Algoritmai ir duomenų struktūros (ADS) AVL medžiai Saulius Ragaišis, VU MIF saulius.ragaisis@mif.vu.lt

Problema Dvejetainis paieškos medis (DPM) gali „išsigimti“ (išsibalansuoti), tada paieška jame tampa neefektyvi – blogiausiu atveju ji gali tapti ... (geriausiu atveju paieškos DPM sudėtingumas yra ...). Problemos sprendimo būdai: laikas nuo laiko medį subalansuoti (balansavimas „brangi“ operacija); naudoti specialius (neišsibalansuojančius) medžius (pvz., AVL medžius).

AVL medis Apibrėžimas: AVL medis – tai (besibalansuojantis) dvejetainis paieškos medis, kurio (1) šaknies dešiniojo ir kairiojo pomedžių aukščiai skiriasi daugiausiai vienetu ir (2) abu pomedžiai, savo ruožtu, tai pat yra AVL medžiai. AVL medis buvo pirmas besibalansuojantis medis. Jis buvo pasiūlytas 1962 m. ir gavo vardą iš savo kūrėjų (G. M. Adelson-Velsky ir E. M. Landis). Ar efektyvi paieška AVL medyje?

AVL medžiai

Ne AVL medžiai

Paprastas elementų įterpimas

AVL medžio elementų tipas type Balance_Factor_Type = (LH, EH, RH); { LH : left higher; EH : equal heights; RH : right higher } type AVL_Tree_Type = ^AVL_Tree_Node_Type; type AVL_Tree_Node_Type = record left, right : AVL_Tree_Type; bf : Balance_Factor_Type; info : ... end.

Įterpimas procedure Insert(var root : AVL_Tree_Type; newnode : AVL_Tree_Type; var taller : Boolean); var tallersubtree: Boolean; begin if root = nil then root := newnode; root^.left := nil; root^.right := nil; root^.bf := EH; taller := true; end else with root^ do if newnode^.info.key = info.key then Error else ...

Įterpimas (2) else if newnode^.info.key < info.key then begin Insert(left, newnode, tallersubtree); if tallersubtree then case bf of LH: LeftBalance; EH: begin bf := LH; taller := true end; RH: begin bf := EH; taller := false end else taller := false else ...

Įterpimas (3) else begin Insert(right, newnode, tallersubtree); if tallersubtree then case bf of LH: begin bf := EH; taller := false end; EH: begin bf := RH; taller := true RH: RightBalance; end else taller := false

Balanso atstatymas sukimu į kairę

Sukimo į kairę procedūra procedure RotateLeft(var p: AVL_Tree_Type); {p – šaknis, kurios pomedis yra sukamas} var temp: pointer; begin if p = nil then Error else if p^.right = nil then else begin temp := p^.right; p^.right := temp^.left; temp^.left := p; p := temp; end;

Balanso atstatymas dvigubu pasukimu

Dešinio balansavimo procedūra procedure RightBalance; var x, {šaknies dešinysis pomedis} w: AVL_Tree_Type; {kairysis x^ pomedis} begin x := root^.right; case x^.bf of RH: begin root^.bf := EH; x^.bf := EH; RotateLeft(root); taller := false end; EH: Error;

Dešinio balansavimo procedūra (2) LH: begin w := x^.left; case w^.bf of EH: begin root^.bf := EH; x^.bf := EH end; x^.bf := RH RH: begin root^.bf := LH;

Dešinio balansavimo procedūra (3) w^.bf := EH; RotateRight(x); root^.right := x; RotateLeft(root); taller := false; end end; Procedūros RotateRight ir LeftBalance yra labai panašios į RotateLeft ir RightBalance atitinkamai.

Algoritmo veikimo demonstravimas

Apibendrinimas Didžiausias AVL medžių privalumas, kad jų aukštis visada labai artimas teoriniam minimumui Pabandykime rasti blogiausią atvejį: koks gali būti maksimalus AVL medžio, turinčio n viršūnių, aukštis? Ieškosime AVL medžio, kurio aukštis h, minimalaus viršūnių skaičiaus.

AVL medžio viršūnių skaičius Fh yra nagrinėjamas AVL medis, kurio aukštis h. Fk ir Fd yra jo kairysis ir dešinysis pomedžiai. Vieno iš šių pomedžių, tarkime Fk, aukštis bus (h - 1), o kito (Fd) – (h - 1) arba (h - 2). Kadangi medis Fh turi mažiausią skaičių viršūnių, tai Fd aukštis turi būti (h - 2). Iš čia gauname, kad: |Fh| = |Fh - 1| + |Fh - 2| + 1 Čia |Fh| yra medžio, kurio aukštis h, viršūnių skaičius. Tokie AVL medžiai dar yra vadinami Fibonačio medžiais

Fibonačio medžių pavyzdžiai

AVL medžio maksimalus aukštis Prie gautosios lygybės pridėję po 1, gauname: |Fh| + 1 = (|Fh - 1| + 1) + (|Fh - 2| + 1) |Fh| + 1 yra Fibonačio sekos narys, todėl : |Fh| + 1 ≈ Išreiškus iš šios lygybės h ≈ 1,44 log |Fh|. Tai reiškia, kad pačiu blogiausiu atveju AVL medžio su n viršūnių apytikslis aukštis yra 1,44 log n.

Tikėtinas DPM aukštis Vidutinis palyginimo operacijų skaičius vidutiniame DPM su n viršūnių apytiksliai lygus: Vidutiniam DPM apytiksliai reikia karto 1,39 karto daugiau palyginimo operacijų negu visiškai subalansuotam medžiui.

Klausimai ?