1. Bab 7 : Taburan Normal 7.1 Pengenalan 7.2 Taburan Normal Piawai
Mendapatkan kebarangkalian apabila diberi skor z
Mendapatkan skor z apabila diberi kebarangkalian
7.3 Mendapatkan kebarangkalian bagi taburan normal
7.4 Mendapatkan nilai bagi taburan normal
7.5 Taburan normal sebagai penganggaran kepada taburan binomial

2. 7.1 Pengenalan
Definisi:
Jika satu pembolehubah rawak selanjar mempunyai taburan di mana graf adalah simetri dan berbentuk loceng, kita katakan ia tertabur normal atau mempunyai taburan normal.
Sisihan piawai = 
Lengkung berbentuk loceng dan simetri
Bab 7 - Taburan Normal
Min = 

3. 7.1 Pengenalan
Parameter bagi lengkung normal >> min,  dan sisihan piawai, 
Lengkung normal simetri sekitar min
Serakan taburan normal bergantung kepada sisihan piawai
Semakin besar >> lengkung menjadi semakin mendatar
Bab 7 - Taburan Normal

4. 7.1 Pengenalan  = 0.5  = 1  = 2  = 1  = 2  = 5 Rajah 2
 =  =  = 5
Rajah 2
Bab 7 - Taburan Normal

5. 7.1 Pengenalan Satu lengkung normal akan mempunyai ciri-ciri berikut:
Berbentuk loceng
Simetri sekitar min
Menghampiri paksi melintang tetapi tidak akan menyentuh apabila di luar julat -3 hingga +3
Bab 7 - Taburan Normal

6. 7.1 Pengenalan Rajah 3  - 3  - 2  - 1   +1  + 2  + 3
 - 3  - 2  - 1   +1  + 2  + 3
Rajah 3
Bab 7 - Taburan Normal

7. 7.2 Taburan normal piawai Taburan normal piawai adalah taburan
kebarangkalian normal yang mempunyai
min,  = 0 dan sisihan piawai,  = 1
Bab 7 - Taburan Normal

8. 7.2 Taburan normal piawai -2 -1 0 1 2
Kawasan =
Rajah 4
Dengan  = 0 dan  = 1, mudahkan utk mengira kawasan di
bawah lengkung.
 Luas kawasan di bawah lengkung = 1
Bab 7 - Taburan Normal

9. 7.2.1 Mendapatkan kebarangkalian apabila diberi skor z
Daripada rajah 4, kawasan di bawah lengkung adalah
Untuk mengetahui kawasan tersebut (juga dirujuk sebagai kebarangkalian), rujuk kepada jadual taburan normal piawai.
Bab 7 - Taburan Normal

10. 7.2.1 Mendapatkan kebarangkalian apabila diberi skor z
Panduan jadual taburan normal piawai:
Jadual ini hanya boleh digunakan untuk taburan normal piawai yang mempunyai  = 0 dan  = 1.
Nilai2 yg terdapat dalam jadual menunjuk kpd kawasan di bawah lengkung. Ada bny jenis jadual.
Skor z = jarak pada skala melintang bagi taburan normal piawai; rujuk di sebelah kiri dan atas jadual.
Kawasan = luas dibawah lengkung; nilai di dalam ruang tengah jadual.
Bab 7 - Taburan Normal

11. 7.2.1 Mendapatkan kebarangkalian apabila diberi skor z
Kawasan =
Bab 7 - Taburan Normal

12. Contoh 1:
Sykt Precision Scientific Instrument mengeluarkan termometer yg memberi bacaan 0C pada tahap beku air. Ujian yg dijlankan ke atas satu sampel termometer tersebut mendapati sesetengah termometer memberi bacaan di bawah 0C pada tahap beku air manakala sebahagian memberi bacaan di atas 0C. Andaikan min bacaan adalah 0C dan sisihan piawai adalah 1.00C serta bacaan suhu adalah bertaburan normal. Jika satu termometer dipilih secara rawak, dapatkan kebarangkalian bahawa pada tahap beku air bacaan adalah 0C dan 1.58C.
Bab 7 - Taburan Normal

13. Dapatkan kawasan di antara 0 dan z. z = 1.58
Contoh 1: Penyelesaian
Dapatkan kawasan di antara 0 dan z. z = 1.58
z = 1.58
Kawasan =
Bab 7 - Taburan Normal

14. Contoh 2:
Guna contoh yg sama, dapatkan kebarangkalian bagi satu termometer yg dipilih secara rawak memberi bacaan di antara –2.43C dan 0C pada tahap beku air.
z =
z = 2.43
Kawasan =
Bab 7 - Taburan Normal

15. Contoh 3:
Guna contoh yg sama, dapatkan kebarangkalian bagi satu termometer yg dipilih secara rawak memberi bacaan lebih daripada 1.27C pada tahap beku air.
z = 1.27
Kawasan =
Bab 7 - Taburan Normal

16. Contoh 4:
Guna contoh yg sama, dapatkan kebarangkalian bagi satu termometer yg dipilih secara rawak memberi bacaan di antara 1.27C dan 2.30C pada tahap beku air.
z = z = 2.30
Kawasan =
Bab 7 - Taburan Normal

17. 7.2.1 Mendapatkan kebarangkalian apabila diberi skor z
Kebarangkalian juga boleh menggunakan notasi-notasi seperti berikut:
P(a < z < b) Kb bagi skor z berada di antara a dan b
P(z > a) Kb bagi skor z lebih besar daripada a
P(z < a) Kb bagi skor z lebih kecil daripada a
Bagi cth 4, dgn menggunakan notasi
P(1.27< z <2.30) =
Bab 7 - Taburan Normal

18. 7.2.1 Mendapatkan kebarangkalian apabila diberi skor z
Bagi taburan kebarangkalian selanjar seperti taburan normal, kebarangkalian untuk mendpat nilai yg tepat adalah 0, iaitu P(z = a)= 0.
Misalnya, kebarangkalian mendpt seseorg secara rawak yg mempunyai ketinggian tepat cm adalah 0.
Bab 7 - Taburan Normal

19. 7.2.1 Mendapatkan kebarangkalian apabila diberi skor zx x
Lebih daripada x
Besar daripada x
Tidak kurang daripada x
Sekurang-kurangnya x
Bab 7 - Taburan Normal

20. 7.2.1 Mendapatkan kebarangkalian apabila diberi skor zx x
Kurang daripada x
Tidak lebih daripada x
Bab 7 - Taburan Normal

21. 7.2.1 Mendapatkan kebarangkalian apabila diberi skor z
x x2
x1 x2
Di antara x1 dan x2
Bab 7 - Taburan Normal

22. 7.2.2 Mendapatkan skor z apabila diberi kebarangkalian
Contoh 5:
Guna cth yg sama, dapatkan suhu yang berkaitan dengan P95, persentil ke –95. z
95% 5%
5% = 0.05
Dari itu z = 1.645
Bab 7 - Taburan Normal

23. Guna contoh yg sama, dapatkan P10, persentil ke-10x z
10%
90%
40% = 0.4
Dari itu z = -1.28
Bab 7 - Taburan Normal

24. 7.3 Mendapatkan kebarangkalian bagi taburan normal
Satu pembolehubah yg tertabur normal
dengan min,  = 0 dan sisihan piawai,  = 1
dikatakan mempunyai taburan normal
piawai.
Dari segi praktikal tidak dapat
min,  = 0 dan sisihan piawai,  = 1,
tapi perolehi taburan normal am.
Bab 7 - Taburan Normal

25. 7.3 Mendapatkan kebarangkalian bagi taburan normal
Tukar taburan normal am kepada taburan
normal piawai menggunakan rumus
z = x -  
Bab 7 - Taburan Normal

26. 7.3 Mendapatkan kebarangkalian bagi taburan normal
Apabila diberi taburan normal, anda boleh
menggunakan jadual taburan normal piawai
untuk mendapatkan kebarangkalian atau
skor z seperti sub topik sebelum ini dengan
syarat nilai ditukar kpd skor z dahulu.
Bab 7 - Taburan Normal

27. 7.3 Mendapatkan kebarangkalian bagi taburan normal
Berikut merupakan prosidur utk mendapatkan
kebarangkalian bagi pembolehubah rawak dengan
taburan normal.
Lakarkan lengkung normal, labelkan min dan nilai x.
Lorekkan kawasan yg dikehendaki.
Utk nilai x iaitu sempadan kawasan yg berlorek
gunakan formula z = x -  
utk menukarkan nilai kpd skor z.
4. Rujuk jadual utk mendptkan kebarangkalian
Bab 7 - Taburan Normal

28. Contoh 7:
Dlm merekabentuk semula tempat duduk jet utk disesuaikan dgn juruterbang wanita, didapati berat wanita adalah bertaburan normal dgn min 143 lb dan sisihan piawai 29 lb. Jika seorg wanita dipilih secara rawak, apakah kebarangkalian dia mempunyai berat di antara 143 lb dan 201 lb.
x (berat)
Lakar lengkung normal dan lorek kawasan yg dikehendaki.
Bab 7 - Taburan Normal

29. Contoh 7: (Samb) Katakan X : berat ~ N(143, 292)
Tukarkan nilai kepada skor z, Z~N(0,1)
Dari itu P(143 < x <201) = P(0 <z < 2.00) =
Bab 7 - Taburan Normal

30. Contoh 8:
Katakan rekabentuk tempat duduk jet yg asal boleh menampung berat lelaki di antara 140 lb dan 211 lb. Berapa peratuskah wanita yg mempunyai berat yg sama seperti selang tersebut?
x (berat) A B x1 x2
Bab 7 - Taburan Normal

31. Contoh 8: Kawasan yang dikehendaki adalah A + B x1 x2z A B
Dari itu P(140 < x <211) = P(-0.10 < z < 2.34) =
Bab 7 - Taburan Normal

32. Fikir dan buat 1
Ketinggian ketika duduk di dalam kereta merupakan kriteria penting dalam merekabentuk model kereta yang baru. Golongan lelaki mempunyai ketinggian ketika duduk yang bertaburan normal dengan min 36 inci dan sisihan piawai 1.4 inci. Jurutera-jurutera di sebuah kilang pemasangan kereta telah mengemukakan perancangan pembuatan yang boleh memberikan ketinggian ketika duduk sehingga 38.8 inci. Walau bagaimanapun ia tidak dapat memberikan keselesaan kepada lelaki yang mempunyai ketinggian lebih daripada itu. Jika seorang lelaki dipilih secara rawak, dapatkan kebarangkalian dia mempunyai ketinggian ketika duduk yang kurang daripada 38.8 inci. Berdasarkan keputusan tersebut, adakah rekabentuk yang baru ini sesuai?
Bab 7 - Taburan Normal

33. 7.4 Mendapatkan nilai bagi taburan normal
Berikut merupakan prosidur utk mendapatkan
nilai.
1. Lakarkan lengkung normal.
2. Lorekkan kawasan yg dikehendaki melalui
kebarangkalian atau peratusan yg diberi.
Guna jadual utk dapatkan skor z yg berkaitan dgn
kawasan yg dikehendaki disempadani oleh nilai x.
a) drp jadual, dapatkan nilai yg hampir
b) tentukan skor z.
Masukkan ke dalam formula, utk dapatkan x.
x =  + (z )
Bab 7 - Taburan Normal

34. Contoh 9:
Dengan menggunakan peristiwa berat wanita yg bertaburan normal dgn min 143 lb dan sisihan piawai 29 lb. Dapatkan nilai P10.
x = ? x (berat)
10% = 0.1
z = z
Bab 7 - Taburan Normal

35. Contoh 9:
Dengan itu,
z =  = 143  = 29
Bab 7 - Taburan Normal

36. Contoh 10:
Andaikan suhu badan bagi org dewasa yg sihat adalah bertaburan normal dgn min 98.20°F dan sisihan piawai 0.62°F. Jika seorg penyelidik ingin membuat kajian ke atas org dewasa 2.5% di bawah dan org dewasa 2.5% di atas, dptkan suhu yg dimaksudkan.
x1 = ? x2 = ? x (suhu)
0.025 z
Bab 7 - Taburan Normal

37. Contoh 10: Dengan itu, z = 1.96  = 98.2  = 0.62 dan,
Bab 7 - Taburan Normal

38. Fikir dan buat 2
Pada lazimnya purata jangkamasa ujian pencapaian ialah 70 minit, dengan sisihan piawai 12 minit. Berapakah jangkamasa yang harus diberikan agar 90% daripada pelajar akan dapat siap peperiksaan tersebut.
Bab 7 - Taburan Normal

39. Fikir dan buat 3
X~N(0,1). Dapatkan kuartil ke-3 dan pertama bagi taburan X.
Bab 7 - Taburan Normal

40. 7.5 Taburan normal sebagai penganggaran kepada taburan binomial
Kaedah ini digunakan untuk mendapatkan
kebarangkalian binomial.
Kaedah penghampiran normal dalam
menyelesaikan masalah kebarangkalian binomial
selalunya digunakan setelah prosidur lain tidak
boleh digunakan atau memakan masa yang lama.
Lazimnya digunakan apabila n bagi
taburan binomial terlalu besar. Apabila n
terlalu besar sukar buat pengiraan.
Bab 7 - Taburan Normal

41. 7.5 Taburan normal sebagai penganggaran kepada taburan binomial
Misalnya satu soal selidik dijalankan ke atas 500
pelajar sekolah menengah untuk mengetahui samada
mereka berminat di dalam matapelajaran matematik.
Tiap-tiap pelajar dikehendaki menjawab ya atau
tidak. Katakan kb seseorang meminati matematik
ialah 0.5.
Ini ujikaji binomial, X~b(x;500,0.5)
Katakan kita hendak P(X280) = f(0)+f(1)+…+f(280)
Maka pengiraan menjadi rumit, apabila n besar.
ATAU
n tiada dlm jadual, p terlalu kecil.
Bab 7 - Taburan Normal

42. 7.5 Taburan normal sebagai penganggaran kepada taburan binomial
Jika np  5 dan nq  5, maka pembolehubah
rawak binomial adalah hampir tertabur dengan
min dan sisihan piawai seperti berikut
Bab 7 - Taburan Normal

43. Langkah-langkah utk melakukan penghampiran
Mula
Selesaikan masalah kebarangkalian
binomial menggunakan
Formula
Jadual
Gunakan formula
Tak
Adakah np  5 dan nq  5 adalah benar Ya
Dapatkan
Lakarkan lengkung normal dan kawasan yg dikehendaki. Buat
pembetulan keselanjaran.
Kira z = x -  
Rujuk jadual
Bab 7 - Taburan Normal

44. Prosidur menggunakan taburan normal sebagai penghampiran kepada taburan normal
Semak samada np  5 dan nq  5. Jika tidak jangan lakukan penghampiran.
Dapatkan nilai bagi parameter  dan  menggunakan formula dan
Kenalpasti nilai diskrit x. Tukarkan nilai diskrit tersebut kpd nilai selang drp x atau x Lakarkan lengkung normal dan masukkan nilai.
Dapatkan kawasan yg dikehendaki.
Bab 7 - Taburan Normal

45. Pembetulan keselanjaran
Oleh kerana taburan binomial adalah berbentuk
diskrit dan taburan normal berbentuk selanjar,
apabila menggunakan penghampiran normal,
kita perlu tukar nombor diskrit kepada nombor
selanjar iaitu selang 0.5 di bawah nombor diskrit
dan 0.5 di atas nombor diskrit.
Bab 7 - Taburan Normal

46. Prosidur membuat pembetulan keselanjaran.
Apabila menggunakan taburan normal sebagai penghampiran kpd taburan binomial, hendaklah sentiasa buat pembetulan keselanjaran.
Kenalpasti nombor diskrit x. drp cth 11, nombor diskrit x adalah x = 520.
Lakarkan taburan normal dan tandakan x. tandakan disebelah kiri x sebagai x – 0.5 dan di sebelah kanan x sebagai x + 0.5
Kemudian kenalpasti apa yg dikehendaki oleh masalah; sekurang-kurangnya x atau lebih drp x atau kurang drp x atau tepat x. Kemudian lorek kawasan yg dikehendaki.
Bab 7 - Taburan Normal

47. Contoh 11
Pengetua disebuah kolej mendapati calon-calon yg ingin memasuki kolej telah dibahagi sama rata di antara lelaki dan perempuan. Beliau membuat kesimpulan pelajar yg berjaya adalah 50% lelaki dan 50% perempuan. Beliau menyemak data kemasukkan tahun lepas dan mendapati drp 1000 org pelajar, 520 org adalah pelajar lelaki. Dapatkan kebarangkalian memilih sekurang-kurangnya 520 org lelaki secara rawak. Berdasarkan kebarangkalian tersebut, adakah diskriminasi berlaku?
Bab 7 - Taburan Normal

48. Contoh 11 Maklumat: Bilangan ujikaji, n =1000
2 kategori (lelaki, perempuan) adalah kesudahan dgn kebarangkalin 0.5.
Kalau guna jadual, n sampai 30 shj
Dari itu guna penghampiran normal.
Semak np  5 dan nq  5. (ya)
Nilai diskrit x = 520. Tukarkan nilai diskrit tersebut kpd nilai selang  dan 520.5
Dapatkan kawasan yg dikehendaki.
Bab 7 - Taburan Normal

49. Contoh 11 Tukarkan nilai kepada skor z Dari itu kawasan = 0.1093=
519.5
520.5 z
Tukarkan nilai kepada skor z
Dari itu kawasan =
Bab 7 - Taburan Normal

50. Contoh : rujuk contoh 11 Pernyataan Kawasan 1. Sekurang-kurangnya 520
Ke kanan 519.5
2. Lebih drp 520
Ke kanan 520.5
3. Tidak lebih drp 520
Ke kiri 520.5
4. Kurang drp 520
Ke kiri 519.5
5. Tepat 520
Di antara dan 520.5
Bab 7 - Taburan Normal

51. 519.5
520.5
520.5 1 2 3
519.5 4 5
Bab 7 - Taburan Normal

52. Contoh 12
Menurut satu kajian yg lepas, kira-kira 4.4% kemalangan kereta adalah disebabkan tayar tidak sempurna. Jika satu kajian membuat pemilihan secara rawak terhadap 750 kes kemalangan, dapatkan kebarangkalian tepat 35 kemalangan disebabkan tayar tidak sempurna.
Bab 7 - Taburan Normal

53. Contoh 12
Taburan binomial, n = 750 p = q = x = 35
X~b(x;750, 0,044)
Semak np  5 dan nq  5. (ya)
X~N(33, 31.55)
Bab 7 - Taburan Normal

54. Contoh 12 =
34.5
35.5 z 3. 4.
Bab 7 - Taburan Normal

55. Fikir dan buat 4
Di dalam sebuah kotak yang akan dihantar ke sebuah kedai komputer terdapat 100 unit tetikus. Dengan penghampiran Normal, hitung kebarangkalian bahawa,
i.   tidak lebih daripada 5 unit tetikus mengalami kerosakan.
ii.  4 hingga 7 unit tetikus mengalami kerosakan.
iii. Di dapati 20% daripada tetikus yang dihantar lebih daripada k unit mengalami kerosakan. Cari nilai k.
Bab 7 - Taburan Normal

56. Fikir dan buat 5
A survey conducted by the Association of Executive Search Consultants
revealed that 75% of all chief executive officers believe that corporations
should have fast-track training programs installed to help develop
especially talented employees. At the same time, the study found that only
47% of the companies actually have such programs operating at their
companies. Average annual sales of the companies in the sample were
$2.3 billion (Fortune, “How to Tame the Fiercest Headhunter,” July 20,
1998). Suppose you randomly selected 50 of the questionnaires returned
by the collection of CEOs. Use the normal approximation to the binomial
distribution to find the probability that from within your collection:
i. More than 35 of the CEOs think that corporations should have a
fast-track program installed.
ii. Fewer that 25 of the companies have a fast-track program in
operation.
iii.Between 30 to 40 of the CEOs think that corporations should have
a fast-track program installed.
iv.Between 20 to 30 of the companies have a fast-track program in
Bab 7 - Taburan Normal

57. Fikir dan buat 6
Berdasarkan pengalaman lepas 5% daripada tempahan tiket
kapalterbang yang dibuat melalui telefon tidak dituntut. 20
tempahan tiket kapalterbang dipilih secara rawak. Hitungkan
kebarangkalian bahawa
5 orang penumpang tidak menuntut tiket yang ditempahnya.
Kurang daripada 4 orang penumpang tidak menuntut tiket yang ditempahnya.
Tidak kurang daripada 3 orang penumpang tidak menuntut tiket yang ditempahnya.
Sekiranya sebuah agensi pelancongan menerima 300 tempahan,
dengan menggunakan penghampiran normal, berapakah
Sekurang-kurangnya 5 orang penumpang tidak menuntut tiket yang ditempahnya.
3 hingga 8 orang penumpang tidak menuntut tiket yang ditempahnya.
Bab 7 - Taburan Normal