2. 第九章 弯曲变形 静不定梁 §9-1 概 述 一、工程实践中的弯曲变形问题 在工程实践中，对某些受弯构件，除要求 具有足够的强度外，还要求变形不能过大，即 要求构件有足够的刚度，以保证结构或机器正 常工作。

3. 摇臂钻床的摇臂或车床的主轴变形过大， 就会影响零件的加工精度，甚至会出现废品。

4. 桥式起重机的横梁变形过大, 则会使小车行 走困难，出现爬坡现象。

5. 但在另外一些情况下，有时却要求构件具 有较大的弹性变形，以满足特定的工作需要。 例如，车辆上的板弹簧，要求有足够大的 变形，以缓解车辆受到的冲击和振动作用。

6. 1. 挠曲线 二、弯曲变形的基本概念 挠曲线

7. 2. 挠度和转角 规定：向上的挠度为正 逆时针的转角为正 挠曲线方程： 转角方程：

8. §9-2 梁的挠曲线近似微分方程及其积分 一、梁的挠曲线近似微分方程式 曲线 的曲率为

11. 梁的挠曲线近似微分方程 :

12. 二、用积分法求梁的变形 式中积分常数 C 、 D 由边界条件和连续条件确定

13. 例：已知梁的抗弯刚度为 EI 。试求图示简 支梁在均布载荷 q 作用下的转角方程、挠曲线 方程，并确定 θ max 和 v max 。

14. 解： 由边界条件： 得：

15. 梁的转角方程和挠曲线方程分别为： 最大转角和最大挠度分别为：

16. 例：已知梁的抗弯刚度为 EI 。试求图示悬 臂梁在集中力 P 作用下的转角方程、挠曲线方 程，并确定 θ max 和 v max 。

17. 解： 由边界条件： 得：

18. 梁的转角方程和挠曲线方程分别为： 最大转角和最大挠度分别为：

19. 例：已知梁的抗弯刚度为 EI 。试求图示简 支梁在集中力 P 作用下的转角方程、挠曲线方 程，并确定 θ max 和 v max 。

20. 解： 由边界条件： 得： 由对称条件： 得：

21. AC 段梁的转角方程和挠曲线方程分别为： 最大转角和最大挠度分别为：

22. 例：已知梁的抗弯刚度为 EI 。试求图示简支 梁的转角方程、挠曲线方程，并确定 θ max 和 v max 。

23. 解：由对称性，只考虑半跨梁 ACD

24. 由连续条件： 由边界条件： 由对称条件：

25. 梁的转角方程和挠曲线方程分别为： 最大转角和最大挠度分别为：

26. §9-3 用叠加法计算梁的变形 梁的刚度计算 一、用叠加法计算梁的变形 在材料服从胡克定律、且变形很小的前提下, 载荷与它所引起的变形成线性关系。 当梁上同时作用几个载荷时，各个载荷所引 起的变形是各自独立的，互不影响。若计算几个 载荷共同作用下在某截面上引起的变形，则可分 别计算各个载荷单独作用下的变形，然后叠加。

27. 例：用叠加法求

28. 解：

29. 例：已知梁的 为常数，今欲使梁的挠曲 线在 处出现一拐点，则比值 为多少？

30. 解：由梁的挠曲线近似微分方程 知，在梁挠曲线的拐点处有： 从弯矩图可以看出：

31. 例：两根材料相同、抗弯刚度相同的悬臂 梁Ⅰ、Ⅱ如图示，Ⅱ梁的最大挠度是Ⅰ梁的多少倍？

32. 例：简支梁在整个梁上受均布载荷 q 作用，若 其跨度增加一倍，则其最大挠度增加多少倍？

33. 例：欲使 AD 梁 C 点挠度为零，求 P 与 q 的关系。

34. 解：

35. 例：若图示梁 B 端的转角 θ B =0 ，则力偶矩ｍ 等于多少？

36. 解：

37. 例：求图示梁 C 、 D 两点的挠度 v C 、 v D 。

38. 解：

39. 例：求图示梁 B 、 D 两处的挠度 v B 、 v D 。

40. 解：

41. 例：求图示梁 C 点的挠度 v C 。

42. 解：

43. 例： 用叠加法求图示变截面梁 B 、 C 截面的 挠度 v B 、 v C 。

44. 解：

45. 例： 用叠加法求图示梁Ｃ端的转角和挠度。

46. 解：

47. 例： 用叠加法求图示梁跨中的挠度 v C 和 B 点 的转角 θ B （ｋ为弹簧系数）。

48. 解：弹簧缩短量

49. 例： 梁 AB ，横截面为边长为 a 的正方形， 弹性模量为 E 1 ；杆 BC ，横截面为直径为 d 的圆 形，弹性模量为 E 2 。试求 BC 杆的伸长及 AB 梁 中点的挠度。

50. 例： 图示梁Ｂ处为弹性支座，弹簧刚度 。求 C 端挠度 v C 。

51. 解： (1) 梁不变形，仅弹簧变形引起的 C 点挠度为 (2) 弹簧不变形，仅梁变形引起的 C 点挠度为 (3)C 点总挠度为

52. 例：用叠加法求图示梁 B 端的挠度和转角。

53. 解：

54. 二、梁的刚度计算 刚度条件： [v] 、 [θ] 是构件的许可挠度和转角，它们决定于 构件正常工作时的要求。

55. 例：图示工字钢梁， l =8m ， I z =2370cm 4, W z =237cm 3 ， [ v ]= l ／ 500 ， E=200GPa ， [σ]=100MPa 。试根据梁的刚度条件，确定梁的 许可载荷 [P] ，并校核强度。

56. 解：由刚度条件

57. §9-4 提高弯曲刚度的措施 影响梁弯曲变形的因素不仅与梁的支承和载 荷情况有关，而且还与梁的材料、截面尺寸、形 状和梁的跨度有关。所以，要想提高弯曲刚度， 就应从上述各种因素入手。 一、增大梁的抗弯刚度 EI 二、减小跨度或增加支承 三、改变加载方式和支座位置

58. §9-5 用变形比较法解静不定梁 一、静不定梁的基本概念

59. 用多余反力代替 多余约束，就得 到一个形式上的 静定梁，该梁称 为原静不定梁的 相当系统。

60. 二、用变形比较法解静不定梁 例：求图示静不定梁的支反力。

61. 解：将支座 B 看成 多余约束，变形协调 条件为：

62. 另解：将支座 A 对截面 转动的约束看成多余约 束，变形协调条件为：

63. 例：为了提高悬臂梁 AB 的强度和刚度， 用短梁 CD 加固。设二梁 EI 相同，试求 (1) 二梁接触处的压力； (2) 加固前后 AB 梁最大弯矩的比值； (3) 加固前后 B 点挠度的比值。

64. 解： (1) 变形协调条件为： (2)

65. 例：梁 ABC 由 AB 、 BC 两段组成，两段梁 的 EI 相同。试绘制剪力图与弯矩图。

66. 解：变形协调条件为：