2. روش عناصر محدود غیرخطی II Nonlinear Finite Element Procedures II
کریم عابدی

3. فصل دوم: تحليل غیرخطی عناصر محدود
(بخش دوم)

4. ( شامل کرنش مسطح، تنش مسطح، متقارن محوری ، سه بعدی عمومی)
6- فرمول بندی عمومی تحلیل غیرخطی عناصر محدود پیوسته
( شامل کرنش مسطح، تنش مسطح، متقارن محوری ، سه بعدی عمومی)
در مبحث فرمول بندی عمومی تحلیل غیرخطی محیط پیوسته مراحل زیر ارائه گردید:
استخراج اصل کار مجازی بر مبنای معیار تنش دوم Piola-Kirchhoff و معیار کرنش Green-Lagrange در زمان گسسته خاص،
استخراج معادله خطی سازی شده حرکت جسم محیط پیوسته بر مبنای فرمول بندی های لاگرانژی کلی و به هنگام شده.
اکنون با داشتن معادله خطی سازی حرکت می توان ماتریس های سختی مورد نیاز در تحلیل غیرخطی را به آسانی استخراج نمود. مراحل اساسی در استخراج معادلات حاکم عناصر محدود همان مراحل مورد استفاده در تحلیل خطی می باشند:
انتخاب توابع درون یابی،
درون یابی مختصات و تغییرمکان های هر عضو با استفاده از توابع مذکور در معادلات حاکم مکانیک محیط پیوسته،
استفاده از اصل کار مجازی برای استخراج معادلات ماتریسی عناصر محدود.

5. ( شامل کرنش مسطح، تنش مسطح، متقارن محوری ، سه بعدی عمومی)
6- فرمول بندی عمومی تحلیل غیرخطی عناصر محدود پیوسته
( شامل کرنش مسطح، تنش مسطح، متقارن محوری ، سه بعدی عمومی)
اگر درون يابي هاي مختصات و تغيير مكان هاي عناصر را در نظر بگيريم، اين نكته بايد ملاحظه شود كه استفاده از درون يابي هاي يكسان براي مختصات و تغيير مكان ها در هر زمان و كل زمان ها در حين حركت عنصر حائز اهميت است. از آنجا كه مختصات عنصري جديد با افزودن تغيير مكان هاي عنصري به مختصات نخستين به دست مي آيند، از اين رو استفاده از درون يابي هاي مشابه براي تغيير مكان ها و مختصات، يك روش حل سازگاري را به نمايش مي گذارد و آن بدين معني است كه بحث هاي انجام شده در مورد شرايط همگرايي در تحليل خطي، مستقيما براي تحليل نموي قابل كاربرد مي باشند.

6. ( شامل کرنش مسطح، تنش مسطح، متقارن محوری ، سه بعدی عمومی)
6- فرمول بندی عمومی تحلیل غیرخطی عناصر محدود پیوسته
( شامل کرنش مسطح، تنش مسطح، متقارن محوری ، سه بعدی عمومی)
در روابط زیر فرض بر این است که بارهای خارجی مستقل از تغییرشکل ها می باشند و بنابراین بردار بار مربوط به کلیه پله های بار(یا زمان) را می توان پیش از تحلیل نموی محاسبه کرد.
تحلیل استاتیکی غیرخطی صرف مصالح:
تحلیل استاتیکی غیرخطی با استفاده از فرمول بندی TL:
تحلیل استاتیکی غیرخطی با استفاده از فرمول بندی UL:
که در آنها داریم:

7. ( شامل کرنش مسطح، تنش مسطح، متقارن محوری ، سه بعدی عمومی)
6- فرمول بندی عمومی تحلیل غیرخطی عناصر محدود پیوسته
( شامل کرنش مسطح، تنش مسطح، متقارن محوری ، سه بعدی عمومی)
البته لازم به ذکر است که در صورتی که معادلات مذکور توآم با روش تکراری نیوتن-رافسون نوشته شوند خواهیم داشت:
برای تحلیل غیرخطی صرف مصالح:
برای تحلیل استاتیکی غیرخطی با استفاده از فرمول بندی TL:
برای تحلیل استاتیکی غیرخطی با استفاده از فرمول بندی UL:
ماتریس های عناصر محدود ارائه شده در بالا همچون تحلیل خطی تعیین می شوند. جدول زیر، برای یک عنصر واحد، انتگرال های اساسی موردنظر و نحوه تعیین ماتریسی آنها را نشان می دهد:
در تعیین و محاسبه ماتریس های عناصر محدود از نمادگذاری های زیر استفاده شده است:

8. ( شامل کرنش مسطح، تنش مسطح، متقارن محوری ، سه بعدی عمومی)
6- فرمول بندی عمومی تحلیل غیرخطی عناصر محدود پیوسته
( شامل کرنش مسطح، تنش مسطح، متقارن محوری ، سه بعدی عمومی)
این ماتریس ها بستگی به عنصر خاص مورد نظر دارند.
ماتریس های درونیابی تغییرمکان، به آسانی مانند تحلیل خطی، با استفاده از توابع درون یابی تغییرمکان ایجاد می شوند.
در این قسمت نیز، درون یابی های تغییرمکان و ماتریس های کرنش-تغییرمکان بر حسب مختصات ایزوپارامتریک بیان می شوند.
طبیعتاً کلیه انتگرال گیری های اشاره شده در جدول قبل، مانند انتگرال گیری عددی در تحلیل خطی خواهد بود چون کلیه عناصر مورد نظر ما ایزوپارامتریک هستند.
در مبحث بعدی، تنها فرمول بندی های TLو UL را درنظر می گیریم، زیرا ماتریس های غیرخطی صرف مصالح را می توان مستقیماً از این فرمول بندی ها به دست آورد. طبیعتاً تعیین ماتریس های تنش و تنش-کرنش عناصر بستگی به مدل مورد استفاده برای مصالح دارد که بعداً در مبحث تحلیل غیرخطی مصالح مفصلاً مورد بحث قرار خواهد گرفت.

9. 1-6- ماتریس های مورد نیاز برای تحلیل غیرخطی عناصر محدود پیوسته دو بعدی( متقارن محوری، تنش مسطح و کرنش مسطح)
برای استخراج ماتریس ها و بردارهای مورد نیاز، یک عنصر دو بعدی نه گرهی شکل زیر را در بافتارهای مربوط به زمان 0 و t در نظر می گیریم:
با توجه به اینکه داریم:
مختصات کلی نقاط گرهی عنصر در زمان 0، و و در زمان t، و هستند(معلوم می باشند)
بنابراین برای درونیابی تغییرمکان ها در زمان t خواهیم داشت:
برای درونیابی مختصات در زمان 0 داریم:
برای درون یابی مختصات در زمان t داریم:
مشتقات مورد نیاز برای تعیین کرنش ها

10. 1-6- ماتریس های مورد نیاز برای تحلیل غیرخطی عناصر محدود پیوسته دو بعدی( متقارن محوری، تنش مسطح و کرنش مسطح)
برای درون یابی نمو تغییرمکان ها از زمان t تا t+Δt به همین روال قبلی خواهیم داشت:
مشتقات مورد نیاز برای تعیین کرنش ها

11. 1-6- ماتریس های مورد نیاز برای تحلیل غیرخطی عناصر محدود پیوسته دو بعدی (متقارن محوری، تنش مسطح و کرنش مسطح)
مشتقات مذکور، همچون حالت تحلیل خطی، با استفاده از یک تبدیل ژاکوبی محاسبه می شوند. به عنوان مثال تعیین مشتقات را درنظر می گیریم:
اینک، با تعریف کلیه مشتقات مورد نیاز، ایجاد ماتریس های تبدیل کرنش-تغییرمکان برای عناصر امکان پذیر است.
- در زیر برای دو حالت TL و UL ماتریس های مورد نیاز در فرمول بندی عناصر دوبعدی را استخراج می کنیم.
- در این مرحله صرفاً تحلیل غیرخطی هندسی(بدون اعمال غیرخطی مصالح) موردنظر است.
مشخص است که داریم:

12. 1-6- ماتریس های مورد نیاز برای تحلیل غیرخطی عناصر محدود پیوسته دو بعدی( متقارن محوری، تنش مسطح و کرنش مسطح)
ماتریس های مورد نیاز در فرمول بندی عناصر دو بعدی در جدول های زیر آمده است:

13. 1-6- ماتریس های مورد نیاز برای تحلیل غیرخطی عناصر محدود پیوسته دو بعدی( متقارن محوری، تنش مسطح و کرنش مسطح)

14. 1-6- ماتریس های مورد نیاز برای تحلیل غیرخطی عناصر محدود پیوسته دو بعدی( متقارن محوری، تنش مسطح و کرنش مسطح)
حل یک مثال مرتبط:

15. 2-6- ماتریس های مورد نیاز برای تحلیل غیرخطی عناصر محدود پیوسته عنصر جامد سه بعدي

16. 2-6- ماتریس های مورد نیاز برای تحلیل غیرخطی عناصر محدود پیوسته عنصر جامد سه بعدي

17. 7- فرمول بندی تحلیل غیرخطی عناصر محدود سازه ای
در مبحث پیشین، فرمول بندی عمومی تحلیل غیرخطی عناصر محدود پیوسته شامل عناصر دو بعدی متقارن محوری، کرنش مسطح و تنش مسطح و عناصر سه بعدی جامد مورد بحث و بررسی قرار گرفت.
در مبحث جاری فرمول بندی تحلیل غیرخطی، عناصر سازه ای شامل عناصر تیری، صفحه ای و پوسته ای مورد بحث و بررسی قرار می گیرد.
عناصر مذکور، طبیعتاً عناصری هستند که پیش از این با استفاده از المان های ایزوپارامتریک برای تحلیل خطی ارائه شده اند.
از بسط فرمول بندی های مذکور به تحلیل غیرخطی، براحتی فرمول بندی تحلیل غیرخطی این عناصر سازه ای به دست می آیند.

18. 1-7- عناصر تیری
شکل زیر یک عنصر نمونه را در بافتار اولیه خود و موقعیت آن را در زمان t نشان می دهد. ( تیر با مقطع مستطیلی)
- برای توصیف رفتار عنصر از همان فرض های مورد نظر در تحلیل خطی استفاده می کنیم (به عنوان مثال، مقاطع مسطح که در آغاز عمود بر محور خنثی هستند، مسطح باقی می مانند ولی ضرورتاً عمود باقی نمی مانند (فرض تیر Timoshenko)).
- تنها یک تنش طولی و دو تنش برشی غیر صفر می باشند.
- فرض بر این است که تغییرمکان ها و دوران های عنصر می توانند به طور دلخواه بزرگ باشند. ولی، هنوز فرض می شود که کرنش های عنصر کوچک هستند، بدین معنی که سطح مقطع عرضی عنصر تغییر نمی کند. این یک فرض مناسب برای اغلب تحلیل های غیرخطی هندسی سازه های تیری می باشد.

19. 1-7- عناصر تیری - بنابراین خواهیم داشت:
- با رجوع به مطالب ارائه شده برای فرمول بندی عناصر تیری سه بعدی عمومی در تحلیل خطی، هندسه عنصر تیری در زمان t به صورت زیر داده می شود:
= مؤلفه در جهت i بردار واحد در جهت t در نقطه گرهی k
= مؤلفه در جهت i بردار واحد در جهت s در نقطه گرهی k
از زمان 0 و t
از زمان t و t+Δt
- با درنظر گرفتن بافتارهای مربوط به زمان های 0 و t و t+Δt ، مؤلفه های تغییرمکانی عبارتند از:
- اکنون نیاز داریم که مؤلفه های و بردارهای و را بر حسب درجات آزادی دورانی بیان نمائیم.

20. 1-7- عناصر تیری
بر حسب اندازه گام بار نموی، دوران واقعی متناظر با بردارهای و ممکن است که دوران بزرگی باشد و از این رو نمی تواند با دوران های مؤلفه برداری حول محورهای دکارتی نشان داده شود.
با توجه به اینکه هدف ما بیان نموهای کرنش خطی و غیرخطی محیط پیوسته، با درجات آزادی عنصر محدود و درونیابی های مربوط بدان است، به گونه ای که یک خطی سازی کامل اصل کار مجازی شود، از اینرو، بردار درجات آزادی دوران گرهی را با مؤلفه های اندازه گیری شده حول محورهای دکارتی تعریف می کنیم و از تقریب سازی های مرتبه دوم استفاده می کنیم:
توجه شود که در تحلیل خطی داشتیم: و که در آن عبارت است از:
اکنون با داشتن روابط مذکور می توان عبارت مربوط به را برای تعیین تانسورهای کرنش-تغییرمکان نموی خطی و غیرخطی به کار برد (توجه شود که بر حسب r معلوم هستند، و معلوم می باشند، و بر حسب و می باشند که معلوم هستند).

21. 1-7- عناصر تیری
به عبارت دیگر در این مرحله در واقع ماتریس H را به دست آورده ایم:

22. 1-7- عناصر تیری
اینک ماتریس های کرنش-تغییرمکان خطی و غیرخطی عنصر تیری مربوط به فرمول بندی TL و UL را می توان با استفاده از روش به کار رفته در تحلیل خطی دنبال کرد.
به عبارت دیگر با داشتن ui ، مؤلفه های کرنش متناظر با محورهای کلی محاسبه می شوند و سپس برای به دست آوردن مؤلفه های کرنش در محورهای محلی تیر و و ، تبدیل روی آنها صورت می گیرد.
از آنجا که ماتریس سختی عنصر با استفاده از انتگرال گیری عددی تعیین می شود، از اینرو تبدیل از مؤلفه های کرنش کلی به محلی باید در حین انتگرال گیری عددی در هر نقطه انتگرال گیری انجام گیرد.

23. 1-7- عناصر تیری
در این قسمت عبارات مربوطه به فرم صریح و و برای فرمول بندی TL و نیز و برای فرمول بندی UL را نمایش می دهیم

24. 1-7- عناصر تیری

25. 1-7- عناصر تیری
در این قسمت، مثال هایی مرتبط با بحث را بررسی می نماییم

26. 2-7- عناصر خمش صفحه و پوسته عمومی
رفتار عنصر بر اساس همان فرض هایی استوار است که در تحلیل خطی به کار گرفته می شوند، به طور مثال خطوط مستقیم تعریف شده به وسیله بردارهای هادی گرهی به هنگام تغییرشکل های عنصر مستقیم باقی می مانند و هیچ تنش عمودی جانبی در جهات بردارهای هادی ایجاد نمی شود. ولی طبیعی است که در این مبحث که فرمول بندی غیرخطی عناصر پوسته ای ارائه خواهد شد، تغییرمکان ها و دوران های بزرگ اختیاری عنصر پوسته ای را قطعاً قبول خواهد کرد.
فرمول بندی های TL و UL عنصر پوسته ای بر اساس معادلات عمومی مکانیک محیط پیوسته استوار می باشند و از بسط مستقیم فرمول بندی مورد استفاده در تحلیل خطی به دست می آیند، ماتریس های عنصر ارتباط تنگاتنگی با محاسبات مورد استفاده برای عناصر تیری دارند.
با استفاده از همان نمادگذاری مورد استفاده در تحلیل، مختصات یک نقطه عمومی در عنصر پوسته ای که اینک تغییرمکان ها و دوران های بسیار بزرگی را متحمل شده است عبارتند از:
همانند تحلیل خطی، اساساً یک نظریه بسیار عمومی پوسته ها در فرمول بندی به کار برده می شود به گونه ای که عناصر پوسته ای در اصل برای تحلیل هر سازه صفحه ای و پوسته ای قابل کاربرد باشند. اگر صفحه ای را درنظر بگیریم که تغییرمکان های عمده ای که در آن صورت می گیرد، ملاحظه خواهیم نمود که به محض اینکه صفحه به طور قابل توجهی تغییرمکان یابد، سازه در واقع مانند یک پوسته عمل خواهد کرد، به عبارت دیگر، اینک سازه انحنا دار است و تنش های غشایی و خمشی بسیار بزرگ اند. بنابراین در این بحث تنها عناصر پوسته ای عمومی را درنظر می گیریم که به طور ضمنی دلالت بر این نکته دارد که اگر یک عنصر خاص در آغاز تخت باشد، در این صورت آن عنصر نمایشگر یک صفحه خواهد بود.
شکل زیر یک عنصر نه گرهی را در وضعیت اولیه خود و بافتار آن را در زمان t نشان می دهد.

27. 2-7- عناصر خمش صفحه و پوسته عمومی
در این صورت و به صورت زیر بدست می آیند:
همانند تحلیل خطی، مؤلفه های برداری را بر حسب دوران های حول دو بردار که متعامد بر می باشند بیان می کنیم.
*توجه شود که در تحلیل خطی داشتیم:
در تحلیل غیرخطی فرض کنید که و دوران بردار هادی حول
بردارهای و در بافتار زمان t باشند. در این صورت، به طور تقریبی برای زوایای کوچک و ولی با درنظر گرفتن اثرات دوران های از مراتب بالاتر داریم:
در این صورت خواهیم داشت:

28. 2-7- عناصر خمش صفحه و پوسته عمومی
- اکنون با داشتن روابط مربوط به می توان ماتریس های کرنش- تغییرمکان نموی خطی را برای هر دو فرمول بندی UL و TL به دست آورد( به عبارت دیگر در این مرحله ماتریس H را به دست آورده ایم.)
- طبیعی است که برای فرمول بندی های TL و UL باید کلیه مولفه های کرنش را را به دست آورد.
اینک ماتریس های کرنش-تغییرمکان خطی و غیرخطی عنصر پوسته ای مربوط به فرمول بندی TL و UL را می توان با استفاده از روش به کار رفته در تحلیل خطی دنبال کرد.

29. 2-7- عناصر خمش صفحه و پوسته عمومی
در این قسمت عبارات مربوطه به فرم صریح و و برای فرمول بندی TL و نیز و برای فرمول بندی UL را نمایش می دهیم.

30. 2-7- عناصر خمش صفحه و پوسته عمومی
لازم به ذکر است که همان گونه که در فصل قبلی ذگر گردید، این عناصر به علت پدیده قفل شوندگی برشی و غشائی، کارائی ندارند. بنابراین برای فرمول بندی عناصر محدود پوسته ای باید از فرمول بندی آمیخته (Mixed Formulation) استفاده کرد.
در فصل قبلی عناصر پوسته ای MITC را برای تحلیل خطی که به طور آمیخته درون یابی شده بودند، معرفی کردیم. ویژگی مهم عناصر مذکور این است که آنها را می توان مستقیماً به تحلیل غیرخطی بسط داد ( در حقیقت، عناصر مذکور در اصل برای تحلیل غیرخطی فرمول بندی شده اند و عناصر مربوط به تحلیل خطی به آسانی از حذف کلیه عبارات غیرخطی به دست می آیند).
نقطه آغاز فرمول بندی، نوشتن اصل کار مجازی بر حسب مؤلفه های هموردای کرنش و مؤلفه های پادوردای تنش می باشد.

31. 2-7- عناصر خمش صفحه و پوسته عمومی
در فرمول بندی لاگرانژی کلی از رابطه زیر استفاده می کنیم:
در فرمول بندی لاگرانژی به هنگام شده از رابطه زیر استفاده می کنیم:
= مؤلفه های هموردای کرنش
= مؤلفه های پادوردای تنش
توجه شود که فرم های نموی و به همان صورتی است که برای حالت معمولی تنش ذکر شده است.