1. PHAÂN TÍCH CHUOÃI THÔØI GIAN (time series analysis)

2. Hai muïc tieâu cuûa phaân tích chuoãi thôøi gian : 1. xaùc ñònh baûn chaát cuûa hieän töôïng : - tính khuynh höôùng (trend) - tính muøa vuï (seasonality) 2. döï ñoùan (forecasting)

3. 1. Xaùc ñònh baûn chaát cuûa hieän töôïng 1.1. Phaân tích khuynh höôùng : taêng, giaûm Neáu soá lieäu coù sai soá ñaùng keå khi ñoù böôùc ñaàu tieân trong phaân tích khuynh höôùng laø laø söï laøm trôn (smoothing). Coù 2 phöông phaùp laøm trôn : trung bình chuyeån ñoäng vaø trung vò. 1.2. Söï phaùt hieän töông quan theo chuoãi vaø tính muøa vuï qua phöông phaùp phaân tích töï töông quan (autocorrelation analysis) Tính muøa vuï cuûa chuoãi thôøi gian coù theå ñöôïc khaûo saùt qua qua bieåu ñoà töï töông quan (correlogram). Autocorrelogram trình baøy baèng bieåu ñoà vaø baèng soá haøm töï töông quan (ACF = autocorrelation function), laø heä soá töông quan (vaø sai soá chuaån) cho caùc lags keá tieáp. PACF = partial ACF

4. Loïai boû söï phuï thuoäc chuoãi (serial dependency) : Söï phuï thuoäc chuoãi ñoái vôùi moät lag ñaëc bieät k coù theå ñöôïc loïai boû baèng differencing chuoãi, töùc laø bieán ñoåi moãi phaàn töû i cuûa chuoãi thaønh hieäu soá töø phaàn töû ( i – k). Coù 2 lyù do chính cho söï bieán ñoåi naøy : coù theå xaùc ñònh baûn chaát tieàm aån cuûa tính muøa vuï trong chuoãi laøm cho chuoãi oån ñònh (stationary) laø caàn thieát cho phaân tích ARIMA vaø caùc phöông phaùp khaùc

5. 2. Söï döï ñoùan : phöông phaùp ARIMA = Autoregressive Integrated Moving Average) Coù 2 quaù trình : 2.1. Quaù trình töï töông quan Haàu heát soá lieäu chuoãi thôøi gian bao goàm caùc phaàn töû phuï thuoäc theo chuoãi = coù theå öôùc löôïng heä soá hay moät taäp hôïp caùc heä soá moâ taû caùc phaàn töû lieân tieáp cuûa moät chuoãi töø moät phaàn töû ñaëc bieät time- lagged. Ñieàu naøy coù theå ñöôïc toùm löôïc trong phöông trình : x t = a + b x x (t – 1) + b 2 x (t – 2) + …..+ e a : haèng soá (intercept) b 1, b 2 … laø caùc thoâng soá cuûa moâ hình töï töông quan e : sai soá ngaåu nhieân Neáu chæ coù moät thoâng soá töï töông quan, thoâng soá ñoù seõ naèm trong khoûang -1 vaø +1. Noùi caùch khaùc caùc aûnh höôûng quaù khöù tích luõy vaø caùc giaù trò x t keá tieáp höôùng veà voâ cöïc, töùc laø chuoãi khoâng oån ñònh (stationary)

6. 2.2. Quaù trình trung bình chuyeån ñoäng Ñoäc laäp vôùi quaù trình töï töông quan, moãi phaàn töû trong chuoãi coù theå chòu aûnh höôûng bôûi sai soá ñaõ qua laø sai soá khoâng theå ñöôïc tính ñeán bôûi thaønh phaàn töï töông quan, töùc laø : x t = µ + e t – c 1 *e (t – 1) – c 2 *e (t – 2) -... c 1, c 2 laø thoâng soá cuûa moâ hình trung bình chuyeån ñoäng.

7. 1.3. Moâ hình ARIMA Coù 3 loïai thoâng soá trong caùc moâ hình : thoâng soá töï töông quan ( p) soá differencing ñaõ qua (d) thoâng soá trung bình chuyeån ñoäng ( q) Caùc moâ hình ñöôïc toùm löôïc nhö sau ARIMA (p, d, q) Thí duï : moâ hình (0, 1, 2)coù nghóa laø moâ hình chöùa zero thoâng soá töï töông quan (p) vaø 2 thoâng soá trung bình chuyeån ñoäng (q) ñöôïc tính cho chuoãi soá lieäu sau khi ñöôïc differenced moät laàn.

8. 1/ Giai ñoïan xaùc ñònh (identification phase) Soá lieäu chuoãi duøng cho phaân tích ARIMA caàn phaûi oån ñònh, töùc laø coù trung bình, phöông sai coá ñònh vaø söï töï töông quan qua thôøi gian. Vì vaäy caùc soá lieäu chuoãi caàn ñöôïc differenced tröôùc tieân cho ñeán khi ñöôïc oån ñònh (ñieàu naøy cuõng thöôøng ñoøi hoûi bieán ñoåi log soá lieäu ñeå oån ñònh phöông sai). Ñeå xaùc ñònh möùc ñoä caàn thieát cuûa differencing, caàn xeùt bieåu ñoà soá lieäu vaø bieåu ñoà cuûa heä soá töï töông quan. Söï thay ñoåi coù yù nghóa ôû möùc ñoä (söï thay ñoåi naâng cao leân hay haï thaáp) caàn differencing khoâng muøa vuï baäc nhaát (lag = 1) ; söï thay ñoåi maïnh veà ñoä doác thöôøng ñoøi hoûi differencing khoâng muøa vuï baäc hai.

9. Neáu caùc heä soá töï töông quan ñöôïc öôùc löôïng giaûm chaäm ôû lags daøi hôn thöôøng caàn differencing baäc nhaát. Ñoâi khi chuoãi thôøi gian coù theå caàn ít hôn hay khoâng caàn differencing. ÔÛ giai ñoïan naøy (giai ñoïan xaùc ñònh) cuõng caàn xaùc ñònh bao nhieâu thoâng soá töï töông quan (p) vaø trung bình chuyeån ñoäng (q) caàn thieát ñeå taïo ra moät moâ hình coù hieäu quaû nhöng vaãn coù ít thoâng soá nhaát vaø ñoä töï do cao nhaát trong taát caû caùc moâ hình Trong thöïc haønh, soá thoâng soá p vaø q ít khi lôùn hôn 2

10. 2/ Giai ñoïan öôùc löôïng (estimation phase) Vieäc xaùc ñònh moâ hình : 5 moâ hình caên baûn coù theå ñöôïc xaùc ñònh döïa treân hình daïng cuûa bieåu ñoà töï töông quan (ACF) vaø töï töông quan töøng phaàn (PACF) : - moät thoâng soá töï töông quan (p) : ACF – exponential decay, PACF – spike ôû lag 1, khoâng töông quan ôû nhöõng lags khaùc - hai thoâng soá töï töông quan (p) : ACF – daïng hình sin, PACF – spikes ôû lags 1 vaø 2, khoâng töông quan ôû nhöõng lags khaùc - moät thoâng soá trung bình chuyeån ñoäng (q) : ACF – spike ôû lag 1, khoâng töông quan ôû nhöõng lags khaùc ; PACF – damps out exponentially - q = 2 : ACF – spikes ôû lags 1 vaø 2, khoâng töông quan ôû caùc lags khaùc ; PACF – daïng hình sin - p = 1 vaø q = 1 : ACF – exponential decay baét ñaàu ôû lag 1 ; PACF – exponential decay ôû lag 1 3/ Giai ñoïan döï ñoùan (forecasting phase)

11. Thí du chuoãi thôøi gian khoâng oån ñònh coù tính muøa vuï söû duïng PROC ARIMA ñeå laøm phuø hôïp moâ hình ARIMA(0,1,1)×(0,1,1)12, Box and Jenkins' Series G. title1 'International Airline Passengers'; title2 '(Box and Jenkins Series-G)'; data seriesg; input x @@; xlog = log( x ); date = intnx( 'month', '31dec1948'd, _n_ ); format date monyy.; datalines;

12. 112 118 132 129 121 135 148 148 136 119 104 118 115 126 141 135 125 149 170 170 158 133 114 140 145 150 178 163 172 178 199 199 184 162 146 166 171 180 193 181 183 218 230 242 209 191 172 194 196 196 236 235 229 243 264 272 237 211 180 201 204 188 235 227 234 264 302 293 259 229 203 229 242 233 267 269 270 315 364 347 312 274 237 278 284 277 317 313 318 374 413 405 355 306 271 306 315 301 356 348 355 422 465 467 404 347 305 336 340 318 362 348 363 435 491 505 404 359 310 337 360 342 406 396 420 472 548 559 463 407 362 405 417 391 419 461 472 535 622 606 508 461 390 432 ;

13. symbol1 i=join v=dot; proc gplot data=seriesg; plot x * date = 1 / haxis= '1jan49'd to '1jan61'd by year; run; proc arima data=seriesg; identify var=xlog(1,12) nlag=15; run; estimate q=(1)(12) noconstant method=uls; run; forecast out=b lead=24 id=date interval=month noprint; quit; data c; set b; x = exp( xlog ); forecast = exp( forecast + std*std/2 ); l95 = exp( l95 ); u95 = exp( u95 ); run;

14. symbol1 i=none v=star; symbol2 i=join v=circle; symbol3 i=join v=none l=3; proc gplot data=c; where date >= '1jan58'd; plot x * date = 1 forecast * date = 2 l95 * date = 3 u95 * date = 3 / overlay haxis= '1jan58'd to '1jan62'd by year; run;

15. The ARIMA Procedure Name of Variable = xlog Period(s) of Differencing 1,12 Mean of Working Series 0.000291 Standard Deviation 0.045673 Number of Observations 131 Observation(s) eliminated by differencing 13 Autocorrelations Lag Covariance Correlation -1 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 Std Error 0 0.0020860 1.00000 | |********************| 0 1 -0.0007116 -.34112 | *******|. | 0.087370 2 0.00021913 0.10505 |. |**. | 0.097006 3 -0.0004217 -.20214 | ****|. | 0.097870 4 0.00004456 0.02136 |. |. | 0.101007 5 0.00011610 0.05565 |. |*. | 0.101042 6 0.00006426 0.03080 |. |*. | 0.101275 7 -0.0001159 -.05558 |. *|. | 0.101347 8 -1.5867E-6 -.00076 |. |. | 0.101579 9 0.00036791 0.17637 |. |**** | 0.101579 10 -0.0001593 -.07636 |. **|. | 0.103891 11 0.00013431 0.06438 |. |*. | 0.104318 12 -0.0008065 -.38661 | ********|. | 0.104621 13 0.00031624 0.15160 |. |***. | 0.115011 14 -0.0001202 -.05761 |. *|. | 0.116526 15 0.00031200 0.14957 |. |***. | 0.116744 "." marks two standard errors

16. Inverse Autocorrelations Lag Correlation -1 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 1 0.41027 |. |******** | 2 0.12711 |. |*** | 3 0.10189 |. |**. | 4 0.01978 |. |. | 5 -0.10310 |.**|. | 6 -0.11886 |.**|. | 7 -0.04088 |. *|. | 8 -0.05086 |. *|. | 9 -0.06022 |. *|. | 10 0.06460 |. |*. | 11 0.19907 |. |**** | 12 0.31709 |. |****** | 13 0.12434 |. |**. |

17. The ARIMA Procedure Inverse Autocorrelations Lag Correlation -1 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 14 0.06583 |. |*. | 15 0.01515 |. |. | Partial Autocorrelations Lag Correlation -1 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 1 -0.34112 | *******|. | 2 -0.01281 |. |. | 3 -0.19266 | ****|. | 4 -0.12503 | ***|. | 5 0.03309 |. |*. | 6 0.03468 |. |*. | 7 -0.06019 |. *|. | 8 -0.02022 |. |. | 9 0.22558 |. |***** | 10 0.04307 |. |*. | 11 0.04659 |. |*. | 12 -0.33869 | *******|. | 13 -0.10918 |.**|. | 14 -0.07684 |.**|. | 15 -0.02175 |. |. |

18. Autocorrelation Check for White Noise To Chi- Pr > Lag Square DF ChiSq --------------------Autocorrelations-------------------- 6 23.27 6 0.0007 -0.341 0.105 -0.202 0.021 0.056 0.031 12 51.47 12 <.0001 -0.056 -0.001 0.176 -0.076 0.064 -0.387

19. The ARIMA Procedure Unconditional Least Squares Estimation Standard Approx Parameter Estimate Error t Value Pr > |t| Lag MA1,1 0.39594 0.08149 4.86 <.0001 1 MA2,1 0.61331 0.07961 7.70 <.0001 12 Variance Estimate 0.001363 Std Error Estimate 0.036921 AIC -484.755 SBC -479.005 Number of Residuals 131 Correlations of Parameter Estimates Parameter MA1,1 MA2,1 MA1,1 1.000 -0.055 MA2,1 -0.055 1.000

20. Autocorrelation Check of Residuals To Chi- Pr > Lag Square DF ChiSq --------------------Autocorrelations-------------------- 6 5.56 4 0.2349 0.022 0.024 -0.125 -0.129 0.057 0.065 12 8.49 10 0.5816 -0.065 -0.042 0.102 -0.060 0.023 0.007 18 13.23 16 0.6560 0.022 0.039 0.045 -0.162 0.035 0.001 24 24.99 22 0.2978 -0.106 -0.104 -0.037 -0.027 0.219 0.040

21. Model for variable xlog Period(s) of Differencing 1,12 No mean term in this model. Moving Average Factors Factor 1: 1 - 0.39594 B**(1) Factor 2: 1 - 0.61331 B**(12)

24. PROC ARIMA Cô sôû cho söï phaân tích laø soá lieäu chuoãi thôøi gian ñöôïc quan saùt X(t) phaûi oån ñònh vaø phuø hôïp phöông trình ARMA coù daïng X(t) -phi(1) X(t-1) -... -phi(p) X(t-p)=Z(t) -theta(1)Z(t- 1)-...-theta(q) Z(t-q) Trong ñoù Z(t) laø quaù trình nhieãu traéng. Caùc haèng soá phi(1),..., phi(p) ñöôïc goïi laø caùc heä soá töï töông quan vaø soá p ñöôïc goïi laø thöù töï cuûa thaønh phaàn töï töông quan. Caùc haèng soá theta(1),..., theta(q) ñöôïc goïi laø caùc heä soá cuûa trung bình chuyeån ñoäng vaø soá q ñöôïc goïi laø thöù töï cuûa thaønh phaàn trung bình chuyeån ñoäng. P vaø q coù theå baèng zero

25. Vieäc söû duïng PROC ARIMA ñeå laøm phuø hôïp caùc moâ hình ARMA bao goàm 3 böôùc. Böôùc ñaàu tieân laø xaùc ñònh moâ hình, trong ñoù chuoãi quan saùt ñöôïc bieán ñoåi ñeå coù söï oån ñònh Chæ coù söï bieán ñoåi thích hôïp vôùi proc arima laø differencing. Böôùc thöù hai laø öôùc löôïng moâ hình trong ñoù caùc soá thöù töï p vaø q ñöôïc löïa choïn vaø caùc thoâng soá töông öùng ñöôïc öôùc löôïng. Böôùc thöù ba laø söï döï ñoùan, trong ñoù moâ hình ñöôïc öôùc löôïng ñöôïc duøng ñeå döï ñoùan caùc giaù trò töông lai cuûa chuoãi soá lieäu ñöôïc quan saùt.

26. Data milk; Input year milk @@; Datalines; 1962 589 561 640 656 727 697 640 599 568 577 553 582 1963 600 566 653 673 742 716 660 617 583 587 565 598 1964 628 618 688 705 770 736 678 639 604 611 594 634 1965 658 622 709 722 782 756 702 653 615 621 602 635 1966 677 635 736 755 811 798 735 697 661 667 645 688 1967 713 667 762 784 837 817 767 722 681 687 660 698 1968 717 696 775 796 858 826 783 740 701 706 677 711 1969 734 690 785 805 871 845 801 764 725 723 690 734 1970 750 707 807 824 886 859 819 783 740 747 711 751 1971 804 756 860 878 942 913 869 834 790 800 763 800 1972 826 799 890 900 961 935 894 855 809 810 766 805 1973 821 773 883 898 957 924 881 837 784 791 760 802 1974 828 778 889 902 969 947 908 867 815 812 773 813 1975 834 782 892 903 966 937 896 858 817 827 797 843 ;

27. proc arima data=milk; identify var=milk(12) nlag=30 center outcov=milkcov noprint; run; estimate p=1 q=3 nodf noconstant method=ml plot; run; forecastlead=10 out=predict printall; run;

28. CAÙC TUØY CHOÏN ÑOÁI VÔÙI PHAÙT BIEÅU IDENTIFY : Phaùt bieåu var= statement xaùc ñònh caùc bieán ñöôïc duøng ñeå phaân tích. Soá tuøy choïn trong daáu ngoaëc xaùc ñònh LAG nôi ñoù caùc hieäu soá (differences) ñöôïc tính toaùn. Phaùt bieåu var = milk seõ phaân tích chuoãi soá lieäu khoâng differencing ; var=milk(1) seõ phaân tích hieäu soá ñaàu tieân cuûa milk ; var=milk(1,1) seõ phaân tích hieäu soá thöù hai cuûa milk

29. Phaùt bieåu var= statement cho ra 3 bieåu ñoà ñoái vôùi bieán ñöôïc xaùc ñònh : haøm töï töông quan cuûa maãu, haøm nghòch ñaûo töï töông quan cuûa maãu, vaø haøm töï töông quan töøng phaàn cuûa maãu. Tuøy choïn nlag= option cho 3 bieåu ñoà in caùc giaù trò ñeán lag 30. Neáu khoâng ñöôïc xaùc ñònh, soá maëc ñònh cuûa nlag=24 hay 25% cuûa soá quan saùt Tuøy choïn center tröø trung bình cuûa chuoãi ñöôïc xaùc ñònh bôûi phaùt bieåu var=statement.Trung bình ñöôïc ñöa vaøo sau moät caùch töï ñoäng trong böôùc forecast.

30. Tuøy choïn outcov= option ñaët caùc giaù trò cuûa caùc haøm töông quan cuûa maãu vaøo taäp hôïp soá lieäu cuûa SAS. Nhöõng giaù trò naøy coù theå ñöôïc duøng ñeå taïo ra caùc bieåu ñoà cuûa nhöõng haøm naøy baèng caùch duøng proc gplot.Keát quaû cuûa caùc bieán laø : LAG, VAR (teân cuûa bieán ñöôïc xaùc ñònh trong var= option), CROSSVAR (teân cuûa bieán ñöôïc xaùc ñònh trong crosscorr= option), N (soá quan saùt ñöôïc duøng ñeå tính giaù trò hieän taïi cuûa hieäp phöông sai hay hieäp phöông sai cheùo crosscovariance), COV (giaù trò cuûa caùc hieäp phöông sai cheùo ), CORR (giaù trò cuûa haøm töï töông quan cuûa maãu ), STDERR (sai soá chuaån cuûa heä soá töï töông quan ), INVCORR (caùc giaù trò cuûa haøm töï töông quan nghòch ñaûo ), vaø PARTCORR (caùc giaù trò cuûa haøm töï töông quan töøng phaàn cuûa maãu ). Tuøy choïn noprint option loïai boû keát quaû veõ bieåu ñoà chaát löôïng thaáp cuûa phaùt bieåu var= statement. Tuøy choïn naøy thöôøng ñöôïc duøng vôùi tuøy choïn outcov= option.

31. CAÙC TUØY CHOÏN CUÛA PHAÙT BIEÅU ESTIMATE Tuøy choïn p=1 q=3 xaùc ñònh thöù töï cuûa töï töông quan vaø trung bình chuyeån ñoäng ñöôïc laøm phuø hôïp. Caùc daïng khaùc cuûa söï xaùc ñònh laø : q=(3) xaùc ñònh raèng CHÆ COÙ thoâng soá theta(3) laø ñöôïc pheùp khaùc zero ; p=(12)(3) ñoái vôùi moâ hình muøa vuï (1-phi(12)B**12)(1- phi(3)B**3) trong ñoù B laø the backshift operator; p=(3,12) ñoái vôùi moâ hình trong ñoù chæ coù phi(3) vaø phi(12) ñöôïc pheùp khaùc zero. Tuøy choïn nodf option duøng ñoä lôùn maãu hôn laø ñoä töï do nhö laø maãu soá khi öôùc löôïng phöông sai cuûa nhieãu traéng (white noise variance)

32. Tuøy choïn method option löïa choïn phöông phaùp öôùc löôïng caùc thoâng soá. Caùc löïa choïn laø ml phöông phaùp töông ñoàng toái ña( maximum (Gaussian) likelihood estimation), uls cho phöông phaùp bình phöông nhoû nhaát khoâng ñieàu kieän vaø cls cho phöông phaùp bình phöông nhoû nhaát coù ñieàu kieän. Tuøy choïn plot option cho ra 3 bieåu ñoà gioáng nhö trong phaùt bieåu identify ñoái vôùi RESIDUALS sau khi caùc thoâng soá moâ hình ñöôïc öôùc löôïng. Ñaây laø moät caùch khaùc ñeå kieåm tra söï nhieåu traéng cuûa caùc sai soá.

33. CAÙC TUØY CHOÏN CUÛA PHAÙT BIEÅU FORECAST Tuøy choïn lead option xaùc ñònh soá khoûang thôøi gian trong töông lai cho caùc soá döï ñoùan ñöôïc thöïc hieän. Baèng caùch duøng tuøy choïn out= vaø printall options trong phaùt bieåu forecast, taäp hôïp soá lieäu SAS seõ ñöôïc thaønh laäp vaø chöùa caùc giaù trò cuûa chuoãi soá lieäu ban ñaàu vaø caùc giaù trò döï ñoùan cuûa chuoãi söû duïng moâ hình.. Trong thöïc haønh, moät vaøi phaùt bieåu estimate khaùc nhau ñöôïc thöïc hieän lieân tieáp ñeå xem moâ hình naøo phuø hôïp nhaát vôùi soá lieäu

34. The ARIMA Procedure. ARIMA Estimation Optimization Summary Estimation Method Maximum Likelihood Parameters Estimated 4 Termination Criteria Maximum Relative Change in Estimates Iteration Stopping Value 0.001 Criteria Value 1045.347 Maximum Absolute Value of Gradient 2071169 R-Square Change from Last Iteration 0.231429 Objective Function Log Gaussian Likelihood Objective Function Value -577.453 Marquardt's Lambda Coefficient 0.00001 Numerical Derivative Perturbation Delta 0.001 Iterations 7 Warning Message Estimates may not have converged.

35. Maximum Likelihood Estimation Standard Approx Parameter Estimate Error t Value Pr > |t| Lag MA1,1 -0.01436 14.83234 -0.00 0.9992 1 MA1,2 0.72132 14.60743 0.05 0.9606 2 MA1,3 -0.26426 3.89153 -0.07 0.9459 3 AR1,1 -0.91533 0.13335 -6.86 <.0001 1 Variance Estimate 126731.2 Std Error Estimate 355.9933 AIC 1162.907 SBC 1172.384 Number of Residuals 79 Correlations of Parameter Estimates Parameter MA1,1 MA1,2 MA1,3 AR1,1 MA1,1 1.000 -1.000 0.999 0.819 MA1,2 -1.000 1.000 -1.000 -0.818 MA1,3 0.999 -1.000 1.000 0.811 AR1,1 0.819 -0.818 0.811 1.000

36. The ARIMA Procedure Autocorrelation Check of Residuals To Chi- Pr > Lag Square DF ChiSq --------------------Autocorrelations-------------------- 6 2.75 2 0.2526 0.012 -0.104 -0.053 0.002 -0.089 -0.102 12 7.01 8 0.5354 -0.115 -0.088 -0.034 -0.073 -0.135 -0.027 18 69.70 14 <.0001 0.782 -0.029 -0.126 -0.077 -0.033 -0.102 24 74.40 20 <.0001 -0.109 -0.109 -0.081 -0.024 -0.052 -0.094 30 126.34 26 <.0001 -0.005 0.651 -0.004 -0.071 -0.040 0.005

37. Autocorrelation Plot of Residuals Lag Covariance Correlation -1 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 Std Error 0 126731 1.00000 | |********************| 0 1 1581.334 0.01248 |. |. | 0.1125 2 -13211.923 -.10425 |. **|. | 0.11252 3 -6771.235 -.05343 |. *|. | 0.113742 4 304.708 0.00240 |. |. | 0.114060 5 -11309.516 -.08924 |. **|. | 0.114060 6 -12884.562 -.10167 |. **|. | 0.114941 7 -14609.846 -.11528 |. **|. | 0.116073 8 -11159.107 -.08805 |. **|. | 0.117514 9 -4256.299 -.03359 |. *|. | 0.118346 10 -9222.102 -.07277 |. *|. | 0.118467 11 -17120.668 -.13509 |. ***|. | 0.119031 12 -3387.528 -.02673 |. *|. | 0.120956 13 99040.774 0.78150 |. |**************** | 0.121031 14 -3703.096 -.02922 |. *|. | 0.173524 15 -15983.732 -.12612 |. ***|. | 0.173586 16 -9801.866 -.07734 |. **|. | 0.174742 17 -4154.141 -.03278 |. *|. | 0.175175 18 -12887.272 -.10169 |. **|. | 0.175252 19 -13860.503 -.10937 |. **|. | 0.175998 20 -13863.033 -.10939 |. **|. | 0.176856 21 -10248.377 -.08087 |. **|. | 0.177710 22 -3053.622 -.02410 |. |. | 0.178176 23 -6639.044 -.05239 |. *|. | 0.178217 24 -11882.646 -.09376 |. **|. | 0.178412 25 -665.777 -.00525 |. |. | 0.179034 26 82439.043 0.65050 |. |************* | 0.179036 27 -466.764 -.00368 |. |. | 0.206801 28 -9022.321 -.07119 |. *|. | 0.206802 29 -5022.147 -.03963 |. *|. | 0.207112 30 660.856 0.00521 |. |. | 0.207208 "." marks two standard errors

38. The ARIMA Procedure Inverse Autocorrelations Lag Correlation -1 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 1 -0.05770 |. *|. | 2 0.02057 |. |. | 3 0.04007 |. |*. | 4 -0.07693 |. **|. | 5 0.09629 |. |**. | 6 0.00453 |. |. | 7 0.11558 |. |**. | 8 0.02502 |. |*. | 9 0.15149 |. |***. | 10 0.07400 |. |*. | 11 0.11133 |. |**. | 12 0.13142 |. |***. | 13 -0.42000 | ********|. | 14 0.12446 |. |**. | 15 0.08826 |. |**. | 16 0.06614 |. |*. | 17 0.14332 |. |***. | 18 0.03817 |. |*. | 19 0.06376 |. |*. | 20 0.02094 |. |. | 21 0.04514 |. |*. | 22 0.00681 |. |. | 23 0.02072 |. |. | 24 -0.00515 |. |. | 25 0.00369 |. |. | 26 0.03136 |. |*. | 27 0.00047 |. |. | 28 -0.01101 |. |. | 29 0.00261 |. |. | 30 -0.02276 |. |. |

39. Partial Autocorrelations Lag Correlation -1 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 1 0.01248 |. |. | 2 -0.10442 |. **|. | 3 -0.05126 |. *|. | 4 -0.00742 |. |. | 5 -0.10148 |. **|. | 6 -0.10601 |. **|. | 7 -0.14036 |. ***|. | 8 -0.13174 |. ***|. | 9 -0.09022 |. **|. | 10 -0.14716 |. ***|. | 11 -0.22900 | *****|. |

40. The ARIMA Procedure Partial Autocorrelations Lag Correlation -1 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 12 -0.16733 |. ***|. | 13 0.74146 |. |*************** | 14 -0.19340 |.****|. | 15 -0.12179 |. **|. | 16 -0.11920 |. **|. | 17 -0.18707 |.****|. | 18 -0.06687 |. *|. | 19 -0.11703 |. **|. | 20 -0.04074 |. *|. | 21 -0.08482 |. **|. | 22 -0.02570 |. *|. | 23 -0.04322 |. *|. | 24 0.01173 |. |. | 25 -0.02058 |. |. | 26 -0.05401 |. *|. | 27 -0.00276 |. |. | 28 0.01550 |. |. | 29 -0.00134 |. |. | 30 0.04041 |. |*. |

41. Model for variable milk Data have been centered by subtracting the value 33.41772 Period(s) of Differencing 12 No mean term in this model. Autoregressive Factors Factor 1: 1 + 0.91533 B**(1) Moving Average Factors Factor 1: 1 + 0.01436 B**(1) - 0.72132 B**(2) + 0.26426 B**(3)

42. The ARIMA Procedure Forecasts for variable milk Obs Forecast Std Error 95% Confidence Limits Actual Residual 13 622.4177 503.4362 -364.2991 1609.1345 598.0000 -24.4177 14 687.3243 413.8099 -123.7282 1498.3768 628.0000 -59.3243 15 807.3309 375.8198 70.7376 1543.9243 688.0000 -119.3309 16 769.0954 368.3294 47.1830 1491.0077 770.0000 0.9046 17 581.2687 362.9262 -130.0536 1292.5910 678.0000 96.7313 18 485.8576 362.6662 -224.9551 1196.6703 604.0000 118.1424 19 1911.7945 361.8001 1202.6793 2620.9097 594.0000 -1317.7945 20 1849.6604 361.7529 1140.6378 2558.6830 1965.0000 115.3396 21 393.7208 361.4952 -314.7967 1102.2382 622.0000 228.2792 22 406.2848 361.3511 -301.9504 1114.5199 722.0000 315.7152 23 542.4190 361.1905 -165.5014 1250.3394 756.0000 213.5810 24 360.6654 361.0408 -346.9615 1068.2923 653.0000 292.3346 25 530.6015 360.9041 -176.7575 1237.9605 621.0000 90.3985 26 521.7700 360.7697 -185.3257 1228.8656 635.0000 113.2300 27 756.5536 360.6460 49.7004 1463.4068 677.0000 -79.5536 28 789.4750 360.5264 82.8562 1496.0938 736.0000 -53.4750 29 858.2038 360.4140 151.8054 1564.6022 811.0000 -47.2038 30 563.5121 360.3064 -142.6754 1269.6996 735.0000 171.4879 31 555.6157 360.2042 -150.3715 1261.6029 661.0000 105.3843 32 1834.8977 360.1066 1129.1018 2540.6935 645.0000 -1189.8977 33 1874.8203 360.0134 1169.2070 2580.4337 1967.0000 92.1797 34 413.0220 359.9244 -292.4168 1118.4608 667.0000 253.9780 35 496.7099 359.8392 -208.5619 1201.9818 784.0000 287.2901 36 535.4506 359.7576 -169.6613 1240.5626 817.0000 281.5494

43. Forecasts for variable milk Obs Forecast Std Error 95% Confidence Limits Actual Residual 37 397.5230 359.6794 -307.4357 1102.4818 722.0000 324.4770 38 481.5939 359.6044 -223.2178 1186.4056 687.0000 205.4061 39 537.5758 359.5324 -167.0947 1242.2464 698.0000 160.4242 40 719.8234 359.4632 15.2885 1424.3583 717.0000 -2.8234 41 832.9866 359.3966 128.5822 1537.3911 775.0000 -57.9866 42 875.7638 359.3326 171.4849 1580.0427 858.0000 -17.7638 43 652.5118 359.2709 -51.6462 1356.6698 783.0000 130.4882 44 594.2943 359.2114 -109.7471 1298.3358 701.0000 106.7057 45 1882.9812 359.1541 1179.0522 2586.9103 677.0000 -1205.9812 46 1874.3618 359.0987 1170.5412 2578.1823 1969.0000 94.6382 47 532.7380 359.0453 -170.9778 1236.4538 690.0000 157.2620 48 586.8819 358.9937 -116.7327 1290.4965 805.0000 218.1181 49 710.2568 358.9437 6.7401 1413.7736 845.0000 134.7432 50 525.2488 358.8954 -178.1733 1228.6710 764.0000 238.7512 51 652.7690 358.8487 -50.5616 1356.0995 723.0000 70.2310 52 624.6163 358.8035 -78.6256 1327.8581 734.0000 109.3837 53 835.8226 358.7596 132.6667 1538.9785 750.0000 -85.8226 54 886.0218 358.7171 182.9492 1589.0944 807.0000 -79.0218 55 982.8088 358.6759 279.8170 1685.8007 886.0000 -96.8088 56 704.2706 358.6359 1.3572 1407.1840 819.0000 114.7294 57 680.8018 358.5971 -22.0355 1383.6392 740.0000 59.1982 58 1869.0365 358.5594 1166.2730 2571.7999 711.0000 -1158.0365 59 1893.3955 358.5228 1190.7038 2596.0872 1971.0000 77.6045

44. The ARIMA Procedure Forecasts for variable milk Obs Forecast Std Error 95% Confidence Limits Actual Residual 60 530.9438 358.4872 -171.6782 1233.5657 756.0000 225.0562 61 597.4127 358.4525 -105.1414 1299.9668 878.0000 280.5873 62 658.9492 358.4189 -43.5389 1361.4373 913.0000 254.0508 63 510.8793 358.3861 -191.5446 1213.3032 834.0000 323.1207 64 590.0024 358.3542 -112.3590 1292.3638 800.0000 209.9976 65 591.2458 358.3232 -111.0547 1293.5464 800.0000 208.7542 66 761.0240 358.2929 58.7828 1463.2653 826.0000 64.9760 67 839.5692 358.2635 137.3857 1541.7528 890.0000 50.4308 68 887.8321 358.2347 185.7049 1589.9593 961.0000 73.1679 69 655.3688 358.2067 -46.7035 1357.4411 894.0000 238.6312 70 595.8120 358.1794 -106.2068 1297.8307 809.0000 213.1880 71 1795.6327 358.1528 1093.6662 2497.5992 766.0000 -1029.6327 72 1831.6367 358.1267 1129.7212 2533.5522 1973.0000 141.3633 73 614.5433 358.1013 -87.3224 1316.4090 773.0000 158.4567 74 704.4026 358.0765 2.5854 1406.2197 898.0000 193.5974 75 836.7173 358.0523 134.9477 1538.4870 924.0000 87.2827 76 685.8285 358.0286 -15.8947 1387.5518 837.0000 151.1715 77 819.1890 358.0055 117.5111 1520.8669 791.0000 -28.1890 78 813.6021 357.9829 111.9685 1515.2357 802.0000 -11.6021 79 1035.4527 357.9608 333.8624 1737.0429 828.0000 -207.4527 80 1081.9285 357.9391 380.3806 1783.4763 889.0000 -192.9285

45. Obs Forecast Std Error 95% Confidence Limits Actual Residual 81 1167.5975 357.9180 466.0911 1869.1038 969.0000 -198.5975 82 886.5164 357.8973 185.0506 1587.9822 908.0000 21.4836 83 830.1916 357.8770 128.7656 1531.6177 815.0000 -15.1916 84 1924.9068 357.8572 1223.5196 2626.2940 773.0000 -1151.9068 85 1947.2480 357.8377 1245.8989 2648.5971 1975.0000 27.7520 86 677.0164 357.8187 -24.2954 1378.3282 782.0000 104.9836 87 773.6510 357.8001 72.3757 1474.9262 903.0000 129.3490 88 853.3666 357.7818 152.1272 1554.6061 937.0000 83.6334 89 699.2824 357.7639 -1.9219 1400.4868 858.0000 158.7176 90 779.7232 357.7464 78.5533 1480.8932 827.0000 47.2768 91 778.2782 357.7292 77.1420 1479.4145 843.0000 64.7218 92 947.4605 355.9933 249.7265 1645.1946.. 93 945.7989 479.1715 6.6400 1884.9579.. 94 1010.1801 480.5824 68.2558 1952.1043.. 95 785.4776 484.3619 -163.8544 1734.8095.. 96 864.0287 487.5060 -91.4655 1819.5228.. 97 1955.6847 490.1246 995.0582 2916.3113.. 98 863.6858 492.3078 -101.2198 1828.5914.. 99 892.2366 494.1296 -76.2396 1860.7127.. 100 1010.8580 495.6507 39.4004 1982.3156.. 101 854.4015 496.9216 -119.5469 1828.3500.