1. Mobile Robot Kinematics
سینماتیک روباتهای متحرک
دکتر سعید شیری قیداری
& فصل 3 کتاب
Amirkabir University of Technology Computer Engineering & Information Technology Department

2. سینماتیک روباتهای متحرک
هدف: توصیف عملکرد مکانیکی روبات به منظور طراحی و کنترل
سینماتیک رواتهای متحرک شبیه به روباتهای صنعتی است با این تفاوت که روبات متحرک میتواند آزادانه در محیط حرکت نماید.
علاوه بر آن روش مستقیمی برا ی اندازه گیری موقعیت روبات وجود ندارد و موفعیت را باید در طول زمان با انتگرال گیری از حرکت های انجام شده بدست آورد.
اینکار منجر به ایجاد خطا در اندازه گیری خواهد شد.
مقابله با این مسئله یکی ازمباحث جدی در روبات های متحرک میباشد.
برای فهم حرکت روبات باید از محدودیتهائی که چرخها بر سر راه حرکت ایجاد میکنند شروع نمود.

3. نشان دادن موقعیت روبات
فرض میشود که روبات یک جسم صلب باشد که روی چرخها قرار گرفته و بر روی یک صفحه حرکت میکند.
موقعیت روبات را میتوان با دو متغیر x,y در صفحه و یک متغیر q برای نشان دادن جهت آن مشخص نمود

4. نشان دادن موقعیت روبات برای اینکار از دو فریم مختصات استفاده میشود:
یکی فریم مختصات مرجع و
دیگری فریم محلی که بر روی روبات قرار دارد
فریم مرجع بصورت زیر نشان دادن میشود
فریم روبات بصورت زیر نشان داده میشود

5. نشان دادن موقعیت روبات
اگر اختلاف زاویه بین فریم روبات و فریم مرجع برابر با q بوده و مبدا فریم روبات (P) درنقطه x,y نسبت به فریم مرجع قرار داشته باشد در اینصورت مختصات فریم روبات نسبت به فریم مرجع بصورت زیر نشان داده میشود.

6. نشان دادن موقعیت روبات
برای توصیف حرکت روبات لازم است تا حرکت در راستای فریم مرجع به حرکت در فریم روبات نگاشت شود. برای اینکار از ماتریس دوران زیر استفاده میشود.
برای مثال برای حالت شکل قبل داریم

7. مدل سینماتیک مستقیم
هدف: اگر سرعت چرخهای روبات و ابعاد هندسی آنرا را داشته باشیم حرکت روبات چگونه خواهد بود؟

8. مدل سینماتیک مستقیم
روبات شکل زیر دارای دو چرخ هر یک با شعاع r بوده و باندازه l از نقطه P که در وسط بین دو چرخ قرار دارد فاصله دارد. سرعت چرخها برابر با f1, f2 میباشد. در اینصورت مدل سینماتیک مستقیم روبات بصورت زیر خواهد بود:
بود:

9. مدل سینماتیک مستقیم
میتوان موقعیت روبات در فریم مرجع را با استفاده از موقعیت روبات در فریم محلی و بکار بردن رابطه زیر محاسبه نمود.
برای اینکارلازم است تا تاثیر هر یک از چرخها را در فریم اصلی محاسبه نمود.

10. محاسبه سینماتیک مستقیم
برای محاسبه حرکت روبات در فریم مرجع میتوان تاثیر هر یک از چرخها در فریم روبات را محاسبه کرده و نتیجه را به فریم مرجع منتقل مینمائیم.
اگر فرض کنیم که روبات در جهت محور X در حرکت باشد سرعت حرکت نقطه P بازا چرخش هر یک از چرخها بصورت زیر خواهد بود:
در یک روبات با درایو دیفرانسیلی میتوان ایندو مولفه را با هم جمع نمود

11. محاسبه سینماتیک مستقیم
مولفه y این حرکت صفر خواهد بود.
برای محاسبه مولفه q’ در نظر داشته باشید اگر فقط چرخ راست دوران کند روبات حول چرخ چپ به چرخش در خواهد آمد.سرعت زاویه ای نقطه P برابر خواهد بود با:
به همین ترتیب برای چرخ چپ داریم
با ترکیب این روابط مدل سینماتیکی روبات بصورت زیر خواهد بود

12. محاسبه سینماتیک مستقیم
در این رابطه مقدار ماتریس دوران از رابطه زیر بدست میاید.

13. مثال
اگر روبات در موقعیت زیر چرخها را با سرعتهای متفاوتی به حرکت در آورد خواهیم داشت:

14. اعمال محدودیت ها
روابط فوق اطلاعاتی در مورد نحوه حرکت روبات در صورت داشتن سرعت جرخها را بدست میدهند. اما در حالت کلی علاقمند هستیم که فضای حرکت های ممکن برای یک روبات با طراحی مشخص را بدانیم.
در ابنصورت برای توصیف حرکت روبات مجبور خواهیم بود تا محدودیت هائی را که هر چرخ بر حرکت اعمال میکند را نیز در نظر بگیریم.

15. محدودیت های سینماتیکی چرخها
فرضهائی که بکار خواهیم برد:
صفحه چرخها همیشه عمودی باقی خواهد ماند.
در هر حالتی فقط یک نقطه برخورد بین چرخ و زمین وجود دارد.
چرخها در نقطه کنتاکت سر نمیخورند. یعنی فقط حرکت چرخشی دارند.

16. چرخ استاندارد ثابت
زاویه این چرخ نسبت به بدنه روبات ثابت بوده و فقط حرکت رو به جلو و یاعقب در صفحه چرخ انجام میشود. چرخش در نقطه برخورد چرخ با زمین صورت میپذیرد.

17. چرخ استاندارد ثابت
بنا به محدودیت غلتش میبایست در محل برخورد فقط چرخش خالص داشته باشیم:
مولفه های x, y, q
حرکت حاصل از چرخش
مجموع حرکت در صفحه چرخ
تبدیل از موقعیت مرجع به موقعیت روبات

18. چرخ استاندارد ثابت
بنا به محدودیت سر خردن میبایست مولفه عمودی موقعیت چرخها نسبت به صفحه چرخ صفر باشد:
مولفه های x, y, q
مجموع حرکت در صفحه چرخ
تبدیل از موقعیت مرجع به موقعیت روبات

19. مثال
در این مثال سرعت در راستای XI صفر خواهد بود یعنی همانطور که انتظار میرود چرخ سر نخواهد خورد

20. چرخ استاندارد هدایت شونده

21. چرخ کاستور
این چرخ میتواند حول یک محور عمودی چرخش نماید. این محور از نقطه برخورد با زمین عبور نمیکند.
این محدودیت مثل قبل است
در اینجا یک پارامتر اصافی خواهیم داشت
دو پارامتر متغیر با زمان داریم:
f(t) , b(t)

22. چرخ کاستور محدودیت های سر خوردن:
محدودیت های سر خوردن:
در نقطه A نیروهای جانبی به چرخ وارد میشوند. از اینرو با توجه به فاصله بین این نقطه و نقطه برخورد محدودیت نداشتن حرکت جانبی اشتباه خواهد بود.
در اینصورت هر نوع حرکت عمود در راستای صفحه چرخ با گردش کاستور جبران خواهد شد.
بازای هر موقعیت روبات مقداری برای سرعت وجود خواهند داشت که محدودیت های فوق بر آورده شوند. لذا وجود چرخ کاستور محدودیتی برای حرکت روبات نخواهد بود.

23. چرخ سوئدی
این چرخ قادر به حرکت بصورت تمام جهت میباشد که در اثر افزودن یک درجه آزادی به چرخ استاندارد ایجاد شده است.
این درجه آزادی ناشی از غلتک ها یا چرخهای کوچکی است که در محیط چرخ اصلی و بصورت عمود بر آن و یا زاویه دار نصب شده اند.
با تر کیب مناسب زاویه بین محور اصلی و زاویه غلتک ها میتوان چرخ را در هر جهتی به حرکت در آورد.

24. چرخ سوئدی

25. چرخ کروی

26. محدودیتهای سینماتیکی روبات متحرک
با داشتن محدودیتهای سینماتیکی چرخها میتوان محدودیتهای سینماتیکی روبات را بدست اورد:
هر چرخ یک محدودیت سینماتیکی را به روبات اعمال میکند.
چرخ کاستور، چرخ سوئدی و چرخهای کروی محدودیت سینماتیکی خاصی بر روی روبات اعمال نمیکنند.
لذا کافی است تا این محدودیت برای چرخهای استاندارد محاسبه شود.

27. قدرت مانور
قدرت مانور روبات با در نظر گرفتن محدودیت سینماتیکی چرخها چگونه محاسبه میشود:
اگر تعدا کل چرخهای ثابت و متحرک را بصورت زیر در نظر بگیریم: N=Nf+Ns
محدودیت چرخش:
محدودیت حرکت جانبی

28. Mobile Robot Maneuverability: Instantaneous Center of Rotation

29. Mobile Robot Maneuverability: More on Degree of Mobility

30. Mobile Robot Maneuverability: Degree of Steerability

31. Mobile Robot Maneuverability: Robot Maneuverability

32. Mobile Robot Maneuverability: Wheel Configurations

33. Five Basic Types of Three-Wheel Configurations

34. Mobile Robot Workspace: Degrees of Freedom

35. Mobile Robot Workspace: Degrees of Freedom, Holonomy

36. Path / Trajectory Considerations: Omnidirectional Drive

37. Path / Trajectory Considerations: Two-Steer

38. Motion Control: Open Loop Control

39. Motion Control: Feedback Control, Problem Statement

40. Kinematic Position Control

41. Kinematic Position Control: Coordinates Transformation

42. Kinematic Position Control: Remarks

43. Kinematic Position Control: The Control Law

44. Kinematic Position Control: Resulting Path