1 第四章 多變數函數的微分學 § 4.1 偏導數定義 定義 極限值 ■

2 定理 極限值的基本定理 (1) 極限值的唯一性 : 若 存在，則 其值必為唯一。 (2) 若 且 ( 與 為常數 ) ， 則 且 為常數且

3 (3) 若 為多項式函數，則 (4) 若 為有理函數，則 其中 與 均為多項式函數 且 。 (5) 若 存在且點 以及點 ，則 反之亦然。 □

4 一般而言，我們可以利用下面所提供的方法判斷極限值是 否存在 : 若點 及點 ，則 (1) 若 且 ，而且 ，則 不存在。 (2) 若 ，則 不存在。 (3) 若 ，則 不存在。

5 例 1. 試求下列各題的極限值。 (1) 若函數 但 ，試決定 。 (2) 若函數 但 ，試決定 。 (3) 若函數 但 ，試決定 。 (4) 若函數 但 ，試決定 。

6 解 : (1) 我們考慮通過原點之直線 上的點 ，則 若 ，則我們有 若 ，則我們有 得知 不存在 ■

7 (2) 我們考慮通過原點之直線 上的點 ，則 ■

8 (3) 我們考慮通過原點之直線 上的點 ，則 若 ，則我們有 若 ，則我們有 得知 不存在 ■

9 (4) 我們考慮通過原點之直線 上的點 ，則 若 ，則我們有 得知 不存在 ■

10 定義 連續 函數 在點 連續 ■ 在上面的定義裡，我們有明確的數學定義，即 此時必須滿足下列三個條件 : (1) 函數值 存在 ( 即點 必定在函數 的定義 域內 ) 。 (2) 極限值 存在。 (3) ( 即 “ 極限值等於函數值 ” ) 。 當然，倘若函數 在其定義域 中的任意點均連續，則 稱函數 在 中為連續函數。

11 定理 連續的基本性質 (1) 倘若 與 在點 均為連續函數，則 與 與 以及 ( 為常數且 ) 在點 均為連續函數。 (2) 倘若 為單變函數且 為多變數函數，使得 在點 連續且 在 連續，則合成函數 亦在點 連續。 (3) 多變數多項式函數與多變數有理函數在它們的定義 域內均為連續函數。 □

12 例 3. 試討論下列各函數的連續性。 (1) 若 且 (2)

13 解 :(1) 點 的定義域 又 考慮通過原點之直線 上的點 ，則 在點 之外均為連續。 ■

14 (2) 點 的定義域， 且 又 在任何實數點 均為連續。 ■

15 § 4.2 偏導數與微分 定義４.2.1 第一階偏導數 假設函數 被定義在點 的某個鄰 域 內，則函數 在點 對 的第一 階偏導數為 而函數 在點 對 的 第一階偏導數為 ■

16 定義 第一階偏導數 假設函數 的定域義為 ，則函數 對 的第一階偏 導數為 而函數 對 的第一階偏導數為 ■ 同理，函數 對 的偏導數為 。 事實上， 的偏導數還有其它的通用符號 :

17 例 1. 試求下列各函數的第一階偏導數。 (1) 解 : (1) ■

18 定理 倘若 為包含兩個自變數的函數，則 與 亦為包含兩 個自變數的函數，而且 與 的第一階偏 導數 亦存在。 □ 定理 ４.2.1 裡四個函數稱為函數 的第二偏導數，其常 用的符號為

19 同理，多變數函數的高階導數亦有其明確的定義，例如 倘若 為包含三個自變數的函數，則我們將有九個第二階 導數以及二十七個第三階導數，其他情況依此類推，例如

20 例 2. 若 ，試求 ， 與 解 : ■

21 定理 假設 為包含兩個變數的函數，倘若 與 在二度空間 某開區域 為連續，則 ; 同理，倘若函數 的高階偏導數在某開區域 為連續，則 ， □ 同理，倘若 的高階偏導數為連續函數，則我們有

22 例 3. 若 ，若 而且 ，試 證明 與 均存在但不相等。 證明 :

23 我們得證 ■

24 定義 可微分 ( 的 ) 假設 為 與 的函數且定義在點 的某個鄰域 ， 倘若存在常數 以及 與 的函數 與 ，使得對任意向量 且 而言，恒有 (1) 。 (2) 當 。 則稱函數 在點 為可微分的。 ■

25 定義 微分 假設 為 與 的函數且定義在點 的某個鄰域 ， 倘若存在常數 以及 與 ，則對任意向量 且 而言，我們稱函數 在點 的微分或全微分為 ■ 因此，假設 為 與 的函數，而且其第一階偏導數 與 均存在，則函數 的全微分為

26 例 4. 試求函數 ( 即 ) 在各 定點 與向量 的全微分。 解 : ■

27 定理 倘若函數 在點 為可微分的 ( differentiable ) ，而且 ，則 □ 證明 : 且 當 時我們有 #

28 由定理 ，我們因此得到 亦即我們有 其中 。

29 例 5. 試利用微分法求 的近似值。 解 : 設 則, 取 則 即 ■

30 例 6. 一等腰三角形的三邊長為 呎、 呎、 呎且其頂角為 弳。倘若把此三角形的兩等腰 長增加一吋且頂角增加 徑， 試問其面積 改變若干 ? 解 : 兩腰長為 且頂角為 之等腰三角形的面積為 取 則其面積的改變量為 平方呎 ■

31 例 7. 倘若 ，若 而且 ，試證明 與 均存在，但是函數 在點 是不可 微分的。 證明 : 取

32 則 即不存在 由定理 得知 在點 為不可微分的。 ■

33 定理 倘若函數 在點 為可微分的，則函數 在點 為連續。 □ 證明 : 函數 在點 為可微分的 取 ，則由定理 得知 即由定義 得知函數 在點 為連續。 #

34 定理 假設 為二變數函數且定義在點 的某個鄰 或 。倘若其一 階偏導數 與 在 存在且在點 為連續函數，則函數 在點 為可微分的。 □ 總之，倘若 為多變數函數，則我們得知 (1) 倘若函數 在點 為可微分的，則函數 在點 為連 續。 (2) 倘若函數 的一階導數存在且在點 為連續，則函數 在點 為可微分的。即，若 與 均連續，則 必 可微分。 (3) 倘若函數 的二階導數為連續函數，則 ; 倘 若函數 的三階導數為連續函數，則有 ，高階導數則依此類推。

35 § 4.3 鏈導法則與隱函數的導數 ( the chain rule ) 定義 若 為 之一可微分函數，而 又為 之可微分函數，則 於 的 導數存在，而且為 ■ 定義 偏微分 ( 偏導數 ) 若 為 之一可微分函數，令 而且 對於 之偏微分均存在， 而且為 ; ■

36 定理 鏈導法則 ( the chain rule ) (1) 若 為 與 之一可微分函數，而且 及 均為 之可微分函數，則 對於 而言均為 可微分函數，而且為 (2) 若 為 與 之一可微分函數，令 與 而且 與 對於 之偏微分均存在，則 對於 之一階偏導數均存在，而且為 □

37 由上面定理 得知，如果 而且 ，則我們有 ; 同理，如果 而且 ，則我們有

38 例 1. 試求 ，若 解 : ■

39 例 2. 試求 與 ，若 解 : ■

40 例 3. 倘若我們有 試求 解 : ■

41 定理 隱函數的導數 (1) 若 為 與 之一可微分函數，且 為 之一可微分函數，則 對於 而言為一微分 函數，而且 以及

42 (2) 若 為 與 以及 之一可微分函數，且 為 與 之一可微分函數，則 對於 與 而言為一可微分函數，而且 以及

43 例 4. 若 滿足方程式 試求 與 解 : 令 則 ■

44 定義 極值 ( extrema ) 設 為二變數函數， 為 定域義的子集合且 為 上一點，則 (1) 當 ，我們稱 為函數 在 的極大值 ( maximum value ) 。 (2) 當 ，我們稱 為函數 在 的極小值 ( minimum value ) 。 (3) 當 為函數 在 的極大值或極小值，我們稱 為 在 的極值 ( extreme value 或 extremum ) 。 ■

45 定義 相對極值 ( relative extremum ) 設 為二變數函數，而且存在以 為半徑且以點 為圓心之點 的鄰域 ，則 (1) 若 ，我們稱 為函數 在 的相對極大值 ( relative maximum value ) 或 局部極大值 ( local maximum ) 。 (2) 若 ，我們稱 為函數 在 相對的極小值 ( relative minimum value ) 或 局部極小值 ( local minimum ) 。 (3) 若 為函數 在 的相對極大值或相極小值， 則我們稱 為函數 在 的相對極值或局部 極值。 ■

46 定義 絕對極值 ( absolute extremum ) 設 為二變數函數且定義域為 以及點 ，則 (1) 若 ，我們稱 為函數 的絕對 極大值 ( absolute maximum ) 。 (2) 若 ，我們稱 為函數 的絕對 極小值 ( absolute minimum ) 。 (3) 若 為函數 的絕對極大值或絕對極小值，則我 們稱 為函數 的絕對極值。 ■

47 定理 極值檢驗法 ( test for extrema ) 設 為二變數函數且定義域為一開集合 ( open set ) ，而且 在 內函數 的第一階與第二階偏導數均為連續。令函數 的定義域為 且 ，倘若存在一點 使得 與 ，則 (1) 若 且 ，則 為函數 的相 對極大值。 (2) 若 且 ，則 為函數 的相 對極小值。 (3) 若 ，則 ，則 不為函數 的 極值，此時 為函數 圖形上的一馬鞍點 ( saddle point ) 或稱為鞍點。 (4) 若 ，則無法判斷 是否為函數 的極 值。 □

48 例 1. 試求下列各函數的極值。 (1) (2)

49 解 : (1) 且 令 且令 與 則 或 ① 不為 的極值且 為 圖形上的一鞍 點。 ② 且 為 的相對極小值。 ■

50 (2) 令 且令 與

51 則 且 且 或 或 ① 無法判斷 下否為 的極值。 ② 且 為相對極大值。 ■

52 例 2. 試求點 與平面 之間的最短距離。 解 : 設平面 上的一點 ，而且設點 ， 則我們有 ① 由 ① 得到 令函數

53 且 令 與 平面 上點 與點 有最短的距離為 ■

54 例 3. 欲製造一具能容納 立方 米液體之無蓋長方體容器 ，則長、寬、高各為多少 米，可使表面積材料為最 少 ? 解 : 設此長方體容器的長、寬、高分別為 、 、 米，則體 積為 依題意，使用最少的材料做此長方體意謂求表面積 的 極小值。

55 N525;N525; 令 且令 與 此長方體底為一正方形且高為底之邊長的一半時 可使用最少的材料，此時長為 米、寬為 米、 高為 米。 ■