基礎物理總論 基礎物理總論 熱力學與統計力學（三） Statistical Mechanics 東海大學物理系 施奇廷

Ensembles (1/2) 定義：極大數目的系統所成的集合，這些系統 擁有相同的巨觀性質（壓力、體積、總能 量 ……etc. ），但是其微觀特性可能不同 假設：對相同的系統而言，每個微觀狀態出現 的機率均等 Ensemble average: ensemble 中所有的系統對某 一物理量之平均值，而此平均值即我們對一真 實系統測量該物理量的結果

Ensembles (2/2) Microcanonical ensemble: ensemble 中所有系統的 N, V, U 相等 Canonical ensemble: ensemble 中所有系統之 N, V, T 相等 Grand canonical ensemble: ensemble 中所有系統 之 μ, V, T 相等 在不同的條件下（ constant temperature, constant pressure……etc. ）使用不同的 ensemble 會比較 方便

Microcanonical Ensemble

Canonical Ensemble

Grand Canonical Ensemble

Canonical Ensemble (1/3) N, V, T 固定， ensemble 中之系統總數為 A 所有可能的微觀狀態能量為 E 1,E 2 …… 每個能量對應之系統數為 a 1, a 2 …… a=(a 1, a 2 ……) 的組合對應於一巨觀態 組態 a 出現的機率為 W(a) ，系統真正的組態 會出現在 W(a) 極大處。 滿足：

Canonical Ensemble (2/3) Ensemble 中任一系統出現在第 j 個微觀狀態 的機率為： 熱力學極限： A, a j 都趨近於無窮大，則 W(a) 的極大值 W(a * ) 會遠大於其他的 W(a) ， a * 為最 可能之組態，此時 P j =a j * /A 任何一物理量之 canonical ensemble average 為：

Canonical Ensemble (3/3) 對 W(a) 求極大值，即得 Maxwell-Boltzmann distribution Q 稱為「 partition function 」，各物理量滿足：

Grand Canonical Ensemble

Quantum Statistics (1/3) 對於量子系統而言，「微觀狀態」指的就 是各個粒子佔據各量子態的分佈 假設第 k 個量子態所對應之能量為 ε k ，佔 據這個狀態的粒子數為 n k 此系統之 grand canonical ensemble partition function Ξ 為：

Quantum Statistics (2/3) 對費米子而言，由於有 Pauli’s exclusion principle ， n k 只能為 0 或 1 ，因此 partition function 為： 因此可求出，佔據 k 態的粒子數期望值為： 此稱為 Fermi-Dirac distribution

Quantum Statistics (3/3) Boson system: 沒有 exclusion principle ，所以 n k 可以是 0,1,2…∞ ，因此其 partition function 為： 同理，佔據 k 態的粒子數期望值為： 此稱為 Bose-Einstein distribution

Summary Ensembles and ensemble average Partition functions of ensembles Thermodynamic variables and the partition function Quantum statistics