1. Algoritmai ir duomenų struktūros (ADS)
9 paskaita
Saulius Ragaišis, VU MIF

2. Modeliavimo programos pavyzdys
Sąlyga: savitarnos parduotuvė dirba T laiko vienetų;
joje yra N kasų; kiekvienu laiko momentu su tikimybe M (%) ateina klientas; jo apsipirkimo laikas yra atsitiktinis, bet ne didesnis nei A; baigęs pirkti, jis stoja į eilę prie atsitiktinės kasos; jo aptarnavimo prie kasos laikas yra atsitiktinis, bet ne didesnis nei B.
Rasti: kiek reikia turėti parduotuvės vežimėlių, kad jų nepritrūktų (daroma prielaida, kad aptarnavus klientą prie kasos, jo vežimėliu iš karto  gali naudotis naujas klientas).

3. Programos parametrų failas
500 modeliavimo laikas
5 kasu skaičius
50 kliento atėjimo tikimybė (%)
40 maksimalus kliento apsipirkimo laikas
10 maksimalus kliento aptarnavimo prie kasos laikas

4. Eilėje saugomų duomenų tipas
unit QueueData;
interface
type QueueDataType = ...;
implementation
end.

5. ADT Eilė unit Queue; interface uses QueueData; type QueueType = ...;
procedure createQueue (var queue : QueueType);
function isEmptyQueue (const queue : QueueType) : boolean;
function isFullQueue (const queue : QueueType) : boolean;
procedure enQueue (var queue : QueueType; data : QueueDataType; var err : boolean);
procedure deQueue (var queue : QueueType; var data : QueueDataType; var err : boolean);
procedure firstInQueue (const queue : QueueType; var data : QueueDataType; var err : boolean);
function lengthOfQueue(const queue : QueueType) : integer;
procedure destroyQueue (var queue : QueueType);
implementation

6. Programa program Shop; uses QueueData, Queue;
const PARAMS_FILE_NAME = 'params.txt';
MAX_CASH_DESKS = 10;
MAX_ACTIVE_CLIENTS = 20;
{ Global variables }
var errors : boolean;
simulationTime, noOfCashDesks, newClientProbability,
maxBuyingTime, maxCashingTime : integer;
procedure loadParams; ...
{ Program variables }
var time, maxNoOfShoppingCarts, usedShoppingCarts, noOfActiveClients,
i, j, k : integer;
cashingTime : QueueDataType;
activeClients : array[1..MAX_ACTIVE_CLIENTS] of integer;
cashDesks : array[1..MAX_CASH_DESKS] of QueueType;
cashingLeft : array[1..MAX_CASH_DESKS] of integer;
begin
loadParams; if errors then exit;
...

7. Programa (2)
while not errors and (time < simulationTime) do { Main simulation loop }
begin
inc(time);
{ Get new client }
if random(100) <= newClientProbability then
{ New client should be added to active clients }
inc(noOfActiveClients);
if noOfActiveClients > MAX_ACTIVE_CLIENTS then
writeln('Number of active clients become too big ( >', MAX_ACTIVE_CLIENTS, ' ).');
errors := true;
break;
end;
activeClients[noOfActiveClients] := time + random(maxBuyingTime) + 1;
{ New client gets a shopping cart }
inc(usedShoppingCarts);
if usedShoppingCarts > maxNoOfShoppingCarts then
maxNoOfShoppingCarts := usedShoppingCarts;
{ Check active clients who finished buying } ...
{ Check queues at cash desks }
end; { Main simulation loop }

8. Programa (3) { Check active clients who finished buying } j := 0;
for i := 1 to noOfActiveClients do
begin
if activeClients[i] > time then
inc(j);
activeClients[j] := activeClients[i];
end
else
k := random(noOfCashDesks) + 1;
cashingTime := random(maxCashingTime) + 1;
enQueue(cashDesks[k], cashingTime, errors);
if errors then
writeln('The queue of cash desk becomes too long.');
break;
end;
if lengthOfQueue(cashDesks[k]) = 1 then
cashingLeft[k] := cashingTime + 1;
dec(noOfActiveClients);

9. Programa (4) { Check queues at cash desks }
for k := 1 to noOfCashDesks do
if lengthOfQueue(cashDesks[k]) > 0 then
begin
dec(cashingLeft[k]);
if cashingLeft[k] = 0 then
deQueue(cashDesks[k], cashingTime, errors);
if errors then
writeln('Program error: trying to dequeue.');
break;
end;
firstInQueue(cashDesks[k], cashingTime, errors);
cashingLeft[k] := cashingTime;

10. Programa (5) Pilnas programos tekstas bus pateiktas internete.
{ Output simulation results }
writeln('Max number of shopping carts is ', maxNoOfShoppingCarts);
{ Clearing data structues }
for i := 1 to MAX_CASH_DESKS do
destroyQueue(cashDesks[i]);
end.
Pilnas programos tekstas bus pateiktas internete.

11. Programos vykdymas
D:\MIF\A&DS\_Pvz>shop_a
Max number of shopping carts is 244
Pagrindinės programos pradžioje pridėjus: Randomize;
D:\MIF\A&DS\_Pvz>shop_r
Max number of shopping carts is 257
Max number of shopping carts is 256
Max number of shopping carts is 267
Max number of shopping carts is Ar programos rezultatai teisingi?

12. Apibendrinimas
Visada vertėtų pavertinti, ar programos rezultatai prasmingi.
Modeliavome 500 laiko vienetų, o kliento atėjimo tikimybė yra 50%.
Taigi per visą laiką turėtų ateiti apie 250 klientų.
O programa sako, kad tiek vežimėlių ir reikia.
Kyla įtarimas, kad vežimėliai neatlaisvinami...
Patikrinus, pasirodo, kad programoje praleistas
inc(usedShoppingCarts);

13. Grafai
Grafas – aibių pora (V, L). V – viršūnių (vertex) aibė, L – briaunų (edge) aibė
Briauna – atkarpa, jungianti dvi grafo viršūnes.
Pografis (subgraph) – poaibis grafo briaunų bei jų viršūnių.

14. Grafai (2)
Dvi viršūnės yra gretimos arba kaimyninės (adjacent), jei jos sujungtos briauna.
Viršūnės Vi ir Vj yra kaimyninės, jei egzistuoja Bk=(Vi, Vj).
Pvz.: A kaimyninės viršūnės yra B ir D.
Plokščias arba planarinis grafas – tai grafas, kuri galima nupiešti plokštumoje (bent vienu būdu) taip, kad nė viena pora briaunų nesikirstų.

15. Grafai (3)
Kelias (path) tarp viršūnių – briaunų seka, prasidedanti vienoje viršūnėje ir besibaigianti kitoje viršūnėje.
Paprastas kelias (simple path) – kelias, per kiekvieną jam priklausančią viršūnę einantis tik po vieną kartą. Pvz., kelias ADCBCE nėra paprastas kelias, nes per viršūnę C eina du kartus.
Ciklas (cycle) – paprastas kelias, kuris prasideda ir baigiasi toje pačioje viršūnėje. Pvz., ABCDA.

16. Grafai (4)
Jungus grafas (connected) – jei egzistuoja kelias tarp bet kurių viršūnių porų.
Pilnas grafas (complete) – jei yra briauna tarp kiekvienos viršūnių poros.
Aišku, kad pilnas grafas taip pat yra ir jungus, tačiau jungus grafas nebūtinai yra pilnas.
Kiek briaunų gali būti tarp 2 viršūnių?

17. Grafai su svoriais
Grafas su svoriais (weighted) – grafas, kurio briaunos turi skaitines reikšmes (svorius).

18. Lankas –briauna, turinti kryptį.
Orientuoti grafai
Lankas –briauna, turinti kryptį.
Orientuotas grafas (directed) – grafas su lankais (visos briaunos turi kryptį).
Kiek lankų gali būti tarp 2 viršūnių?

19. Orientuoti grafai (2)
Pvz.: Knygų skolinimasis: A iš B pasiskolino 100 knygų, o B iš A pasiskolino 50 knygų.
Visi apibrėžimai, kurie buvo taikomi neorientuotiems grafams, taip pat tinka ir orientuotam grafui.
Pvz.: Orientuotas kelias yra seka lankų tarp dviejų viršūnių.
Būtina pastebėti, kad orientuotame grafe galima situacija: A yra kaimynas B, bet B – nėra A kaimynas.

20. ADT Grafas Pagrindinės operacijos su grafais kaip ADT:
Sukurti tuščią grafą.
Įdėti/išmesti viršūnę.
Įdėti/išmesti briauną tarp viršūnių V1 ir V2.
Sužinoti (rasti), ar yra kelias tarp viršūnių V1 ir V2.
Sužinoti (V1, V2) svorį.
Pakeisti (V1, V2) svorį.

21. Yra du dažniausiai naudojami grafų realizavimo būdai:
Grafo realizavimas
Yra du dažniausiai naudojami grafų realizavimo būdai:
kaimynystės matrica
kaimynystės sąrašai
Abiem atvejais patogiausia įsivaizduoti, kad viršūnės numeruojamos 1, 2 ir taip toliau iki N.

22. (dažniausiai nesimetriška matrica)
Kaimynystės matrica
Kaimynystės matrica grafui be svorių su N viršūnių yra N iš N loginis masyvas A toks, kad A[i, j] yra teisingas tada ir tik tada, kai egzistuoja briauna iš viršūnės ‘i’ į viršūnę ‘j’.
Pagal susitarimą A[i, i] yra klaidingas.
Įsidėmėtina, kad kaimynystės matrica neorientuotam grafui yra simetriška, tai yra A[i, j] = A[j, i].
Neorientuotas grafas
Orientuotas grafas
(simetriška matrica)
(dažniausiai nesimetriška matrica)

23. Kaimynystės matrica (2)
Kai turim grafą su svoriais, yra patogu, kad A[i, j] būtų briaunos iš viršūnės ‘i’ į viršūnę ‘j’ svoris.
Tada A[i, j] žymima ∞, kai nėra briaunos iš viršūnės ‘i’ į viršūnę ‘j’.
Be to, įstrižainės A[i, i] reikšmės lygios 0.

24. Kaimynystės sąrašai
Kaimynystės sąrašas grafo iš N viršūnių, kurios numeruojamos 1, 2, …, N, susideda iš N sujungtų sąrašų.
Jei grafas yra su svoriais, tai jie saugomi kartu su viršūnę.
Pvz.:

25. Grafo realizacijų palyginimas
Dvi dažniausiai naudojamos grafų operacijos yra:
Duotos dvi viršūnės ‘i’ ir ‘j’; rasti, ar yra briauna iš ‘i’ į ‘j’.
Rasti visas viršūnes, kurios yra kaimynės duotajai viršūnei Vi
Jei grafas yra netoli pilno grafo, tai masyvas yra efektyvesnis už sąrašą.
Jei briaunų mažai, tai lieka daug nepanaudotos vietos matricoje, kas yra minusas taupant, tuomet geriau sąrašas.

26. Klausimai ?