מרחב הפאזה פרקים בתנודות וגלים לא ליניאריים פרופ' לזר פרידלנד 25.3.09 עמית קנוביץ'

על מה נדבר היום? חזרה זריזה על מכניקה אנליטית מסלולים במרחב הפאזה מכניקה לגרנג'יאנית מכניקה המילטוניאנית מסלולים במרחב הפאזה משפט ליוביל שימושים למרחב הפאזה

מכניקה לגרנג'יאנית (1) שנת 1788 – ג'וזף-לואיז לגרנג' מציע פורמליזם חלופי למכניקה הניוטונית המוכרת דאז. תנועת גופים תחת אילוצים, כאשר מתקיים שימור תנע ושימור אנרגיה.

מכניקה לגרנג'יאנית (2) הלגרנג'יאן – הפעולה – מתוך עיקרון הפעולה האקסטרימלית נקבל את משוואת אוילר-לגרנג' -

מכניקה המילטוניאנית שנת 1833 – ויליאם רואן המילטון מנסח את המכניקה ההמילטונית. ההמילטוניאן הוא טרנספורם לג'נדר של הלגרנג'יאן – משוואות המילטון -

מרחב הפאזה – מה זה בעצם? מרחב בעל N2 מימדים – N קוא' מוכללות מצב מערכת פיזיקלית מתואר על-ידי נקודה במרחב הפאזה - . נסמן מעתה -

מסלול במרחב הפאזה (1) מתוך ומתוך תנאי ההתחלה נקבל את מתוך ומתוך תנאי ההתחלה נקבל את - המסלול של המערכת במרחב הפאזה. מסלול של מערכת לעולם אינו חוצה את עצמו! (למעט במקרים מאוד ספציפיים...)

מסלול במרחב הפאזה (2)

משפט ליוביל (1) עבור מערכות המילטוניאניות, הנפח במרחב הפאזה נשאר קבוע עם הזמן. נוכיח את המשפט עבור מרחב פאזה דו-מימדי, ונכליל למרחב פאזה בעל N2 מימדים.

משפט ליוביל (2) נקדם בזמן נקודה במרחב הפאזה, ונקבל

משפט ליוביל (3) אלמנט נפח בקוא' החדשות (עבור הזמן ) יהיה אלמנט נפח בקוא' החדשות (עבור הזמן ) יהיה כאשר הוא היעקוביאן של הבעיה. נפח האלמנט משתנה בזמן בצורה הבאה – קל לראות כי - .

משפט ליוביל (4) היעקוביאן של הבעיה מקיים – המערכת המילטוניאנית, ולכן , המערכת המילטוניאנית, ולכן , והיעקוביאן יהיה – וקיבלנו

משפט ליוביל (5) כעת נכליל למקרה ה-N2 מימדי. אלמנט נפח - . אלמנט נפח - . עדיין מתקיים - .

משפט ליוביל (6) נגדיר מטריצה כך ש – . נגדיר מטריצה כך ש – . מאלגברה ליניארית, עבור קטן מספיק מתקיים – ניתן לזהות כי - .

משפט ליוביל (7) מתוך משוואות המילטון נקבל , ולכן הנפח במרחב הפאזה נשאר קבוע.

מסקנות ממשפט ליוביל מערכת המילטוניאנית במרחב הפאזה מתנהגת כמו נוזל בלתי דחיס במרחב האוקלידי. משוואת הרציפות - . משפט ליוביל (ניסוח חלופי) - .

שימושים למרחב הפאזה תורת הכאוס מכניקה סטטיסטית

סיכום למרחב הפאזה N2 מימדים – N קוא' מוכללות ו-N תנעים מוכללים. מערכות המילטוניות מקיימות את משפט ליוביל – מקיימות את משוואת הרציפות במרחב הפאזה.

ביבליוגרפיה Nonlinear Physics – From the pendulum to Turbulence and Chaos. R.Z Sagdeev, D.A Usikov, G.M Zaslavsky. Analytical Mechanics. Louis N. Hand, Janet D. Finch. Wikipedia