Ali Karimpour Associate Professor Ferdowsi University of Mashhad ADVANCED CONTROL Ali Karimpour Associate Professor Ferdowsi University of Mashhad <<<1.1>>> ###Control System Design### {{{Control, Design}}} Reference: Chi-Tsong Chen, “Linear System Theory and Design”, 1999.

Mathematical Descriptions of Systems Lecture 1 Mathematical Descriptions of Systems Topics to be covered include: Introduction. Linear Systems. Linear Time Invariant Systems. Op-Amp Circuit Implementation Linearization. Concluding Remarks

آنچه پس از مطالعه این مبحث می آموزید سیستم علی، فشرده و گسترده Causal, lumped and lumpedness Systems سیستم خطی و خواص آن Linear Systems and Its Property مفهوم حالت State Idea زوج حالت- ورودی- خروجی و مفهوم آن State-Input-Output Pair Idea رابطه ورودی خروجی در سیستمهای خطی با شرایط گوناگون Input-Output Relation معادلات فضای حالت سیستمهای LTV State Space Representation for LTV Systems سیستمهای غیر متغیر با زمان و تابع انتقال Time Invariant Systems and Transfer Function <<<1.2>>> معادلات فضای حالت سیستمهای LTI LTI State Space Representation پیاده سازی توسط آپ امپ Op-Amp Circuit Implementation خطی سازی سیستمهای غیر متغیر با زمان Linearization of LTI Systems

Introductionمقدمه Continues System سیستم پیوسته: Discrete System سیستم گسسته:

Introductionمقدمه System System SISO System سیستم تک ورودی تک خروجی: MIMO System سیستم چند ورودی چند خروجی: System

Introductionمقدمه سیستم بدون حافظه سیستم علی Memory less System یک سیستم بدون حافظه نامیده می شود اگر خروجی در هر لحظه تنها به ورودی همان لحظه مرتبط بوده و به ورودی های قبل و بعد ربطی نداشته باشد. Causal system سیستم علی یک سیستم علی نامیده می شود اگر خروجی در لحظه t0 تنها به ورودی لحظه t0 و ورودی های ماقبل آن مرتبط بوده و به ورودی های بعد از لحظه t0 ربطی نداشته باشد.

Introductionمقدمه Input-Output Relation ارتباط ورودی و خروجی ارتباط ورودی و خروجی برای سیستم علی تعریف 1-1(حالت): حالت x(t0) در زمان t0 مجموعه اطلاعاتی است که با معلوم بودن u(t) برای t≥t0 ، y(t) را بصورت منحصربفرد برای t≥t0 تعیین می کند. State-Input-Output Pair زوج حالت-ورودی- خروجی

Introductionمقدمه سیستم فشرده سیستم گسترده Lumped System یک سیستم فشرده نامیده می شود اگر تعداد حالات آن محدود باشد. Distributed System سیستم گسترده یک سیستم گسترده نامیده می شود اگر تعداد حالات آن نامحدود باشد. مثال 1-1(سیستم گسترده):

Linear Systemsسیستمهای خطی سیستم خطی یک سیستم خطی نامیده می شود اگر برای هر t0 و هر دو زوج حالت- ورودی- خروجی زیر شرایط زیر برقرار باشد: 1- خاصیت جمع پذیری 2- خاصیت همگنی دو خاصیت می تواند ترکیب شده و خاصیت جمع آثار را نتیجه دهد.

Linear Systemsسیستمهای خطی پاسخ ورودی صفر+ پاسخ حالت صفر = پاسخ کامل Linear System property خاصیت سیستم خطی پاسخ حالت صفر یک سیستم را در نظر بگیرید: پاسخ ورودی صفر سیستم را در نظر بگیرید: حال با فرض خطی بودن سیستم داریم: پس در سیستمهای خطی داریم: پاسخ ورودی صفر+ پاسخ حالت صفر = پاسخ کامل

Linear Systemsسیستمهای خطی Input-Output Description توصیف ورودی-خروجی ورودی زیر را در نظر بگیرید: فرض کنید: با توجه به خاصیت همگنی: با توجه به خاصیت جمع پذیری: پس داریم:

Linear Systemsسیستمهای خطی Input-Output Description for Linear System توصیف ورودی-خروجی یک سیستم خطی توصیف ورودی-خروجی یک سیستم خطی و علی Input-Output Description for Causal Linear System توصیف ورودی-خروجی یک سیستم خطی و علی و آرام در t0 Input-Output Description for Causal and relaxed Linear System at t0 In a MIMO case

Linear Systemsسیستمهای خطی State Space Descriptionتوصیف فضای حالت

Linear Time Invariant Systemsسیستمهای خطی غیر متغیر با زمان یک سیستم خطی غیر متغیر با زمان نامیده می شود اگر برای هر زوج حالت- ورودی- خروجی و برای هر T داشته باشیم: توصیف ورودی-خروجی سیستم غیر متغیر با زمان Input-Output Description for LTI برای سیستم خطی غیرمتغیر با زمان داریم:

Linear Time Invariant Systemsسیستمهای خطی غیر متغیر با زمان مثال 1-2: مطلوبست پاسخ ضربه سیستم تاخیر واحد مثال 1-3: مطلوبست پاسخ ضربه سیستم مقابل مثال 1-4: مطلوبست پاسخ سیستم مثال قبل به ورودی دلخواه r(t) که برای t<0 برابر صفر است.

Linear Time Invariant Systemsسیستمهای خطی غیر متغیر با زمان توصیف ورودی-خروجی یک سیستم خطی غیر متغیر با زمان Input-Output Description for Linear Time Invariant System توصیف ورودی-خروجی یک سیستم خطی علی غیر متغیر با زمان Input-Output Description for Causal Linear Time Invariant System توصیف ورودی-خروجی یک سیستم خطی علی غیر متغیر با زمان آرام Input-Output Description for Causal and Relaxed Linear Time Invariant System

Transfer Function Matrixماتریس تابع انتقال نمایش خروجی یک سیستم در حوزه لاپلاس با استفاده از رابطه ورودی-خروجی

Transfer Function Matrixماتریس تابع انتقال تابع انتقال = نمایش ورودی-خروجی یک سیستم در حوزه لاپلاس Proper tranfer function(tf): مناسب است Strictly proper tf: اکیدا مناسب است Improper tf: نامناسب است Biproper tf: مناسب دو طرفه است برای یک سیستم p–ورودی ، q-خروجی تابع انتقال به ماتریس انتقال تبدیل می شود.

Transfer Function Matrixماتریس تابع انتقال مثال 1-5: مطلوبست تابع انتقال سیستم تاخیر واحد مثال 1-6: مطلوبست تابع انتقال سیستم مقابل

State Space Description for Linear Systemsتوصیف فضای حالت سیستمهای خطی State Space Description for LTI systems توصیف فضای حالت سیستم غیرمتغیر با زمان برای محاسبه تابع انتقال کافیست از معادلات حالت تبدیل لاپلاس بگیریم: پس تابع انتقال (با فرض شرط اولیه صفر) عبارتست از:

Op-Amp Circuit Implementationپیاده سازی مداری توسط آپ- امپ

Op-Amp Circuit Implementationپیاده سازی مداری توسط آپ- امپ

Op-Amp Circuit Implementationپیاده سازی مداری توسط آپ- امپ مثال 1-7: مطلوبست پیاده سازی آپ امپی سیستم مقابل

Linearizationخطی سازی Although almost every real system includes nonlinear features, many systems can be reasonably described, at least within certain operating ranges, by linear models. گرچه تقریبا تمام سیستمهای واقعی دارای رفتار غیر خطی هستند، بسیاری از سیستمها را می توان حداقل در یک رنج کاری خاص خطی نمود.

Linearizationخطی سازی Say that {xQ(t), uQ(t), yQ(t)} is a given set of trajectories that satisfy the above equations, so we have

Linearizationخطی سازی

Linearizationخطی سازی مثال 1-8: سیستم مقابل را در نظر بگیرید: فرض کنید ورودی حول 2 تغییر جزئی دارد، سیستم را حول نقطه داده شده خطی کنید.

Linearizationخطی سازی شبیه سازی

Linearizationخطی سازی مثال 1-9: سیستم مقابل را حول نقطه تعادلش خطی کنید. θ l u mg

Concluding Remarksنکات خلاصه System Type Internal Description External Description Distributed, linear - - - - - - - - - - - Lumped, linear Distributed, linear time-invariant - - - - - - - - - - - Lumped, linear time-invariant

Exercisesتمرینها تمرین 1-1: سیستمهای زیر دارای شرط اولیه صفر و رابطه ورودی- خروجی آنها در شکل دیده می شود. کدام سیستم خطی است؟ چرا؟ تمرین 1-2: اپراتور برش بصورت رابطه زیر دیده می شود. آیا سیستم خطی است؟ آیا سیستم غیر متغیر بازمان است؟ آیا سیستم علی است؟ برای هر مورد دلیل بیاورید.

Exercisesتمرینها تمرین 1-3: به یک سیستم خطی ورودی u1(t) ، u2(t) و u3(t) اعمال میشود. در هر حالت شرط اولیه برابر x(0) می باشد. اگر فرض کنیم x(0)≠0 است کدام یک از موارد زیر درست است؟ چرا؟ اگر فرض کنیم x(0)=0 است کدام یک از موارد زیر درست است؟ چرا؟ تمرین 1-4: سیستم زیر دارای شرط اولیه صفر و رابطه ورودی- خروجی آن در شکل دیده می شود. شرط جمع پذیری و همگنی را بررسی کنید.

Exercisesتمرینها تمرین 1-5: پاسخ ضربه یک سیستم خطی و ورودی در شکل زیر دیده میشود مطلوبست پاسخ حالت صفر سیستم. تمرین 1-6: مطلوبست تابع انتقال و پاسخ ضربه سیستم زیر. تمرین 1-7: مطلوبست پاسخ پله سیستم مقابل برای a=1 و a=0.5

Exercisesتمرینها تمرین 1-8: مطلوبست پاسخ پله سیستم مقابل برای a=1 و a=0.5 تمرین 1-9: دیاگرام آپ امپی سیستم زیر را بدست آورید. تمرین 1-10: معادلات فضای حالت و تابع انتقال سیستم زیر را بدست آورید.

Exercisesتمرینها تمرین 1-11: مطلوبست معادلات فضای حالت سیستم زیر:

Example 1-10 Suppose electromagnetic force is i2/y and find linearzed model around y=y0 Equilibrium point:

Example 1-10 Suppose electromagnetic force is i2/y and find linearzed model around y=y0 Equilibrium point:

Example 1-11 Consider the following nonlinear system Example 1-11 Consider the following nonlinear system. Suppose u(t)=0 and initial condition is x10=x20=1. Find the linearized system around response of system.

Example 1-12 (Inverted pendulum) مثال 1-12 پاندول معکوس Figure : Inverted pendulum y(t) - distance from some reference point (t) - angle of pendulum M - mass of cart m - mass of pendulum (assumed concentrated at tip) l - length of pendulum f(t) - forces applied to pendulum {{{Inverted Pendulum}}}

Inverted Pendulum

Inverted Pendulum Application of Newtonian physics to this system leads to the following model: where m = (M/m) This is a linear state space model in which A, B and C are:

Answers to selected problems جواب 1-1: خطی، غیر خطی و غیر خطی جواب 1-2: خطی، متغیر با زمان و علی جواب 1-3: برای شرط اولیه غیر صفر خیر، بلی و خیر و برای شرط اولیه صفر بلی، بلی و بلی جواب 1-5: برای t<0 و t>4 مقدار y برابر صفر و جواب 1-6: