 0 3 x – 15 = 0 3 x = 15 x = 5 Then x-intercept is x = 5

تدريب (2): الوحدة الحادية عشر الجبر 2
Find y-intercept and x-intercept for the following equations : أوجد نقاط التقاطع مع محوري x و y لكل من المعادلات التالية: y = 3 x + 12 2 x – 3y – 18 = 0 التمارين الإضافية 1- Find y-intercept and x-intercept for the following equations : 1- أوجد نقاط التقاطع مع محوري x و y لكل من المعادلات التالية: y = 4 x + 4 3 x – 4y – 12 = 0 y = x x – 2y = 8 y = x 4 x – 5y = 0 2- If the x-intercept is ( 3 , 0 ) and y-intercept is ( 0 , 2 ) of a line , find the linear equation. 2- إذا كانت نقطة تقاطع مستقيم مع محور x هي ( 3 , 0 ) و نقطة تقاطعه مع محور y هي ( 0 , 2 ) ، فأوجد معادلة المستقيم. تدريب (2):

مثال تمهيدي : 11.3 الوحدة الحادية عشر الجبر 2 linear inequality
المتباينات الخطية الأهداف: Objectives: أن يكون الطالب قادرا̋ على أن: يرسم منطقة الحل لمتباينة معطاة . المعايير: Standards: 5.8 المصطلحات: Vocabulary : linear inequality متباينات خطية Regions منطقة مثال تمهيدي : The next graph represent the function y = 2x + 3. الرسم التالي يمثل الدالة y = 2x + 3 Discuss the following question with your colleague: ناقش مع زميلك الأسئلة التالية. a) Where are the points that have y equal to 2x + 3? أ- أين تقع النقاط التي تحقق المعادلة y = 2x + 3 ؟ b) Where are the points that have y less than 2x + 3? ب- أين تقع النقاط التي تحقق المتباينة y < 2x + 3 ؟ c) Where are the points that have y greater than 2x + 3? حـ- أين تقع النقاط التي تحقق المتباينة y > 2x + 3 ؟ d) How can we show this on the graph? د- كيف يمكن تمثيل ذلك على الرسم ؟ e) What would be a quick way to find out which side of the line we need? ه- هل هناك طريقة سريعة لإيجاد المنطقة المراد تحقيقها ؟

الوحدة الحادية عشر الجبر 2
Solution: The quick way to find out which side of the line we need is to check any random point like ( 0 , 0 ). أسرع طريقة لتحديد المنطقة المطلوبة هي أن نختار نقطة عشوائية ولتكن (0 و 0 ) If the point satisfy the inequality, so we must shade the region which contain the checked point else we shade the other region. إذا كانت هذه النقطة تحقق المتباينة نقوم بتظليل المنطقة التي بها هذه النقطة وإلا نظلل المنطقة الأخرى. All the dotted points satisfy y = 2 x + 3 (0,3) (0.5, 4) (-1, 1) b) All the dotted points satisfy y < 2 x + 3 (2, 4) (0,0) (-2, -3) c) All the dotted points satisfy y > 2 x + 3 (-3,1) (-4,-2) d) We can show that y ≤ 2 x + 3 by shading the region with lines .

تدريب 1: الوحدة الحادية عشر الجبر 2
Shade the region of each of the following inequality as shown below : ظلل منطقة الحل لكل من المتباينات المبينة التالية: Y = - 3x -3 a) y ≥ - 3x +3 b) y ≤ - 3x -3 y = - 3x +3 c) y ≥ 2x d) y < 2 and y > 0.5 x + 1 y = 2x y = 2 y = 0.5x +1

تمارين : الوحدة الحادية عشر الجبر 2
1- Solve the following Inequalities: 1- أوجد مجموعة حل المتباينات التالية : y < 2x + 1 y > 0.5 x – 1 y ≤ - 3x y ≥ - x + 4 y ≤ 5 and y ≤ 3x +4 y ≤ and y > 3 2- Underline the points that satisfy the inequality : x + y ≤ 7 2- ضع خطا تحت النقاط التي تحقق المتباينة : x + y ≤ 7 ( 0 , 0 ) , ( 4 , 2 ) , ( 8 , 0 ) , ( 5 , 4 ) ( 0 , 7 ) , ( -1 , 9 ) , ( 10 , -4 ) , ( 3 , 2 ) 3- Solve the following Inequalities: حل المتباينات التالية y < x + 4 , y > 0.25 x , and y < 2x +1 Does the point ( 2 , 2 ) belong to the solution region? هل تقع النقطة ( 2 , 2 ) في منطقة الحل ؟ تمارين :

مثال (2): تدريب (2): الوحدة الحادية عشر الجبر 2
The shaded region is bounded by the curve y = x2 and the line y = 2. Circle two inequalities which together fully describe the shaded region. المنطقة المظللة محصورة بالمنحنى y = x2 و المستقيم y = 2 . ضع دائرة حول المتباينتين اللتين تصفان المنطقة المظللة. y < x2 x < 0 y < 2 y > 0 y > x2 x > 0 y > 2 y > 0 Solution: y < x2 x < 0 y < 2 y > 0 y > x2 x > 0 y > 2 y > 0 تدريب (2): Plot the graph of the two inequalities y < x2 – 4 and y < 1, then find the solution of both inequalities. ارسم المتباينتين y < x2 – 4 و y < 1 ثم أوجد حل المتباينتين معا.

تمارين : الوحدة الحادية عشر الجبر 2
1- Plot the graph of y = 1/x2 for the domain set {x: x  R and 1 ≤ x ≤ 4} Discuss whether the domain could be extended. 1- ارسم الدالة. y = 1/x2 على المجال {x: x  R and 1 ≤ x ≤ 4} . ناقش ما إذا كان يمكن للمجال أن يتسع. 2- Plot the curve y = √ x on a suitably defined domain. Discuss why the domain cannot be the set R. Compare this curve with the curve of y = x2, drawn on the same axes 2- ارسم المنحنى y = √ x على المجال المناسب المعرفة عليه . ناقش مع زملائك لماذا لايمكن أن يكون المجال هو الأعداد الحقيقية R. قارن بين المنحنى الذي رسمته ومنحنى الدالة y = x2 بعد رسمه على نفس المحاور. 3- Invent a functions to show the relation between the cost ( C ) of electricity as a function of the number of units of electricity used ( N ). 3- كون دالة توضح العلاقة بين تكلفة استهلاك الكهرباء ( C ) وعدد وحدات استهلاك الكهرباء ( N ). 4- A rectangular enclosure has a wall on one side, and the other three sides are made of metal fencing. The side parallel to the wall has length d, measured in metres. The enclosure has an area of 600 m2. Show that the total length, L metres, of fencing is given by L = d /d. Plot this function. Find from the graph the value of d that makes L as small as possible. 4- أقيم سور من السلك أمام حائط ليصنع مستطيلا مساحته 600 سم2 . بيّن أن طول السلك L يعطى بالقانون L = d /d . حيث d طول السلك الموازي للحائط . ارسم الدالة وبين من الرسم قيمة d التي تجعل L أصغر ما يمكن.

المشروع الوحدة الحادية عشر الجبر 2
A cake company produces two types of celebration cake. The first type takes four hours to make per batch and two hours to cook. The second type takes two hours to make per batch and two hours to cook. The maximum cooking and making time available each week is 64 hours in total. The company makes QR 48 profit on the first type of cake and QR 35 on the second type. How many of each type of cake should the company make in order to make the maximum profit? تنتج شركة للكيك نوعين من كيك الاحتفالات ، النوع الأول يستغرق أربع ساعات للإعداد والتجهيز وساعتين للطهي. والنوع الثاني يستغرق ساعتين للإعداد والتجهيز وساعتين للطهي ، و الحد الأقصى للوقت المسموح للإعداد و الطهي كل أسبوع هو 64 ساعة ، وتريد الشركة أن تربح 48 ريال قطري من النوع الأول و 35 ريال قطري من النوع الثاني. كم عدد كل نوع من الكيك تستطيع الشركة إنتاجها لتحقيق أقصى ربح؟

الرياضيات الصف الحادي عشر التأسيسي الفصل الدراسي الثاني نسخة تجريبية

Similar presentations

Presentation on theme: "الرياضيات الصف الحادي عشر التأسيسي الفصل الدراسي الثاني نسخة تجريبية"— Presentation transcript:

Similar presentations

About project

Feedback

Log in

Auth with social network:

الرياضيات الصف الحادي عشر التأسيسي الفصل الدراسي الثاني نسخة تجريبية

Similar presentations

Presentation on theme: "الرياضيات الصف الحادي عشر التأسيسي الفصل الدراسي الثاني نسخة تجريبية"— Presentation transcript:

Similar presentations

About project

Feedback