1. לכל דבר יש שני צדדים – האומנם? או נפלאות הטבעת
המלצות לקריאה בעקבות ההרצאה בחמד"ע
לכל דבר יש שני צדדים – האומנם? או נפלאות הטבעת
פרופ' נצה מובשוביץ-הדר

2. נ. מובשוביץ-הדר, נפלאות הטבעת
מה עשינו היום?
ליטשנו את המשמעות האינטואיטיבית של "צד" ושל "חור" במשטחים כמו פני הכדור, הטורוס ועוד.
שאלנו את עצמנו - האם לכל משטח יש שני צדדים?
אולי יש משטחים שאינם בעלי שני צדדים?
חקרנו את משטח הטבעת וקוי השפה שלה
הכרנו ובדקנו גם טבעות פרדרומיות למיניהן על נפךאות פיתוליהן וגזירתן
ראינו שיש וגם יישומים ושימושים רבים; רעיון פשוט ומדהים שמהווה מקור השראה למגוון ע-צום של תחומים לא מתמטיים בהם עוסק האדם.
וכל זה היה בבחינת "טעימות" מהתחום המתמטי העשיר שנקרא כאמור טופולוגיה (גיאומטרית).
נ. מובשוביץ-הדר, נפלאות הטבעת

3. נ. מובשוביץ-הדר, נפלאות הטבעת
שני צדדים – ב"מתמטיקאית"
נסכם, כשאומרים שלמשטח (סופי) יש שני צדדים, פירושו שאי אפשר לעבור מצד אחד לצד השני מבלי לעשות אחד משלושה דברים:
לחדור דרך המשטח (כפי שתולעת עושה בתפוח);
לצאת מהמשטח אל המרחב (כפי שעושה זבוב על החלון), או
לחצות את קו השפה של המשטח (כפי שעושה נמלה על שולחן).
במילים אחרות: נמצאים באותו צד של המשטח כל עוד נעים עליו
מבלי לחדור דרכו,
מבלי לחצות את קו הגבול של המשטח
ומבלי לצאת אל מחוץ לפני המשטח.
"מתמטיקאית" זו השפה המתמטית המצטיינת בדייקנות ובחסכנות
נ. מובשוביץ-הדר, נפלאות הטבעת

4. נחזור אל הפס מה קורה אם מדביקים את הקצוות "הפוך"?
מתקבלת שוב טבעת, אבל מיוחדת.
כמה קווי שפה יש לטבעת הזאת?
וכמה צדדים יש לה? [נבצע את מבחן המסלול]
כשמסתכלים מבחוץ על נמלה הזוחלת על פני הטבעת המיוחדת הזאת, בכל רגע נתון נראה כאילו יש "צד שני", אבל זה לא כך! היא מגיעה ל"צד השני" בהמשך הזחילה.
הטבעת המיוחדת הזאת – בעלת צד אחד ושפה אחת - נקראת טבעת מביוס.
- 1
- 1
להכין מרקר
נ. מובשוביץ-הדר, נפלאות הטבעת

5. נ. מובשוביץ-הדר, נפלאות הטבעת
שאלות של מתמטיקאים
קל לראות שלטבעת מביוס יש במצב מנוחה תצורה שאינה תלויה בחומר ממנו היא עשויה (רצועת ניר או פס אלסטי אחר קשיח די הצורך. לא כמו צעיף סרוג).
במה כן תלויה התצורה האופיינית לטבעת מביוס במצב מנוחה? (כלומר בשיווי משקל מכני, בו אנרגיית העיוות היא מינימאלית)
- במידות הרצועה?
- במשהו אחר?
מהו המודל המתמטי של התצורה האופיינית הזאת?
הבעיה הוצגה לראשונה בניסוח מתמטי מהוקצע, על ידי
מיכאל סדובסקי, שהתמחה במכניקה של גופים הניתנים לעיוות, בשנת ו-
הפתרון לא הושלם עד שנת 2007 !
נ. מובשוביץ-הדר, נפלאות הטבעת

6. נ. מובשוביץ-הדר, נפלאות הטבעת
שאלות של מתמטיקאים
כאשר יוצרים במקום טבעת רגילה, טבעת מביוס מפותלת -
קו-האמצע הופך לקו עקום מרחבי סגור מאד מיוחד!
עד היום לא ידועה משוואתו המפורשת (f(x,y)=…), ובנוסף -
המשטח הסרגלי המתקבל, מורכב מקטעים ישרים
שאף אחד מהם אינו מקביל לשני !
כדי ליצור את המשטח, קטע המתנועע במרחב,
בניצב לקו-האמצע, חייב לעשות בהדרגה גם
סיבוב של 180מעלות סביב עצמו. [הדגמה]
הוא ישלים את ההקפה כשהוא במהופך!
איך מתארים את כל זה באופן מתמטי?
איך מראים שבמצב מנוחה, זהו המשטח בעל אנרגית העיוות המינימלית? – זאת בעיית סדובסקי משנת 1930.
המודל המתמטי של משולש ישר זווית הוא 2a2+b2=c. משוואת המעגל במישור גם כן ידועה.
המשוואות הפרמטריות של טבעת מביוס (עקום קו האמצע?) – ידועות והן
The parametric equations for a Moebius Strip can be expressed as:
x(u,v) = cos(u) + v*cos(u/2)*cos(u) y(u,v) = sin(u) + v*cos(u/2)*sin(u) z(u,v) = v * sin(u/2).
לענין המשוואה המפורשת כדאי לראות גם:
ללוות את הקטע השלישי בהדגמה של הקו המתנועע
אחרי "הוא ישלים את ההקפה כשהוא במהופך! " אפשר להסביר שזו תמונת ראי של עצמו. אפשר כאן להבחין בין משטח ארויינטבילי למשטח לא אוריינטבילי
A surface is said to be orientable if a shape drawn on it cannot be transformed into its mirror image by simply moving the shape along a path on the surface. Consider the right-way-up face in the illustration. If you move this face around the Möbius band, it returns as its mirror image (and upside-down). This means that the Möbius band is non-orientable. The notion of orientability extends to higher-dimensional spaces, for example, in a non-orientable 3-dimensional
universe there would be a way of throwing a right glove so that it returned to you as a left glove!
the Möbius strip is the standard example of a non-orientable surface.
One-sidedness and non-orientability are what's called topological properties of the strip: no matter how you stretch, squeeze or deform the strip, as long as you don't tear it, these properties will stay intact. Topologists simply ignore any deformations that don't involve cutting or tearing, so to them any two Möbius strips, no matter how different in size, exact shape, or material, are one and the same thing.
נ. מובשוביץ-הדר, נפלאות הטבעת

7. בשנת 2007 העיתונות המדעית נרעשה
Möbius strip unravelled;
Maths of Möbius strip finally solved;
Moebius strip riddle solved at last;
A New Twist on the Möbius Strip;
Shaping Up a Möbius Strip;
Möbius at rest;
Möbius Problem Solved;
Mind over Möbius;
ועוד ועוד
על מה נרעשה הקהילייה המדעית?
- כדי להבין זאת עלינו להיכנס לפרטים
מיכאל סדובסקי התמחה בדוקטורט שלו שקיבל בברלין ב-1927, במכניקה של גופים הניתנים לעיוות
נ. מובשוביץ-הדר, נפלאות הטבעת

8. הרוחב הוא הקובע טבעת רגילה אפשר להכין מכל רצועה מלבנית בלי הגבלה.
אבל טבעת מביוס – לא. למשל, מדף בגודל 4A - אי אפשר.
ככלל, הוכח שהאפשרות ליצור את הפיתול מוגבלת לרצועה שהאורך שלה גדול פי אחת וחצי או יותר מרוחבה (היחס הגבולי המדויק הוא - π/2 :1 Halpern & Weaver, 1977).
טבעות מביוס (של 3 פיתולים)
שוות אורך, שונות ברוחבן
נ. מובשוביץ-הדר, נפלאות הטבעת

9. נ. מובשוביץ-הדר, נפלאות הטבעת
מיפוי האנרגיה האלסטית על פני טבעת מביוס לפי החישובים של ון-דֶר-היידן וסְטָרוֺסְטין
האנרגיה האלסטית האצורה ברצועה כתוצאה מהפיתול היא המאפיין של טבעת מביוס.
היא מירבית במקומות בהם הרצועה מפותלת.
באזורים יותר שטוחים, אצורה אנרגיה אלסטית פחותה.
קוד צבעי-הקשת:
מסגול – אזור די שטוח,
לאדום - מאד מפותל
נ. מובשוביץ-הדר, נפלאות הטבעת

10. נ. מובשוביץ-הדר, נפלאות הטבעת
שימושים לטבעת מביוס
בשנת 1957 רשמה תעשיית הגומי של
B. F. Goodrich פטנט על מוצר בשם:
The Turnover Conveyor Belt System
שהטבעת שלו הייתה טבעת מביוס.
היתרון - משך השחיקה הוכפל,
כי כל המשטח הטבעתי נחשף, בניגוד לצד אחד של טבעת רגילה.
כיום לא מיצרים יותר טבעות כאלו, כי נמצאו חומרים חדשים לחיזוק של הטבעות הרגילות בפני שחיקה.
חברת גודריצ' מייצרת כיום מטוסים. תעשיית הצמיגים והגומי נרכשה ע"י חברת מישליין בשנות 1991
משנת 1976 עד היום נרשמו בארה"ב עשרות פטנטים הקשורים לטבעת מביוס (
נ. מובשוביץ-הדר, נפלאות הטבעת

11. מה קורה אם חותכים טבעת מביוס?
אם מחלקים טבעת מביוס לרוחבה ל-5, 6, ..., n חלקים וגוזרים במרחק 1/n מהשפה, התוצאה תלויה בזוגיות של n:
ואם n הוא אי-זוגי -
אם מספר החלקיםn הוא זוגי
מתקבלות (n-1)/2 טבעות
כולן 4-פיתוליות,
ועוד טבעת מביוס אחת,
כולן ברוחב 1/n .
– מתקבלות n/2 טבעות כולן 4-פיתוליות, כולן ברוחב 1/n;
ללוות בהדגמה
נ. מובשוביץ-הדר, נפלאות הטבעת

12. נ. מובשוביץ-הדר, נפלאות הטבעת
וגם לזה יש שימוש!
העיתון המקוון Nature Nanotechnology פרסם באוקטובר 2010 ידיעה מדהימה בתחום ההנדסה הגנטית:
חוקרים מאוניברסיטת אריזונה הכינו טבעות מביוס מ"רצועות" ברוחב של כ-25 ננומטר (nm1=מליונית מ"מ), שכ"א עשויה מ-11 שרשרות DNA(הליקס-כפול) באורך כ-210 ננומטר.
עצם הבנייה היא אתגר עצום למדענים כמובן, אבל מעבר לכך
מרתק אותם הסיכוי שיתקבל חומר בעל תכונות שניתן יהיה ליישמן להתקנים מולקולריים חדשניים.
המודל
צילום ממיקרוסקופ אלקטרוני
נ. מובשוביץ-הדר, נפלאות הטבעת

13. נ. מובשוביץ-הדר, נפלאות הטבעת
מה שאלנו, מה עוד לא שאלנו
שאלנו וראינו מה קורה למספר הצדדים ולמספר השפות כשמפתלים טבעת במספר זוגי או אי-זוגי של חצאי סיבוב;
שאלנו וראינו מה קורה לטבעות רב-פיתוליות (פרדרומיות) בעלות מספר זוגי או אי-זוגי של חצאי סיבוב, אם חותכים אותן לאורכן באמצע;
שאלנו וראינו גם מה קורה לטבעת מביוס כשחותכים אותה בשליש הרוחב, ברבע, וכך הלאה...
לא ראינו - מה קורה כשחותכים טבעות רב-פיתוליות בשליש הרוחב, ברבע, וכך הלאה...
את זה נשאיר למחשבה, לניסוי ולניתוח להנאתכם.
יש עוד משהו – שכבר ראינו אבל עדיין לא שאלנו עליו -
אם יחסר זמן אפשר לדלג על שקפים (בקבוק קליין)
נ. מובשוביץ-הדר, נפלאות הטבעת

14. ועוד שאלה שלא שאלנו עדיין
כפי שראינו
ועוד שאלה שלא שאלנו עדיין
כפי שראינו, אם מדביקים את חלקי קו-השפה הצרים של רצועה מלבנית זה לזה במהופך, מתקבלת טבעת מביוס – משטח סרגלי בעל צד אחד וקו שפה אחד.
מה יתקבל אם, בדומה למה שעשינו כדי ליצור מהטבעת את הטורוס, ננסה להדביק את שני הקצוות של כל אחד מהקטעים היוצרים (שאינם מקבילים!) של המשטח הסרגלי הזה???
לחילופין, מה יתקבל אם במקום להדביק את שני קצות הגליל לטורוס, נחבר אותם "במהופך", כלומר 'חוץ' ל'פנים' ו'פנים' ל'חוץ' ?
התשובה לשתי השאלות האלו היא אחת – "בקבוק" מיוחד במינו הנקרא צנצנת קליין, על שם המתמטיקאי שגילה אותו.
Mathematica: Parametric-Plot3D
נ. מובשוביץ-הדר, נפלאות הטבעת

15. נ. מובשוביץ-הדר, נפלאות הטבעת
יצירת צנצנת קליין
יוצרים גליל
מפתלים את קצותיו דרך המשטח הגלילי
כך שהצד הפנימי של המשטח (ירקרק),
מתחבר עם צידו החיצוני (אפור).
התוצאה: משטח בעל צד אחד שהתגלה בגטינגן בשנת 1882, 24 שנים אחרי גילוי טבעת מביוס, והפך למוצג מתמטי עוד יותר מדהים ממנה, צנצנת קליין.
נ. מובשוביץ-הדר, נפלאות הטבעת

16. נ. מובשוביץ-הדר, נפלאות הטבעת
תם ולא נשלם
טבעת מביוס – יש לה רק צד אחד אבל היא מהווה אתגר רב-צדדי ומקור השראה לעוסקים בכל תחום של פעילות אנושית כמעט
אופנה
תכשיטנות
איור וציור
אדריכלות ועיצוב
מיני מזון
אנימציה ממוחשבת
פיסול באבן
משחקי חצר
סקי
ספרות, פילוסופיה ומדע בדיוני
וגם בטבע
נ. מובשוביץ-הדר, נפלאות הטבעת

17. נ. מובשוביץ-הדר, נפלאות הטבעת
ולקראת סיום - שתי חידות
1. מה יקרה אם נדביק שתי טבעות רגילות זו לזו בניצב, ונחתוך באמצע -
מתקבל ריבוע !
ננסה להחזיר אותו חזרה
נ. מובשוביץ-הדר, נפלאות הטבעת

18. נ. מובשוביץ-הדר, נפלאות הטבעת
ולקראת סיום - שתי חידות
2. ומה יקרה אם נעשה אותו הדבר לשתי טבעות מביוס (בעלות פיתולים נגדיים)?
נכין שתי טבעות מביוס, אחת עם פיתול בכיוון השעון והשנייה נגד.
נדביק אותן בניצב זו לזו
נחתוך באמצע לאורכן
(בנקודת החיבור נגזור את שתיהן).
מה מתקבל?
יום אהבה (מתמטית) שמח (14.2.)
נ. מובשוביץ-הדר, נפלאות הטבעת

19. נ. מובשוביץ-הדר, נפלאות הטבעת
תודה על ההקשבה
ההרצאה הבאה ב- 1/3/2016
נ. מובשוביץ-הדר, נפלאות הטבעת 19

20. מקורות והמלצות לקריאה נוספת
ספרים
Clifford A. Pickover (2006): The Mobius Strip - Dr. August Möbius's Marvelous Band in Mathematics, Games, Literature, Art, Technology, and Cosmology. Thunder's Mouth Press.
John Fauvel, Robin Wilson, Raymond Flood (Eds) 1993: Mobius and his Band: Mathematics and Astronomy in Nineteenth-Century Germany. Oxford University Press, USA.
Leonard Shalin (1993): Art and Physics- Parallel Visions in Space, Time & Light, William Morrow
E.T. Bell (1952, 1996): Mathematics Queen & Servant of Science. The Mathematical Association of America
נ. מובשוביץ-הדר, נפלאות הטבעת

21. מקורות והמלצות לקריאה נוספת
מאמרים
הצד האפל של טבעת מביוס – מאת גדעון שוורץ מתמטיקאי ישראלי
Gideon E. Schwarz (1990): The Dark Side of the Moebius Strip. The American Mathematical Monthly,  Vol. 97, No. 10,
לואיס קרול מספר על בקבוק קליין וטבעת מביוס בפרק 7
יישומון Java applet עם אפשרות לשנות את מספר הפיתולים ולסובב את הגוף כדי לחקור את מספר הצדדים והשפות:
נ. מובשוביץ-הדר, נפלאות הטבעת

22. מקורות והמלצות לקריאה נוספת
טבעת מביוס במוסיקה
Dmitri Tymoczko (7 July 2006). "The Geometry of Musical Chords". Science 313 (5783): 72–74. doi: /science PMID 
הגיאומטריה של אקורדים מתמטיים (אינטרוואלים על טבעת מביוס)
תיבת נגינה עם טבעת מביוס
קאנון הסרטן של באך –
הסבר של המבנה על טבעת מביוס (האתרים של xatos ושל Jos Leys)
Canon 1 a 2 from J. S. Bach’s “Musical Offering” (1747).
הגלריה המתמטית של Jos Leys
נ. מובשוביץ-הדר, נפלאות הטבעת

23. מקורות והמלצות לקריאה נוספת
על טבעת מביוס בספורט: על אלוף הסקי Wayne Wong ועל קפיצות מביוס בסקי וסקי-מים
על טבעת מביוס וארכיטקטורה
Thulaseedas, J., and R.J. Krawczyk Möbius concepts in architecture. ISAMA/Bridges 2003 Conference: Mathematical Connections in Art, Music, and Science. July Granada, Spain. Available at .
על הספריה המביוסית בקזאחסטן
על טבעת מביוס במגרש המשחקים
על האדריכלים בן ון-ברקל ופיטר אייזנמן
נ. מובשוביץ-הדר, נפלאות הטבעת

24. מקורות והמלצות לקריאה נוספת
פטנטים מבוססי טבעת מביוס
על המודל המתמטי של משטחים סרגליים כגון טבעת מביוס, 2007 סטרוסטין וון דר היידן
על גרט ון-דר היידן ויוג'ין סטרוסטין
Halpern, B. & Weaver, C. Inverting a cylinder through isometric immersions and isometric embeddings. Trans. Am. Math. Soc. 230, 41–70 (1977) סעיף 12
ועל תורת הרצועות האלסטיות 2010
נ. מובשוביץ-הדר, נפלאות הטבעת

25. מקורות והמלצות לקריאה נוספת
על יישומים מדעיים חדשניים של טבעת מביוס
על קו השפה של טבעת מביוס, היחס בין אורכה ןרוחבה וייצור סיבים אופטיים שקיטוב האור בהם ניתן לכיוונון
Balakrishnan, R. & Satija, I. I. (2005). Gauge-invariant geometry of space curves: Application to boundary curves of Möbius-type strips.
על חלבונים טבעתיים ומביוסיים בצמח האולדנלנדיה
Gran L., Sandberg F., Sletten K. Oldenlandia affinis (R&S) DC. A plant containing uteroactive peptides used in African traditional medicine J. Ethnopharmacol. 70: (2000). PMID:
Craik D.J Plant cyclotides: circular, knotted peptide toxins Toxicon 39: (2001). PMID:
נ. מובשוביץ-הדר, נפלאות הטבעת

26. מקורות והמלצות לקריאה נוספת
על גידול של גבישיNbSe3 בתנאי טמפרטורה גבוהים לצורה של טבעות מביוס
Tanda, S., Tsuneta, T., Okajima, Y., Inagaki, K., Yamaya, K., & Hatakenaka, N.: Crystal topology: A Möbius strip of single crystals. Nature 417, 397–398 (2002). 
Tanda, S., Tsuneta, T., Toshima, T., Matsuura, T. & Tsubota, M. Topological crystals. J. Phys. IV 131, 289–294 (2005). | ISI | ChemPort |
על סינתוז של מוקולות מביוס 1982 וחקר מולקלות מלאכותיות
David M. Walba,* Rodney M. Richards, and R. Curtis Haltiwanger: "Total Synthesis
of the First Molecular Mobius Strip”. J. Am. Chem. Soc., 1982, 104 (11), pp 3219–3221.
Nature Chemistry 1, (2009)
חדשות מאוקטובר 2010: רצועות מביוס ממולקולות DNA
Dongran Han, Suchetan Pal, Yan Liu & Hao Yan (2010): Folding and cutting DNA into reconfigurable topological nanostructures. Nature Nanotechnology Volume: 5, Pages:
712–717. DOI: /nnano
נ. מובשוביץ-הדר, נפלאות הטבעת

27. מקורות והמלצות לקריאה נוספת
חדשות מדצמבר 2010: מולקולות מלאכותיות בצורת טבעות מביוס
Chih-Wei Chang, Ming Liu, Sunghyun Nam, Shuang Zhang, Yongmin Liu, Guy Bartal, Xiang Zhang. Optical Möbius Symmetry in Metamaterials. Physical Review Letters, 2010; 105 (23): DOI: /PhysRevLett
על בקבוק (צנצנת) קליין (כולל אנימציות)
Konrad Polthier: Imaging maths - Inside the Klein bottle
סירטון יו-טיוב על יצירת בקבוק קליין מטבעת מביוס ומגליל ועל רוכב אופניים על בקבוק קליין
Martin Gardner (2001): The colossal book of mathematics, W.W. Norton, N.Y. Ch. 18.
רוצים לקנות צנצנת קליין? או כובע קליין וצעיף מביוס תואם?
Acme Klein Bottle by Cliff Stoll - since 1996, owned, operated, and mismanaged by Cliff Stoll 6270 Colby St. Oakland, CA USA phone
נ. מובשוביץ-הדר, נפלאות הטבעת

28. נ. מובשוביץ-הדר, נפלאות הטבעת
המלצות לקריאה נוספת
עשה/עשי זאת בעצמך: מודל של פיאון מביוס
על בניות מתמטיות מלבני לגו
רוצים צמיד עשוי מחוט כסף או זהב סרוג כטבעת מביוס? גלית ברק, ת"א
תכשיטי-מביוס נוספים
Marcia & John Galleher: mobius products and services, P.O. Box 786  Bisbee, Arizona USA ;
מעוניינים לבנות אנטנת לולאה עם ליפוף מביוס?
הוראות לחיתוך של כעך לטבעות מביוס שלובות
נ. מובשוביץ-הדר, נפלאות הטבעת

29. מקורות והמלצות לקריאה נוספת
רוצים לסרוג מביוס במסרגה אחת? בשתים?
Ross, Joan. How to Make a Mobius Hat by Crocheting. Mathematics Teacher 78, (1985)
Isaksen, Daniel & Petrofsky, Alabama 1999: Mobius Knitting.
הוראות לסריגה של צעיף מביוס
Sarah Marie Belcastro: Every Topological Surface Can Be Knit: A Proof, Journal of Mathematics and the Arts, 3(2) June 2009, 67–83.
מעשי-קסמים The Afghan Bands
(e.g. )
קסם שתי הטבעות עם רווח ביניהן
סרטון ביו-טיוב: ילדה מבצעת את קסם הפס האפגאני ברחוב עם עוברים ושבים
נ. מובשוביץ-הדר, נפלאות הטבעת

30. מקורות והמלצות לקריאה נוספת
קריקטורות על טבעת מביוס
Moebius strip comic by Jim Woodring (video, photo, animation).
מאמר על הנפש וטבעת מביוס
Parker J. Palmer (2004): Finding Your Soul, Spirituality and health, Sept/Oct 2004
ספורי מדע-בדיוני וסרטים הקשורים לטבעת מביוס
Arthur C. Clarke (1949): The Wall of Darkness. Appears in The Collected Stories of Arthur C. Clarke, (ISBN X), first published in 2001 by Gollancz, UK.
A. J. Deutch (1950): A Subway Name Möbius. A short story published in The Omnibus of Science Fiction and Fantasia Mathematica (1997), Publisher: Copernicus , New York, NY ISBN:
M. Gardner (1987): The No-Sided Professor, Prometheus Books. Also in: Fantasia Mathematica (See above)
נ. מובשוביץ-הדר, נפלאות הטבעת