Primijenjena matematika Damir Krstinic

Diskretna statistička obilježja Neka je zadan niz statističkih podataka x 1,x 2,...,x n i neka su a 1,a 2,...,a r međusobno različite vrijednosti tog statističkog niza. Svaka od vrijednosti a 1,a 2,...,a r se u nizu pojavljuje s frekvencijom f 1,f 2,...,f r Ovako organizirani podaci lako se prikazuju tablično i grafički.

Relativne frekvencije Za različite vrijednosti a 1,a 2,...,a n s pripadnim frekvencijama f 1,f 2,...,f n, relativne frekvencije definiramo kao f 1 /n,f 2 /n,...,f n /n. Ukupan broj podataka u nizu jednak je

Aritmetička sredina i varijanca Aritmetičku sredinu niza definiramo sa Disprezija ili varijanca statističkog niza je Standardna devijacija statističkog niza je

Primjer 1 Broj glavica kupusa po beraču kupusa dan je nizom statističkih podataka: 3, 5, 3, 0, 3, 0, 5, 4, 6, 3, 4, 6, 3, 5, 3, 4, 1, 0, 3, 4, 5, 6, 3, 0, 3, 0, 4, 1, 2, 0, 3, 4, 5, 3, 3, 2, 3, 4, 5, 6, 4, 3, 2, 4, 2, 1, 3, 4, 5, 6, 4, 3, 4, 2, 1, 5 Tabličnim prikazom podataka olakšavamo računanje numeričkih karakteristika niza

Tablični prikaz akak fkfk akfkakfk ak2fkak2fk  n=

Proračuna parametara stat. niza Iz tablice računamo:

Proračun korištenjem Matlaba Podatke unosimo u Matlab. Za obradu podataka pišemo funkciju koja računa pripadne frekvencije za međusobno različite vrijednosti statističkog niza

a k, f k function [a,f]=af(x) x=sort(x); j=1; a(1)=x(1); f(1)=1; for k=2:size(x,2) if x(k)==x(k-1) f(j)=f(j)+1; else j=j+1; a(j)=x(k); f(j)=1; end

Parametri niza Nakon proračuna frekvencija, računamo parametre niza x=[ ]; [a,f]=af(x); n=sum(f) sv=a*f’/n d=(a.^2)*f’/N-sv^2 sd=sqrt(d)

Grafički prikaz Izračunate podatke moguće je grafički prikazati: plot(a,f)

Kontinuirana statistička obilježja Neka je zadan niz od n statističkih podataka x 1,...,x n kontinuiranog statističkog obilježja. Podatke svrstavamo u razrede [a 0,a 1 ),...,[a r-1,a r ] širina c, sa ritmetičkim sredinama razreda s 1,...,s n. Ako frekvencije razreda označimo redom sa f 1,..,f n, a pripadne relativne frekvencije sa r 1,...r n, podatke možemo pregledno prikazati

Primjer 2 Mjerena je težina glavica kupusa, pri čemu su dobiveni sljedeći podaci: 5.22, 3.03, 2.81, 4.23, 2.67, 1.90, 3.97, 5.65, 5.44, 4.57, 3.89, 3.60, 3.85, 2.52, 2.14, 3.97, 4.98, 2.70, 2.09, 4.22, 2.54, 5.06, 4.33, 2.94, 3.47, 4.24, 3.59, 2.83, 4.58, 3.15 Podatke organiziramo u r=5 razreda i računamo numeričke karakteristike niza

Parametri niza Uočavamo da je najmanja vrijednost u nizu 1.90, a najveća 5.65 Kako imamo 5 razreda, njihova širina je c=( )/5=0.75

Računanje korištenjem Matlaba Definiramo funkciju sfc(x,r) koja podatke svrstava u zadani broj razreda x=[ ]; [s,f,c] = sfc(x,5); n=sum(f) sv=s*f’/n d=(s.^2)*f’/n-sv^2 sd=sqrt(d)

Grafički prikaz Podatke prikazujemo grafički plot(s,f) bar(s,f)

Binomna razdioba Za binomnu razdiobu s parametrima karakteristično je da su vrijednosti a k -ova 0,1,...,n. Ako je X slučajna varijabla distribuirana po binomnoj razdiobi, onda je vjerojatnost da ona poprimi određenu vrijednost k (k=0,1,2,...,n):

Primjer 3 Rezultati natjecanja u ispijanju piva dani su u tablici. Zbog sigurnosti natjecatelja, maksimalan broj ispijenih piva ograničen je na 10. Rezultate prilagodite binomnoj razdiobi. Broj piva a k =k Pripadne frekvencije f k

Rešenje: a=0:8 f=[ ] N=sum(f) n=10 sv=a*f’/N p=sv/n ft=round(N*binomna(n,p,a))

Poissonova razdioba Kod Poissonove razdiobe, vrijednosti ak su svi prirodni brojevi i nula. Ako je X slučajna varijabla distribuirana po Poissonovoj razdiobi s parametrom >0  sv), onda je vjerojatnost da ona poprimi vrijednost k dana sa:

Primjer 4 Skupina iračkih gerilaca natječe se u gađanju Američkih vojnika. Rezltate natjecanja u broju pogođenih Amerikanaca, dane u tablici, prilagodi Poissonovoj razdiobi. a k =k fkfk

Rješenje a=0:13 f=[ ] N=sum(f) sv=a*f '/N ft=round(N*poisson(sv,a)) Rezultat: ft =

Grafički prikaz rezultata plot(a,f,a,ft,’--’)

Normalna razdioba Kod normalne razdiobe podaci mogu poprimiti bilo koju realnu vrijednost. Ako je X slučajna varijabla distribuirana po normaalnoj razdiobi s parametrima  i  , onda je njeno očekivanje EX= , a disperzija (varijanca) DX=VarX=  

Primjer 5 Mjerenjem pogreške serije dubinomjera, ustanovljeno je da greška varira između –2 i 0.5m. Podatke grupirane u 5 razreda, dane u tablici, prilagodi normalnoj razdiobi. razredi frekvencije f k -2, , , , 08 0, 0.53

Rješenje – parametri razdiobe c=0.5 dg=-2:c:0 gg=dg+c f=[ ] s=(dg+gg)/2 N=sum(f) sv=s*f’/N d=(s.^2)*f’/N-sv^2 sd=sqrt(d)

Teorijske frekvencije Aritmetičku sredinu sv interpretiramo kao očekivanje , a sd kao standardnu devijaciju . Teorijske frekvencije računaju se prema:

Računanje teoretskih frekvencija Jednorenu matricu (vektor) teoretskih frekvencija u matlabu računamo naredbom: ft=N*c/sd/sqrt(2*pi)*exp(-((s-sv)/sd).^2 /2) ft=round(ft)