1. Statistično zaključevanje (inferenčna statistika)
= zaključevanje o značilnostih populacije
ven

2. Inferenčna statistika
Izberemo vzorec.
Določimo statistiko (npr. M).
Posplošujemo z vzorca na populacijo.
ocenjevanje parametra Vprašanje: Kolikšen je parameter (m) v populaciji?
testiranje hipotez Vprašanje: Ali je M pomembno različna od neke vrednosti?
ven

3. Populacija in vzorec posploševanje z vzorca na populacijo
opredelitev populacije in vzorca sestavljanje liste, s katere vzorčimo
reprezentativnost, nepristranskost vzorec ima podobne lastnosti kot populacija (enakost deležev)
velikost vzorca ekonomičen N, dopustna napaka vzorčenja, variabilnost pojava, pričakovana razlika, določitev N iz enačb za testiranje hipotez
ven

4. Vzorčne porazdelitve
ven

5. Vzorčne porazdelitve
ven

6. Vzorčne porazdelitve
Če iz definirane populacije izberemo vse možne vzorce velikosti N, lahko za vsak vzorec določimo statistike (npr. M, SD). Statistike se od vzorca do vzorca spreminjajo. vzorčne porazdelitve statistik
opisnih statistik vzorca, npr. M, var, p, r…
drugih izrazov, npr.
Vsako vzorčno porazdelitev lahko opišemo: Mstatistike SD = SEstatistike
ven

7. Vzorčne porazdelitve frekvenčna porazdelitev spremenljivke SD M
različnih statistik
se razlikujejo:
normalna, F, t, c2
vzorčna porazdelitev statistike
SEstatistike
Mstatistike
ven

8. Vzorčne porazdelitve frekvenčna porazdelitev spremenljivke SD M
Če je vzorec velik, bo statistika vzorca bolj podobna parametru.
Razpršenost vzorčne porazdelitve se z večanjem vzorca manjša.
vzorčna porazdelitev statistike
za manjše /
večje vzorce
SEstatistike
Mstatistike
ven

9. Standardna napaka Standardna napaka se z večanjem vzorca manjša.
Standardna napaka M
SEM = standardni odklon
vzorčnih aritmetičnih sredin
Standardna napaka se z večanjem vzorca manjša.
ven

10. Ocenjevanje parametra
Vzorčna statistika je ocena populacijskega parametra.
Točkovna ocena parametra
Nepristranska ocena: Sredina vzorčne porazdelitve statistike je enaka ocenjevanemu parametru. Velja za vse mere centralne tendence, deleže, korelacijske koeficiente.
Pristranska ocena: Mere razpršenosti.
Vzorčna SD podcenjuje vrednost s.
ven

11. Ocenjevanje parametra
Intervalna ocena parametra
razpon vrednosti, znotraj katerega se bo populacijski parameter nahajal z določeno verjetnostjo B
= B-odstotni interval zaupanja
ven

12. Ocenjevanje parametra
Intervalno ocenjevanje M pri velikih vzorcih
SEM m M
vzorčna porazdelitev M je N.D.
N (0,1) 1 z

13. sp zg  zsp zzg z = 0 1 - a p = a / 2 a / 2 1 - a p = a / 2 a / 2
grafični
prikaz
kvantilov
vzorčna porazdelitev M
1 - a
SEM · zp
p = a / 2
a / 2
SEM
sp
zg 
a / 2
vzorčna porazdelitev z
zsp
zzg
p = a / 2
1 - a
SDz = 1
z = 0
SDz · zp
ven

14. Ocenjevanje parametra
Pri majhnih vzorcih
Vzorčna porazdelitev M je N.D. le, če je frekvenčna porazdelitev spremenljivke normalna.
preveriti
Vrednost SEM se spreminja z velikostjo vzorca. Vzorčna porazdelitev je odvisna od
stopenj prostosti.
SEM m 1
Interval zaupanja za m:
df = N - 1

15. Testiranje hipotez
Postavimo dve nasprotni si hipotezi (ničelno in alternativno).
H0: V našem vzorcu je povprečni IQ enak (oz. naš vzorec izhaja iz populacije, kjer je povprečni IQ enak 100; M = 100).
H1: V našem vzorcu je povprečni IQ različen od (oz. naš vzorec ne izhaja iz populacije, kjer je povprečni IQ enak 100; M  100).
Konstruiramo vzorčno porazdelitev (pod predpostavko pravilnosti ničelne hipoteze).
odvisna od
velikosti vzorca
razpršenosti
v populaciji SE
100

16. Testiranje hipotez Na osnovi vzorčne porazdelitve poznamo verjetnost
pojavljanja določene vrednosti statistike.
Če je vrednost statistike verjetna (znotraj intervala zaupanja), ohranimo ničelno hipotezo.
Če je vrednost višja/nižja od zgornje/spodnje meje intervala zaupanja (pade v kritično regijo), ničelno hipotezo zavrnemo. (Pravilnost ničelne hipoteze je malo verjetna. Alternativna hipoteza je verjetnejša. Statistika našega vzorca se od poznanega / predpostavljenega parametra pomembno razlikuje.) SE SE
100 M
100 M

17. Napake pri statističnem zaključevanju
naš zaključek
r = 0
M = m
r  0
M  m
pravilna potrditev ničelne hipoteze
r = 0
M = m
a napaka
dejansko
stanje
pravilna zavrnitev ničelne hipoteze
r  0
M  m
b napaka

18. Napake pri statističnem zaključevanju
a napaka
zkrit.
zkrit. z
b napaka
zkrit. z
ven

19. Raziskovalni načrti z 1 NV in 1 OV
primerjava vzorca s populacijo (primerjava vzorčne statistike s poznano ali predpostavljeno vrednostjo parametra)
primerjava statistik dveh vzorcev
primerjava statistik več vzorcev
Ali so vrednosti preveč različne?
Ali vzorci pripadajo isti populaciji?
ven

20. Testiranje hipotez o povprečju: primerjava povprečja vzorca z znano vrednostjo
H0: M = m
H1: M  m
SEM m M
tkrit.
tkrit.
t primerjamo s tkrit 1 z

21. Testiranje hipotez o povprečju: primerjava povprečja vzorca z znano vrednostjo
Študenti v povprečju na nekem testu dosegajo rezultat 6.0,
rezultati testa v naši skupini pa so bili naslednji:
Vprašanje: Ali je naša skupina običajna skupina študentov ali morda ne? Ali je povprečje našega vzorca enako 6.0?
Če bi bila ničelna hipoteza pravilna (če bi vzorčili iz populacije s sredino 6.0), bi vrednosti t v 5 % vzorcev presegale Verjetnost pojavljanja t vrednosti 4.60 zaradi napake vzorčenja bi bila zelo majhna, manjša od 5 %.
Večja verjetnost je, da vrednost našega vzorca ni posledica napake vzorčenja, temveč da naš vzorec pripada neki drugi populaciji. Ničelno hipotezo zavrnemo, sprejmemo alternativno. Povprečje našega vzorca statistično pomembno odstopa od 6.0.
H0: M = 6.0
H1: M  6.0
M = 8.0
s’ = 1.95
SEM = 1.95 / Sqrt(20) = 0.44
t = ( ) / 0.44 = 4.60
df = N - 1 = 19
tkrit (19) = 2.09
t > tkrit
0.44
6.0
t = 4.6

22. t-test Primerjava povprečij dveh vzorcev
Ali oba vzorca izhajata iz iste populacije? Je razlika med njunimi M ničelna? Ima NV vpliv na OV?

23. Primer t testa dva neodvisna vzorca Vprašanje:
Ali se študenti iz EU po znanju slovenščine razlikujejo od študentov iz drugih držav?
Pr.1 S1 S M
s’ var’
t = ( ) / 1.16 = 2.97 df = = 18; t.05(18) = 2.101
kritični t
Naša vzorca se razlikujeta za 3.45, medtem ko je variabilnost vrednosti znotraj vsakega vzorca sorazmerno majhna. Razlika med vzorcema je v primerjavi z razlikami med osebami znotraj vzorcev precejšnja. S t-testom ugotovimo, ali je razlika med sredinama obeh vzorcev tudi statistično pomembna.
Če bi neštetokrat vzorčili po dva vzorca iz iste populacije, bi pri 5% primerov vzorčenj vrednost t-testa presegla kritično vrednost Naš dobljeni t znaša 2.97 in je višji od kritične vrednosti. To pomeni, da bi v manj kot 5% primerov vzorčenj iz iste populacije potegnili dva tako različna vzorca, kot sta naša. Ker je naša dobljena vrednost t višja od kritične, zaključujemo, da je verjetnost, da smo oba vzorca potegnili iz iste populacije, premajhna. Najverjetneje vzorca izhajata iz dveh različnih populacij. Zaključimo, da se aritmetični sredini pri naših vzorcih statistično pomembno razlikujeta, oz. da je S1 dosegala statistično pomembno drugačne rezultate od S2. Neodvisna spremenljivka (to, iz katere skupine držav je učenec) je imela učinek na merjeno odvisno spremenljivko (znanje slovenščine).

24. Analiza variance Primerjava povprečij več vzorcev
preverjamo pomembnost razlik med sredinami več vzorcev
meritve v več pogojih (oz. vzorčenje iz več populacij)
H0: ni razlik med njihovimi m
ven

25. Analiza variance
preverjamo pomembnost razlik med sredinami več vzorcev
meritve v več pogojih (oz. vzorčenje iz več populacij)
H0: ni razlik med njihovimi m
ven

26. Analiza variance Ocena variance
Skupno varianco vseh podatkov lahko razstavimo na dva dela:
varianco napake, ki je posledica:
napak merjenja (slabih merskih instrumentov),
napak kontrole (zunanjih spremenljivk),
razlik med posamezniki
varianco, nastalo zaradi učinkov neodvisne spremenljivke
vsota kvadratov odklonov (SS) df

27. Analiza variance Mtot Mj Yi skupna variabilnost variabilnost
znotraj skupin
variabilnost
med skupinami

28. Primer analize variance za dva vzorca 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ven
MT = 7 SSznotraj-1 = 1(2-4)2 + 2(3-4)2 + 3(4-4)2 + 2(5-4)2 + 1(6-4)2 =12
SSznotraj-2 = 1(8-10)2 + 2(9-10)2 + 3(10-10)2 + 2(11-10)2 + 1(12-10)2 =12
SSmed = 9(4-7)2 + 9(10-7)2 = = 162
dfznotraj = N - a = = dfmed = a - 1 = = 1
MSznotraj = SSznotraj / dfznotraj = 24 / 16 = 1.5 MSmed = SSmed / dfmed = 162 / 1 = 162 F = 162 /1.5 = 108 Ft (1,16) = 4.49
ven

29. Tabela povzetka analize variance
Primer analize
variance za dva vzorca
Tabela povzetka analize variance
izvor variabilnost SS df MS F p
NV < .001
napaka
skupaj
Skupina 1 (M = 4.0, SD = 1.2) je dosegla statistično pomembno drugačne rezultate od skupine 2 (M = 10.0, SD = 1.2), F (1, 16) = 108, p < .001.
ven
t-test

30. Analiza variance neponovljene in ponovljene meritve pogoji:
nominalna NV
OV na vsaj intervalni merski ravni
normalna porazdelitev spremenljivke v populaciji
enakost varianc vzorcev
analiza variance za več NV
dvosmerna, trismerna ANOVA
glavni učinki + interakcija med NV
ven

31. Statistično zaključevanje za frekvence
Opis: tabele, frekvenčni poligoni, histogrami
Običajna vprašanja: - enakost deležev kategorij pri več vzorcih - ujemanje dejanskih podatkov s pričakovanimi, testiranje hipotez o obliki porazdelitve - povezanost (interakcija) med dvema nominalnima spremenljivkama
ven

32. c2 test za eno spremenljivko
Ali je višja pogostost ene kategorije slučajna?
pričakovane frekvence
H0: Populacijska frekvenčna distribucija je enaka pričakovani.
odstopanje dejanskih od pričakovanih vrednosti
… Pearsonov c2 - približek c2 distribucije
df = a - 1
ven

33. Primer c2 testa za preverjanje pravokotnosti porazdelitve (= enakosti deleža oseb v vseh kategorijah)
Delež izbir napačnih alternativ na vprašanju zaprtega tipa:
a) b) c)
fe skupaj 150
dejanski delež ft
teoretični delež
c2(2) = (30-50)2/50 + (40-50)2/50 + (80-50)2/50 = 28
kritična vrednost c2 pri 5% tveganju: 5.99
Naš dobljeni c2 presega kritično vrednost. Če bi neštetokrat vzorčili iz populacije, kjer osebe enakovredno izbirajo napačne alternative (kjer je delež izbire vseh alternativ enak, in sicer 0.33), bi kritično vrednost c2 po slučaju preseglo le 5 % vzorcev. Ker so bili deleži v našem vzorcu zelo različni od teoretičnega deleža 0.33 in je zato c2 pri našem vzorcu zelo presegel kritično vrednost, ni preveč verjetno, da smo ga potegnili iz populacije, kjer osebe enako pogosto izbirajo vse tri alternative. Bolj verjetno kot to je, da smo ga povlekli iz populacije, kjer osebe različne alternative izbirajo različno pogosto. Zaključimo torej, da alternativni odgovori niso enako privlačni.
ven

34. c2 test odvisnosti dveh spremenljivk
kontingenčna tabela
H0: Vpliv ene spremenljivke ni odvisen od druge spremenljivke (na vseh ravneh ene spremenljivke so ravni druge enako izražene).
pričakovana frekvenca ft = fvrsta fstolpec / N
v vsakem polju izračunamo
seštejemo izračune v vseh poljih, dobimo c2
Dobljeno vrednost primerjamo s kritično vrednostjo c2
df = (število vrstic - 1) (število stolpcev - 1)
ven

35. c2 = (36-29)2/29 + (14-21)2/21 + (22-29)2/29 + (28-21)2/21 = 8.05
uspešnost pri nalogi 1
+ -
ženske
(29) (21)
moški
c2 = (36-29)2/29 + (14-21)2/21 + (22-29)2/29 + (28-21)2/21 = 8.05
df = (število vrstic - 1) ·(število stolpcev - 1) = (2-1)(2-1) = 1
kritična vrednost: c2.05 (1) = 3.841
Naš dobljeni c2 je višji od kritične vrednosti, kar pomeni, da je rezultat statistično pomemben. Če bi naš vzorec izhajal iz populacije, kjer se moški in ženske ne bi razlikovali v uspešnosti pri nalogi, bi v manj kot 5% vzorcev dejanske frekvence tako zelo odstopale od teoretičnih. To pomeni, da je bolj kot to, da smo vzorec vlekli iz populacije, kjer oba spola enako pogosto pravilno odgovorita, verjetno, da smo vzorec vlekli iz populacije, v kateri se ženske in moški razlikujejo v uspešnosti reševanja naloge. Zaključimo, da so ženske pri reševanju naloge statistično pomembno bolj uspešne kot moški.
robna vsota
frekvenc
V oklepajih so
navedene
teoretične
frekvence.
robna vsota frekvenc
število vseh oseb

36. Previdnost!
Interpretacija izsledka naj upošteva značilnosti raziskovalnega načrta.
Statistična pomembnost je relativen pojem. Raste z velikostjo vzorca.
Pregledati velikost učinka
Ni statistično pomembno = ni dokazano.
Če ničelne hipoteze ne zavrnemo, to še ne pomeni, da je pravilna. Pri opazovanem pojavu ni bilo tako izrazitega učinka NV, da bi ga zaznali, kar ne pomeni, da zagotovo ne obstaja.
V nekaterih primerih parametričnih testov ne moremo uporabiti.
ven

37. Izbor ustreznega statističnega testa
vrsta statistike
raven merjenja
normalnost porazdelitve
enakost varianc
odvisni / neodvisni vzorci
majhni / veliki vzorci
vrednost ničelne hipoteze
nivo tveganja
enosmerno / dvosmerno testiranje
Neparametrični testi
pogosto pri majhnih vzorcih, pri omejenosti razpona, stališča (U-porazdelitev)
Pri intervalnih ali razmernostnih spremenljivkah z neparametričnimi testi ne upoštevamo vseh informacij - nižja moč testa (ničelno hipotezo, ki je napačna, težje ovržemo).
ven

38. Testiranje hipotez o povprečju
Povprečja
N.D.
parametrični testi
1 vzorec
2 vzorca
več vzorcev
neodvisna
odvisna
neodvisnih
odvisnih
t test
(one-sample)
t test
(independent)
t test
(paired-samples)
enosmerna
ANOVA
(GLM - univariate)
enosmerna
ANOVA
(GLM -
repeated-measures)
ven

39. Testiranje hipotez o povprečju
Povprečja
ni N.D.
neparametrični testi
1 vzorec
2 vzorca
več vzorcev
neodvisna
odvisna
neodvisnih
odvisnih
binomski
test
- Mann-
Whitneyev U
- medianski test
- Wilcoxonov
T test
(matched pairs)
- test predznakov
- Kruskal-
Wallisov H
- razširjeni medianski test
Friedmanov
test
ven

40. Osnovna literatura ven
Ferguson, G. A. (1998). Statistical analysis in psychology and education (3.izd.). New York: McGraw-Hill.
Graveter, F.J., in Wallnau, L.B. (2000). Statistics for the Behavioral Sciences (5.izd.). Belmont, CA: Wadsworth/Thomson Learning.
Pagano, R.R. (2001). Understanding Statistics in the Behavioral Sciences (6.izd.). Belmont, CA: Wadsworth/Thomson Learning.
Petz, B. (1997). Osnovne statističke metode za nematematičare (3. izd.). Jastrebarsko: Naklada Slap.
Spatz, C. (2001). Basic Statistics (7.izd.). Belmont, CA: Wadsworth/Thomson Learning.
Spiegel, M. R. (1991). Theory and problems of statistics (2. izd.). New York: McGraw - Hill.
ven