א " ב, מילים, ושפות הפקולטה למדעי המחשב אוטומטים ושפות פורמליות ( ) תרגיל מספר 1

2 מילים, מילים - הגדרות אות הינה סימן כלשהו, לדוגמא : a, 3, $ אלפבית הינו קבוצה סופית של אותיות, מסומן בד " כ ב - . מילה מעל אלפבית  הינה סדרה סופית של אותיות מ - . aaa, 132, 13d3$$# אורך מילה הינו מספר האותיות במילה.  היא המילה הריקה, שאינה מכילה אף אות.

3 פעולות על מילים שרשור – הדבקת מילים. חזקה i של מילה w הינה המילה המתקבלת משרשור w לעצמה i פעמים. היפוך מילה.

4 שפות קבוצה של מילים מעל א " ב נתון נקראת שפה דוגמאות לשפות מעל הא " ב {a,b} {aab,b},{aaaa,  }, {w|# a (w) = # b (w) }, {  },  בהינתן א " ב , מסמנים את שפת כל המילים מעל א " ב זה ב  *

5 פעולות על שפות מכיוון ששפה הינה קבוצה, ניתן לבצע עליה פעולות של קבוצות : איחוד חיתוך הפרש משלים פעולות נוספות : שרשור היפוך איטרציה

6 עוצמות של שפות אנו מעוניינים לבחון את העוצמה של שפה, ושל קבוצת שפות תזכורת – קבוצה A היא בת - מניה אם ניתן להגדיר מיפוי חח " ע f: A   באופן כללי, מוכיחים שקילות בין קבוצות ע " י מציאת התאמה חח " ע ועל מקבוצה אחת לשניה או מציאת התאמה חח " ע לשני הכיוונים

7 שפת כל המילים מעל א " ב נתון  טענה - הקבוצה  * היא בת מנייה הוכחה : נגדיר סדר על אותיות  נגדיר סדר על המילים ב  * כלהלן : קודם לפי האורך. מילים באותו אורך עפ " י סדר לקסיקוגרפי

8 המיפוי f: {a,b} *   נגדיר g(a) = 0, g(b) = 1 f(σ 1 …σ n )=2 n +g(σ 1 )2 n-1 …g(σ n )2 0 דוגמאות f(  )=1, f(a)=2 1 =2,f(ba)=  מסקנה, הקבוצה {a,b}* בת מנייה, ולכן כל שפה L מעל {a,b} בת מנייה. ובדומה גם מעל כל א " ב ( סופי ).

9 קבוצת כל השפות מעל א " ב  טענה : קבוצת כל השפות מעל א " ב  אינה בת מנייה. עלינו להראות כי אין התאמה חח " ע מהשפות מעל  ל . הרעיון - נניח כי קיימת כזאת, ונביא לסתירה על ידי לכסון. הוכחה נניח כי L 1, L 2, … מנייה כלשהי של השפות מעל , ונוכיח כי קיימת בהכרח שפה שאינה שייכת למנייה.

10 הוכחה - המשך נבנה טבלה דו - ממדית אין סופית בשני הממדים : ( מנייה של כל המילים ב  * )  ( מנייה של כל השפות ) כך : w1w2w3...w1w2w3... L 1 L 2 L 3... A = a ij = 1, w i  L j 0, w i  L j

11 הוכחה - סוף נגדיר שפה L ע " פ האפסים באלכסון המטריצה : L = {w i |a ii =0} ={w i |w i  L i } נראה כי שפה זו אינה נמנית במנייה שלעיל לכל i, L  L i כי : w i  L i  a ii = 1  w i  L w i  L i  a ii = 0  w i  L מסקנה לא קיימת מנייה של כל השפות ב P(  *) כלומר הקבוצה אינה בת מנייה! מ.ש.למ.ש.ל

12 סיכום קבוצת כל המילים מעל א " ב סופי – בת מנייה קבוצת כל השפות מעל א " ב סופי – אינה בת מניה