第一章 信號與系統初論 信號的簡介與DSP的處理方式。 系統特性與穩定性的判定方法。 以MATLAB驗證系統的線性、非時變、因果等特性。

信號的種類 信號廣義分二大類： 連續性信號(Continuous Signal)或稱類比信號(Analogue Signal) 離散性信號(Discrete Signal)或稱數位信號(Digital Signal) 探討這兩大類信號間的關係、運算與轉換的學問﹐稱為數位信號處理(Digital Signal Processing:DSP)。

DSP的應用 處理信號的運算方法﹐稱為演算法。 DSP處理信號分三個步驟： 1. 先將類比信號取樣(Sampling)﹐ADC(Analogue to digital conversion)。 2. 將取樣獲得的數位信號予以處理運算靠中央處理器(CPU)來執行演算法﹐獲得數位運算的結果。 3. 轉換成類比信號傳送出去﹐此過程稱為DAC(Digital to analogue conversion)。 以上的三個步驟示於圖1.2-1。

圖1.2-1 DSP處理架構圖

信號的處理方式 信號變化的次數﹐我們稱之為頻率(Frequency)﹐簡稱赫茲(Hz)；信號在每一個不同的頻率下所表現出來的能量稱為頻譜(Spectrum)。 變化一次所需要的時間﹐叫做週期(Period)。赫茲與週期互為倒數的關係。 表現一組信號的方式﹐有二種途徑﹐一為時域(Time domain)分析。另一種稱為頻域(Frequency domain)分析。 處理單元的穩定度(Stability)與效能(Performance)。

穩定度的探討 系統的轉移函數(Transfer function) 分母的根﹐稱為特性根(Characteristic roots)也稱為極點(Pole)﹐可判斷系統是否為收斂穩定。 轉移函數的目的是要表現輸入與輸出的關係。

圖1.3-1 轉移函數示意圖

系統特性的判斷方法 轉移函數在DSP中所應用的為Z轉換﹐T(s)經過拉氏轉換後﹐若可以拆成部份分式則反拉氏轉換到時域後﹐其大小為： (1.4-3) 所以經由頻域的轉移函數找到a值大小後﹐就可知道在時域上﹐系統的動態方程式(Dynamic equation)T(t)。在頻域的T(s)其特性根為負的﹐也就是s=-a。

如果對類比信號做取樣得到數位信號﹐則原來的拉氏轉換就被看成是Z轉換。 (1 如果對類比信號做取樣得到數位信號﹐則原來的拉氏轉換就被看成是Z轉換。 (1.4-4) 此處的T代表取樣的週期﹐單位為秒(sec)。複數平面的虛軸對應到Z平面上為單位圓﹐而複數平面的左半平面﹐變成在單位圓內﹐如圖1.4-1所示。特性根必須在單位圓內。

圖1.4-1 Z轉換示意圖

1.4.1 線性系統(Linear system) 輸出信號的能量值y與輸入信號的能量值x成線性關係的系統稱之。 「重疊原理」： 輸入x1到系統中﹐得到的值量測出來為y1。 再輸入另一個x2到系統中﹐得到的值量測出來為y2。 最後我們輸入一個值為x1與x2的線性組合值x x=a*x1+b*x2 (1.4-9) 到系統中﹐看看得到的值量測出來是否亦為y1與y2的線性組合值 y=a*y1+b*y2 (1.4-10) 若是﹐則為線性系統﹐系統具備重疊性。

1.4.2 非時變系統(Time invariant system) 在時域中﹐若輸入信號有時間延遲td﹐對輸出信號的影響也一樣是延遲時間td。 以y(t)=2x(t)的系統來看﹐當輸入延遲td成為x(t-td)時﹐y(t-td)=2x(t-td)﹐所以它為一個非時變系統。 範例1.4-1執行結果：圖1.4-2 Time Invariant 響應圖 圖1.4-3 Time Variant 響應圖

圖1.4-2 Time Invariant 響應圖

圖1.4-3 Time Variant 響應圖

1.4.3 因果系統（Causal system） 當系統的輸出只與現在與過去的輸入值有關﹐而與未來的輸入值無關時，這種系統特性稱為因果系統。如圖1.4-4所示。 範例1.4-2 模擬結果：如圖1.4-5與圖1.4-6。

圖1.4-4 因果系統示意圖

圖1.4-5為一個因果系統的模擬結果

圖1.4-6為非因果系統的模擬結果。