吉林大学远程教育课件 主讲人 : 杨凤杰学 时： 64 ( 第三十八讲 ) 离散数学

第八章 格与布尔代数 §8.1 引 言 在第一章中我们介绍了关于集 合的理论。如果将 ρ （ S ）看做 是集合 S 的所有子集组成的集合， 于是， ρ （ S ）中两个集合的并 集 A ∪ B ，两个集合的交集 A∩B ，就可以看 做是 ρ （ S ）上的两个代数运算， 因此，（ ρ （ S ），∪， ∩ ）可看做是一个代 数，这就是通常所说的集合代数。

在集合代数中，对运算∪， ∩ 满足： (1) 等幂律 A∩A = A ， A ∪ A = A ， (2) 交换律 A∩B = B∩A ， A ∪ B = B ∪ A ， (3) 结合律 A∩ （ B∩C ） = （ A∩B ） ∩C ， A ∪（ B ∪ C ） = （ A ∪ B ）∪ C ， (4) 分配律 A∩ （ B ∪ C ） = （ A∩B ）∪（ A∩C ）， A ∪（ B∩C ） = （ A ∪ B ） ∩ （ A ∪ C ）， (5) 吸收律 A∩ （ A ∪ B ） = A ， A ∪（ A∩B ） = A ， 等等。

在第二章中我们介绍了命题 逻辑。如果将 S 看做是所有命 题的集合，于是，逻辑连结词 ∨，∧就可以看做是集合 S 上 的两个代数运算，因此， （ S ，∧，∨）可看做是一个 代数。这就是通常所说的命题代数。 在命题代数中，运算 ∧，∨也满足

（ 1 ）等幂律 A ∧ A = A ， A ∨ A = A ， （ 2 ）交换律 A ∧ B = B ∧ A ， A ∨ B = B ∨ A ， （ 3 ）结合律 A ∧（ B ∧ C ） = （ A ∧ B ） ∧ C ， A ∨（ B ∨ C ） = （ A ∨ B ）∨ C ， （ 4 ）分配律 A ∧（ B ∨ C ） = （ A ∧ B ） ∨（ A ∧ C ）， A ∨（ B ∧ C ） = （ A ∨ B ） ∧（ A ∨ C ）， （ 5 ）吸收律 A ∧（ A ∨ B ） = A ， A ∨（ A ∧ B ） = A ， 等等。

如果在集合代数中引进余集 ˉ 的概念，在命题代数中引进否 定的概念，则在这两种代数中 都有类似的所谓 De Morgan 定律。 即， = ∪ ， = ∩ ， = ∨ ， = ∧ 。

从代数的观点出发，我们是否 能对一种更为抽象的代数系统 进行研究，而这种抽象的代数 系统又具有象集合代数，命题 代数那样具体的代数系统所具 的一些最本质的性质？回答是 肯定的，这种抽象的代数系统 就是格（ Lattice ）和布尔代数 （ Boolean Algebra ）

§8.2 格 的 定 义 定义 A 给出一个部份序集 （ L ， ≤ ），如果对于任意 a ， b ∈ L ， L 的子集（ a ， b ）在 L 中都有一个最大下界 （记为 inf{a ， b} ）和一个最 小上界 ( 记为 sup{a ， b}), 则称（ L ， ≤ ）为 一个格， 显然，一个序集是一个格，但是，不是所 有部份序集都是格。 下面给了一些格的例子，这些例子在本章 中要经常用到。

例 S 是任意一个集合， ρ （ S ）是 S 的幂集合，于是， 部份序集（ ρ （ S ），）是一 个格。对 sup{A ， B} = A ∪ B ， inf{A ， B} = A∩B 。 当 S 仅有一个元素时，对应的格是包含两 个元素的链。 例 设 I + 是所有正整数集合， D 是 I + 中 的 “ 整除关系 ” ，亦即，对任意 a ， b ∈ I + ， aDb 当且仅当 a 整除 b ，于是， （ I + ， D ）是一个格。不难说明， “ 整除关 系 ” 是部份序关系， I + 中子集 {a ， b} 的最 小上界就是 a,b 的最小公倍, 子集 {a,b} 的 最大下界就是 a ， b 的最高公因。

例 设 n 是一个正整数， S n 是 n 的所有因数的集合。 例如， S 6 ={1 ， 2 ， 3 ， 6} ， S 24 ={1,2,3,4,6,8,12,24} 。 设 D 是 “ 整除关系 ” ，于是， （ S 6 ， D ），（ S 8 ， D ）， （ S 24 ， D ）和（ S 30 ， D ）都是格，请读者 分别画出其 Hasse 图。 例 设 S 是所有的命题集合，定义 “  ” 关系如下： A  B 当且仅当 B 蕴涵 A 。 则（ S ，  ）是一个格。 sup{A ， B} = A ∧ B  S ， inf{A ， B} = A ∨ B  S 。

定义 A′ 设（ L ， ≤ ）是格， S 是 L 的子集，即 S  L ， 如果（ S ， ≤ ）是格， 则称（ S ， ≤ ）是格 （ L ， ≤ ）的子格。 例如，（ S 6 ， D ）是（ S 24 ， D ）的子格。

定义 B 设 L 是一个集合,×,  是 L 上两个二元代数运算， 如果这两种运算对于 L 中元 素满足： （ 1 ）交换律： a×b=b×a ， a  b=b  a 。 （ 2 ）结合律： a× （ b×c ） = （ a×b ） ×c ， a  （ b  c ） = （ a  b ）  c 。 （ 3 ）吸收律： a×(a  b)=a, a  (a×b)=a 。 则称此代数系统（ L,×,  ）为一个格。

定义中没有要求 × ，  运算满 足等幂律，实际上由 × ，  满 足吸收律即可推出它们一定满 足等幂律。任取 L 中元素 a ，由 × ，  满足吸收律知， a× （ a  a ） =a ， a  （ a×a ） =a 。 故 a×a = a× （ a （ a×a ））， a  a = a  （ a× （ a  a ））。 又由 × ，  满足吸收律知，上面两式的等式 右端都等于 a 。因此， a×a = a ， a  a = a 。 即, 定义 B 中的 × ，  运算亦满足等幂律。