1. LINEAR CONTROL SYSTEMS Ali Karimpour Assistant Professor Ferdowsi University of Mashhad

2. Lecture 16 Ali Karimpour Nov 2009 2 Lecture 16 Root Locus Technique Topics to be covered include: v Root locus criterion. u Root loci (RL). u Complement root loci (CRL). u Complete root loci. v Property and construction of complete root loci.

3. Lecture 16 Ali Karimpour Nov 2009 3 مکان ریشه ها Root locus Root loci (RL) Complement root loci (CRL) Complete root loci Root locus, shows the position of roots of the following equation for different values of k مکان ریشه ها، موقعیت ریشه های معادله زیر را بر حسب مقادیر مختلف k نشان می دهد.

4. Lecture 16 Ali Karimpour Nov 2009 4 مثال 1 : مکان کامل ریشه ها را در سیستم زیر بیابید. Example 1:ِ Draw the complete root loci of following system. -20 0

5. Lecture 16 Ali Karimpour Nov 2009 5 نحوه رسم مکان ریشه ها The Root Locus procedure Rule 1: Specify the equation exactly in the following form. قانون اول : سیستم را دقیقا بصورت زیر بیان کنید. How many branches in root loci? چند شاخه در مکان ریشه ها؟ It is :

6. Lecture 16 Ali Karimpour Nov 2009 6 نحوه رسم مکان ریشه ها The Root Locus procedure Condition of magnitude شرط اندازه Condition of angle شرط زاویه Which points lie on the root loci? چه نقاطی بر روی مکان ریشه قرار دارند؟

7. Lecture 16 Ali Karimpour Nov 2009 7 نحوه رسم مکان ریشه ها The Root Locus procedure Examine the condition of magnitude and condition of angles on following example. شرط زاویه و شرط اندازه را در مثال زیر بررسی کنید. -20 0

8. Lecture 16 Ali Karimpour Nov 2009 8 نحوه رسم مکان ریشه ها The Root Locus procedure Rule 2: Specify the poles and zeros of f(s). The root loci lie on the poles of f(s) for k=0 and lies on the zeros of f(s) for k=±∞ قانون 2 : قطب و صفرهای f(s) را مشخص کنید. مکان ریشه در k=0 روی قطبهای f(s) و در k=±∞ روی صفرهای f(s) قرار دارد. -20 0

9. Lecture 16 Ali Karimpour Nov 2009 9 نحوه رسم مکان ریشه ها The Root Locus procedure Rule 3: Define the real axis section for positive and negative value of k. قانون 3 : محور حقیقی را برای مقادیر مثبت و منفی k مشخص کنید -20 0

10. Lecture 16 Ali Karimpour Nov 2009 10 نحوه رسم مکان ریشه ها The Root Locus procedure Rule 4: Find the asymptotes and centered of asymptotes for positive and negative values of k. قانون 4 : مجانبها و محل تلاقی مجانبها را برای مقادیر مثبت و منفی k تعیین کنید. -20 0

11. Lecture 16 Ali Karimpour Nov 2009 11 مثال 2 : مکان کامل ریشه ها را در سیستم زیر بیابید. Example 2:ِ Draw the complete root loci of the following system. Rule 1: Specify the equation exactly in the standard form. قانون اول : سیستم را دقیقا بصورت استاندارد بیان کنید. Clearly it is ok

12. Lecture 16 Ali Karimpour Nov 2009 12 Rule 2: Specify the poles and zeros of f(s). The root loci lie on the poles of f(s) for k=0 and lie on the zeros of f(s) for k=±∞ قانون 2 : قطب و صفرهای f(s) را مشخص کنید. مکان ریشه در k=0 روی قطبهای f(s) و در k=±∞ روی صفرهای f(s) قرار دارد.

13. Lecture 16 Ali Karimpour Nov 2009 13 Rule 3: Define the real axis section for positive and negative value of k. قانون 3 : محور حقیقی را برای مقادیر مثبت و منفی k مشخص کنید

14. Lecture 16 Ali Karimpour Nov 2009 14 Rule 4: Find the asymptotes and centered of asymptotes. قانون 4 : مجانبها و محل تلاقی مجانبها. We need another rule. به قانون دیگری نیاز داریم.

15. Lecture 16 Ali Karimpour Nov 2009 15 نحوه رسم مکان ریشه ها The Root Locus procedure Rule 5: Find the break point. قانون 5 : نقطه شکست را بیابید.

16. Lecture 16 Ali Karimpour Nov 2009 16 Rule 5: Find the break point. قانون 5 : نقطه شکست را بیابید. ? ? We need another rule. به قانون دیگری نیاز داریم.

17. Lecture 16 Ali Karimpour Nov 2009 17 نحوه رسم مکان ریشه ها The Root Locus procedure Rule 6: Find the cross of root locus with imaginary axis by Routh Hurwitz criteria. قانون 6 : نقطه تلاقی با محور موهومی را توسط روش روت هرویتز تعیین کنید.

18. Lecture 16 Ali Karimpour Nov 2009 18 Rule 6: Find the cross of root locus with imaginary axis قانون 6 : نقطه تلاقی با محور موهومی

19. Lecture 16 Ali Karimpour Nov 2009 19

20. Lecture 16 Ali Karimpour Nov 2009 20 rlocus(1,[1 15 50 0]); hold on; rlocus(-1,[1 15 50 0])

21. Lecture 16 Ali Karimpour Nov 2009 21 مثال 3 : مکان کامل ریشه ها را در سیستم زیر بیابید. Example 3:ِ Draw the complete root loci of following system. Rule 1: Specify the equation exactly in the standard form. قانون اول : سیستم را دقیقا بصورت زیر استاندارد کنید.

22. Lecture 16 Ali Karimpour Nov 2009 22 Rule 2: Specify the poles and zeros of f(s). The root loci lie on the poles of f(s) for k=0 and lie on the zeros of f(s) for k=±∞ قانون 2 : قطب و صفرهای f(s) را مشخص کنید. مکان ریشه در k=0 روی قطبهای f(s) و در k=±∞ روی صفرهای f(s) قرار دارد. Example 4:

23. Lecture 16 Ali Karimpour Nov 2009 23 Rule 3: Define the real axis section for positive and negative value of k. قانون 3 : محور حقیقی را برای مقادیر مثبت و منفی k مشخص کنید Example 4:

24. Lecture 16 Ali Karimpour Nov 2009 24 Rule 4: Find the asymptotes and centered of asymptotes. قانون 4 : مجانبها و محل تلاقی مجانبها. Example 4:

25. Lecture 16 Ali Karimpour Nov 2009 25 Rule 5: Find the break point. قانون 5 : نقطه شکست را بیابید. Example 4:

26. Lecture 16 Ali Karimpour Nov 2009 26 Rule 6: Find the cross of root locus with imaginary axis قانون 6 : نقطه تلاقی با محور موهومی ? We need another rule. به قانون دیگری نیاز داریم.

27. Lecture 16 Ali Karimpour Nov 2009 27 Exercises تمرینها 1 The transfer function of a single-loop control system are given as:. Construct the root loci of the Zeros of 1+G(s)K(s) for -∞<T d <∞ 2 The open loop transfer function of a unity-feedback (negative sign) system is: Constract the complete root loci of the characteristic equation.

28. Lecture 16 Ali Karimpour Nov 2009 28 Exercises تمرینها Construct the complete root loci of the characteristic equation for Let n=1, n=2, n=3 and n=4 3 The open loop transfer function of a unity-feedback (negative sign) system is: 4 The open loop transfer function of a unity-feedback (negative sign) system is: a) Construct the root loci for -∞<K<∞, with α=5. b) Construct the root loci for -∞< α <∞, with K =5.

29. Lecture 16 Ali Karimpour Nov 2009 29 Exercises تمرینها 5 The open loop transfer function of a unity-feedback (negative sign) system is: Construct the root loci for 0<p<∞ 6 Consider following system Construct the root loci for 0<k 1 <∞

30. Lecture 16 Ali Karimpour Nov 2009 30 Exercises تمرینها 7 Consider following system For k 1 =0, k 1 =1 1nd k 1 =10 construct the root loci for 0<k 2 <∞. 8 Construct the root loci of the closed loop poles of the following system for 0<a<∞(Midterm spring 2008). - + + R(s) C(s) -