1. 玻色-愛因斯坦凝聚態之數學問題
吳宗芳
國立高雄大學應用數學系

2. The History of BEC 光是電磁波的一種！ 但不能解決黑體輻射問題！ 磁的振動波 電的振動波
蘇格蘭學者馬克士威他建立了「電磁學」。根據馬克士威的說法，光是電磁波的一種。因此，他宣稱「光是粒子還是波」的爭論，最後由「波」獲勝。
不過，到了19世紀末，大約100多年前，物理學者遭遇到頭痛的「黑體輻射問題」。
所謂的「黑體輻射」，就是「物體加熱後射出來的光」。而馬克士威的理論，無法解釋這種「黑體輻射」現象。
那到底什麼是「黑體輻射問題」，這又要工業革命開始講起，當時對煤鐵的需求從18世紀末燃燒到19世紀，而由於鼓風爐的進步，因而發展出大規模的鋼鐵工業。
但不能解決黑體輻射問題！

3. About Blackbody Radiation
黑體輻射光譜
鼓風爐
計算結果
實驗結果 頻率 光 的 強 度 紅 紫
鼓風爐是一種可以熔化金屬礦石，提煉金屬的爐，將鐵礦和焦煤等等送入熱空氣，還製造生鐵，因為鼓風爐高度有幾十公尺，所以也有人稱之為高爐。
為了得到高品質的鐵，就要正確控制鼓風爐的溫度，但是在當時沒有可以用來測量熔鐵那幾千度高溫的設備，所以必須完全仰賴有長年工作經驗的工人，從爐內熔化的鐵的顏色，來判斷溫度。
想當然的，產業界希望能在不倚賴經驗與直覺的情況下，就可以知道正確的溫度，因而大量製造品質良好的鋼鐵。為了滿足這個需求，許多物理學家投入大量的心力，根據實驗，他們找到了「加熱到某個溫度，物體會發出什麼顏色的光」。
但是，這項實驗結果，卻無法用19世紀末建立完成的古典物理理論加以說明。物理學家做了很多假設，用理論導出光的顏色和強度之間的關係，但是都和實驗數據完全不符吻合。
所以，雖然根據實驗結果，可以測量出鼓風爐內的溫度，但是卻說不出道理，而這個問題，在物理學上被稱作「黑體輻射問題」。

4. About Blackbody 那為什麼不乾脆叫做「鼓風爐問題」，而要叫做「黑體輻射問題」。
因為物體一旦帶有顏色，研究條件就會變的很複雜，所以需要一種可以完全吸收任何光的黑體作為研究對象。但是在自然界並沒有絕對的黑體存在，那只是一種理想化的情況，所以設計了相當近似黑體的物體。
假設一個中空的球體，並在表面開個小孔，從小孔射入的光會被黑色的球體吸收，即使未被完全吸收，也會在反射過程中，漸漸被吸收。光幾乎沒有任何機會，可以再從同一個小孔跑出來，因此可以視為完全黑體。
加熱此黑體，會有各種顏色的光，從球壁上被輻射到球體內，所有的光被球壁反射、吸收、反射、吸收，最後達到平衡狀態。就可以從小孔觀察到黑體所輻射出的光。

5. Plank and Einstein 假設光的能量分布是不連續 光是由光量子所組成的！
而為了解決現有理論無法解釋的「黑體輻射問題」，德國物理學者蒲朗克發表了全新學說，他提出「光的能量分布是不連續」的假設，雖然假設和推導出的公式，可以圓滿解決實驗數據，但是卻沒有人可以明確的指出，假設的真正意義為何。
到了1905年，愛因斯坦發表了篇論文，引用蒲朗克所提出的假設，並加以闡述：認為光根本是由，有限數目，不連續，不可再分割的光量子所組成的，說明光在某些場合，會呈現出像是一顆一顆粒子的性質。
但是，當時的學術界，並無法立即接受愛因斯坦的說法，對於光量子保持保留且質疑的態度。

6. Bose’s Idea 光子是不可分辨的！ Old <8種情況> New <4種情況>
然而，印度物理學家玻色，體驗到愛因斯坦這篇論文跨時代的貢獻，因此從另一種統計觀點，把這兩種概念結合在一起，從新討論黑體輻射的能階，而這嶄新的概念，就是「光子是不可以分辨的」。
意思就是，我們無法說明它們之間有什麼不同，也無法為它們貼上標記，這在排列組合的計算下，與很分辨的粒子，有很大的不同，
例如，要把三位同學分為兩邊，在可判斷黃綠紅三位同學之下，會發生8種分法。而要是在搞不清楚是誰的情況下，在我們的眼裡就只會有4種情況發生。因為無法說出學生的不同，所以分辨學生這件事沒有任何意義的，這就是會的到不同答案的原因，而這也是玻色統計中，最重要的精神。
因此，玻色完美的解釋黑體輻射的實驗數據。
光子是不可分辨的！

7. Call Help
只不過，對於一個來自印度的年輕教授玻色而言，之前沒有任何值得讓人眼睛一亮的成績，也沒有任何大師級人物幫他背書，再加上他所修改的是得獎論文，種種因素都使得他所提出的觀點，在當時並未受到重視，也因此論文慘遭退稿。

8. Bose-Einstein Condensation
但是玻色他不甘心，決心求助當時已享有盛名的愛因斯坦，隨後將論文寄給他，希望愛因斯坦能肯定他論文的價值，而愛因斯坦也沒有讓他失望，擴展了這篇論文，並預言現在稱為「玻色-愛因斯坦凝聚」的現象。

9. About BEC
At Low Temperature, all Atoms assemble at The Lowest Energy Level
當時玻色及愛因斯坦表示，當原子的溫度降到極低，原子便會大量聚集在最低能階。而處於這種狀態的大量原子的行為，就像是一個超大的原子。
打個比方，就像散亂吵鬧的學生，突然接到老師「集合向前走」的命令，於是迅速的集合在一起，像一個學生整齊的向前走去。

10. Named A New State of Matter Higher Energy Lower Temperature
後來物理界因為這狀態和玻色與愛因斯坦有關，且是指不同能階的原子，因為製冷，而突然「凝聚」到同一個能階，所以就將這新的物質態，稱作「玻色-愛因斯坦凝聚」
不過要達到「玻色-愛因斯坦凝聚」的條件極為嚴苛：一方面需要到的極低的溫度，另一方面在極低溫度下，還需要原子團保持氣態，所以有一段時間，沒有任何物理系統認為與「玻色-愛因斯坦凝聚」現象有關。
後來，物理學家發現可以使用稀薄的金屬原子氣體當做研究對象，因為金屬原子氣體有個很好的特性：不會因為製冷而出現液態，更不會高度聚集而形成常規的固態。

11. First Achieve BEC June, 1995 Rubidium Atom (銣原子) Laser Cooling
而制冷技術則是到了1995年6月，兩位美國科學家魏曼和柯內爾利用雷射冷卻技術，首次將銣原子冷卻，而獲得「玻色-愛因斯坦凝聚」。
美國科羅拉斯大學
Carl E. Wieman (魏曼 )
美國科羅拉斯大學
Eric A. Comell (柯內爾 )

12. Second Achieve BEC Sep, 1995 Sodium Atom (鈉原子) Evaporative Cooling
3個月過後，德國物理學家凱特勒，則以納原子作實驗，使用蒸發冷卻技術，也達成了「玻色-愛因斯坦凝聚」。
相較於傳統的低溫技術，雷射冷卻和蒸發冷卻，不需要液態氮，也不需要液態氦，實驗設備與系統處於室溫，且降溫過程也非常迅速，不單效率高，也可以達到前所未有的低溫。
因此2001年的諾貝爾物理獎獎頒發給他們三位，以表彰他們成功獲得稀薄鹼金族氣體的玻色愛因斯坦凝聚，與基本性質的研究。
美國麻省理工學院
凱特力 Wolfgang Ketterle

13. Laser Cooling And Trapping
雷射冷卻基本概念是讓原子吸收能量較低的光子，再釋放出能量較高的光子，為了遵守能量守恆原理，原子的動能必須降低，冷卻效果自然達成。
實驗上，空間中x,y,z軸三個方向，方別用兩道反方向行進的雷射光射向原子，讓原子不論朝空間中哪個方向運動，都會受到阻力，而阻力減慢了原子運動速度，即為降低動能，原子的溫度也跟著下降。
但是雷射光只是把原子減速，並沒有把原子抓住，所以加上個磁場，形成一個「磁阱」，把原子困在裡頭。
左圖來源: 三態以外的狀態 文/鄭仁瑋

14. Laser Cooling 字稿：徐琅 交通大學電子物理系徐琅教授，有個通俗的解說方式，打個比方：
利用柵欄和山谷侷限羊群的範圍，讓他們乖乖的在幕場裡吃草。
如果有羊想要逃跑，就像這隻黑羊，所以用幾隻牧羊犬在附近警戒，把逃跑或者迷失的羊抓回來。
慢慢的，羊群就會形成一個高密度低活動力的原子群，進而冷卻原子。
字稿：徐琅

15. <中正大學玻色-愛因斯坦凝聚實驗裝置>
Experimental Device
中正大學物理系有個雷射冷卻實驗室，而這就是「玻色-愛因斯坦凝聚」的實驗裝置。
並且在2003年9月成功的產生「玻色-愛因斯坦凝聚體」。
<中正大學玻色-愛因斯坦凝聚實驗裝置>
圖片來源: 銣原子之玻色-愛因斯坦凝聚 文/韓殿軍

16. <磁阱中執行由涉頻波誘發之蒸發冷卻示意圖>
Evaporative Cooling
蒸發冷卻的概念，以失去高能量原子，來達到冷卻的目的，因此問題就在，要如何尋找系統能量最高的原子，以及如何趕離。
一開始，將原子侷限在一個完全由磁場構成的位能陷阱裡，利用射頻波，一種可以選擇頻率的原件，讓能量較高的那些原子脫離陷阱的束縛，同時也帶走了能量，剩下的原子重新達到新的熱平衡，溫度也跟著下降，這是犧牲原子數目達到降溫的方法。
蒸發離開磁阱的原子
<磁阱中執行由涉頻波誘發之蒸發冷卻示意圖>
圖片來源: 銣原子之玻色-愛因斯坦凝聚 文/韓殿軍

17. Evaporative Cooling
這種蒸發冷卻，類似日常生活一杯熱水蒸發冷卻過程，當能量較高的水分子蒸發脫離水的表面，剩下能量較低的水分子重新達到熱平衡，整杯水的溫度也降跟著下降。

18. Rotating Bose-Einstein condensate

19. Rotating Bose-Einstein condensate

20. Application Of BEC Atomic Laser Hyper-Fine Atomic Clocks
Measure The Earth Gravity
原子雷射： 玻色-愛因斯坦凝聚，是製造一個原子雷射的起源，因為原子所形成的物質波比光子有更短的波長，所以精密度更高。可以用來作為精密測量。
原子鐘： 原子鐘是利用銫原子內的電子振動，做為計時標準。當銫原子處於BEC時，其運動活動極慢，因此訊號的解析度也傳統的銫原子鐘好。這更精確的原子鐘，可以計算有史以來最短的時間間隔。科學家們預言這種時鐘可以提高航空技術、通信技術，同時可用於調整衛星運行的精確軌道等。
測量重力場強度(地心引力)： 當原子處於幾乎不動的狀態，因受到地心引力加速度的影響，會向下掉落。實驗中這現象叫做「原子噴泉」。科學家利用測量原子噴泉的速度，可以得到更精確的重力加速度。這對於探礦工作上有很大的幫助。(如果地下有礦物的話，因為質量會比土壤高，相對的地表地心引力就會大一些，其實這一些也可能只是大個幾億分之ㄧ的地心引力而已，傳統測量方式根本測不出來，不過，若是利用原子噴泉，就可以測量出那微的差異)
圖片來源: httpwww.nist.govpublic_affairsreleasesf1cesium.htm.jpg

21. Mathematical Model (two component)
Mandel, Greiner, Widera, Rom, Hansch, Bloch, Nature 425 (2003)

22. Mathematical Model (two component)

23. Mathematical Model (two component)

24. Mathematical Model (two component)

25. Mathematical Model (Rotating)

26. Thank you for your attention