היום נדבר אל נושא אחד בתורת הגרפים. ובהמשך נשתמש בכלים אלו לפתרון כמה בעיות גאומטריות ובפרט להוכחת Szemeredi Trotter theorem

תזכורת יהי G=(V,E) גרף. הגדרה 1 – שיכון של G במישור : הוא " ציור " של גרף אל המישור. כך שהקדקדים מסומנים כנקודות וקשתות כקשתות ז ' ורדן ( עקומים ) המחברות בין הנקודות המתאימות לקדקדים ( בהתאם ) הערה - קשת ז ' ורדן Jordan arc – תמונה רציפה של קטע [ 0,1] בעצם לצורכינו, עקום רציף כלשהו במישור.

דוגמא לשיכון שונה של אותו גרף III

תזכורת הגדרה 2 - שיכון מישורי הוא שיכון של גרף בו אף זוג צלעות אינו נחתך אלה אם כן לזוג צלעות אלה יש קצה משותף ( קדקד ) ואז הן נחתכות רק בנקודה המתאימה לקצה זה. שיכון מישורי לא שיכון מישורי

תזכורת הגדרה 3 – גרף G=(V,E) נקרא גרף מישורי אם ל G קיים שיכון מישורי גרף מישורי 5K - לא גרף מישורי ( הוכחה בהמשך )

תזכורת הגדרה 4 – פאה של גרף במישור ( בשיכון ) היא רכיב קשירות של מה שמתקבל מהמישור ע " י סילוק כל הנקודות שמייצגות את הגרף. ( בשיכון מישורי, בעצם פאות הן המעגלים ה " מינימליים " ברכיבי קשירות של הגרף. פאה יכולה להיות חסומה ( ע " י קשתות ) ולא חסומה. פאה לא חסומה פאה חסומה

טענה - יהי G=(V,E) גרף מישורי כאשר בשיכון המישורי שלו F היא קבוצת הפאות אזי תזכורת הגדרה 5 - דרגה של פאה f המסומנת ב d(f) הוא מספר הקשתות של הגרף הנוגעות בפאה.( קשת שנוגעת רק בפעה אחת נספרת פעמיים לדרגת אותה פאה ). d(f1)=4 d(f2)=6

למה 1 - נוסחת אוילר בגרף G=(V,E) מישורי פשוט אם קבוצת פאות F ( בכל רכיב קשירות של גרף זה ), מתקיים : הוכחה בכיתה.

למה 2 - תוצאה של נוסחת אוילר בגרף G=(V,E) מישורי פשוט מתקיים : הוכחה בכיתה.

הגדרות הגדרה 6 - יהי G=(V,E) גרף, מספר החיתוכים של שיכון הגרף במישור הוא מספר החיתוכים בין צלעות הגרף בשיכון זה ( לא כולל את הקצוות המשותפות )! כאשר נקודת חיתוך של K צלעות נספרת פעמים מספר החיתוכים = 0 מספר החיתוכים = 5

הגדרות הגדרה 6 - יהי G=(V,E) גרף, Crossing number of G או בעברית אינדקס החיתוך של G המסומן Cr(G). הוא המספר המינימלי בין כל מספרי החיתוכים של שיכוני G במישור. בפרט אם G הוא מישורי אז Cr(G) = 0. נוכיח לדוגמא שאינדקס החיתוך של K5 – גרף שלם על 5 קדקדים הוא 1 K5

Cr(K5) = 1 "=>" – נראה ש : ב K5 מספר הקדקדים |V|=5, מספר הקשתות |E|=(5-1)*5/2=10 לכן |E|>3|V| - 6 = 9 לכן לפי למה 2 גרף זה אינו מישורי לכן הטענה נובעת. "=>" – נראה ש :

למה 3 - חסם פשוט על אינדקס החיתוך בגרף G=(V,E) פשוט מתקיים : הוכחה בכיתה, בעזרת למה 2

משפט 1- The crossing lemma יהי G=(V,E) כך ש E>=4V גרף פשוט ו C קבוע מוגדר מתקיים : הוכחה בכיתה, בשיטה הסתברותית ו בעזרת למה 3 הערה : בעצם נוכיח עבור C=1/64 אך קיימות תוצאות אם קבוע יותר גדול

שאלה ומה אם גרפים שהם אינם פשוטים ? מה הבעייתיות בגרפים אלה ? האם גם ל multigraphs אפשר לתת חסם תחתון לאינדקס החיתוך בהסתמך רק על כמות הקשתות וכמות הקדקדים ?

תשובה עקרונית התשובה לשאלות 1 ו 3 – לא ! הבעייתיות היא בכך שבגרף מישורי אפשר להעביר מספר גדול כרצוננו של קשתות מקבילות. לדוגמה : בין שתי נקודות נתונות במישור אפשר להעביר מספר גדול כרצוננו של מעגלים שונים, כפונקציית רדיוס. ו כידוע מעגלים נחתכים רק ב שתי נקודות.

שאלה ומה עם ידוע לנו חסם על מספר הקשתות המקבילות ? האם אפשר לעשות רדוקצייה מהבעיה אם גרף בעל מספר חסום של קשתות מקבילות בין כל זוג קדקדים, לבין בעיה על גרף פשוט ? נוכיח משפט שיענה לנו אל שאלות אלה, למשפט זה נצתרך למה.

למה 4 ( ללא הוכחה ) - אי שוויון ינסן (Jensen inequality) הערה - בעצם גרסתו עבור כל פונקצייה קמורה f ו E סימון לתוחלת מתקיים. תזכורת – פונקצייה f היא קמורה אם עבור כל a ו b ו עבור כל l בין 0 ל - 1 מתקיים :

משפט 2- crossing lemma for graphs with bounded edge multiplicity יהי G=(V,E) גרף ו k חסם על מספר הקשתות המקבילות המקסימלי בין שני קדקדים ב G. מתקיים : הוכחה בכיתה, בשיטה הסתברותית בעזרת משפט 1 ו למה 4

נחזור לגאומטריה

משפט 3- Szemeredi Trotter theorem תהי P קבוצה של m נקודות ב מישור ו L קבוצה של n ישרים במישור עבור I(P,L) כמות מקסימלית של זוגות (p,l) כך ש p נקודה מ P ו l ישר מ L ו p חל ( נמצא ) על l מתקיים : שאלה - איך נבצע רדוקצייה מבעיה זו לבעיות על גרפים שהוכחנו כעת ? הוכחה בכיתה

ישרים קשתות נקודות נקודות ו ישרים במישור הגרף המתקבל קדקדים

דיון על הוכחה ושיטה את משפט Szemeredi-Trotter ניתן להוכיח בעוד כמה דרכים, חלקם אף נראה אם אשאר זמן. כעת נראה עוד כמה בעיות שניתן להוכיח בשיטת crossing numbers ( אינדקסי החיתוך )

משפט 4 - חילה של נקודות ומעגלי יחידה תהי P קבוצה של m נקודות ב מישור ו C קבוצה של n מעגלי יחידה במישור עבור I(P,C), כמות מקסימלית של זוגות (p,c) כך ש p נקודה מ P ו c מעגל מ C ו p חל ( נמצא ) על c מתקיים : הוכחה בכיתה – בצורה כמעט זהה לחלוטין להוכחת Szemeredi-Trotter רק בהתחשבות לקשתות מקבילות, ו מספר <= 2 של נקודות החלות על מעגל

מעגלים קשתות נקודות נקודות ומעגלים במישור הגרף המתקבל קדקדים קשתות מקבילות

הערה דרך שתי נקודות במישור ניתן להעביר 2 מעגלי יחידה ( אם מרכז שונה ) לכל היותר. לכן מספר קשתות מקבילות הוא לכל היותר 2! הסבר : תהי p1,p2 2 נקודות במישור ו o מרכז מעגל יחידה העובר דרך שתי נקודות אלו. יש רק 2 פתרונות למשוואה זו, ולכן רק 2 מעגלים. הערה : תכונה זו מתקיימת לקבוצה רחבה של צורות במישור, ולכן אפשר להשתמש בשיטה זו עבור מתן חסם עליון ( אולי לא הדוק ) על חילות נקודה על צורה עבור משפחה רחבה של צורות.

הערה, המשך בעצם טכניקה זו מראה לנו שאם אנו יודעים חסם קבוע כלשהו על כמות הקשתות המקבילות בגרף המתקבל מהבניה ( כמות הצורות המקסימלית שאפשר להעביר דרך שתי נקודות ). וידועה לנו גם חסם עליון על כמות כוללת של חיתוכים בין הצורות ( כפונקציית מספר הצורות ) – נסמנו ב X. אז מספר החילות של קבוצה P של n נקודות על קבוצה S של m צורות כאלו, נסמנו ב I(P,S) הוא חסום על ידי :

שאלה ) נחזור למשפט (Szemeredi Trotter נניח בקבוצת ישרים שלנו יש תת קבוצה של ישרים שאל כל אחד מהם חלים הרבה - מאוד נקודות, האם יכול להיות יותר מדי ישרים כאלה ? כמה ישרים כאלה יכול להיות אם ידוע ש אל כל אחד מהם יש לפחות k נקודות ? k

תשובה : למה 4 - חסם אל כמות ישרים אם הרבה נקודות נתונה קבוצה P של m נקודות וקבוצה L’ שהיא תת - קבוצה של קבוצת ישרים L, כך ש אל כל ישר מ L’ יש לפחות k נקודות מ P אזי גודל L’ חסום על ידי : הוכחה בכיתה, בעזרת משפט Szemeredi Trotter ( תודה לחיים קפלן )

שאלה וכמה סך הכל יש לנו נקודות כאלה שחלות על ישרים אם הרבה ( לפחות k ) נקודות עליהם ? k

תשובה : למה 5 - חסם על כמות נקודות שחלות על ישרים אם הרבה נקודות אל כל אחד נתונה קבוצה P של m נקודות וקבוצה L’ שהיא תת - קבוצה של קבוצת ישרים L, כך ש אל כל ישר מ L’ יש לפחות k נקודות מ P. אז כמות החילות של נקודות מ P על ישרים מ L’ נסמנה I(P,L’), חסומה על ידי : הוכחה בכיתה, בעזרת למה 4 ( תודה לחיים קפלן )

דיון כעת נעבור לבעייה אחרת שבעזרת השיטה שלמדנו ניתן לתת לה חסם יחסית טוב ( אומנם ידועים גם חסמים יותר טובים ) והיא בעיית ה distinct distances ( מרחקים שונים ) שהוגדרה במבוא. כלומר מהיא הכמות המינימלית של מרחקים שונים המושרה על ידי קבוצה של n נקודות במישור ?

משפט - חסם תחתון יחסית טוב על בעיית המרחקים השונים תהי P קבוצה של n נקודות במישור ו תהיא D קבוצת המרחקים ש P משרה כלומר :, אז גודל D חסום על ידי. הוכחה בכיתה – בעזרת למה 5 משפט 2 ועוד כל מני דברים

בניה נסמן |D|=t ונבצעה את הבניה הבאה : סביב כל נקודה מ P נבנה מעגלים כך שכל שאר הנקודות נמצאות על שפת מעגלים אלו, סביב כל נקודה יש לנו לכל היותר t מעגלים. נקודה שסביבה ציירנו מעגלים לכל היותר t מעגלים שאר n-1 הנקודות הציור להמחשה בלבד, בפועל אנו מציירים מעגלים סביב כל נקודה ומקבלים קבוצה של לכל היותר tn מעגלים אם n(n-1) חילות של נקודות מ P עליהם

בניה המשך נבנה גרף באותה צורה כמו מקודם ( קשתות נקודות עוברות ל קדקדים וקשטות ביניהם ל קשטות בגרף ) ( נפטר מ מעגלים עם לכל היותר 2 חילות ) הציור להמחשה בלבד, בפועל אנו מציירים מעגלים סביב כל נקודה ומקבלים קבוצה של לכל היותר tn מעגלים אם n(n-1) חילות של נקודות מ P עליהם קשתות הגרף

שאלה כמה קשתות מקבילות יכול להיות בין זוג קדקדים בגרף המתקבל ?

תשובה מהעובדה ש בהינתן 2 נקודות u ו v במישור כל הנקודות שנמצאות במרחק שווה מ u ו מ v נמצאות אל אותו ישר, שהוא האנך האמצעי של הקטע המחבר בין u ל v נובע כי לא יכול להיות יותר מ t כאלה. ( כי אחרת היינו מקבלים יותר מ t נקודות אל אותו ישר זאת אומרת יותר מ t מרחקים שונים ). u v luv- האנך האמצעי של קטע המחבר בין u ל v

המשך זה לא נותן לנו חסם רצוי אומנם לפי למה 4 אין לנו יותר מדי ישרים אם הרבה נקודות ולפי למה 5 אין לנו יותר מדי נקודות חילה כאלו. בו נשתמש בעובדות אלו כדי להפטר מכל הקשתות שמשתתפות בריבוי גבוהה. u v luv- האנך האמצעי של קטע המחבר בין u ל v