הפקולטה למדעי המחשב אוטומטים ושפות פורמליות (236353) 17 April 2017 הפקולטה למדעי המחשב אוטומטים ושפות פורמליות (236353) יחסים ומשפט נרוד תרגיל מספר 8 © יעל מלר © יעל מלר

תזכורת - יחס שקילות יחס שקילות R מעל קבוצה A הוא יחס המקיים: 17 April 2017 תזכורת - יחס שקילות יחס שקילות R מעל קבוצה A הוא יחס המקיים: רפלקסיביות סימטריות טרנזיטיביות יחס כזה משרה חלוקה למחלקות שקילות יחס שקילות 'R מעדן את R אמ"מ מתקיים: © יעל מלר © יעל מלר

תזכורת – היחס RL ומשפט האפיון הגדרה: עבור שפה , היחס RL מוגדר כך: היחס RL הוא יחס שקילות אינווריאנטי מימין. היחס RL מעדן את L. אם R יחס שקילות אינווריאנטי מימין המעדן את L, אז הוא מעדן גם את RL. © יעל מלר

דוגמה א' עבור השפה מעל קבע עבור כל זוג האם הוא באותה מחלקת שקילות של RL. (aa,ab) (a,b) (ba,baa) (bab,baa) (ε,a) © יעל מלר

דוגמה א' (המשך) מהן מחלקות השקילות של RL? נשים לב: L מורכבת ממספר מחלקות שקילות שלמות של RL נסמן: rank(RL)=4 © יעל מלר

דוגמה א' (המשך) ניתן לבנות אוטומט המקבל את L בעל 4 מצבים: מצבי האוטומט – נציגים ממחלקות השקילות מצבים מקבלים – מחלקות שקילות המוכלות ב-L מצב התחלתי – מחלקת השקילות המכילה את ε [ε] [a] [b] [bb] start a a,b b © יעל מלר

משפט נרוד תהי . אזי הטענות הבאות שקולות: L רגולרית תהי . אזי הטענות הבאות שקולות: L רגולרית קיים יחס שקילות R אינווריאנטי מימין כך ש-R מעדן את L וכן rank(R) סופי. rank(RL) סופי © יעל מלר

דוגמה ב' הוכח כי השפה הבאה מעל {a,b} אינה רגולרית: הוכחה: נוכיח כי ל-L אינסוף מחלקות שקילות, ולכן אינה רגולרית. נגדיר wi=bia i=1,2….. עבור i≠j קיים זנב מפריד z כך ש- ניקח z=abi rank(RL) אינסופי, ולכן L אינה רגולרית © יעל מלר

דוגמה ג' הוכח כי השפה הבאה מעל {0,1} רגולרית: לכל רישא α של w מתקיים: הוכחה: נראה כי ל-RL יש מספר מחלקות שקילות סופי, ולכן על סמך משפט נרוד – Lk רגולרית. © יעל מלר

דוגמה ג' (המשך) מחלקות השקילות של RL עבור Lk הן: 17 April 2017 דוגמה ג' (המשך) מחלקות השקילות של RL עבור Lk הן: וגם לכל רישא α של w מתקיים: קיימת רישא α של w כך שמתקיים: © יעל מלר © יעל מלר

דוגמה ג' (המשך) נשים לב כי: על מנת להוכיח כי אלו אכן מחלקות השקילות של RL, יש להוכיח כי לכל שתי מילים x,y: x,y שייכות לאותה מחלקת שקילות © יעל מלר

דוגמה ג' (המשך) כיוון 1: x,y שייכות לאותה מחלקת שקילות _______ וגם לכל מתקיים כי β,α הן גם רישות של xz ו-yz בהתאמה, ולכן: © יעל מלר

דוגמה ג' (המשך) ______ נניח בשלילה שקיים כך ש- נניח בשלילה שקיים כך ש- לכל רישא β של y: (הגדרת Si) הרישא של yz המקיימת היא מהצורה בסתירה לכך ש- באותו אופן עבור © יעל מלר

דוגמה ג' (המשך) כיוון 2: x,y שייכות לאותה מחלקת שקילות שקול לוגית לטענה: אינן שייכות לאותה מחלקת שקילות __________ עבור מתקיים © יעל מלר

דוגמה ג' (המשך) ________________ נניח בה"כ כי i>j ונסתכל על z=0k-i+1 אבל – ולכן © יעל מלר