An Ardteistiméireacht

An Ardteistiméireacht
Ardleibhéal Páipéar 2 An Triantánacht Páipéar 1 2017 C9 2015 C7 Sampla SEC 2014 C8 2012 C8 2017 C6 2015 C9 2010 C9 Sampla SEC 2012 C5 2017 C9 2014 C1 Sampla SEC 2014 C9 2011 C7 2016 C7 2014 C2 2013 C5 2011 C8 2016 C8 2014 C4 2013 C8 2010 C5 2016 C3 Sampla SEC 2014 C5 2013 C9 2010 C8 2015 C5

Páipéar 1 Ceist 9 2017 40 marc

Doimhneacht an uisce, ina méadair, ag pointe áirithe i gcuan, athraíonn sí leis an taoide agus is féidir samhail de sin a chruthú le feidhm san fhoirm f (t) = a + b cos ct áit arb é t an t-am, ina uaireanta, ón gcéad lán mara Satharn áirithe agus is tairisigh iad a, b, agus c.(Nóta: Sloinntear ct ina raidiain.) Ar an Satharn sin, tugadh na rudaí seo a leanas faoi deara: Bhí uisce an chuain 5∙5 m ar doimhneacht ag lán mara Bhí uisce an chuain 1∙7 m ar doimhneacht ag lag trá Bhí lán mara ann ag 02:00 agus arís ag 14:34.

(a). Bain úsáid as an eolas a tugadh duit chun aiseanna a bhfuil
(a) Bain úsáid as an eolas a tugadh duit chun aiseanna a bhfuil lipéid agus scálaí orthu a chur ar an léaráid thíos, chomh beacht agus is féidir leat, chun graf f le linn tréimhse den Satharn sin a thaispeáint. Ba chóir go seasfadh an pointe P do dhoimhneacht an uisce sa chuan ag lán mara an mhaidin Shathairn sin. 20 1 2 3 4 5 6 y Airde (m) P 5·5 f (t) = a + b cos ct 3·6 1·7 x 02:00 08:00 14:00 20:00 Am • Bhí uisce an chuain 5∙5 m ar doimhneacht ag lán mara • Bhí uisce an chuain 1∙7 m ar doimhneacht ag lag trá • Bhí lán mara ann ag 02:00 agus arís ag 14:34.

(b) (i) Faigh luach a agus luach b.
10 1 2 3 4 5 6 y Airde (m) 5·5 b f (t) = a + b cos ct 1·9 3·6 a 1·7 3·6 x 02:00 08:00 14:00 20:00 Am

(b) (ii) Léirigh go bhfuil c = 0·5
ceart go dtí ionad deachúlach amháin. Peiriad = 14:34 – 02:00 = 12:34 = 12·5666 uair an chloig 2π 12·5666 c = 5 = 0· 5 4999…. 1 2 3 4 5 6 y Airde (m) c 0·5 5·5 b f (t) = a + b cos ct 1·9 3·6 a 1·7 3·6 x 02:00 08:00 14:00 20:00 Am

(c). Bain úsáid as an gcothromóid f (t) = a + b cos ct chun a fháil
(c) Bain úsáid as an gcothromóid f (t) = a + b cos ct chun a fháil amach céard iad na hamanna tráthnóna an tSathairn sin a raibh an t-uisce sa chuan díreach 5·2 m ar doimhneacht. Bíodh gach fhreagra ceart go dtí an nóiméad is gaire. 5 f (t) = 3·6 + 1·9 cos 0·5t = 5·2 13:26 and 15:42 1 2 3 4 5 6 y Airde (m) c 14:34 – 1:08=13:26 0·5 14:34 + 1:08 = 15:42 5·5 13:26 15:42 b f (t) = a + b cos ct 1·9 3·6 a 1·7 3·6 x 02:00 08:00 14:00 20:00 Am 1·9 cos 0·5t = 5·2 – 3·6 t = 1·139 uair an chloig 16 19 t = 2cos–1 t = 1 uair 8 noim

Glac le A mar lárphointe an domhain agus faigh |JH|, an
(a) Glac leis an domhan mar sféar le ga 6371 km. Tá Seán ag seasamh ar Aillte an Mhothair ag an bpointe J atá 214 méadar os cionn leibhéal na farraige. Tá sé ag féachaint amach ar an bhfarraige ar phointe H ar an léaslíne. Glac le A mar lárphointe an domhain agus faigh |JH|, an fad ó Sheán go dtí an léaslíne. Bíodh do fhreagra ceart go dtí an km is gaire. H Teoirim Phíotagaráis J 6371 km | JH | 2 + 63712 = 6371·2142 – | JH | 2 = 2726·833796 A 214 m 15 = 52 ·21909…. km

(b) Tá Aillte an Mhothair, ag an bpointe C, ag domhanleithead
53º ó thuaidh ón meánchiorcal. Seasann s1 ar an léaráid don chiorcal atá ag domhanleithead 53º. Seasann s2 don mheánchiorcal (atá ag domhanleithead 0º). Is é A lárphointe an domhain. Tá s1 agus s2 ar phlánaí comhthreomhara. Faigh fad an chiorcail s1. Bíodh do fhreagra ceart go dtí an km is gaire. Uillinneacha ailtéarnacha cos C = cóngarach taobhagán r s1 C r 53° cos 53º = 53° 6371 s2 r = 3834·163513 A 6371 km Imlíne = 2π r Fad s1 = 2π (3834·163513) 10 = 2409 1 km 0·75985

(a) Úsáid an triantán ECT, chun|TE| a shloinneadh san
Tá talamh Chonchúir cuimsithe ag bruach díreach abhann, mar a léirítear i bhFíor 1 thios. Is é T bun crainn cheartingearaigh atá ag fás in aice leis an mbruach thall den abhainn. Is é |TE| airde an chrainn, mar a léirítear i bhFíor 2 thios. Ón bpointe C, atá siar go díreach ón gcrann, is é uillinn airde E, barr an chrainn, ná 60°. Ón bpointe D, atá 15 m díreach ó thuaidh ó C, is é uillinn airde E ná 30° (féach Fíor 2). Tá an talamh ar dhá thaobh na habhann réidh agus ar an leibhéal céanna. (a) Úsáid an triantán ECT, chun|TE| a shloinneadh san fhoirm a |CT| méadar, áit a bhfuil a ∈ ℕ. E N Fior 1 D C F T Abhainn Talamh Chonchúir | TE | urchomhaireach tan60° = | CT | cóngarach 10 | TE | = | CT | 30° T D 60° 15 Fior 2 C

(b) Léirigh gur féidir|TE| a shloinneadh mar 225 + |CT|2 3
méadar freisin. Teoirim Phíotagaráis 152 + | CT |2 = | DT |2 225 + | CT |2 | DT | = | TE | urchomhaireach tan30° = | DT | cóngarach 225 + | CT |2 × | TE | = 1 3 E 225 + | CT |2 3 = 5 N Fior 1 D C F T Abhainn Talamh Chonchúir 30° T D 60° 15 Fior 2 C

(c) Uaidh sin faigh|CT|, an fad ó bhun an chrainn go bruach na
habhann ar thaobh Chonchúir.Bíodh do fhreagra ceart go dtí ceart go dtí ionad deachúlach amháin. 225 + | CT |2 3 = | TE | = 3 | CT | Cearnaigh an dá thaobh 3 | CT |2 = 225 + | CT |2 3 An dá thaobh a iolrú faoi 3 9 | CT |2 = | CT |2 Athshocrú E 8 | CT |2 = 225 An dá thaobh a roinnt at 8 N Fior 1 D C F T Abhainn Talamh Chonchúir | CT |2 = 225 8 Tóg an chearnóg ar an dá thaobh 10 | CT | = 5·3 033… m 30° T D 60° 15 Fior 2 C

(d) Faigh |TE|, airde an chrainn.
Bíodh do fhreagra ceart go dtí ionad deachúlach amháin. | TE | = | CT | chuid (a) = (5·3) 10 = 9· 2 m E N Fior 1 D C F T Abhainn Talamh Chonchúir 30° T D 60° 15 Fior 2 C

(e) Titeann an crann trasna na habhann agus buaileann sé an
bruach ar thaobh Chonchúir ag an bpointe F. Faigh uasmhéid na huillinne FTC. Bíodh do fhreagra ina chéimeanna, ceart go dtí ionad deachúlach amháin. Tarlaíonn uillinn uasta nuair a bheidh |FT| = 9·2 m cos θ = cóngarach taobhagán 5·3 m C T 9·2 m F θ ___ 5·3 E cos θ = 9·2 θ = cos–1057608… N Fior 1 D C F T Abhainn Talamh Chonchúir 5 = 54·8 30° T D 60° 15 Fior 2 C

(f) Más ionann an dóchúlacht go dtitfidh an crann i dtreo ar bith,
faigh an dóchúlacht go mbuailfeadh sé an bruach ar thaobh Chonchúir nuair a thitfidh sé. Bíodh do fhreagra, ina chéatadán, ceart go dtí ionad deachúlach amháin. Is féidir leis an gcrann titim i dtreo ar bith  θ = 360° 5·3 m C T 9·2 m F θ Titim ar thaobh Chonchúir θ = 2(54·8°) = 109·6° E Dóchúlacht = 109·6 360 N Fior 1 D C F T Abhainn Talamh Chonchúir = 0·304444 10 = 30·4% 30° T D 60° 15 Fior 2 C

(a) Taispeáin go bhfuil = cot 3A.
cos 7A + cos A sin 7A – sin A 2 cos 7A + A 2 sin 7A – A cos = cos 7A + cos A sin 7A – sin A = 2 cos 4A cos 3A 2 cos 4A sin 3A = cos 3A sin 3A 15 = cot 3A

(b) Glac leis go bhfuil cos 2θ = . Faigh cos θ san fhoirm  , 1 9 a b
áit a bhfuil a, b ∈ ℕ. cos2 A = ( ) 1 2 9 cos 2A = cos2 A – (1 – cos2 A) cos 2A = 2cos2 A – 1 cos2 A = 5 9 1 9 = 2cos2 A – 1 5 3 cos A =  10 10 9 = 2cos2 A 5 3 cos A = 

ina dtrasnaíonn trasnáin an bhoinn a chéile, mar
Tá bonn dronuilleogach CDEF ar Laindéar Dín gloine a bhfuil cruth pirimide air, agus tá a rinn ag B mar a thaispeántar. Is é airde cheartingearach na pirimide ná | AB |, áit arb é A an pointe ina dtrasnaíonn trasnáin an bhoinn a chéile, mar a thaispeántar sa léaráid. Chomh maith leis sin, tá |CD| = 2·5 m agus |CF | = 3 m. B F E (a) (i) Taispeáin go bhfuil | AC | = 1·95 m, ceart go dtí dhá ionad dheachúlacha. 3 m A Teoirim Phíotagaráis | EC |2 = ·52 1·95 m | EC | 2 = 15·25 C D 2·5 m = | AC | 3·9052 2 10 = 1·95 25…. m

Tá bonn dronuilleogach CDEF ar Laindéar Dín gloine a bhfuil cruth pirimide air, agus tá a rinn ag B mar a thaispeántar. Is é airde cheartingearach na pirimide ná | AB |, áit arb é A an pointe ina dtrasnaíonn trasnáin an bhoinn a chéile, mar a thaispeántar sa léaráid. Chomh maith leis sin, tá |CD| = 2·5 m agus |CF | = 3 m. B F E (ii) Is í uillinn airde B ó C ná 50° (i.e. |  BCA| = 50°). Taispeáin go bhfuil | AB | = 2·3 m, ceart go dtí ionad deachúlach amháin. (a) h 3 m A 50° 1·95 m urchomhaireach h tan50° = ––––––––––––– C 1·95 cóngarach D 2·5 m h = 1·95tan50° 10 = 2·3 239…. m

ina dtrasnaíonn trasnáin an bhoinn a chéile, mar
Tá bonn dronuilleogach CDEF ar Laindéar Dín gloine a bhfuil cruth pirimide air, agus tá a rinn ag B mar a thaispeántar. Is é airde cheartingearach na pirimide ná | AB |, áit arb é A an pointe ina dtrasnaíonn trasnáin an bhoinn a chéile, mar a thaispeántar sa léaráid. Chomh maith leis sin, tá |CD| = 2·5 m agus |CF | = 3 m. B F E (a) (iii) Faigh | BC |, ceart go dtí an méadar is gaire. 2·3 m Teoirim Phíotagaráis 3 m A | BC |2 = 1· ·32 50° | BC | 2 = 9·0925 1·95 m 10 C | BC | = 3 ·015…. m D 2·5 m

Tá bonn dronuilleogach CDEF ar Laindéar Dín gloine a bhfuil cruth pirimide air, agus tá a rinn ag B mar a thaispeántar. Is é airde cheartingearach na pirimide ná | AB |, áit arb é A an pointe ina dtrasnaíonn trasnáin an bhoinn a chéile, mar a thaispeántar sa léaráid. Chomh maith leis sin, tá |CD| = 2·5 m agus |CF | = 3 m. B F E (iv) Faigh |  BCD|, ceart go dtí an chéim is gaire. (a) 3 m 3 m 3 m A An Riail Comhshíneas: a2 = b2 + c2 – 2bc cos A 32 = ·52 – 2(3)(2·5)cosC C D 2(3)(2·5)cosC = ·52 – 32 2·5 m cosC = 2·52 2(3)(2·5) 6·25 15 = |  BCD| = cos–1(0·4167) 10 = 65 ·375….

Tá bonn dronuilleogach CDEF ar Laindéar Dín gloine a bhfuil cruth pirimide air, agus tá a rinn ag B mar a thaispeántar. Is é airde cheartingearach na pirimide ná | AB |, áit arb é A an pointe ina dtrasnaíonn trasnáin an bhoinn a chéile, mar a thaispeántar sa léaráid. Chomh maith leis sin, tá |CD| = 2·5 m agus |CF | = 3 m. B F E 60° (a) (v) Faigh achar an ghloine atá riachtanach chun gloine a chur ar na ceithre shlios triantánach den phirimid. Bíodh do fhreagra ceart go dtí an m2 is gaire. 3 m 3 m 3 m A Achar = absinC 1 2 – 65° C D 2·5 m ∆ comhshleasach = (3)(2·5)sin65° 1 2 – + (3)(3)sin60° 1 2 – × 2 × 2 10 = 1 4·59… 5 m2

(b) Tá bonn cearnógach CDEF ag Laindéar Dín eile a bhfuil cruth
pirimide air. Is í an airde cheartingearach ná | AB | = 3 m, áit arb é A an pointe ina dtrasnaíonn trasnáin an bhoinn a chéile, mar a thaispeántar. Is í uillinn airde B ó C ná 60° (i.e. |  BCA | = 60°). Faigh fad an tsleasa ar bhonn cearnógach an laindéir. Bíodh do fhreagra san fhoirm a m, áit a bhfuil a ∈ ℕ. urchomhaireach 3 B tan60° = ––––––––––––– 3 = a cóngarach F E | EC | = 3 Teoirim Phíotagaráis x x2 + x2 = | EC |2 A 2 3 60° 2x2 = ( )2 12 a 5 x = m C x D

Tomhaiseadh airde an uisce i gcuan thar thréimhse ama
Tomhaiseadh airde an uisce i gcuan thar thréimhse ama. Fuarthas amach gurb é 1·6 m an mheánairde. Rinneadh an aird ℎ(t) méadar, a shamhaltú leis an bhfeidhm h(t) = 1·6 + 1·5cos t π 6 ç è æ áit a seasann t do líon na n-uaireanta an chloig ón uair dheireanach t π 6 ç è æ a taifeadadh an lán mara agus áit a bhfuil ina raidiain. (a) Faigh peiriad agus raon ℎ(t). [1·6 – 1·5, 1·6 + 1·5] 2π Peiriad: 5 π 6 = 12 uair an chloig Raon: [0·1 m, 3·1 m] (b) Faigh uasairde an uisce sa chuan. 5 1·6 + 1·5 = 3·1 m ón raon

Tomhaiseadh airde an uisce i gcuan thar thréimhse ama
Tomhaiseadh airde an uisce i gcuan thar thréimhse ama. Fuarthas amach gurb é 1·6 m an mheánairde. Rinneadh an aird ℎ(t) méadar, a shamhaltú leis an bhfeidhm h(t) = 1·6 + 1·5cos t π 6 ç è æ áit a seasann t do líon na n-uaireanta an chloig ón uair dheireanach t π 6 ç è æ a taifeadadh an lán mara agus áit a bhfuil ina raidiain. (c) Faigh an ráta ar a bhfuil airde an uisce ag athrú nuair atá t = 2, ceart go dtí dhá ionad dheachúlacha. Mínigh do fhreagra i gcomhthéacs na ceiste. h΄(t) = –1·5sin t π 6 ç è æ Ráta: h΄(2) = –1·5sin (2) π 6 ç è æ = ‒ 0·68 017 m/hr 5 Míniú: Tá an taoide ag trá ag ráta 0·68 m san uair ag 2 am

(d). (i). Ag meán oíche a bhí an lán mara ann lá amháin (i. e. t = 0)
(d) (i) Ag meán oíche a bhí an lán mara ann lá amháin (i.e. t = 0). Bain úsáid as an bhfeidhm chun an tábla a chomhlánú agus taispeáin airde an uisce, ℎ(t) , idir meán oíche an lae dár gcionn. Am Meán Oíche 3am 6am 9am Lae 3pm 6pm 9pm t (Uaireanta an chloig) 3 h(t) (m) h(t) = 1·6 + 1·5cos t π 6 ç è æ 10 6 9 12 15 18 21 24 3·1 1·6 0·1 1·6 3·1 1·6 0·1 1·6 3·1

(d) (ii) Tarraing sceitse de ghraf ℎ(t) idir an dá mheán oíche.
Am Meán Oíche 3am 6am 9am Lae 3pm 6pm 9pm t 3 h(t) (m) h(t) = 1·6 + 1·5cos t π 6 ç è æ 6 9 12 15 18 21 24 3·1 1·6 0·1 1·6 3·1 1·6 0·1 1·6 3·1 Airde (m) 3 2 1 3 a.m. 6 a.m. 9 a.m. Meán Lae 3 p.m. 6 p.m. 9 p.m. Meán Oíche Am 10

(e) Faigh, ó do sceitse, an difríocht idir airde an uisce ag lag trá
agus ag lán mara. Am Meán Oíche 3am 6am 9am Lae 3pm 6pm 9pm t 3 h(t) (m) h(t) = 1·6 + 1·5cos t π 6 ç è æ 6 9 12 15 18 21 24 3·1 1·6 0·1 1·6 3·1 1·6 0·1 1·6 3·1 Airde (m) 3 2 1 3 a.m. 6 a.m. 9 a.m. Meán Lae 3 p.m. 6 p.m. 9 p.m. Meán Oíche Am 5 3 mara

Am = 15:15 – 9:30 = timpeall 5 uair 45 nóiméad
(f) Tagann báirse isteach sa chuan agus lód iomlán air, dílódáiltear é agus fágann sé an cuan arís tar eis tamaill. 2 m an t-íosleibhéal uisce a bhíonn riachtanach don bháirse nuair a bhíonn lód iomlán air. Nuair a dílódáiltear an báirse, ní theastaíonn ach 1·5 m uisce. Bain úsáid as do ghraf chun meastachán a dhéanamh ar an uasmhéid ama is féidir leis an mbáirse a caitheamh sa chuan, gan luí ar ghrinneall na farraige. Airde (m) 3 2 1 3 a.m. 6 a.m. 9 a.m. Meán Lae 3 p.m. 6 p.m. 9 p.m. Meán Oíche Am 5 Am = 15:15 – 9:30 = timpeall 5 uair 45 nóiméad 9:30 3:15

(a) Cruthaigh go bhfuil tan(A + B) = .
tan A + tan B 1 – tan A tan B tan(A + B) = sin(A + B) cos(A + B) = sin A cos B + cos A sin B cos A cos B – sin A sin B Roinn ag cos A cos B = sin A cos B cos A sin B cos A cos B cos A cos B 1 – sin A sin B cos A cos B + tan A + tan B 1 – tan A tan B = 15

(b) Faigh na luachanna go léir ar x a fhágann go bhfuil sin(3x) =
2 0  x  360, x ina céimeanna. 360° 180° 1 – 1 2 sin 3x = 3 2 3x = sin–1 3 3x = 60° 3x =120° x = 20° x = 40° Réiteach Ginearálta S A 3x = 60° + n(360°) x = 20°+ n(120°) 3x = 120° + n(360°) x = 40°+ n(120°) T C n = 1 x = 140° x = 160° n = 2 x = 260° x = 280° 10 x = 20°, 40°, 140°, 160°, 260°, 280° π 12 –– 5π 12 –– 13π 12 ––– 17π 12 ––– =

Is éard atá i bpáirt chlárach d’inneall ná dhá fhoirceann chiorclacha
atá ceangailte de phláta, mar a thaispeántar (níl an léaráid de réir scála). Tá sleasa an phláta, HK agus PQ, tadhlaíoch leis an dá chiorcal. Is é A lárphointe an chiorcail is mó agus is é fad an gha ann ná 4r cm. Is é B lárphointe an chiorcail is lú agus is é fad an gha ann ná r cm. Is é fad [HK] ná 8r cm agus tá | AB | = cm. (a) Faigh r, ga an chiorcail is lú. (Nod: Tarraing BT || KH, T ∈ AH.) H r Teoirim Phíotagaráis T 8r 4r (8r)2 + (3r)2 = ( )2 3r K 64r2 + 9r2 = 400(73) r A B 73r2 = 400(73) Q r 2 = 400 = 20 cm 15 P

atá ceangailte de phláta, mar a thaispeántar (níl an léaráid de réir scála). Tá sleasa an phláta, HK agus PQ, tadhlaíoch leis an dá chiorcal. Is é A lárphointe an chiorcail is mó agus is é fad an gha ann ná 4r cm. Is é B lárphointe an chiorcail is lú agus is é fad an gha ann ná r cm. Is é fad [HK] ná 8r cm agus tá | AB | = cm. (b) Faigh achar an cheathairshleasáin ABKH. Achar ∆ATB = bonn  airde 1 2 H 20 r T 160 cm 8r = (60)(160) 1 2 60 3r K 20 r = 4800 cm2 A B Achar HTBK = bonn  airde Q = 20(160) = 3200 cm2 P 15 Achar ABKH = = 8000 cm2

atá ceangailte de phláta, mar a thaispeántar (níl an léaráid de réir scála). Tá sleasa an phláta, HK agus PQ, tadhlaíoch leis an dá chiorcal. Is é A lárphointe an chiorcail is mó agus is é fad an gha ann ná 4r cm. Is é B lárphointe an chiorcail is lú agus is é fad an gha ann ná r cm. Is é fad [HK] ná 8r cm agus tá | AB | = cm. (c) (i) Faigh |  HAP |, ina céimeanna, ceart go dtí ionad deachúlach amháin. H urchomhaireach 20 160 tan θ = ––––––––––––– T 160 cm 60 cóngarach 60 K θ = tan–12·6 = 69·44° θ r A |  HAP | = 2  69·44° B 5 Q = 138· 8879 9° P

atá ceangailte de phláta, mar a thaispeántar (níl an léaráid de réir scála). Tá sleasa an phláta, HK agus PQ, tadhlaíoch leis an dá chiorcal. Is é A lárphointe an chiorcail is mó agus is é fad an gha ann ná 4r cm. Is é B lárphointe an chiorcail is lú agus is é fad an gha ann ná r cm. Is é fad [HK] ná 8r cm agus tá | AB | = cm. (c) (ii) Faigh achar na páirte den inneall, ceart go dtí an cm2 is gaire. H 20 360°  Achar teascóige = π r 2 T 160 cm 60 K Achar = 8000 cm2 2211360 Achar = π (80)2 221·1° 138·9° 20 A B Achar = 8000 cm2 360° – 69·44° Q = 12348·55 cm2 1389360 Achar = π (20)2 138·9° P 5 = 484·85 cm2 Iomlán achair = 28833 ·4 cm2

(a). Tá Siobhán ag imirt gailf
(a) Tá Siobhán ag imirt gailf. Tá sí 150 m ón lárphointe de phlásóg chiorclach de thrastomhas 30 m. Taispeánann an léaráid réimse na dtreonna inar féidir le Siobhán an liathróid a bhualadh ionas go bhféadfadh an liathróid tuirlingt ar an bplásóg. Faigh α, méid na huillinne sa réimse seo treonna. Bíodh do fhreagra ina chéimeanna, ceart go dtí ionad deachúlach amháin. 30 m α 150 m 15 m sin A = urchomhaireach taobhagán sin = α 15 150 2 sin–1 = α 15 150 2 = 5739… α 2 10 α = 11 478… 5

(b) Ag an gcéad pholl eile, tá Siobhán ag T, agus triallann sí an liathróid a bualadh i dtreo an phoill H. Téann an buille ar sceamh agus tuirlingíonn an liathróid ag A, fad 190 méadar ó T, áit a bhfuil |  ATH | = 18°. Is ionann | TH | agus 385 méadar. Faigh | AH | , an fad ón liathróid go dtí an poll, ceart go dtí an méadar is gaire. Riail an chomhshínis: a2 = b2 + c2 – 2bc cos A A 190 m a 18° T H 385 m a2 = – 2(190)(385)cos18 = – ( 0·9511) ––––––––––– a = 45185·43167 = 212·568… 10 | AH | = 213 m

(c) Ag poll eile, áit nach bhfuil an talamh leibhéalta, buaileann Siobhán an liathróid ó K, mar a thaispeántar. Tuirlingíonn an liathróid ag B. Tugtar airde na liathróide, ina méadair, os cionn an líne chothrománach OB le h = − 6t t + 8 áit ar arb é t an t-am ina shoicindí tar éis go mbuailtear an liathróid agus h airde na liathróide. (i) Faigh airde K os cionn OB. t = 0 h = − 6(0)2 + 22(0) + 8 K O B = 8 m 5 8 m

(c) Ag poll eile, áit nach bhfuil an talamh leibhéalta, buaileann Siobhán an liathróid ó K, mar a thaispeántar. Tuirlingíonn an liathróid ag B. Tugtar airde na liathróide, ina méadair, os cionn an líne chothrománach OB le h = − 6t t + 8 áit ar arb é t an t-am ina shoicindí tar éis go mbuailtear an liathróid agus h airde na liathróide. (ii) Is é meánluas cothrománach na liathróide ar feadh an fhaid dhírigh [OB] ná 38 ms–1 mtairiseach. Faigh uillinn airde K ó B, ceart go dtí an chéim is gaire. K O B h = 0 | OB | = 38  4 Roinn ag – 2 8 m θ − 6t2 + 22t + 8 = 0 152 m 1 3 t = –  3t2 – 11t – 4 = 0 (3t + 1)(t – 4) = 0 t = 4 tan θ = 8 152 θ = tan–1 8 152  10 = 3 0127…

(d) Ag poll níos déanaí, tuirlingíonn an chéad bhuille ag Siobhán ag an bpointe G, ar thalamh atá ar fána síos, mar a thaispeántar. Tá crann ceartingearach, [CE], atá 25 méadar ar airde, ina sheasamh idir G agus an poll. Is ionann an fad, | GC |, ón liathróid go dtí bun an chrainn, agus 25 méadar freisin. Is é θ an uillinn airde ó G go dtí barr an chrainn, E, áit a bhfuil θ = tan– Tá barr an chrainn h méadar os cionn an chothromáin, GD, agus tá | GD | = d méadar. (i) Scríobh d agus | CD | i dtéarmaí h. 1 2 θ G D E C d 25 m h 25 – h h d urchomhaireach h 1 tan θ = ––––––––––––– = d = 2h cóngarach d 2 d = 2h 5 | CD | = 25 – h

(d) Ag poll níos déanaí, tuirlingíonn an chéad bhuille ag Siobhán ag an bpointe G, ar thalamh atá ar fána síos, mar a thaispeántar. Tá crann ceartingearach, [CE], atá 25 méadar ar airde, ina sheasamh idir G agus an poll. Is ionann an fad, | GC |, ón liathróid go dtí bun an chrainn, agus 25 méadar freisin. Is é θ an uillinn airde ó G go dtí barr an chrainn, E, áit a bhfuil θ = tan– Tá barr an chrainn h méadar os cionn an chothromáin, GD, agus tá | GD | = d méadar. 1 2 θ G D E C d 25 m h 25 – h (ii) Uaidh sin, nó ar shlí eile, faigh h. (2h)2 + (25 – h)2 = 252 Teoirim Phíotagaráis 4h – 50h + h2 = 625 5h2 – 50h = 0 h(h – 10) = 0  5 h = 0 nó h = 10 m

Is iad faid na sleasa ar pháirc thriantánach chomhréidh ACB ná,
| AB | = 120 m, | BC | = 134 m agus | AC | = 150 m. (a) (i) Faigh |  CBA |. Bíodh do fhreagra, ina chéimeanna, ceart go dtí dhá ionad dheachúlacha. Riail an chomhshínis: a2 = b2 + c2 – 2bc cos A 150² = 120² + 134² – 2(120)(134)cos B B 120 m cos B = 120² + 134² – 150² 2(120)(134) ––––––––––––––– A 134 m cos B = 0·306468 150 m 15 |  CBA | = 72·15 39… (ii) Ríomh achar an triantáin ACB ceart go dtí an tslánuimhir is gaire. C 5 Achar = absinC 1 2 – = (120)(134)sin72·15 1 2 – = 765 3 m2 2·97…

Is iad fad na sleasa ar pháirc thriantánach chomhréidh ACB ná,
| AB | = 120 m, | BC | = 134 m agus | AC | = 150 m. (b) Tá cuaille ceartingearach, [DE], suite in imlár, D, an triantáin. Tá an cuaille á choimeád ina áit le trí chábla rite [EA], [EB] agus [EC]. Mínigh cén fáth a bhfuil na trí chábla ar comhfhad. E Imlár ag D | AD | = | BD | = | CD | B A Tá dronuillinn ag D i ngach ceann de na triantáin EAD, EBD, ECD, agus tá an dá shlios, an bonn agus an t-ingear iontu ar cóimhéid. Uaidh sin, de réir theoirim Phíotagaráis, caithfidh sé go bhfuil an tríú slios ar gach ceann díobh, an taobhagán (na cáblaí), ar cóimhéid. D 5 C

(a) Cruthaigh go bhfuil cos 2A = cos2A − sin2A.
cos(A + B) = cosAcosB − sinAsinB cos 2A = cos(A + A) = cosAcosA − sinAsinA 15 = cos2A − sin2A

(b) Sa léaráid taispeántar cuid d’fhoirceann
ciorclach ar raon reatha agus tá trí lána reatha le feiceáil. Is ag O atá lárphointe gach ceann d’imill chiorclacha na lánaí. Ritheann Cáit i lár lána 1, ó A go B mar a thaispeántar. Ritheann Eibhlín i lár lána 2, ó C go D mar a taispeántar. Ritheann Eibhlín 3 m níos faide ná mar a ritheann Cáit. |  AOB | = |  COD | = θ raidian. Má tá gach lána 1‧2 m ar leithead, faigh θ . Helen Kate Eibhlín C Cáit A r O θ B D s2 = s1 + 3 | AB | = s1 = | OA |θ = r θ r θ + 1·2θ = r θ + 3 |CD | = s2 = | OC |θ = (r + 1·2)θ 10 θ = 2·5 raidian

Sa ghraf thíos taispeántar an voltas, V, i gciorcad leictreach mar fheidhm ama, t. Tugtar an voltas leis an bhfoirmle V = 311sin(100π t), áit a bhfuil V ina voltanna agus t ina shoicindí. V 300 200 100 t 001 002 003 004 -100 -200 -300 (a) (i) Scríobh síos raon na feidhme. Raon: [−311, 311 ]

Sa ghraf thíos taispeántar an voltas, V, i gciorcad leictreach mar fheidhm ama, t. Tugtar an voltas leis an bhfoirmle V = 311sin(100π t), áit a bhfuil V ina voltanna agus t ina shoicindí. V 300 200 100 t 001 002 003 004 -100 -200 -300 (a) (ii) Cé mhéad peiriad iomlán atá i soicind amháin? An t-am le haghaidh 1 pheiriad amháin = 002 soicind 10 Lion na bpeiriad iomlán in 1 soicind amháin = 1 002 –––– = 50

(b). (i). Sa tábla thíos tugtar an voltas, ceart go dtí an tslánuimhir
(b) (i) Sa tábla thíos tugtar an voltas, ceart go dtí an tslánuimhir is gaire, i gceann eatraimh chothroma ó t1 go dtí t12 le linn peiriad iomlán amháin (mar a thaispeánann na línte briste ar an léaráid). Bain úsáid as na hiontrálacha a thugtar sa tábla agus as airíonna na feidhme chun an tábla a chomhlánú. V 300 200 σ = 219⋅89 = 220 10 100 t 001 002 003 004 -100 -200 -300 T t1 t2 t3 t4 t5 t6 = 0·01 t7 t8 t9 t10 t11 t12 = 0·02 V 156 269 311 269 156 -156 -269 -311 -269 -156 (ii) Agus áireamhán á úsáid agat, nó ar shlí eile, ríomh diall caighdeánach, σ , na dhá luach déag ar V sa tábla, ceart go dtí an tslánuimhir is gaire.

(c). (i). Nuair is go dlúth le cheile a bhíonn na luachanna ar aon
(c) (i) Nuair is go dlúth le cheile a bhíonn na luachanna ar aon fheidhm san fhoirm V = a sin(bt), le linn aon pheiriad iomlán amháin, is le kσ = Vmax , a thugtar a ndiall caighdeánach, σ , áit ar tairiseach é k nach bhfuil ag brath ar a ná ar b, agus áit arb é uasluach na feidhme ná max V. Bain úsáid as an bhfeidhm V = 311sin(100π t), chun garluach ar k a fháil, ceart go dtí thrí ionad dheachúlacha. 5 k = Vmax σ –––– = 311 220 –––– phointe kσ = Vmax = 1414 (ii) Ag úsáid freagra chuid (c) (i) duit, nó ar shlí eile, faigh an luach ar b a theastaíonn chun go mbeidh 60 peiriad iomlán ag an bhfeidhm V = a sin(bt) in aon soicind amháin, agus an garluach ar a a fhágann go mbeidh diall caighdeánach de 110 volta ag an bhfeidhm. = 60 b 2π ––– b = 2π  60 = 377 kσ = Vmax Vmax = 1414  110 = 155·54 = a

Páipéar 2 Ceist 5 2014 Sampla SEC 25 marc

S A T C Taispeántar sa léaráid thíos graf na feidhme f : x a sin2x.
Taispeántar freisin an líne 2y = 1. (a) Ar an léaráid chéanna thuas, tarraing graf g : x a sin x agus graf h : x a 3sin 2x. Taispeáin go soiléir cé acu ceann g agus cé acu ceann h. -3 -2 -1 1 2 3 15 y = g (x) y = f (x) y = h (x) 2y = 1 P p 2p 17 12 ––– 1 2 –– , ç è æ P = 10 S A T C (b) Faigh comhordanáidí an phointe P sa learáid. 1 2 –– y = y = sin 2x  2y = 1 2x = 30° 150° 390° 510° 255° 1 2 –– sin 2x = 2x = sin –1 1 2 –– x = 15° 75° 195°  12 –– 5 12 –– 13 12 ––– 17 12 ––– = π 12 –– 5π 12 –– 13π 12 ––– 17π 12 ––– =

Páipéar 2 Ceist 8 2014 SEC Sample 50 marc

Tá seastán in úsáid chun grianphainéal iniompartha a choimeád in airde
Tá seastán in úsáid chun grianphainéal iniompartha a choimeád in airde. Is éard atá ann ná taca atá ceangailte den phainéal le hinse in aice leis an mbarr agus strapa inathraithe a cheanglaíonn an painéal den taca in aice leis an mbun. Má athraítear fad an strapa, is féidir an uillinn idir an painéal agus an talamh a athrú. Tá na toisí mar seo a leanas: B | AB | = 30 cm, | AD | = | CB | = 5 cm | CF | = 22 cm | EF | = 4 cm C (inse) painéal taca strapa D E α A F

(a) Faigh fad an strapa [DE] má tá 60° san uillinn α
idir an painéal agus an talamh. Tá |DE| uainn Ní mór dúinn| ACF | a fháil B 5 cm | AB | = 30 cm, | AD | = | CB | = 5 cm | CF | = 22 cm | EF | = 4 cm C 20 cm 18 cm | CD | = 30 – 10 | CE | = 22 – 4 D 5 cm E 60 4 cm A F

idir an painéal agus an talamh. An Riail Sine : = = c sin C a sin A b sin B _____ | AB | = 30 cm, | AD | = | CB | = 5 cm | CF | = 22 cm | EF | = 4 cm C __________ sin | CFA | ______ sin 60 __ = 20 25 22 sin | CFA | = 0· 40·2º 25 cm 22 cm |  CFA | = sin–10·9841 = 79·7754… 60 79·8º = 79·8º A F

idir an painéal agus an talamh. Riail an chomhshínis: a2 = b2 + c2 – 2bc cos A a2 = – 2(20)(18)cos40·2 = 724 – 720( 0·7638) ––––––– C a = 174·066… 20 = 13·193… = 13·2 cm 40·2º 20 cm 18 cm a D E 60 A F

(b) Faigh an t-uasluach a d’fhéadfadh a bheith ar α ,
ceart go dtí an uillinn chéime is gaire. urchomhaireach taobhagán ––––––––––––– sin α = 22 25 –– sin α = 22 25 –– C α = sin–1 = 61·642… 40·2º 10 25 cm = 62° 22 cm D α 79·8º A F

ar fad, taispeáin gurb é an toirt atá sa choimeádán
Tá ceithre éadan ar theitrihéadrán rialta agus is triantán comhshleasach é gach ceann díobh.Tá puzal (tomhas) adhmaid déanta as roinnt píosaí is féidir a chur le chéile chun teitrihéadrán rialta a dhéanamh. Teastaíonn ón déantóir an teitrihéadrán cóimeáilte a phacáil i gcoimeádán sorcóireach trédhearcach agus éadan amháin a bheith ina shuí ar bhonn an tsorcóra. Más tá imeall amháin ar an teitrihéadrán 2a ar fad, taispeáin gurb é an toirt atá sa choimeádán sorcóireach is lú is féidir a úsáid. –––– 3 a 8 6 ç è æ 9 Riail an chomhshínis: a2 = b2 + c2 – 2bc cos A 30° 120° 2a r (2a)2 = r2 + r2 – 2(r)(r)cos120 4a2 = 2r2 – 2r2(– 0·5) r = 2a ––– 3 4a2 = 3r2 4a2 = 2r2 +r2 10 r 2a

Tá ceithre éadan ar theitrihéadrán rialta agus is triantán comhshleasach é gach ceann díobh.Tá puzal (tomhas) adhmaid déanta as roinnt píosaí is féidir a chur le chéile chun teitrihéadrán rialta a dhéanamh. Teastaíonn ón déantóir an teitrihéadrán cóimeáilte a phacáil i gcoimeádán sorcóireach trédhearcach agus éadan amháin a bheith ina shuí ar bhonn an tsorcóra. Más tá imeall amháin ar an teitrihéadrán 2a ar fad, taispeáin gurb é an toirt atá sa choimeádán sorcóireach is lú is féidir a úsáid. –––– 3 a 8 6 ç è æ 9 Teoirim Phíotagaráis (2a)2 = r2 + h2 h2 = 4a2 – r2 h h2 = 4a2 – 2a ––– 3 2 ç è æ 2a r 10 h2 = – 4a2 ––– 3 12a2 h2 = 8a2 ––– 3 h2 = 4a2 – 4a2 ––– 3 h = 2 2a ––––– 3

Tá ceithre éadan ar theitrihéadrán rialta agus is triantán comhshleasach é gach ceann díobh.Tá puzal (tomhas) adhmaid déanta as roinnt píosaí is féidir a chur le chéile chun teitrihéadrán rialta a dhéanamh. Teastaíonn ón déantóir an teitrihéadrán cóimeáilte a phacáil i gcoimeádán sorcóireach trédhearcach agus éadan amháin a bheith ina shuí ar bhonn an tsorcóra. Más tá imeall amháin ar an teitrihéadrán 2a ar fad, taispeáin gurb é an toirt atá sa choimeádán sorcóireach is lú is féidir a úsáid. –––– 3 a 8 6 ç è æ 9 Toirt Sórcóir: V =  r2h h = 2 2a ––––– 3 r = 2a ––– 3 2a ––– 3 2 ç è æ V =  2 2a ––––– h 2a 4a2 ––– 3 V =  2 2a ––––– × ––– × 3 r 3 a 8 6 ç è æ –––– 9 = 5

(a) Sa triantán ABC, seasann a, b agus c d’fhad na sleasa. Bain
úsáid as foirmle le haghaidh achar triantáin, nó i slí eile, agus cruthaigh go bhfuil a b c sin  A sin  B sin C = –––––– –––––– . C C 1 2 –– Achar = absinC a b  A  B A c B 1 2 –– 1 2 –– 1 2 –– 1 2 –– Achar = a b sinC = a c sinB achar = b a sinC = b c sinA –––– –––– –––– –––– 1 2 –– Roinn ar a 1 2 –– Roinn ar b Roinne ar sinBsinC a b c sin  A sin  B sin C = –––––– Roinn ar sinAsinC 5 

(b) Sa triantán XYZ, | XY | = 5cm, | XZ | = 3cm agus |  XYZ | = 27º.
(i) Faigh an dá luach a d’fhéadfadh a bheith ar | XZY |. Bíodh do fhreagraí ceart go dtí an chéim is gaire. __________ sin | XZY | ______ sin 27 __ |  XZY | = 180 – 49 = 5 3 = 131 sin | XZY | = 0·75665… 10 |  XZY | = sin–10·75665 = 49  ·1698… Z Options,Nom:LeCadre,Fond:faux,Cadre:faux,xmin: ,ymin: ,xmax: ,ymax: ,MainLevee:faux,GrilleAimantee:faux,AfficheGrille:faux,echelleFigure:1,lGrille:1,hGrille:1|MultiPage1:0,TextBox16:X,OptionButton12:vrai,Label59: : ,,Label122:,Image1.BackColor:0,Image1.ControlTipText:Continuous 0.75 pt,CheckBox5:faux,Image5.BackColor: ,TextBox66:50,OptionButton39:vrai,OptionButton40:faux,OptionButton49:faux,OptionButton50:faux,TextBox74:,CheckBox7:faux,CheckBox8:vrai,Label60: : ,Label62:,Label63:,Label68:0;0,Label87:9.9:15.675|MultiPage1:0,TextBox16:Y,OptionButton38:vrai,TextBox70:5,TextBox69:X,TextBox71:27,TextBox72:free,Label58:° with,Label76:0,,Label122:,Image1.BackColor:0,Image1.ControlTipText:Continuous 0.75 pt,CheckBox5:faux,Image5.BackColor: ,TextBox66:50,OptionButton39:vrai,OptionButton40:faux,OptionButton49:faux,OptionButton50:faux,TextBox74:,CheckBox7:faux,CheckBox8:vrai,Label60: : ,Label62:,Label63:,Label68:,Label87:9.9:15.675|MultiPage1:0,TextBox16:Z,OptionButton38:vrai,TextBox70:3,TextBox69:X,TextBox71:4,TextBox72:Y,Label58:cm of,Label76:2,,Label122:,Image1.BackColor:0,Image1.ControlTipText:Continuous 0.75 pt,CheckBox5:faux,Image5.BackColor: ,TextBox66:50,OptionButton39:vrai,OptionButton40:faux,OptionButton49:faux,OptionButton50:faux,TextBox74:,CheckBox7:faux,CheckBox8:vrai,Label60: : ,Label62:,Label63:,Label68:,Label87:8.25:15.675|MultiPage1:2,TextBox54:triZXY,TextBox55:ZXY,OptionButton31:vrai,,Label122:,Image1.BackColor:0,Image1.ControlTipText:Continuous 0.75 pt,CheckBox5:faux,Image5.BackColor: ,TextBox66:50,OptionButton39:vrai,OptionButton40:faux,OptionButton49:faux,OptionButton50:faux,TextBox74:,CheckBox7:vrai,CheckBox8:faux,Label60:-10:-10,Label62:,Label63:,Label68:,Label87:39.6:15.675| 49 Z 3 cm 131 27 X Y 5 cm

Uillinn cuimsithe amháin
(b) Sa triantán XYZ, | XY | = 5cm, | XZ | = 3cm agus |  XYZ | = 27. (ii) Tarraing sceitse den triantán XYZ agus taispeáin ann an dá shuíomh ina bhféadfadh an pointe Z a bheith. (c) Má tá |  XZY | < 90, scríobh síos |  ZXY | , agus uaidh sin faigh achar an triantáin XYZ, ceart go dtí an tslánuimhir is gaire. 1 2 –– Achar = absinC Uillinn cuimsithe amháin 1 2 –– = (3)(5) sin104 Z Options,Nom:LeCadre,Fond:faux,Cadre:faux,xmin: ,ymin: ,xmax: ,ymax: ,MainLevee:faux,GrilleAimantee:faux,AfficheGrille:faux,echelleFigure:1,lGrille:1,hGrille:1|MultiPage1:0,TextBox16:X,OptionButton12:vrai,Label59: : ,,Label122:,Image1.BackColor:0,Image1.ControlTipText:Continuous 0.75 pt,CheckBox5:faux,Image5.BackColor: ,TextBox66:50,OptionButton39:vrai,OptionButton40:faux,OptionButton49:faux,OptionButton50:faux,TextBox74:,CheckBox7:faux,CheckBox8:vrai,Label60: : ,Label62:,Label63:,Label68:0;0,Label87:9.9:15.675|MultiPage1:0,TextBox16:Y,OptionButton38:vrai,TextBox70:5,TextBox69:X,TextBox71:27,TextBox72:free,Label58:° with,Label76:0,,Label122:,Image1.BackColor:0,Image1.ControlTipText:Continuous 0.75 pt,CheckBox5:faux,Image5.BackColor: ,TextBox66:50,OptionButton39:vrai,OptionButton40:faux,OptionButton49:faux,OptionButton50:faux,TextBox74:,CheckBox7:faux,CheckBox8:vrai,Label60: : ,Label62:,Label63:,Label68:,Label87:9.9:15.675|MultiPage1:0,TextBox16:Z,OptionButton38:vrai,TextBox70:3,TextBox69:X,TextBox71:4,TextBox72:Y,Label58:cm of,Label76:2,,Label122:,Image1.BackColor:0,Image1.ControlTipText:Continuous 0.75 pt,CheckBox5:faux,Image5.BackColor: ,TextBox66:50,OptionButton39:vrai,OptionButton40:faux,OptionButton49:faux,OptionButton50:faux,TextBox74:,CheckBox7:faux,CheckBox8:vrai,Label60: : ,Label62:,Label63:,Label68:,Label87:8.25:15.675|MultiPage1:2,TextBox54:triZXY,TextBox55:ZXY,OptionButton31:vrai,,Label122:,Image1.BackColor:0,Image1.ControlTipText:Continuous 0.75 pt,CheckBox5:faux,Image5.BackColor: ,TextBox66:50,OptionButton39:vrai,OptionButton40:faux,OptionButton49:faux,OptionButton50:faux,TextBox74:,CheckBox7:vrai,CheckBox8:faux,Label60:-10:-10,Label62:,Label63:,Label68:,Label87:39.6:15.675| 5 = 7 ·277… cm2 5 49 Z 3 cm 131 104 27 X Y 5 cm

(i) Faigh an fad ó R go dtí HP. R N urchomhaireach taobhagán sin A =
(a) Tá calafort P soir díreach ó chalafort H. Agus é ag seoladh ó H go dtí P, seolann bád 80 km sa treo a thaispeántar sa léaráid, chomh fada le pointe R, sula gcasann sé trí uillinn 124 agus sula seolann sé 110 km díreach go dtí P. (i) Faigh an fad ó R go dtí HP. R N urchomhaireach taobhagán sin A = _____________ 124° 80 km d 36 H H P ___ d sin 36º = 80 10 d = 47·02 28… km Ó bhí earráidí sa cheist seo is féidir luachanna éagsúla a fháil ar chainníochtaí áirithe de thoradh ar bhealaí bailí éagsúla chun an cheist a fhreagairt ___ d sin 20º = 110 d = 37·62 km

(a). Tá calafort P soir díreach ó chalafort H
(a) Tá calafort P soir díreach ó chalafort H. Agus é ag seoladh ó H go dtí P, seolann bád 80 km sa treo a thaispeántar sa léaráid, chomh fada le pointe R, sula gcasann sé trí uillinn 124 agus sula seolann sé 110 km díreach go dtí P. (ii) Ríomh | HP |. R N 10 124° Riail an chomhshínis: a2 = b2 + c2 – 2bc cos A 80 km 110 km 36° H P | HP |2 = – 2(80)(110)cos124 = – 17600(– 0·5592) –––––––– Ó bhí earráidí sa cheist seo is féidir luachanna éagsúla a fháil ar chainníochtaí áirithe de thoradh ar bhealaí bailí éagsúla chun an cheist a fhreagairt | HP | = 28341·79… = 168·350… = 168·35 km

(a). Tá calafort P soir díreach ó chalafort H
(a) Tá calafort P soir díreach ó chalafort H. Agus é ag seoladh ó H go dtí P, seolann bád 80 km sa treo a thaispeántar sa léaráid, chomh fada le pointe R, sula gcasann sé trí uillinn 124 agus sula seolann sé 110 km díreach go dtí P. (ii) Ríomh | HP |. R N 10 124° An Riail Sine: = a sin A b sin B _____ 80 km 110 km 36° 20° H P ______ | HP | ______ 110 ___ = sin 124º sin 36º | HP | = 155·15 km Ó bhí earráidí sa cheist seo is féidir luachanna éagsúla a fháil ar chainníochtaí áirithe de thoradh ar bhealaí bailí éagsúla chun an cheist a fhreagairt ______ | HP | ______ 80 ___ = sin 124º sin 20º | HP | = 193·92 km

(b) Tá an pointe T soir díreach ón bpointe R.
| HT | = 110km agus | TP | = 80 km. Faigh | RT |. 10 R T cos A = cóngarach taobhagán 80 km 36° H P | HM | ___ M N cos 36º = 80 | HM | = 64·72 km = | NP | | MN | = | HP | – | HM | – | NP | = 168·35 – 2(64·72) = 38·91 km Ó bhí earráidí sa cheist seo is féidir luachanna éagsúla a fháil ar chainníochtaí áirithe de thoradh ar bhealaí bailí éagsúla chun an cheist a fhreagairt | RT |

(b) Tá an pointe T soir díreach ón bpointe R.
| HT | = 110km agus | TP | = 80 km. Faigh | RT |. 10 R T Riail an chomhshínis: a2 = b2 + c2 – 2bc cos A 80 km 80 km 110 km H P 12·795° 168·35 km 80² = 110² + 168·35² – 2(110)(168·35)cos  THP cos  THP = 0·9191  THP = 23·205°  RHT = 36° – 23·205° = 12·795° | RT |² = 110² + 80² – 2(110)(80)cos12·795 ° | RT | = 36·56 km

Teoirim Phíotagaráis:
(a) Tá an triantán XYZ dronuilleach ag X agus tá XP ingearach le YZ. |YP | = 4, |PZ | = 8 agus PX = k. Faigh luach k. –––––– | XY | 2 = 42 + k 2 –––––– | XZ | 2 = 82 + k 2 Ach | XY |2 + | XZ |2 = | YZ |2 –––––– –––––– 2 2 42 + k 2 + 82 + k 2 = 122 16 + k k 2 = 144 X Teoirim Phíotagaráis: a2 + b2 = c2 2k = 144 2k 2 = 64 k = 4 2 –– 10 k 4 8 Y P Z

(b). Arbelos a thugtar ar an réigiún scáthaithe sa léaráid thíos
(b) Arbelos a thugtar ar an réigiún scáthaithe sa léaráid thíos. Is réigiún leathchiorclach plánach é de gha r1 as ar baineadh leathchiorcail de gha r2 agus r3 , mar a thaispeántar. Sa léaráid tá SC  AF agus SC = k. (i) Taispeáin, i gcás r1 socraithe, go bhfuil imlíne an arbelos neamhspleách ar na luachanna ar r2 agus r3. Imlíne =  r1 + r2 + r3 r1= r2 + r3 = r1+ (r2 + r3) Imlíne = 2r = r1+ r1 S 5 = 2r1 k r3 r2 A B C D E F r1

(b). Arbelos a thugtar ar an réigiún scáthaithe sa léaráid thíos
(b) Arbelos a thugtar ar an réigiún scáthaithe sa léaráid thíos. Is réigiún leathchiorclach plánach é de gha r1 as ar baineadh leathchiorcail de gha r2 agus r3 , mar a thaispeántar. Sa léaráid tá SC  AF agus SC = k. (ii) Má tá r2 = 2 agus r3 = 4 , taispeáin go bhfuil achar an arbelos mar an gcéanna le hachar an chiorcail de thrastomhas k. 1 2 –– Achar =  6 2 1 2 –– –  2 2 1 2 –– –  4 2 r1= r2 + r3 Achar Ciorcail =  r 2 1 2 –– =  (36 – 4 – 16) S = 8 k = 4 2 –– k Anois, ó (a) –– Achar =  (2 2)2 r3 4 5 = 8 2 r2 A B C D E F r1

(c) Agus achar arbelos á fhiosrú aici, ghlac mac léinn 6 cm mar
luach ar r1 agus chomhlánaigh sí an tábla seo a leanas le haghaidh luachanna difriúla ar r2 agus ar r3. 10 (i) Comhlánaigh an tábla. r1 r2 r3 Achar arbelos 6 1 2 3 4 5 1 2 ––  (36 – 1 – 25) 5 = 5 cm2 1 2 ––  (36 – 4 – 16) 4 = 8 cm2 1 2 ––  (36 – 9 – 9) 3 = 9 cm2 1 2 ––  (36 – 16 – 4) 2 = 8 cm2 1 2 ––  (36 – 25 – 1) 1 = 5 cm2 1 2 –– Achar =  (r12 – r22 – r32)

(c) Agus achar arbelos á fhiosrú aici, ghlac mac léinn 6 cm mar luach ar r1 agus chomhlánaigh sí an tábla seo a leanas le haghaidh luachanna difriúla ar r2 agus ar r3. (ii) Go ginearálta, le haghaidh r1 = 6 cm agus r2 = x, 0 < x < 6, x  ℝ, faigh slonn in x le haghaidh achar an arbelos. 1 2 –– Achar =  (r12 – r22 – r32) 1 2 –– =  (62 – x2 – (6 – x)2) 1 2 –– =  (36 – x2 – x – x2) 1 2 –– =  (12x – 2x2) =  (6x – x2) cm2 5

(iii) Uaidh sin, nó i slí eile, faigh uasachar arbelos is féidir a
(c) Agus achar arbelos á fhiosrú aici, ghlac mac léinn 6 cm mar luach ar r1 agus chomhlánaigh sí an tábla seo a leanas le haghaidh luachanna difriúla ar r2 agus ar r3. (iii) Uaidh sin, nó i slí eile, faigh uasachar arbelos is féidir a chruthú i leathchiorcal de gha 6 cm. Achar =  (6x – x2) dA dx –– Uasachar nuair atá = 0 dA dx –– = 6 – 2x d 2A dx2 ––– = – 2 = 0 < 0 2x = 6 uas x = 3 5 Uasachar =  (18 – 9) = 9

(d) Gearrann AS agus FS na leathchiorcail bheaga ag T agus ag R
faoi seach. Cruthaigh gur dronuilleog é RSTC. ATC =ASF =CRF = 90° Uillinn i leathchiorcal 5  Is dronuilleog é RSTC S R T A B C D E F

Bíodh do fhreagraí ceart go dtí an chéim is gaire.
Sa learáid léirítear géag róbait ar féidir léi gluaiseacht ar phlána ceartingearach. Tá an pointe P in úsáid e mar atá fad an dá dheighleog den ghéag. Is féidir leis an duine atá á rialú na huillinneacha  agus  a athrú ó 0° go dtí 180°. Q (a) Má thugtar go bhfuil |PQ| = 20 cm agus | QR| = 12 cm, aimsigh luachanna na n-uillinneacha  agus  sa tslí go mbeidh rinn na láimhe, R, lonnaithe ag pointe atá 24cm ar dheis ó P, agus 7 cm níos airde ná P. 12 cm  R 20 cm 25 cm h 7 cm    P 24 cm Bíodh do fhreagraí ceart go dtí an chéim is gaire. urchomhaireach 7 tan  = ––––––––––––– Teoirim Phíotagaráis 24 cóngarach h2 =  = tan–10·2916 = 16·26° ––– 10 h 2 = 625 = 25 cm

Sa learáid léirítear géag róbait ar féidir léi gluaiseacht ar phlána ceartingearach. Tá an pointe P fostaithe mar atá fad an dá dheighleog den ghéag. Is féidir leis an duine atá á rialú na huillinneacha  agus  a athrú ó 0° go dtí 180°. Riail an chomhshínis: a2 = b2 + c2 – 2bc cos A Q (a) Má thugtar go bhfuil |PQ| = 20 cm agus | QR| = 12 cm, aimsigh luachanna na n-uillinneacha  agus  sa tslí go mbeidh rinn na láimhe, R, lonnaithe ag pointe atá 24cm ar dheis ó P, agus 7 cm níos airde ná P. 12 cm  R 20 cm 25 cm 7 cm  45°   P 24 cm Bíodh do fhreagraí ceart go dtí an chéim is gaire. 122 = – 2(20)(25)cos  =  +  = 28·24° + 16·26° 144 = 1025 – 1000cos  = 44·5° cos = 881 1000 –––– 25  = 45°  = cos–10·881 = 28·24°

Riail an chomhshínis: a2 = b2 + c2 – 2bc cos A Q (a) Má thugtar go bhfuil |PQ| = 20 cm agus | QR| = 12 cm, aimsigh luachanna na n-uillinneacha  agus  sa tslí go mbeidh rinn na láimhe, R, lonnaithe ag pointe atá 24cm ar dheis ó P, agus 7 cm níos airde ná P. 12 cm  R 20 cm 25 cm 7 cm 45° P 24 cm Bíodh do fhreagraí ceart go dtí an chéim is gaire. 252 = – 2(20)(12)cos 20 625 = 544 – 480cos   = 100° cos = – 81 480 –––  = cos–1(– 0·1687) = 99·71°

(b) Agus an ghéag a lonnú san ionad a bhfuil cur síos déanta air i gcuid (a), cé acu a chruthóidh an earráid is mó i dtaca le suíomh R: earráid 1° i luach  no earráid 1° i luach  ? Cosain do fhreagra. Is féidir leat glacadh leis má ghluaiseann pointe feadh ciorcail trí uillinn bheag, go mbeidh a fhad óna phointe tosaithe cothrom le fad an stua a thaistealaítear. Agus earráid 1° in , bogann R tharr stua le ga 25cm. Q 12 cm  Agus earráid 1° in , bogann R tharr stua le ga 12cm. R 20 cm 5 Cruthaíonn an earráid 1° in  an earráid is mó i dtaca le suíomh R. 25 cm  P

(c) Braitheann an freagra ar chuid (b) thuas ar an ionad áirithe sin a bhfuil an ghéag. Is é sin, in ionad áirithe, go mbíonn suíomh R níos iógaire maidir le hearráidí beaga in ná maidir le hearráidí beaga in , ach go mbíonn a mhalairt fíor in ionad eile. Déan cur síos ar na coinníollacha faoina dtarlaíonn gach ceann den dá staid sin agus cosain do fhreagra. 5 |PR| > 12 nuair atá  > 33·6° Tá an fad a bhogann R níos freagraí do earráidí in α nuair atá |PR| > 12 agus níos freagraí do earráidí in  nuair atá |PR| < 12. Q  12 cm 20 cm R 122 = – 2(20)(12)cos 12 cm  144 = 544 – 480cos P cos = 400 480 –––  = cos–1( 0·8333) = 33·6°

(d) Léirigh tacar na suíomh uile ina bhféadfach an pointe R a bheith ar an learáid chomhordanáideach thíos. Tóg P mar an bunphointe agus glac leis go seasann gach aonad sa learáid do cheintiméadar i ndáiríre. Tabhair faoi deara nach féidir le  agus  athrú ach amháin ó 0° to 180°. 10 10 20 30 40 P R Q   -10 -20 -30 -40

Tá an fheidhm f (x) = 3sin(2x) sainmhínithe do x  ℝ.
(i) Comhlánaigh an tábla thíos. 5 3sin(2x) sin(2x) 2x  x 3 4 –– 4 2 2 –– 3 2 ––  2 1 – 1 3 – 3 Tá an feidhm f (x) = 3sin(2x) sainmhínithe do x  ℝ.

Tá an fheidhm f (x) = 3sin(2x) sainmhínithe do x  ℝ.
(ii) Tarraing an graf do y = f (x) sa raon 0 ≤ x ≤ , x  ℝ. – 3 1 2 3 – 2 – 1 y  4 –– 3 15 x Sríobh síos raon agus peiread f Write down the range and the period of f (iii) Scríobh síos raon agus peiread f. [– 3, 3]  5 Raon = _______ Peiread = ______

(c). Baineann eolaithe úsáid as eolas faoi thonnta seismeacha
(c) Baineann eolaithe úsáid as eolas faoi thonnta seismeacha ó chreathanna talún chun eolas a fháil faoi struchtúr inmheánach an domhain. Sa léaráid thíos léirítear trasghearradh ciorclach den domhan. Seasann an cuar briste don honair ghabhann tonn sheismeach agus í ag taisteal tríd an domhan ó chrith talún in aice leis an dromchla ag A go dtí stáisiún monatóireachta ag B. Is é ga an domhain ná 6·4 aonad agus is é atá i gconair na toinne seo ná stua ciorclach de gha 29·1 aonad, áit a bhfuil 1 aonad amháin = 1000km. Bunaithe ar eolas ó stáisiúin eile, tá sé ar eolas go dtadhlaíonn an chonair seo, ar éigean, croí an domhain. Is é tomhas na huillinne AOB ná 104°, áit arb é O lárphointe an domhain. Faigh ga chroí an domhain. domhan A croí O B

 = 180° – 52° – 9·98°  = 118·02° domhan A 29·1  118·02°  C 6·4 croí 52° O 52° 29·1 An Riail Sine: 6·4 _____ _____ _____ a sin A sin A a sin B b b sin B sin C c c sin C = = B _________ | OC | sin  ______ _______ ____ ______ sin 52 ___ = 29·1 = 6·4 29·1 sin 118·02º sin 52º Méadaigh na dá thaobh faoi sin 118·02 sin  = 0·1733 = 32·59998 Méadaigh na dá thaobh faoi 6·4  = sin–10·1733 = 32·6 – Aonad amháin = 1000 km 29·1 = 9·98° –––– 3·5 Ga an chroí = 3500 km 10

(a). Tá túr mar chuid d’ostán
(a) Tá túr mar chuid d’ostán. Tá bonn cearnógach de shlios mhéadar faoi agus tá díon i bhfoirm pirimide air. Tá sé i gceist ag na húinéirí an díon a cllúdach le copar. Chun a fháil amach cé mhéad copair a bheidh ag teastáil, caithfidh achar iomlán an dín a bheith ar eolas acu. Seasann suirbhéir 10 méadar ón túr, tomhaiste go cothrománach, agus breathnaíonn uillinneacha airde ón bpointe O mar seo a leanas: Is é 46° uillinn airde bharr an dín. Is é 42° uillinn airde an phointe is gaire ag bun an dín. Is é 9° uillinn íslithe an phointe is gaire ag bun an túir. urchomhaireach tan  = ––––––––––––– cóngarach a 12 –– tan 42° = a = 12tan 42° a = 9·004 a + h 12 tan 46° = ––––– h 4° 9·004 + h = 12tan 46° – a = 3·422 42° 46° 25 = 3·42 m (i) Faigh airde cheartingearach an dín. 2 10 m

(ii) Faigh achar iomlán an dín. 2 10 m
Teoirim Phíotagaráis Sommets 5 Faces 5 BSommets 5 3·964 l l 2 = ·4222 3·422 l 2 = 15·71 4 2 l = 3·964 m 4 1 2 –– Achar = × 4 × 3·964 × 4 10 = 31·71 m2 3·422 4° 42° (ii) Faigh achar iomlán an dín. 2 10 m

Uasairde = 12 tan 47° – 10 tan 41° = 4·176 m
Ciallaíonn earráid féideartha do ±1° gur féidir don uillinn airde 42°a bheith idir 41°agus 43°, agus is féidir le huillinn airde 46°a bheith idir 45°and 47°. Dá bhrí seo, más 41°agus 47° iad na huillinneacha airde beidh uasairde ag an díon, agus más 43°agus 45°na huillinneacha airde, beidh íosairde ag an díon. Uasairde = 12 tan 47° – 10 tan 41° = 4·176 m Íosairde = 12 tan 45° – 10 tan 43° = 2·675 m Uas Achar > Uasachar Íos Achar > Íosachar Uasachar = 8 × ·1762 = 37·04 m2 4° 5 42° Íosachar = 8 × ·6752 = 26·72 m2 (iii) Más féidir go bhfuil earráid  1° i ngach uillinn a breathnaíodh, faigh raon na n-achar a d’fhéadfadh a bheith sa díon. 2 10 m

S A T C (a) Réitigh an chothromóid cos3 = do   ℝ (áit a bhfuil  1
2 –– ina raidiain). 1 2 –– cos3 = 3 = cos –1 1 2 –– 60° =  3 –– S A T C 3 = 60° + 2n  = 20° =  9 –– 2n 3 ––– + 300° 5 3 –– = 3 = 300° 360° – 60° + 2n Beidh athrá ar an bhfreagra gach 360° nó 2 uair  = 100° 5 9 –– = 2n 3 ––– + 5 n  

(b) Taispeántar graif trí fheidhm sa léaráid thíos.Is iad na trí
fheidhm ná: y = cos 3x y = 2 cos 3x y = 3 cos 2x 10 y Sainaithin na feidhmeanna. 3 2 1  2 x -1 10 -2 -3 (c) Lipéadaigh na scálaí ar na haiseanna ar an léaráid i gcuid (b).

Tá long 10 km díreach ó Dheas de theach solais ag meán lae. Tá an
long ag taisteal ar luas 15 km/h ar threo-uillinn  , mar a thaispeántar thíos, áit a bhfuil = tan – 4 3 æ ö è ø long  15 km/h Teach solais – 5 – 10 tan  = 4 3 5 10 15 5 m = 3 4 y = mx + c y = x – 10 3 4 10 (a) Ar an léaráid thuas, tarraing sraith d’aiseanna comhordanáideacha ina bhfuil an teach solais mar an bunphointe, an líne soir-siar tríd an teach solais mar an x-ais, agus ciliméadair mar aonaid. (b) Faigh cothromóid na líne ar a bhfuil an long ag gluaiseacht.

long ag taisteal ar luas 15 km/h ar threo-uillinn  , mar a thaispeántar thíos, áit a bhfuil = tan – 4 3 æ ö è ø Teach solais long  15 km/h – 5 – 10 tan  = 4 3 10 15 5 y = x – 10 3 4 d 4 8 sin  = d 10 10 3x – 4y – 40 = 0 6 3 10 d = 8 km (c) Faigh an fad slí is giorra idir an long agus an teach solais le linn an turais. | ax1 + by1 + c | a 2 + b 2 ––––––– –––––––––––– ––––––––––––––– | 3(0) – 4(0) – 40 | 3 2 + (– 4) 2 ––––––––– = = 40 5 d = = 8 km

long ag taisteal ar luas 15 km/h ar threo-uillinn  , mar a thaispeántar thíos, áit a bhfuil = tan – 4 3 æ ö è ø Teach solais long  15 km/h Fad Luas –––– Am = 6 15 = ___ – 5 – 10 10 15 5 D S T 8 = 0·4 × 60 uair an chloig 10 10 = 24 nóiméad 6 (d) Cén t-am a bhfuil an long ag an bpointe is cóngaraí don teach solais? ∴ Pointe is gaire don teach solais ag12:24 pm 1 uair = 60 nóiméad

long ag taisteal ar luas 15 km/h ar threo-uillinn  , mar a thaispeántar thíos, áit a bhfuil = tan – 4 3 æ ö è ø Teach solais long  – 5 – 10 10 15 5 Teoirim Phíotagaráis 9 8 92 = 82 + a2 9 a a a2 = 81 – 64 15 km/h a 2 = 17 (e) Níl ach 9 km de léargas ann. Cé mhéad nóiméad san iomlán is féidir an long a fheiceáil ón teach solais? D S T = 15 _____ 2 17 Fad Luas –––– Am = × 60 = 32·98.. 15 = 33 nóiméad

Páipéar 2 Ceist 9B 2010 35 marc

(b). Go minic, bíonn creatlacha tacaíochta
(b) Go minic, bíonn creatlacha tacaíochta adhmaid, ar a dtugtar trusanna dín, i ndíonta foirgneamh. Teastaíonn ó shuirbhéir cainníochta a fháil amach, cén fad iomlán adhmaid atá ag teastáil chun an trus triantánach, a thaispeántar thíos, a dhéanamh. (i) Ríomh fad [AB], ina mhéadair, ceart go dtí dhá ionad dheachúlacha. B cóngarach taobhagán ____ 3 ____ cos A = cos 35º = | AB | F G = 3·662… Athchóiriú 35° 10 = 3·66 m A C 2 3 D 1 2 1 E 2 6 m Is é fad [AC] ná 6 mhéadar agus is é claonadh an dín ná 35°, mar a thaispeántar. | AD | = | DE | = | EC | and | AF | = | FB | = | BG | = | GC | .

(b) Go minic, bíonn creatlacha tacaíochta adhmaid, ar a dtugtar trusanna dín, i ndíonta foirgneamh. Teastaíonn ó shuirbhéir cainníochta a fháil amach, cén fad iomlán adhmaid atá ag teastáil chun an trus triantánach, a thaispeántar thíos, a dhéanamh. (ii) Ríomh fad iomlán an adhmaid atá ag teastáil chun an trus a dhéanamh. B | FD | 2 = 1· – 2(1·83)(2)cos35 ––––––– | FD | = 1·352… F G 1·83 = 1·16 m 10 35° Riail an chomhshínis: a2 = b2 + c2 – 2bc cos A A C 2 D 2 E 2 6 m Is é fad [AC] ná 6 mhéadar agus is é claonadh an dín ná 35°, mar a thaispeántar. | AD | = | DE | = | EC | and | AF | = | FB | = | BG | = | GC | .

(b) Go minic, bíonn creatlacha tacaíochta adhmaid, ar a dtugtar trusanna dín, i ndíonta foirgneamh. Teastaíonn ó shuirbhéir cainníochta a fháil amach, cén fad iomlán adhmaid atá ag teastáil chun an trus triantánach, a thaispeántar thíos, a dhéanamh. (ii) Ríomh fad iomlán an adhmaid atá ag teastáil chun an trus a dhéanamh. B | BD | 2 = 3· – 2(3·66)(2)cos35 ––––––– | BD | = 5·403… F G 2·32 1·83 = 2·32 m 10 35° Riail an chomhshínis: a2 = b2 + c2 – 2bc cos A A C 2 D 2 E 2 6 m Is é fad [AC] ná 6 mhéadar agus is é claonadh an dín ná 35°, mar a thaispeántar. | AD | = | DE | = | EC | and | AF | = | FB | = | BG | = | GC | | . Fad iomlán = 6 + 2(3·66) + 2(1·16) + 2(2·32) = 20·28 20·3 m 5

An Ardteistiméireacht

Similar presentations

Presentation on theme: "An Ardteistiméireacht"— Presentation transcript:

Similar presentations

About project

Feedback

Log in

Auth with social network:

An Ardteistiméireacht

Similar presentations

Presentation on theme: "An Ardteistiméireacht"— Presentation transcript:

Similar presentations

About project

Feedback