1. Bab 7 Tenaga Keupayaan
Dalam extreme sport “bungee jumping”, pemainnya yang diikatkan dengan tali kekenyalan keselamatan terjun dari ketinggian berpuluh-puluh kaki. Sepanjang proses “jumping” itu saling transformasi di antara tenaga-tenaga keupayaan graviti, kekenyalan dan kinetik berlaku.

2. Major Concepts Tenaga Keupayaan suatu sistem
Keabadian tenaga mekanikal dalam sistem terpencil
Daya terabadi dan tak terabadi
Perubahan dalam tanaga mekanikal untuk daya tak terabadi
Hubungan antara daya terabadi dan tenaga keupayaan
Gambarajah tenaga dan keseimbangan sistem

3. Tenaga keupayaan (P.E)
P.E. ialah tenaga yang berkait dengan konfigurasi sistem di mana komponen-komponen dalam sistem itu berinteraksi melalui daya
Perubahan dalam konfigurasi biasanya bermakna perubahan dalam P.E. (tapi bukan semestinya)
Tiga jenis keupayaan yang asas dalam alam kita:
P.E. graviti
P.E. elektrik/electromagnetik
P.E. Nuklear
Lain-lain jenis keupayaan semuanya boleh tergolong ke dalam salah satu jenis potensi di atas, misalnya:
P.E. kimia (elektromagnetik secara tabii, jadi ia tergolong sebagai PE electromagnetik)
Tenaga keupayaan elastik yang tersimpan dalam spring juga elektromagnetik secara tabii

4. Apa dia “konfigurasi” komponen-komponen dalam suatu sistem?
Contoh: sistem buku-bumi
Membandingkan keadaan sebelum dan selepas buku jatuh dari yb ke ya, sistem ini telah mengalami perubahan dalam konfigurasi.
Jadi terdapat perubahan dalam P.E. sistem ini selepas buku jatuh melalui satu jarak mencancang.
sistem
Bumi

5. Contoh perubahan configurasi
DU = U1 - U2  0
kerana konfigurasi sistem telah berubah, iaitu kedudukan relatif komponen-komponen tak sama
P.E. = U1
P.E. = U2

6. Contoh perubahan configurasi

7. Nota tambahan
Dalam semua contoh terbincang wujud daya graviti yang menginteraksikan bumi dengan objek-objek dalam pertimbangan
Jadi perubahan konfigurasi menyebabkan perubahan dalam P.E. graviti

8. PE yang spesifik kepada daya yang spesifik
Sesuatu P.E. yang tertentu hanya boleh dikaitkan dengan jenis daya yang tertentu sahaja
Misalnya PE graviti terhasil daripada daya graviti,
PE kimia dalam molekul berkait dengan daya electromagnetik yang “mengikatkan” atom-atom dalam suatu molekul

9. Contoh sistem yang tiada P.E.
Jika komponen-komponen tiada berinteraksi melalui daya X maka perubahan konfigurasi tidak menghasilkan apa-apa perubahan dalam P.E. yang berkait dengan daya X tu.
Contoh termasuklah:
Sistem dua biji ping pong yang tiada berinteraksi melalui daya elektrik tiada P.E. elektrik
Tapi sistem ini masih ada PE graviti kerana daya graviti sentiasa menginteraksikan mereka
Perubahan konfigurasi menyebabkan perubhan dalam PE graviti tapi bukan P.E. elektrik

10. Mengapa Ug = mgh?
Semua orang tahu formula bagi “tenaga keupayaan graviti jasad m” ialah
Ug = mgh
Tapi adakah anda tahu mengapa?
Kita cuba menerbitkan ungkapan tersebut dengan keabadian tenaga

11. Terbitan PE graviti bagi jasad di atas permukaan bumi
Pertimbangkan buku-bumi sbg sistem tak terpencil
Ditindakkan oleh daya luar Fapp yang sama magnitud dengan berat buku
Gerakan ialah malar-kelajuan ke arah atas
tiada perubahan KE sepanjang lintasan mencancang dari ya ke yb
akhir
Fapp
awal
Sistem buku-bumi
Nota: daya graviti di sini ialah daya dalam sistem, bukan daya luar

12. Terbitan PE graviti bagi jasad di atas permukaan bumi
Mengikut teorem keabadian tenaga,
Wluar = (DE)k
Sebelah kiri (kerja luar):
Sebelah kanan (perubahan tenaga):
Jadi
Maka kita takrifkan tenaga keupayaan
graviti jasad m pada suatu
kedudukan y sebagai
akhir
Fapp
awal
Sistem buku-bumi

13. Terbitan PE graviti bagi jasad di atas permukaan bumi
Sebagai rumusan:
Kerja luar yang dilakukan oleh daya luar telah ditukar kepada tenaga keupayaan yang telah distorkan dalam sistem buku-bumi
Units PE graviti ialah joules (J)

14. Kata-kata berhati-hati
Dalam formula: Ug = mgy:
Ia seharusnya difahami sebagai “tenaga keupayaan graviti jisim m pada suatu jarak mencancang y daripada titik rujukan yang mana kordinat mencancangnya diset kepada y = 0
Ug= mgy
U’g= mgy’
y= 10m
y’= 5m y y’
y’= 0
Permukaan Bumi
y= 0

15. Nilai mutlak Ug bersandar rangka, tapi perbezaanya tak
Nilai mutlak P.E. graviti suatu jasad di atas permukaan bumi bergantung kepada titik rujukan/paras rujukan mengufuk yang dipilih
Jadi semasa buat solaan u kena cerdik dalam memilih paras rujukan. Pilihlah rujukan yang dapat menyenangkan analisis soalan
Tapi, Beza kepupayaan graviti tidak bergantung kepada titik rujuk yang dipilih
Ug= mgy
U’g= mgy’
y= 10m
y’= 5m y y’
y’= 0
Permukaan Bumi
y= 0

16. Peringatan kepada defininasi Ug = mgy
Secara rigourous, Ug = mgy merujuk kepada PE graviti bagi sistem buku-bumi, tapi bukan semata-mata PE graviti bagi buku ini sahaja
Tapi dalam praktisnya perkara ini tidak banyak membawa perbezaan (samada dalam pengiraan atau experimen) kerana dalam kebanyakan kes hanya buku sahaja yang bertukar kedudukan; bumi sentiasa rehat.

17. Real life example
Titik rujukan untuk Ug = 0 untuk PE graviti sistem ini boleh dipilih pada mana-mana tempat sahaja, samada pada platform atau pada paras air.
Tak kisah apa pilihan yang dibuat, perubahan PE graviti tetap sama di atara platform dan paras air.
Dalam kes ini, nilai mutlak PE graviti tidak kisah sangat. Yang kisah ialah perubahan PE.

18. Quick Quiz 8.3
An object falls off a table to the floor. We wish to analyze the situation in terms of kinetic and potential energy. In discussing the potential energy of the system, we identify the system as
(a) both the object and the Earth
(a) only the object
(b) only the Earth

19. Quick Quiz 8.3
Answer: (a). We must include the Earth if we are going to work with gravitational potential energy.
NOTA:
jika bumi tidak dimasukkan ke dalam sistem, tenaga keupayaan tidak tertakrif dengan buku itu semata-mata.
P.E. mesti ditakrifkan dengan merujuk kepada satu konfigurasi relatif yang piawai (misalnya buku pada kedudukan di permukaan bumi bersepadanan dengan U = 0).
Bagi satu sistem dengan objek tunggal, konfigurasi relatif tidak tertakrif kerana tidak wujud objek kedua sebagai rejukan)

20. Terbitan Keabadian T. Mekanikal melalui contoh buku-bumi
Sekarang kita pilih buku itu sebagai sistem tak terpencil pula:
Daya luar sekarang ialah daya graviti, Fg = mg
(nota: Fapp tak masuk dalam kes ini)
Applikasikan Keabadian tenaga:
awal
akhir

21. awal
akhir

22. Interpretasi DK + DUg = 0
Dalam ketidakhadiran daya luar (iaitu bila sistem buku-bumi itu merupakan sistem terpencil), jumlah perubahan KE dan PE adalah sifar

23. Keabadian tenaga mekanikal
Kita takrifkan tenaga mekanikal sistem sebagai jumlah algebra PE + KE:
Emech = K + Ug
Jadi DK + DUg = 0 juga dinyatakan dalam bentuk DEmech = DK + DUg = 0
Ini bermakna sebelum dan selepas sesuatu proses fizikal, jumlah tenaga mekanikal dalam sistem terpencil adalah malar dan tak berubah
Ini adalah keabadian tenaga mekanikal untuk sistem terpencil
Emech = Kf + Uf = Ki+ Ui

24. Keabadian tenaga mekanikal
Misalnya, mengikut takrifan
Emech = Kf + Uf = Ki+ Ui
Jumlah tenaga mekanikal dalam sistem buku-bumi dalam kedua-dua keadaan a,b ialah
Ka + Ua = Kb+ Ub
½mva+mgya=½mva+½mgyb

25. Quick Quiz 8.4
In an isolated system, which of the following is a correct statement of the quantity that is conserved?
(a) kinetic energy
(b) potential energy
(c) kinetic energy plus potential energy
(d) both kinetic energy and potential energy

26. Quick Quiz 8.4
Answer: (c). The total mechanical energy, kinetic plus potential, is conserved.

27. Quick Quiz 8.6 (a) v1 > v2 > v3 (b) v2 > v1 > v3
Three identical balls are thrown from the top of a building, all with the same initial speed. The first is thrown horizontally, the second at some angle above the horizontal, and the third at some angle below the horizontal, as shown in the figure below. Neglecting air resistance, rank the speeds of the balls at the instant each hits the ground.
(a) v1 > v2 > v3
(b) v2 > v1 > v3
(c) v3 > v2 > v1
(d) v2 > v3 > v1
(e) v1 = v2 = v3

28. Quick Quiz Active figure 8.3
Answer: v1 = v2 = v3. The first and third balls speed up after they are thrown, while the second ball initially slows down but then speeds up after reaching its peak. The paths of all three balls are parabolas, and the balls take different times to reach the ground because they have different initial velocities. However, all three balls have the same speed at the moment they hit the ground because all start with the same kinetic energy and the ball-Earth system undergoes the same change in gravitational potential energy in all three cases.
Active figure 8.3

29. PE kekenyalan
PE yang ter”stor” dalam sistem ini adalah dalam bentuk PE kekenyalan hasil daripada daya spring
Fs = - kDx
Biar apply Keabadian T.M ke atas sistem blok-spring untuk terbitkan PE kekenyalan spring
Kenakan daya luar Fapp untuk memampatkan spring dengan syarat Fapp = -Fs

30. PE kekenyalan, samb
Kerja yang dilakukan oleh daya luar pada sistem blok-spring (dalam menukarkan konfigurasinya dari keadaan releks kepada keadaan regang) adalah tersimpan dalam bentuk P.E. kekenyalan spring
Tenaga keupayaan yang tersimpan dalam spring = U
= Uf (keadaan termampat/teregang) - Ui (keadaan refleks)
= Uf
Atau, Uf = ½k(x)2

31. PE kekenyalan, samb Maka kita takrifkan
Us = ½ k(Dx)2 sebagai PE kekenyalan sistem spring-blok
PE boleh difikirkan sbg tenaga yang terstor dalam spring yang terampat/teregang

32. PE kekenyalan, akhir
PE kekenyalan terstor dalam spring ialah sifar bila spring releks/tak distorted
PE hanya tersimpan dalam spring yang termampat/teregang
PE kekenyalan mencapai nilai makismum bila spring teregang/termampat kepada jarak regangan/mampatan yang maksimum
PE kekenyalan spring sentiasa +ve kerana
x2 > 0 untuk semua nilai |x| < Amplitud

33. UK mengikut Keabadian T.Mekanikal
Maka kita takrifkan
Us = ½ k(Dx)2 sebagai PE kekenyalan sistem spring-blok
PE boleh difikirkan sbg tenaga yang terstor dalam spring yang terampat/teregang
PE yang terstor ini boleh dikonvertkan kepada KE blok mengikut teorem keabadian Tenaga Mekanikal:
Esebelum = Eselepas
Us = Kf
½ k(Dx)2 = Kf = ½mvf2
Active figure 8.4

34. Contoh keabadian tenaga: bola jatuh
Syarat awal
Ei = Ki + Ui = mgh
Ki = 0 kerana bola jatuh dari rehat
Syarat sempadan:
Pilih konfigurasi utk PE sifar jika bola adalah pada permukaan bumi
Dalam keadaan peralihan (di antara titik bola terlepas dengan permukaan bumi),
Ef = Kf +Uf = ½ mvf2 + mgy
Ei = Ef :
mgh = ½ mvf2 + mgy

35. Keabadian Tenaga konsisten dengan kinematik 1-D
Dari mgh = ½ mvf2 + mgy
Kita recover hubungan yang kita familiar semasa belajar kinematik 1-D dengan pecutan graviti
vf2 = vi2 - 2g(h – y)

36. Contoh: Keabadian tenaga dalam bandul
Semasa bandul berayun pertukaran tenaga di antara PE graviti dan KE berlaku secara berselanjaran
Mula-mula kena pilih rujukan supaya U sistem ialah sifar
Biar pilih titik U = 0 di B
Pada A, E = U saja
Pada B, E = K saja
Semua U pada A telah ditukar kepada K pada B
Di C, semua K di B ditukar balik ke U
Active figure 8.16b

37. Contoh 8.3 Abaikan geseran
Biar bandul dilepaskan pada A dengan sudat qA
At A, the energy is potential
Soalan (A):
Cari kelajuan bola pada kedudukan terendah, iaitu titk B

38. Penyelesaian Pilih rujukan U = 0 di B
Pada A, EA = UA + KA = mgL(1-cosqA) + 0
Pada B, EB = UB + KB = ½mvB2 + 0
EB = EA
 mgL(1-cosqA) = ½mvB2
vB2 = 2gL(1-cosqA)

39. Soalan (b) Apakah ketegangan di dalam tali pada konfigurasi di B?
Penyelesaian:
Pada B, bola adalah dalam GMS seketika dengan kelajuan gandadua vB2 = 2gL(1-cosqA)
Jadi, applikasikan HN2:
Fr = T – mg = (m vB2 / L)
 T = m vB2 / L + mg
= 2mg (1-cosqA) + mg
= mg (3 - 2cosqA)

40. Soalan (c) Lcosq q L(cosqA - cosq) q mg
Buktikan bahawa pada q = 0, ketegangan T adalah maksimum
Penyelesaian:
Kena terbitkan T sebagai fungsi sebarang sudut q dan buktikan bahawa pada nilai q = 0, T ialah maksimum
Fr = T – mgcosq = (mv2 / L) (Eq.1)
Keabadian tenaga mekenikal:
EB = EA
mgL(cosqA - cosqA) = ½mv2
vB2 = 2gL(cosqA - cosqA) (Eq.2)
Gabungkan (Eq.1) dan (Eq.2)
T = mg (3cosq - 2cosqA) q
Lcosq
L(cosqA - cosq) q mg

41. Soalan (c) Lcosq q L(cosqA - cosq) q mg Nilai extremum T berlaku jika
dT / dq = 0
 2mg sinq = 0
 qext = 0
Text = T pada qext
Next, kena tentukan samada extremum Text min atau mak:
d2T / dq2 = - 2mgcos q
 d2T/dq2 |ext = - 2mgcos 0 < 0
 Text = nilai maksimum
= mg (3cos 0 - 2cosqA)
= mg (3- 2cosqA)
Soalan (c) q
Lcosq
L(cosqA - cosq) q mg

42. Kata-kata berhati-hati
Dalam contoh tadi, perhatikan T tidak melakukan kerja kerana ia berserenjang dengan arah gerakan bandul

43. Contoh keabadian tenaga mekanikal dalam sistem spring-blok
Semasa blok berayun pertukaran tenaga di antara PE spring dan KE berlaku secara berselanjaran
Pada keduduakn anjakan maksimum, A, E = U saja
Pada kedudukan EB, E = K saja
Semua U pada A ditukar kepada K pada EB 2A
x = A
x = -A EB
Active figure 8.16

44. Keabadian tenaga mekanikal sistem ini adalah amat similar dengan kes bandul-bumi dan spring-blok

45. Contoh keabadian tenagan: senapang spring
Pemalar spring tidak diketahui
Bila spring dimampat m, senapang yang ditembak secara menegak menghantar projektilnya yang berjisim 35 g ke ketinggian maksimum 20.0 m di atas kedudukan projektil sebelum ditembakkan.
(a) Tentukan pemalar spring (abaikan geseran) H

46. Penyelesaian Mula-mula pilih rujukan: Pada A PE graviti sifar EA = EB
 KA + UgA + UsA = KA + UgA + UsA
LHS: KA + UgA + UsA = UsA = ½ kx2 saja
RHS: KB + UgB + UsB = UgB = mgH saja
LHS = RHS
 k = 2mgH/x2 = …= 953 N/m H

47. Soalan (b)
Tentukan kelajuan projektil sebaik sahaja ia melalui kedudukan EB spring (iaitu pada B)
Penyelesaian
EA = EB
 KA + UgA + UsA = KA + UgA + UsA
LHS: KA + UgA + UsA = UsA = ½kx2 saja
RHS: KB + UgB + UsB = UgB + KB = mgx + ½mvB2 saja
LHS = RHS
½kx2 = mgh + ½mvB2
vB = (kx2/m - 2mgh) ½ = …= 18.7 m/s

48. Contoh: Emech = K + Us berubah dalam kehadiran daya luar: sistem spring-glider
Glider berjisim m = 0.2 kg pada trak udara (hampir tanpa geseran) dihubungkan dengan spring k = 5.00 N/m.
Jika glider dikenakan daya luar malar (tangan kamu) pada arah +x bermagnitud N, apakah kelajuan glider semasa ia melalui keduduakn pada x = 0.08 m?
Fapp = 0.601N

49. Penyelesaian
Sistem spring-glider dalam keadaan tersebut bukan lagi sistem terpencil
Daya luar yang melakukan kerja pada sistem ini akan mengubah PE dan KE sistem mengikut
DEmech = DK + DU = Fapp d
Emech sistem tidak terabadi lagi kerana daya luar melakuan kerja ke atas sistem
Fapp d
Fapp = 0.601N

50. Penyelesaian Secara formal: DE = Wluar di mana
LHS = DE = DK + DU saja (tiada DEint)
RHS Wluar = Fappd
Dalam kes ini Fapp melakukan kerja +ve ke atas sistem kerana ia bergerak dalam arah yang sama dengan glider
Fapp = 0.601N

51. Penyelesaian Jadi, di kedudukan 2, Pada 1, E1 = K1 + U1 = 0 + 0 = 0
= ½mv22 + ½k(Dx)2
DE = E2 - E1 = DK + DU
= ½mv22 - ½k(Dx)2
Wluar = Fappd
Jadi, samakan Wluar = DE
Dapat ½mv22 + ½k(Dx)2 =Fappd
v22 = 2Fappd/m - k(Dx)2/m
v2 = …0.67 m/s
Fapp = 0.601N

52. Dua jenis daya (kerana sifat matematik yang distinct)
daya terabadi (conservative force)
Daya tak terabadi (non-conservative force)
Contoh: daya graviti, daya elektrostatik, daya spring = daya terabadi;
Daya geseran = daya tak terabadi

53. Daya terabadi
Kerja yang dilakukan oleh daya terabadi ke atas suatu zarah yang bergerak antara dua titik adalah merdeka daripada lintasan yang dilalui oleh zarah tersebut
Lantaran itu, dapat dididuksikan secara logik bahawa kerja yang dilakukan oleh daya terabadi ke atas suatu zarah yang mengikuti lintasan tertutup ialah sifar
Lintasan tertutup ialah lintasan yang mana dimulakan dan diakhiri pada titik yang sama (tanpa terpintas)

54. Secara bergambar Biar mula dari A dan akhir di B
Lintasan 1, 2, adalah tak sama
Tapi kerja yang dilakukan oleh zarah yang ditindak oleh daya terabadi di dari A ke B adalah sama walaupun mengikuti 2 lintasan yang berlainan:
WAB,1 = WAB,2
Kesamaan kerja ini hanya benar untuk daya terabadi tapi bukan sebarang daya 1 1 2 2 3 3

55. Secara bergambar Katakan WAB,1 = W1, WAB,2 = W2 WAB,1 = W1,
WBA,2 = - WAB,2 = - W2
Pertimbangkan lintasan tertutup ikut jam, A1B2A (lawan jam pun, kesimpulan juga sama)
Jumlah kerja sepanjang lintasan tertutup A1B2A =
Wclosed = WAB,1 + WBA,2
= W1 - W2 = 0
WAB,1 = W1, 1 2 3
WBA,2 = -WAB,2 = W2

56. Daya terabadi dan PE Ugi DU= Ugf –Ugi = -mgDy Dy Wg=FgDy = mgDy Ugf
Secara am, kita sentiasa dapat mengkaitkan tenaga keupayaan suatu sistem dengan daya terabadi yang bertindak di antara komponen-komponen sistem tersebut: WC = - DU
contoh: sistem bola-bumi
PE graviti dalam sistem berkaitan dengan daya graviti antara bumi dengan bola
kerja dilakukan oleh daya graviti ke atas blok yang jatuh sama dengan negatif perubahan keupayaan sistem buku-bumi
WC ialah kerja yang dilakukan oleh daya terabadi dalam sistem,  Wg
Perkaitan tersebut tidak benar bagi daya tak terabadi
Ugi Dy
DU= Ugf –Ugi
= -mgDy
Wg=FgDy
= mgDy
Ugf
Sistem bola-bumi

57. Contoh real life: abaikan geseran, kerja yang dilakukan oleh daya graviti sepanjang lintasan ABCD ialah sifar
Paras yang sama

58. Tak kira lintasan yang mana, jumlah kerja dilakukan oleh daya graviti ke atas jogger dari 12 adalah sama
DWg

59. Daya tak terabadi Daya tak terabadi tak mematuhi syarat daya terabadi
Biasanya tidak boleh dikaitkan dengan sesuatu keupayaan (misalan, kita tiada mengaitkan “keupayaan geseran” dengan daya geseran)
Daya tak terabadi yang bertindak ke atas satu sistem sebagai daya luar menyebabkan perubahan dalam tenaga mekanikal sistem tersebut

60. Tenaga mekanikal dan daya geseran
Secara umum, jika geseran bertindak pada suatu sistem tak terpencil:
DEmech = DK + DU = -ƒkd
DU ialah perubahan dalam semua bentuk tenaga keupayaan dalam sistem
Ini adalah kes khas keabadian tenaga
DE = Wluar dengan
LHS DE = DK + DU saja (tiada DEint)
RHS  Wluar = kerja luar dilakukan oleh geseran = kerja negatif kepada sistem = -ƒkd
Dalam limit ƒkd 0, persamaan di atas terturun kepada persamaan keabadian tenaga mekanikal fk
E = K +U E+DU+DK
E = K +U d

61. Daya tak terabadi, samb Kenyataan di bawah adalah setara:
Kerja dilakukan oleh daya geseran adalah lebih besar untuk lintasan merah daripada lintasan biru
Kerja dilakukan oleh daya geseran bergantung kepada lintasan
Daya geseran ialah daya tak terabadi

62. Quick Quiz 8.9
A block of mass m is projected across a horizontal surface with an initial speed v. It slides until it stops due to the friction force between the block and the surface. The same block is now projected across the horizontal surface with an initial speed 2v. When the block has come to rest, how does the distance from the projection point compare to that in the first case?
(a) It is the same.
(b) It is twice as large.
(c) It is four times as large.
(d) The relationship cannot be determined.

63. Quick Quiz 8.9
Answer: (c). The friction force must transform four times as much mechanical energy into internal energy if the speed is doubled, because kinetic energy depends on the square of the speed. Thus, the force must act over four times the distance.

64. Quick Quiz 8.10
A block of mass m is projected across a horizontal surface with an initial speed v. It slides until it stops due to the friction force between the block and the surface. The surface is now tilted at 30°, and the block is projected up the surface with the same initial speed v. Assume that the friction force remains the same as when the block was sliding on the horizontal surface. When the block comes to rest momentarily, how does the decrease in mechanical energy of the block-surface-Earth system compare to that when the block slid over the horizontal surface?
(a) It is the same.
(b) It is larger.
(c) It is smaller.
(d) The relationship cannot be determined.

65. Quick Quiz 8.10
Answer: (c). The decrease in mechanical energy of the system is fkd, where d is the distance the block moves along the incline. While the force of kinetic friction remains the same, the distance d is smaller because a component of the gravitational force is pulling on the block in the direction opposite to its velocity.

66. Problem Solving Strategies – Nonconservative Forces
Define the isolated system and the initial and final configuration of the system
Identify the configuration for zero potential energy
These are the same as for Conservation of Energy
The difference between the final and initial energies is the change in mechanical energy due to friction

67. Contoh perubahan T.Mekanikal dalam kehadiran geseran – sistem bumi-jasad
DEmech = DK + DU
DEmech =(Kf – Ki) +(Uf – Ui)
DEmech = (Kf + Uf) – (Ki + Ui)
Uf = 0; Ki = 0;
DEmech = ½ mvf2 – mgh = -ƒkd fk

68. Contoh pengiraan
Katakan kanak-kanak yang berjisim 20.0 kg mengelincir ke bawah. Pada ketika sebaik sahaja sebelum dia mencecah air, kelajuannya ialah vf = 3.00 m/s.
(a) apakah tenaga mekanikal yang telah terlesap sepanjang proses gelinciran?
DEmech = DK + DU
= (Kf – Ki) + (Uf – Ui)
= (½ mvf2 – 0) + (0 – mgh)
= ½mvf2 – mgh =…- 302 J
Negatif makna ada tenaga mekanikal yang lesap fk

69. Soalan (b) Bolehkan kita tentukan koefisien geseran kinetik? fk
DEmech = J dalam sistem ini adalah disebabkan oleh kerja negatif yang dilakukan oleh geseran:
fkd = J
mknd = J
Tapi kita tak tahu maklumat tentang jumlah jarak yang dilalui, d.
Juga, nilai daya normal berubah-ubah sepanjang d. ketidaktahuan maklumat geometri curved slid tidak membenarkan kita jalankan pengiraan daya normal secara lebih terperinci utn nilai mk kecuali anggaran kasar fk

70. Contoh perubahan T.Mekanikal dalam kehadiran geseran – sistem spring-blok
Tanpa geseran, tenaga saling bertukaran di antara PE kekenyalan dan KE blok, dan jumlah tenaga mekanikal tetap malar
Dalam kehadiran geseran, tenaga mekanikal berkurang mengikut
DEmech = -ƒkd

71. Contoh pengiraan Soalan:
Jism blok = 0.80 kg berlanggar dengan spring yang jisimnya boleh diabaikan dengan kelajuan vA=1.2 m/s dari kanan.
Diberi pemalar spring, k = 50 N/m, koefisien geseran antara blok dengan satah, mk= 0.5, apakah jarak mampatan yang maksimum dalam spring?

72. Penyelesaian
Takrifkan kedudukan awal pada x = 0; kedudukan akhirl pada x = xmax
DEmech = DK + DU
DK + DU = (Kf – Ki) + (Uf – Ui)
= ( 0 -½ mvi2) + (½k xmax2)
= ½kxmax2 - ½mvf2
Wluar = kerja luar oleh daya geseran = -ƒk xmax
Samakan DEmech = Wluar
½kxmax2 - ½mvf2 = -ƒk xmax
½kxmax2 + ƒk xmax - ½mvf2 = 0 (kuadratik)
xmax = … = m dan m
Jawapan yang manakan dipilih? (hint: blok di sebelah kanan titik EB)

73. Contoh: Blok terhubungkan
Sistem terdiri daripada dua blok+spring+bumi
Sistem bermula dari rehat dan m2 terjatuh jarak mencancang sejauh h sebelum blok-blok berhenti bergerak
Ada geseran antara blok m1 dengan permukaan ufuk
Kirakan koefisien geseran kinetik

74. Penyelesaian PE graviti dan PE kekenyalan terlibat
Blok 2 mengalami perubahan dalam PE graviti
Spring mengalami perubahan dalam PE kekenyalan

75. Penyelesaian Uf = Uf (blok 2) + Uf (blok 1) = -m2gh + ½kh2
Ui = Ui (blok 2) + Ui (blok 1) = = 0
DK + DU = (Kf – Ki) + (Uf – Ui)
= (0) + (-m2gh + ½kh2 )
Wluar = kerja luar oleh daya geseran
= -ƒk h = -mkNh = -mkm1gh
Samakan DEmech = DK + DU = Wluar
-m2gh + ½kh2 = -mkm1gh
mk= m2g - ½kh/m1g
Ini satu cara yang baik untuk mengukur koefisien geseran
xmax= h
Aras rujukan, h = 0

76. Daya-daya terabadi dan tenaga keupayaan
Secara umum, untuj apa-apa daya terabadi tertentu, kita boleh terbitkan satu funsi tenaga keupayaan yang berkait dengan daya tersebut
Syaratnya : fungsi tenaga keupayaan untuk daya terabadi itu adalah sedemikian rupa supaya kerja yang dilakukan oleh daya tersebut sama dengan pengurangan tenaga keupayaan sistem tersebut

77. Daya-daya terabadi dan tenaga keupayaan, samb
Secara matematik:
kerja yang dilakukan oleh daya terabadi tersebut, F, ialah
Untuk F dan x dalam arah yang sama, nilai disebelah kanan persamaan adalah –ve

78. Kesimpulan pendek
jika diberikan daya terabadi F, kita boleh terbitkan fungsi keupayaanya U

79. Daya terabadi dan tenaga keupayaan
Jika diketahui fungsi keupayaan, kita dapat menerbitkan daya terabadi daripadanya.
Caranya: dengan membezakan persamaan
Kompenen x suatu daya terabadi yang bertindak pada suatu jisim dalam satu sistem bersamaan dengan negatif kepada pembezaan tenaga keupayaan sistem merujuk kepada x
Pembezaan: d/dx

80. Kesimpulan pendek
Jika diberikan fungsi keupayaan U, kita boleh terbitkan daya terabadi F melaliu

81. Check dengan kes spring
Kita check kebenaran formula dengan memasukkan fungsi keupayaan spring, U = ½kx2:
Ini adalah Hukum Hooke’s yang kita biasa tahu
Konsistensi telah ditunjukkan

82. Graf U lawan x dan F lawan x
Graf T. keupuyaan and daya lawan kedudukan untuk (a) daya spring, (b) daya graviti. Dalam setiap kes daya adalah terbitan negatif (negative derivative) kepada T. keupayaan

83. Quick Quiz 8.11
What does the slope of a graph of U(x) versus x represent?
(a) the magnitude of the force on the object
(b) the negative of the magnitude of the force on the object
(c) the x component of the force on the object
(d) the negative of the x component of the force on the object.

84. Quick Quiz 8.11
Answer: (d). The slope of a U(x)-versus-x graph is by definition dU(x) / dx. From Equation 8.18, we see that this expression is equal to the negative of the x component of the conservative force acting on an object that is part of the system.

85. Gambarajah tenaga dan keseimbangan
Gerakan suatu sistem dapat diperihalkan dalam bentuk graf tenaga lawan kedudukan zarah dalam sistem itu
Contoh: sistem spring-blok
Blok berayun di antara titik turning point, x = ±xmax
Blok sentiasa terpecut menghala ke titik x = 0

86. Gambarajah tenaga dan keseimbangan stabil
Kedudukan x = 0 ialah kedudukan keseimbangan stabil
Kedudukan sedemikian bersepadanan dengan kedudukan pada mana U(x) merupakan minimum
x=xmax dan x=-xmax dipanggil turning points

87. Gambarajah tenaga dan keseimbangan tak stabil
Pertimbangkan satu sistem hipotetikal
Fx = 0 pada x = 0, jadi kita kata zarah adalah dalam keseimbangan
Tapi utk nilai-nilai yang bersebelahan dengan x=0, zarah akan ditindak oleh daya yang mengerakkannya menjauhi titik keseimbangan
Inilah contoh keseimbangan tak stabil
Kedudukan keseimbangan tak stabil bersepadanan dengan keduduka pada mana U(x) ialah maximum

88. Fig
Walking wire

89. Keseimbangan neutral
Keseimbangan neutral berlaku dalam konfigurasi di mana U adalah malar untuk suatu julat
Sedikit anjakan daripada suatu kedudukan dalam julat tersebut (kadang-kadang dipanggil plateu) takkan menggugat keseimbangan

90. Fig. 7.24, Young, pg. 269
Plateu, U constant
Neutral equilibirum

91. buatlah soalan-soalan tutorial untuk latihan dan kefahaman