1. برنامه ریزی خطی پیشرفته (21715( Advanced Linear Programming Lecture 11
بنام خدا
برنامه ریزی خطی پیشرفته (21715(
Advanced Linear Programming
Lecture 11
بهینه سازی استوار (Robust Optimization)
مدرس: ناصر سلماسی

2. برنامه ریزی خطی پیشرفته (21715 (
مراجع
Robust Optimization, By Ben-Tal, A., El Ghaoui, L., and Nemirovski, A., Princeton University press, 2010.
Smith, J.C. and Ahmed, Sh., Introduction to Robust Optimization, Wiley Encyclopedia of Operations Research and Management Science. 2 2

3. برنامه ریزی خطی پیشرفته (21715 (
A Chinese Proverb
To be uncertain is to be uncomfortable, but to be certain is to be ridiculous. 3 3

4. برنامه ریزی خطی پیشرفته (21715 (
هدف از ارایه
بررسی مساله های بهینه سازی در حالت قطعی نبودن داده ها
ارایه مطالب اولیه با تاکید بر:
توضیح پدیده عدم قطعیت در داده ها و دلایل اهمیت آن
توضیح برخورد با مساله عدم قطعیت داده ها در بهینه سازی استوار
مقایسه بهینه سازی استوار با تکنیک های متداول برای حل مساله های بهینه سازی با داده های غیر قطعی 4 4

5. برنامه ریزی خطی پیشرفته (21715 (
عدم قطعیت در داده ها در بهینه سازی
آیا عدم قطعیت در داده های (مقدار پارامترهای) مساله های بهینه سازی نیاز به توجه ویژه دارد؟ 5 5

6. برنامه ریزی خطی پیشرفته (21715 (
مثال
مساله ای شناخته شده از مجموعه مساله های NETLIB (مساله PILOT4)
مساله شامل 1000 متغیر تصمیم و 410 محدودیت
یکی از محدودیت های مساله : 6 6

7. برنامه ریزی خطی پیشرفته (21715 (
مثال-ادامه
جواب بهینه مساله با استفاده از نرم افزار CPLEX:
ارضای محدودیت بصورت تساوی با توجه به دقت نرم افزار 7 7

8. برنامه ریزی خطی پیشرفته (21715 (
مثال-ادامه
ثبت ضریب های تکنولوژیکی مساله بطور غیر واقعی دقیق و با اعشار بالا
امکان پذیر نبودن چنین دقتی در مساله های واقعی
حساسیت بالای جواب بهینه در بیشتر موارد نسبت به مقدار پارامترهای مساله
غیر بهینه و یا حتی غیر موجه شدن جواب بهینه با تغییر مقدار یک پارامتر 8 8

9. برنامه ریزی خطی پیشرفته (21715 (
نتایج یک تحقیق در سال 1990 میلادی:
حل 90 مساله انتخاب شده از مجموع مساله های برنامه ریزی خطی نمونه در NETLAB
انجام تغییرات جزیی در حد تغییر 0.01 درصدی یکی از پارامترها در تعدادی از محدودیت ها و حل مجدد مساله
ارضا نشدن محدودیت ها در اثر این تغییر در 13 مساله
مشاهده بزرگی مقدار غیر موجه یکی از محدودیت ها بیش از 100% در شش مساله
نتیجه گیری
تغییر قابل توجه جواب بهینه مساله در بسیاری از مساله های دنیای واقعی با انجام تغییر بسیار ناچیز در یکی از پارامترها 9 9

10. برنامه ریزی خطی پیشرفته (21715 (
نگرانی مهم کاربران تحقیق در عملیات
خطای پیش بینی: عدم قطعیت در داده ها و مشخص نبودن مقدار پارامترها زمان حل مساله
خطای اندازه گیری: خطاهای اندازه گیری و تخمین پارامترها
خطای اجرا: خطاهای پیاده سازی و استفاده از جواب بهینه (مثال عددی ارایه شده)
امکان ناموجه شدن یا بی معنی شدن جواب بهینه مساله در اثر تغییر جزیی در یکی از پارامترها 10 10

11. برنامه ریزی خطی پیشرفته (21715 (
نگرانی مهم کاربران تحقیق در عملیات
نیاز به وجود یک متدولوژی برای:
شناسایی وضعیت های عدم قطعیت
شناسایی تاثیرهای آن بر وضعیت جواب بهینه
ارایه یک جواب استوار بر پایه این محدودیت ها به منظور ارایه جوابی ایمن نسبت به این عدم قطعیت ها 11 11

12. برنامه ریزی خطی پیشرفته (21715 (
مثال هایی واقعی از عدم قطعیت
عدم قطعیت در تمامی فعالیت های زنجیره تامین
عدم قطعیت در قیمت سهام در بازار بورس برای فاصله های زمانی آینده
عدم قطعیت در مقدار تقاضای محصول در دوره بعدی
عدم قطعیت در مقدار پارامترهای مساله های زمان بندی واقعی مانند زمان بندی اتاق های عمل 12 12

13. برنامه ریزی خطی پیشرفته (21715 (
روش های کلاسیک در مورد برخورد با مساله های عدم قطعیت
تحلیل حساسیت(Sensitivity Analysis)
برنامه ریزی احتمالی(Stochastic Programming)
منطق فازی 13 13

14. برنامه ریزی خطی پیشرفته (21715 (
بهینه سازی تصادفی و تحلیل حساسیت
کاربرد تحلیل حساسیت در مساله های پیوسته و قطعی
تغییر یک پارامتر در حالت ثابت بودن سایر پارامترها
ماهیت قطعی بودن مقدار پارامترها در تکنیک های تحلیل حساسیت 14 14

15. برنامه ریزی خطی پیشرفته (21715 (
مقایسه بهینه سازی استوار با برنامه ریزی احتمالی
Stochastic Optimization (SO)
فرض پایه
تعیین مقدار پارامترهای مدل بر پایه یک مقدار تصادفی از یک تابع توزیع احتمالی مشخص (در مواردی نامشخص)
ناشناخته بودن تابع توزیع احتمالی مقدار پارامترها در مواردی
تبدیل مساله غیر قطعی خطی به یک مساله قرین (counterpart) با عنوان chance constraint problem 15 15

16. برنامه ریزی خطی پیشرفته (21715 (
مقایسه بهینه سازی استوار با برنامه ریزی احتمالی-ادامه
نمایش برنامه ریزی احتمالی بصورت زیر:
اپسیلون یک عددبسیار کوچک
P تابع توزیع داده های مساله (c, A, b) که بصورت کامل شناخته شده نیست. 16 16

17. برنامه ریزی خطی پیشرفته (21715 (
مقایسه بهینه سازی استوار با برنامه ریزی احتمالی -ادامه
می توان مدل برنامه ریزی احتمالی را بصورت زیر نیز نمایش داد:
محافظه کاری کمتر برنامه ریزی احتمالی نسبت به بهینه سازی استوار )که همواره بدترین حالت های ممکن را نیز در نظر می گیرد) اگر بتوانیم تابع توزیعی برای تخمین پارامترهای مساله شناسایی کنیم.
چنین شانسی همواره وجود ندارد. 17 17

18. برنامه ریزی خطی پیشرفته (21715 (
مقایسه بهینه سازی استوار با برنامه ریزی احتمالی –ادامه
از یک دیدگاه می توان خاصیت محافظه کارانه تر بهینه سازی استوار را مزیتی نسبت به برنامه ریزی احتمالی دانست. 18 18

19. برنامه ریزی خطی پیشرفته (21715 (
مثال
مراحل طراحی یک بنا مانند یک پل راه آهن
تلاش مهندسین طراحی برای افزایش مقدار پارامترهای ایمنی طراحی پل با استفاده از تکنیک های کمی
غیر قطعی بودن این پارامترها در اثر متغیر بودن شرایط محیطی و جوی (زلزله، سیل و...)
در صورت استفاده از تکنیک های بهینه سازی استوار در این فرایند
انتخاب بزرگترین منطقه عدم اطمینان با هدف نزدیک شدن تا حد ممکن به حالت ایمن 19 19

20. برنامه ریزی خطی پیشرفته (21715 (
مثال-ادامه
این عمل در برنامه ریزی احتمالی ممکن نیست زیرا که بودجه تحمل عدم اطمینان بر اساس رابطه زیر از قبل ثابت فرض شده است.
به عبارت دیگر مجموع احتمال شناسایی عدم قطعیت ها باید برابر یک باشد.
با تلاش برای افزایش احتمال رویداد یک سناریو، احتمال رویداد سناریوهای دیگر کاهش پیدا می کنند.
در مواردی کنترل این فرایند بسیار مشکل می شود. 20 20

21. برنامه ریزی خطی پیشرفته (21715 (
به عبارت دیگر بهینه سازی استوار و برنامه ریزی احتمالی دو فرایند مکمل هستند که هر یک کاربردهای خاص خود را دارند.
می توان از اطلاعات تابع توزیع تصادفی داده ها (در صورت وجود و شناسایی) در بهینه سازی استوار به نوعی استفاده کرد. 21 21

22. برنامه ریزی خطی پیشرفته (21715 (
بهینه سازی استوار در مساله های برنامه ریزی خطی
در بهینه سازی استوار، یک مساله برنامه ریزی خطی، با پارامترهای غیر قطعی بصورت یک مجموعه بصورت زیر تعریف می شود:
فرض می شود مقدار پارامترها در مجموعه U تغییر می کنند.
مجموعه U شامل تمام مقدارهای ممکن برای پارامترها است.
مجموعه U شامل تمام داده های موجود برای حل مساله در زمان حل آن است. 22 22

23. برنامه ریزی خطی پیشرفته (21715 (
پرسش اصلی
منظور از حل یک مساله برنامه ریزی خطی در حالت عدم قطعیت چیست؟
پاسخ ارایه شده به این پرسش بر پایه سه فرض پایه ای است. 23 23

24. برنامه ریزی خطی پیشرفته (21715 (
فرض های تکنیک بهینه سازی استوار
مقدارهای متغیرهای تصمیم در پاسخ بهینه بر پایه وضعیت فعلی (سطح اطلاعات موجود) محاسبه شده اند. به عبارت دیگر پاسخ بدست آمده بر پایه قطعی نبودن مقدار پارامترها است.
تصمیم گیرنده مسولیت کامل تبعات تصمیم ایجاد شده بر اثر حل غیر قطعی مدل را دارد در صورتی که مقدار پارامترها همگی در مجموعه U تعریف شده باشند.
تمامی محدودیت های بیان شده در مساله از نوع سخت بوده و حتما باید رعایت شوند. 24 24

25. برنامه ریزی خطی پیشرفته (21715 (
این فرض ها منجر به تعریفی برای بدست آوردن جوابی می شود که ایمن از هر گونه عدم قطعیت باشد.
فرضیات بیان می کنند که به دنبال بهترین جوابی هستیم که در تمامی حالت ها موجه باشد.
جواب هایی که در تمامی حالت های مجموعه U موجه باشند را جوابهای موجه استوار (Robust Feasible Solutions) می گوییم. 25 25

26. برنامه ریزی خطی پیشرفته (21715 (
تقريب يک جواب استوار

27. برنامه ریزی خطی پیشرفته (21715 (
با توجه به شناسایی منطقه موجه بر پایه جوابهای موجه استوار، قدم بعدی شناسایی مقدارهای ممکن برای پارامترهای تابع هدف مساله است.
در مواردی ممکن است ضریب های تابع هدف قطعی نباشند.
در چنین مواردی یافتن جواب بهینه در مجموع جواب های موجه استوار آسان نیست. 27 27

28. برنامه ریزی خطی پیشرفته (21715 (
توصیه اصلی در نظر گرفتن تابع هدف مساله با بدترین ضریب های ممکن است.
در این حالت رابطه زیر ارایه کننده پاسخ مساله به کمک تکنیک بهینه سازی استوار است. 28 28

29. برنامه ریزی خطی پیشرفته (21715 (
مساله همزاد استوار یا Robust Counterpart(RC) مساله اصلی بصورت زیر ایجاد می شود:
جواب های بهینه (موجه) مساله RC جواب بهینه استوار (موجه استوار) مساله غیر قطعی اصلی نامیده می شوند. 29 29

30. برنامه ریزی خطی پیشرفته (21715 (
تاریخچه بهینه سازی استوار
Robust Control
Robust Statistics
Machine Learning
Robust linear and Convex Optimality 30 30

31. برنامه ریزی خطی پیشرفته (21715 (
Robust linear and Convex Optimality
راه حل اولیه(Soyster, 1973*) : بررسی و تحلیل مساله ها در بدترین حالت (The worst case)
روشی بسیار محافظه کارانه و غیر واقعی
وجود تنها دو مقاله در دو دهه بعد از آن
آغاز مطالعه جدی در این زمینه از 1997
* A.L. Soyster, 1973, “Convex programming with set-inclusive constraints and applications to inexact linear programming”, Oper. Res. 21, 31 31

32. برنامه ریزی خطی پیشرفته (21715 (
فضاهای تحقیقاتی موجود در بهینه سازی استوار
Extension of Robust Optimization paradigm
Investigating tractability issues of Robust Counterparts
Applications of Robust Optimization 32 32

33. برنامه ریزی خطی پیشرفته (21715 (
فصل اول
بهینه سازی خطی استوار
بررسی و معرفی مفاهیم بهینه سازی خطی غیر قطعی
آشنایی با مساله بهینه سازی استوار همزاد آن
بررسی مشکلات حل مساله های بهینه سازی استوار 33 33

34. برنامه ریزی خطی پیشرفته (21715 (
فصل اول
بهینه سازی خطی استوار
مساله بهینه سازی خطی را بصورت زیر در نظر بگیرید: 34 34

35. برنامه ریزی خطی پیشرفته (21715 (
مشخصا مقدار پارامتر d اگر چه در مقدار بهینه مساله تاثیر گذار است ولی تاثیری در جواب بهینه مساله ندارد و لزوما در مساله های برنامه ریزی خطی در محاسبه جواب بهینه مدنظر قرار نمی گیرد.
در بهینه سازی استوار برای بهینه سازی نیاز به در نظر گرفتن این پارامتر احساس می شود. 35 35

36. برنامه ریزی خطی پیشرفته (21715 (
با فرض داشتن m محدودیت و n متغیر تصمیم و در نظر گرفتن مجموعه (c, d, A, b) به عنوان مجموعه داده ها، مساله بصورت یک ماتریس (m +1)×(n + 1) قابل نمایش است.
در اینجا فرض می شود تمام محدودیت های مساله بصورت ≥ هستند. محدودیت های دیگر به این صورت تبدیل می شوند.
بر پایه توضیحات قبلی می دانیم که مقدار پارامترهای تعیین شده برای مساله می توانند غیر قطعی باشند. 36 36

37. برنامه ریزی خطی پیشرفته (21715 (
مقدار تاثیر یک متغیر تصمیم مانند xj در سمت چپ یک محدودیت برابر aijxj است.
در صورتی که مقدار خطای پیاده سازی برای این متغیر تصمیم بصورت باشد، و این تنها خطای پیاده سازی در مساله باشد، در این صورت سمت چپ محدودیت دارای عبارت اضافی است.
این تغییر معادل تغییر مقدار سمت راست این محدودیت بصورت است.
در مساله های برنامه ریزی خطی این خطاها در نظر گرفته نمی شوند به امید اینکه موجه بودن جواب بهینه را تهدید نمی کنند. 37 37

38. برنامه ریزی خطی پیشرفته (21715 (
مثال
سازمانی تولید کننده دو دارو (Drug I and Drug II) شامل یک active agent خاص
استفاده از دو ماده اولیه متفاوت (Raw I and Raw II) برای تولید active agent
نمایش داده های مربوط به محصولات، هزینه ها و منابع در جدول های بعدی
هدف یافتن بهترین ترکیب تولید برای حداکثر کردن سود 38 38

39. برنامه ریزی خطی پیشرفته (21715 (39 39

40. برنامه ریزی خطی پیشرفته (21715 (
مدل ریاضی مساله بصورت زیر است: 40 40

41. برنامه ریزی خطی پیشرفته (21715 (
جواب بهینه مساله به قرار زیر است:
مشخص است که در جواب بهینه هر دو محدودیت بودجه و محدودیت متعادل بودن active agent ها فعال هستند.
مشخص است که این پاسخ ها با توجه به احتمال غیر قطعی بودن داده های مساله بسیار غیر قابل اعتماد هستند.
به عنوان مثال نمی توان مطمئن بود که مقدار agent A در ماده های خام اولیه دقیقا 0.01 و 0.02 باشند. 41 41

42. برنامه ریزی خطی پیشرفته (21715 (
این مقدارها می توانند در محدوده مشخص از پیش تعیین شده ای تغییر کنند.
فرض کنید این مقدارها در محدوده ای بصورت زیر تغییر می کنند:
در حالتی که این دو ماده در نقاط مرزی این فاصله باشند، جواب بهینه ارایه شده برای این مساله غیر موجه می شود. 42 42

43. برنامه ریزی خطی پیشرفته (21715 (
هنگام استفاده از بهینه سازی خطی نیاز به تکنیک هایی است که بصورت همزمان :
قادر به تشخیص شرایطی باشند که داده های غیر قطعی دارای تاثیر معنی داری به روی کیفیت جواب بهینه است.
در این حالت این تکنیک ها جواب های قابل اعتمادی ایجاد کنند که در برابر هر گونه غیر قطعی بودن ایمن باشند.
در قسمت بعدی روش Robust counterpart برای مساله های بهینه سازی خطی در حالت غیر قطعی بودن داده ها ارایه می شود. 43 43

44. برنامه ریزی خطی پیشرفته (21715 (
مساله های خطی غیر قطعی و مساله های همزاد استوار آنها
تعریف.
یک مساله بهینه سازی خطی غیر قطعی بصورت زیر است:
مساله را می توان یک مجموعه از مساله های بهینه سازی خطی بصورت دانست که دارای ساختار مشترک (m محدودیت و n متغیر تصمیم) بوده و مقدار پارامترهای آن متعلق به یک مجموعه غیر قطعی مشخص به نامU بصورت زیر است. 44 44

45. برنامه ریزی خطی پیشرفته (21715 (
معمولا فرض می شود مجموعه عدم قطعیت داده ها در یک مجموعه Affine بصورت زیر تغییر کنند:
کاربرد این مجموعه در مثال عددی ارایه شده در اسلاید بعدی ارایه شده است.
این رابطه ها نشان می دهند که در این مساله غیر قطعی بودن داده ها فقط مربوط به ضریب های anI و anII هستند. 45 45

46. برنامه ریزی خطی پیشرفته (21715 (46 46

47. برنامه ریزی خطی پیشرفته (21715 (47 47

48. برنامه ریزی خطی پیشرفته (21715 (
تعریف ها
جواب موجه استوار
بردار یک جواب موجه استوار برای یک مساله بهینه سازی خطی استوار است اگر در تمامی حالت های ممکن مقدار متغیرهای تعریف شده در مجموعه U بصورت زیر صدق کند. 48 48

49. برنامه ریزی خطی پیشرفته (21715 (
مقدار تابع هدف یک جواب موجه استوار
برای هر جواب کاندید مانند x، مقدار استوار تابع هدف در مساله برنامه ریزی خطی استوار برابر بیشترین مقدار قابل قبول رابطه تابع هدف بصورت cTx + d است برای تمام مقدارهایی که در رابطه زیر صدق کنند:
پس از شناسایی جواب های کاندید قابل قبول برای مساله و نحوه محاسبه مقدار تابع هدف به ازای آنها، نوبت به بهینه سازی مساله می رسد. 49 49

50. برنامه ریزی خطی پیشرفته (21715 (
همزاد استوار یک مساله بهینه سازی غیر قطعی
همزاد استوار یک مساله برنامه ریزی خطی غیر قطعی معادل بهینه سازی مساله زیر است:
جواب بهینه مساله همزاد جواب بهینه استوار مساله نام دارد.
مقدار بهینه مساله همزاد مقدار بهینه استوار مساله برنامه ریزی خطی غیر قطعی نام دارد. 50 50

51. برنامه ریزی خطی پیشرفته (21715 (
تعبیر جواب بهینه مساله همزاد
جواب بهینه استوار بهترین جوابی برای تابع هدف است که در تمامی حالت های غیر قطعی صدق می کند. 51 51

52. برنامه ریزی خطی پیشرفته (21715 (
مثال
یافتن جواب بهینه استوار برای مثال ارایه شده
عدم قطعیت موجود در مساله تنها برای ضریب های مصرف مواد اولیه در داروها در محدودیت بالانس داروها
جواب های موجه استوار جواب هایی هستند که در تمامی محدودیت های داروها صدق کنند به جز محدودیت بالانس
در مورد محدودیت بالانس باید در بدترین حالت ممکن بررسی شود.
در واقع باید anI و anII در بدترین مقدار خود بررسی شوند.
تابع هدف در اثر این تغییرات بی تاثیر است. 52 52

53. برنامه ریزی خطی پیشرفته (21715 (
مدل ریاضی مساله در این حالت بصورت زیر تبدیل می شود: 53 53

54. برنامه ریزی خطی پیشرفته (21715 (
هزینه پیدا کردن جواب استوار منجر به کاهش 5.95% مقدار بهینه تابع هدف مساله در دو حالت عادی و استوار می شود (مقدار در مقایسه با ). 54 54

55. برنامه ریزی خطی پیشرفته (21715 (
حل مساله های برنامه ریزی خطی به کمک بهینه سازی استوار
مساله برنامه ریزی خطی زیر را در نظر بگیرید:
فرض کنید Am*n باشد.
مدل I
فرض کنید مقدارهای (c, A, b) مقدارهایی نامشخص داشته باشند. 55 55

56. برنامه ریزی خطی پیشرفته (21715 (
حل مساله های برنامه ریزی خطی به کمک بهینه سازی استوار
به منظور اینکه نامشخص بودن مقدار پارامترها از تابع هدف رفع شود تغییر متغیر زیر را به مدل اعمال می کنیم:
مدل II
در این حالت عدم قطعیت فقط در محدودیت ها مشاهده می شوند. 56 56

57. برنامه ریزی خطی پیشرفته (21715 (
حل مساله های برنامه ریزی خطی به کمک بهینه سازی استوار
فرض کنید حالت عدم قطعیت تنها در مقدار درایه های ماتریس A وجود داشته باشد.
فرض کنید U مجموعه ای باشد که تمامی حالت های عدم قطعیت درایه های ماتریس A متعلق به آن باشند.
در این حالت می توان در مدلI محدودیت دوم را با محدودیت زیر جایگذاری کرد:
در این حالت مساله به یک مدل نیمه معین تبدیل می شود. یک مدل ریاضی با تعداد معینی متغیر تصمیم و تعداد نامعینی محدودیت. 57 57

58. برنامه ریزی خطی پیشرفته (21715 (
مثال
مساله برنامه ریزی خطی زیر را در نظر بگیرید:
فرض کنید وضعیت غیر قطعی بودن مقادیر پارامترهای این مساله به قرار زیر باشد: 58 58

59. برنامه ریزی خطی پیشرفته (21715 (
در صورتی که تمام مقدارهای ∆ برابر با صفر باشند مساله به یک مساله برنامه ریزی خطی عادی تبدیل می شود. 59 59

60. برنامه ریزی خطی پیشرفته (21715 (
با در نظر گرفتن ترکیب محدب نقطه های زیر مجموعه نامحدودی از محدودیت ها بصورت شکل زیر ایجاد می شود:
مجموعه این محدودیت ها می توانند توسط دو نامساوی زیر جایگزین شوند: 60 60

61. برنامه ریزی خطی پیشرفته (21715 (
به همین صورت با در نظر گرفتن ترکیب محدب نقطه های زیر مجموعه نامحدودی از محدودیت ها بصورت شکل زیر ایجاد می شود:
مجموعه این محدودیت ها می توانند توسط نامساوی زیر جایگزین شوند: 61 61

62. برنامه ریزی خطی پیشرفته (21715 (
در این حالت مساله همزاد استوار مساله اصلی با جایگذاری محدودیت های (4b) و (4c) با محدودیت های زیر ایجاد می شود: 62 62

63. برنامه ریزی خطی پیشرفته (21715 (
تکنیک کلیدی برای حل مساله های همزاد استوار نیمه معین استفاده از ساختار فضای U و فرمول بندی دوباره مساله بصورت یک مساله بهینه سازی با ابعاد محدود است.
در مواردی بعد مساله ایجاد شده بیشتر از مساله اصلی است. 63 63

64. برنامه ریزی خطی پیشرفته (21715 (
حل مساله های برنامه ریزی خطی استوار
همانطور که بیان شد منظور از حل مساله های برنامه ریزی خطی استوار فرموله بندی دوباره مساله با در نظر گرفتن محدوده U است.
فرض کنید حالت عدم قطعیت فقط در اعضای ماتریس A مشاهده می شود.
روش به کار رفته برای کنترل حالت های عدم قطعیت استفاده از روش بازی رهبر-پیرو (Leader-follower) است.
رهبر مقداری را برای متغیرهای تصمیم x انتخاب می کند و پیرو در مجموعه U مقدارهایی برای پارامترهای ماتریس A انتخاب می کند که منجر به غیر موجه شدن مقدارهای x شود. 64 64

65. برنامه ریزی خطی پیشرفته (21715 (
این فرایند با استفاده از برنامه ریزی ریاضی و ایجاد مساله دوگان مساله پیرو کنترل می شود.
در این حالت مساله رهبر و پیرو به صورتی با هم ترکیب شده و بصورت همزمان حل می شوند.
در این حالت حل مساله پیرو بسیار ساده است.
چهار حالت برای مجموعه غیر قطعی بودن فرض می شود که روش فرموله کردن دوباره مساله در این حالت ها مورد بررسی قرار می گیرد. 65 65

66. برنامه ریزی خطی پیشرفته (21715 (
عدم قطعیت فاصله ای
در این حالت هر یک از اعضای ماتریس A، مانند aij دارای حالت عدم قطعیت است و در بازه فاصله ای بصورت زیر تغییر می کند:
برای یک مقدار خاص x در بدترین حالت ممکن خواهیم داشت: 66 66

67. برنامه ریزی خطی پیشرفته (21715 (
با توجه به بزرگتر یا مساوی بودن علامت محدودیت ها پیرو مقداری را برای پارامتر aij انتخاب می کند که مقدار aijxij را کمینه کند. 67 67

68. برنامه ریزی خطی پیشرفته (21715 (
عدم قطعیت بودجه ای
این مدل توسط Bertsimas and Sim (2004) ارایه شده است.
در این مدل فرض می شود که مجموعه عدم قطعیت بصورت زیر است: 68 68

69. برنامه ریزی خطی پیشرفته (21715 (
حالت های دیگر
عدم قطعیت Polyhedral
عدم قطعیت Ellipsoidal 69 69