1. XÁC SUẤT & THỐNG KÊ PHÂN PHỐI CHƯƠNG TRÌNH
Thời lượng: 45 tiết trên lớp, ≥ 90 tiết tự học
PHẦN 1. XÁC SUẤT ỨNG DỤNG
Chương 1. Xác suất của sự kiện Chương 2. Biến và vectơ ngẫu nhiên
Chương 3. Quy luật phân phối xác suất thường gặp
PHẦN 2. THỐNG KÊ SUY DIỄN
Chương 4. Ước lượng tham số
Chương 5. Kiểm định giả thuyết tham số
Chương 6. Tương quan hồi quy

2.  A  B  B  A sự kiện chắc chắn: 
CHƯƠNG I. ĐẠI CƯƠNG VỀ XÁC SUẤT
§1:sự kiện và quan hệ giữa các sự kiện
Phép thử và sự kiện: phép thử là một thí nghiệm hay một quan sát. Kết quả của phép thử gọi là sự kiện.
Phân loại sự kiện : gồm 3 loại
sự kiện chắc chắn: 
sự kiện không thể có hay không thể xảy ra:
sự kiện ngẫu nhiên: A, B, C…,A1, A2 
3. So sánh các sự kiện.
Định nghĩa 1.1: A  B (A nằm trong B hay A kéo theo B)  nếu A xảy ra thì B xảy ra.Vậy
 A  B
 B  A
A  B  
Định nghĩa 1.2: A được gọi là sự kiện sơ cấp  B  A, B  A. Là sự kiện bé nhất khác rỗng.

3. A    A A  B 4. Các phép toán trên sự kiện (hình 1.1 và 1.2 ):
A.B  A  B xảy ra khi và chỉ khi A xảy ra và B xảy ra.
A  B  A  B
xảy ra khi và chỉ khi A xảy ra hoặc B xảy ra.
A  B
xảy ra khi và chỉ khi A xảy ra và B không xảy ra.
A    A
xảy ra khi và chỉ khi A không xảy ra.

4. Hình 1.1
Hình 1.2

6. A.B   Ngôn ngữ biểu diễn: tổng = có ít nhất một; tích = tất cả đều.
Nếu A là sk "có ít nhất 1 phần tử có tính chất T” là sk “mọi phần tử đều không có tính chất T”.
Ví dụ 1.1: (A = có ít nhất 1 bi xanh) suy ra
= tất cả đều không xanh.
Định nghĩa 1.3: sự kiện A và B được gọi là xung khắc với nhau nếu chúng không bao giờ xảy ra đồng thời.
A.B  

7. B : “chỉ có sinh viên B thi đỗ”; C : “chỉ có 1 sinh viên thi đỗ”.
VD . Hai sinh viên A và B cùng thi môn XSTK. Gọi A : “sinh viên A thi đỗ”;
B : “chỉ có sinh viên B thi đỗ”;
C : “chỉ có 1 sinh viên thi đỗ”.
Khi đó, A và B là xung khắc; B và C không xung khắc.
Chú ý. A và B xung khắc nhưng không đối lập.
Định nghĩa 1.4: Hai sự kiện độc lập
Trong một phép thử, hai sự kiện A và B được gọi là độc lập nếu A có xảy ra hay không cũng không ảnh hưởng đến khả năng xảy ra B và ngược lại.
Chú ý
Nếu A và B độc lập với nhau thì các cặp sự kiện:
A và B , A và B , A và B cũng độc lập với nhau.

8. §2: Các định nghĩa xác suất.
1. Định nghĩa cổ điển về xác suất
Định nghĩa 2.1: giả sử một phép thử có n kết cục là đồng khả năng. Kí hiệu m là số các kết cục thuận lợi cho sự kiện A. Khi ấy xác suất của sự kiện A là m
 ( A )  n
Bài toán cơ bản 2.1: Trong 1 hộp có 6 bi trắng, 4 bi đen. Lấy ngẫu nhiên ra 4 bi. Tính xác suất để
Lấy được đúng 3 bi trắng.
Lấy được cả hai màu.
Lấy được ít nhất một bi trắng

9. Giải
Xác suất lấy được đúng 3 bi trắng là:
Xác suất lấy được cả hai màu là:
c. Xác suất lấy được ít nhất một bi trắng là:

10. Ví dụ 2. 3: Có 10 người lên ngẫu nhiên 5 toa tàu
Ví dụ 2.3: Có 10 người lên ngẫu nhiên 5 toa tàu. Tính xác suất để toa thứ nhất không có người lên:
Bài toán cơ bản 2.2: Có hai hộp, hộp thứ nhất đựng 3 bi trắng, 2 bi đen, hộp thứ hai đựng 2 bi trắng, 4 bi đen.
1. Lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp ra 2 bi. Tính xác suất để
Lấy được 4 viên cùng màu.
b. Lấy được đúng 2 bi trắng.
2. Lấy ngẫu nhiên 2 bi từ hộp 1 bỏ vào hộp 2, rồi từ hộp hai lấy ra 2 viên. Tính xác suất để 2 viên lấy ra sau cùng đều màu trắng.

11. Giải: 1.
Xác suất lấy được 4 bi cùng màu là:
Xác suất lấy được 2 bi trắng là:
2. Xác suất lấy được 2 bi trắng là:

12. 2. Định nghĩa xác suất bằng tần suất:
Thực hiện n phép thử, quan sát thấy sự kiện A xuất hiện ở m phép thử
gọi là tần suất xuất hiện sk A.
Định nghĩa 2.2: Xác suất của sự kiện A là tần xuất xuất hiện A khi số phép thử tăng lên vô hạn lần.
Như vậy:
khi số phép thử n khá lớn.
Ví dụ:
Trong trẻ mới sinh, có bé trai. Xác suất “sinh bé trai” là khoảng 0,51

13. 3. Định nghĩa hình học về xác suất (tham khảo):
Định nghĩa 2.2: Giả sử trong mỗi phép thử các kết cục là đồng khả năng và được biểu diễn bằng các điểm hình học trên miền . Kí hiệu D là miền biểu diễn các kết cục thuận lợi cho sự kiện A. Khi ấy xác suất của sự kiện A là:
P( A)  Độ đo D
(độ đo là độ dài,diện tích hoặc thể tích)
Độ đo 

14.   x  0 , y  0  x  y  l  x  y  l  x  y  y  l  x  y  x
Ví dụ 2.3 (tham khảo): Chia đoạn AB cố định ngẫu nhiên thành 3 đoạn. Tính xác suất để 3 đoạn đó lập thành 3 cạnh của 1 tam giác.
Giải: Gọi độ dài đoạn thứ 1, 2 là x,y. Khi ấy đoạn thứ 3 là l-x- y
  x  0 , y  0
 x
y  l 
 x  y  l  2
 x  y  l  x  y  l 2 1 4 
  D  x  l  x  y  y   y  
  ( A )   
 y  l  x  y  x
 x  

15. HÌNH 2.1

16. 4.Các tính chất của xác suất :
(I)
0 ≤ P(A) ≤ 1
P()  1, P   0
(II)
(III) Với mọi dãy sự kiện đôi một xung khắc, ta có:     i 
  A   A    i
 i  1 
i  1
P( A)  1 P( A)
Hệ quả :
Chú ý: xác suất của một tổng bằng tổng xác suất nếu chúng xung khắc.

17. P(A B) = P(A) + P(B) – P(AB)
§3: Các định lý xác suất
1: Định lý cộng xác suất Định lý 3.1:
P(A B) = P(A) + P(B) – P(AB)

18.              A   A   AA   AAA ...+( 1) P(AA...A )
Định lý 3.1 (tham khảo)
  n n
 
 
  
  
ijk 
A 
 A 
 AA 
 AAA ...+(
1) P(AA...A )
n1 
i  i
i j
i j k
1 2 n
 i1
 i1
ij

19. Ví dụ 3.1: Ở một vùng dân cư, tỉ lệ người mắc bệnh tim là 9%; mắc bệnh huyết áp là 12%; mắc cả bệnh tim và huyết áp là 7%. Chọn ngẫu nhiên 1 người ở vùng đó. Tính xác suất để người này không mắc bệnh tim và không mắc bệnh huyết áp?
Giải:
Gọi A, B lần lượt là sự kiện người đó mắc bệnh tim, huyết áp.
Xác suất người đó mắc ít nhất một trong hai bệnh là:
P(A B) = P(A) + P(B) – P(A.B) = 0,09 + 0,12 – 0,07 = 0,14
Xác suất người đó không mắc bệnh nào là:
p = 1- P(A B) = 1-0,14 = 0,86

20.  /   .  2. Định lý nhân xác suất
Định nghĩa 3.2: Xác suất của sự kiện B được tính sau khi sự kiện A đã xảy ra rồi được gọi là xác suất của B với điều kiện A và kí hiệu là P(B/A). Công thức tính là:
Định lý 3.2: P(AB)=P(A).P(B/A)=P(B).P(A/B)
Tổng quát:
1.2 ...n   1 . 2 / 1 . 3 / 12 ... n / 12 ...n1 
 /   .


22. Định nghĩa 3.3: Hai sự kiện A, B được gọi là độc lập với nhau nếu việc sự kiện này xảy ra hay chưa xảy ra không làm thay đổi xác suất của sự kiện kia.
Định nghĩa 3.4: Một hệ các sự kiện được gọi là độc lập toàn phần nếu mỗi sự kiện của hệ độc lập với 1 tổ hợp bất kỳ của các sự kiện còn lại.
Định lý 3.3: A, B độc lập khi và chỉ khi P(AB)=P(A).P(B)
vì P(B/A)=P(B)
Định lý 3.4: Giả sử  i , i  1, n là độc lập toàn phần. Khi đó:
1.2 ...n   1 . 2 .... n 
Chú ý: Xác suất của một tích bằng tích xác suất nếu chúng độc lập.

24. Ví dụ 3.2: Ba người A, B, C đi thi với xác suất đỗ lần lượt là 0,9, 0,8, 0,7 . Tính xác suất để có:
Ít nhất một người đỗ.
b. Đúng một người đỗ
c. Biết rằng có ít nhất một người đỗ, tính xác suất để A đỗ
d. Biết rằng có đúng một người đỗ tính xác suất để A đỗ

25. Giải: Gọi i là sự kiện người thứ i thi đỗ
A - sự kiện ít nhất một người đỗ, B là sk chỉ có một người đỗ
Xác suất để không ai đỗ là:
XS đúng một người đỗ là:

27. Ví dụ 3.3: Một sinh viên học hệ niên chế được thi lại 1 lần nếu lần thi thứ nhất bị trượt (2 lần thi độc lập). Biết rằng xác suất để sinh viên này thi đỗ lần 1 và lần 2 tương ứng là 60%, 80%.
Tính xác suất sinh viên này thi đỗ?
Giải: Gọi Ai là sự kiện sv đỗ lần thứ i, A là sk sv đỗ

28. 3. Công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes:
Định nghĩa 3.5: Hệ Ai , i  1, n với được gọi là hệ đầy đủ, nếu chúng đôi một xung khắc và hợp lại là sự kiện tất yếu.
𝐴 𝑖 ≠𝛷  ∀𝑖,

29. Định lý 3.4: Giả sử A i , i  1, n        
3. Công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes:
Định lý 3.4: Giả sử A i , i  1, n
là hệ đầy đủ, A là một sự kiện bất kì trong phép thử, khi đó:
n n
  A   P( AAi )  P(Ai ).P( A / Ai )
i 1 i 1
(ct xs toàn phần).
 
   
 
A  A .
 / A
 
(công thức Bayess)
 A /  i  i i
, i 1,n i



30. Ví dụ: Một cửa hàng bán hai loại bóng đèn trắng và vàng, trong đó có 70% là bóng màu trắng. Tỉ lệ hỏng của bóng trắng là 1% và của bóng vàng là 2%. Một khách hàng chọn mua ngẫu nhiên 1 bóng đèn từ cửa hàng này. Tính xác suất để người này mua được bóng đèn tốt ?
Giải:
A1 = sk mua được bóng Trắng, A2= sk mua đc bóng Vàng,
A = sk lấy đc bóng tốt
P(A1)=0,7 P(A2)=0,3
P(A /A1)= 0,9 P(A / A 2)= 0,8
Áp dụng CT XSTP ta được
P(A) = P(A1 ).P( A / A1 )+P(A2 ).P( A / A2 ) =
=0,7.0,9 +0,3.0,8 = 0,87

31. Ví dụ 3.5: Hộp đựng 3 hạt đậu đỏ, 2 hạt đậu trắng, xác suất nảy mầm của mỗi hạt đỏ và trắng lần lượt là 0,7 và 0,8. Lấy ngẫu nhiên 2 hạt đem gieo.
1) Tính xác suất 2 hạt đều nảy mầm.
2) Giả sử 2 đều nảy mầm, tính xác suất 2 hạt đều màu trắng.
Giải:
1. A1 = sk được 2 Đ, A2 = sk lấy đc 2T,
A3 = sk 1Đ+1T A = sk 2 hạt đều nảy mầm
P(A /A1)= 0, P(A / A 2)= 0,82 P(A/A3) = 0,7.0,8
Áp dụng CT XSTP ta được
P(A) = P(A1 ).P( A / A1 )+P(A2 ).P( A / A2 )+P(A3 )P( A / A3 ) =
=0,3.0,72 +0,1.0,82 + 0,6.0,7.0,8= 0,547

32. 2. Áp dụng ct Bayes có:

33. Ví dụ 3. 6: Một loại hàu được nuôi để lấy ngọc trai tại 3 trang trại
Ví dụ 3.6: Một loại hàu được nuôi để lấy ngọc trai tại 3 trang trại. Sản lượng hàu do trang trại thứ nhất cung cấp chiếm 40% thị trường, tỷ lệ này của trang trại thứ hai là 35% và của trang trại thứ ba là 25%. Tỷ lệ hàu có ngọc trai tại 3 trang trại trên lần lượt là 4%, 3% và 2%.
Chọn ngẫu nhiên một con hàu. Tính xác suất để con hàu đó có ngọc trai.
Chọn ngẫu nhiên một con hàu. Biết rằng con hàu đó có chứa ngọc trai. Vậy nhiều khả năng nhất con hàu đó do trang trại nào cung cấp?
Giải: A-sk hàu có ngọc Ai -sk hàu của TT thứ i (i=1,2,3)
P(A1)=0,4 P(A2)=0,35 P(A3)=0,25
P(A /A1)=0, P(A /A2)=0, P(A /A3)=0,02

34. 2) Xác suất lấy được hàu của cớ sở 1 là:
Tương tự, xác suất lấy được hàu của cơ sở 2, 3 là
Khả năng nhất hàu do cơ sở 1 cung cấp

35. n k0   Max nk, 0  k  n P n (k)  C . p .q , k  0,1,..., n
4. Công thức Bernoulli:
Lược đồ Bernoulli: Là một dãy gồm n phép thử độc lập và xác suất xuất hiện sự kiện A trong mỗi phép thử đều bằng p không đổi. (Khi A xuất hiện ta quy ước là thành công). Khi ấy xác suất để có đúng k lần thành công là :
P n (k)  C . p .q
k k nk
, k  0,1,..., n
Ct Bernoulli n
q=1-p
Định nghĩa 3.6: Kí hiệu k0 là số tự nhiên sao cho:
n k0   Max nk,
0  k  n
Khi ấy k0 được gọi là số lần thành công có nhiều khả năng xuất hiện nhất(tức là ứng với xác suất lớn nhất)
Định lý 3.6:

36. Tèo thu được 3 trứng trong ngày
Ví dụ 3.7: Nhà Tèo nuôi 5 con gà, xác suất để mỗi con đẻ trong ngày là 0,8. Tính xác suất để
Tèo thu được 3 trứng trong ngày
Tèo thu được ít nhất 3 trứng trong ngày.
Tìm số con đẻ có khả năng nhất trong ngày
Giải: 1)
3) np-q=5.0,8-0,2=3,8

37. VD . Xác suất bị tắc đường trên đường Bon đi học từ nhà đến trường mỗi lần là 25%. Trong 10 lần đi học, tính xác suất Bon bị tắc đường 3 lần.