1. Introducción Una sinusoide es una señal que tiene la forma de una función seno o coseno Una función forzada sinusoidal produce una respuesta natural (transitoria) y una respuesta forzada (estado estable): Respuesta natural: se debe a la naturaleza del circuito Respuesta forzada: permanece después de largo tiempo

2. Voltaje sinusoidal Sinusoides donde V m : amplitud de la sinusoide ω : the angular frequency in radians/s ωt : the argument of the sinusoid T es el periodo o tiempo en segundos de un ciclo de la función. f es el número de ciclos por segundo o frecuencia eléctrica de la función ω está en (rad/s) y f en (Hz)

3. Sinusoides Expresión más general para una sinusoide donde (ωt + φ) es el argumento y φ es la fase (ambos pueden estar en radias o grados) V 2 adelanta a V 1 por φ Si φ≠0: fuera de fase Si φ=0: están en fase Ambas señales operan a la misma frecuencia

4. Para comparar dos sinusoides ambas deben ser expresadas en sino o coseno Identidades trigonométricas: Transformación de sinusoides (técnica gráfica):

5. Suma de sinusoides a la misma frecuencia:

6. Ejemplos

7. 1- Expresando v 2 en coseno:

8. 2- Expresando v 1 en como seno: 3- Utilizando el método gráfico:

10. Fasores Forma polar y exponencial de un número complejo: De la identidad de Euler: ó Entonces: V es el fasor de la sinusoide v(t) Un fasor es un número complejo que representa la amplitud y fase de una sinusoide  Los fasores proporcionan una forma simple de analizar circuitos lineales excitados por sinusoides

11. Fasores Representación de Vejωt : (a) seno en contra de la manecillas del reloj, (b) Proyección en el eje real como función del tiempo. Identidades:

12. Fasores Las diferencias entre v(t) y V son: 1. v(t) es instantáneo o representado en el tiempo, mientras que V está representado en el dominio de la frecuencia o fasorial. 2. v(t) es dependiente del tiempo, mientras que V no lo es. 3. v(t) es siempre real, mientras V generalmente complejo. El análisis fasorial aplica solo cuando la frecuencia es constante y se pueden manipular dos o más señales sinusoidales solo si ellas están a la misma frecuencia

20. Relaciones fasoriales para elementos de circuito Si la corriente a través del resistor es: Por ley de Ohm a través del resistor es: Fasor de voltaje: Donde: Relación voltaje-corriente en un resistors:

22. Corriente a través de un inductor: Voltaje a través de un inductor: En forma de coseno: Con Relación voltaje –corriente en un inductor:

24. Corriente a través de un capacitor:

26. Impedancia y admitancia Ley de Ohm en forma fasorial para los elementos de circuito Impedancia de los elementos pasivos La impezancia de un cto. Es el radio del fasor de voltaje al fasor de corriente, medido En Ohms. Representa la oposición que exhibe el cto. Al flujo de corriente sinusoidal

27. La impedancia es una cantidad compleja que puede ser expresada en forma rectangular y polar Donde

28. La admitancia es el reciproco de la impedancia, medida en Siemens

29. Leyes de Kirchhoff en el dominio de la frecuencia Las leyes de voltajes y corrientes de Kirchhoff se mantienen en el análisis de circuitos en el dominio de la frecuencia. Por LVK la suma de los voltajes en un lazo cerrado es igual a cero: En forma sinusoidal: En forma exponencial: con como

30. Siguiente el mismo procedimiento se puede demostrar que la LCK se mantiene en el dominio de la frecuencia Dominio del tiempo Dominio dela frecuencia

31. Combinaciones de impedancia Aplicando la LVK a la malla se tiene La impedancia equivalente o total de las impedancia serie de la malla es la suma de las impedancias individuales.

32. Divisor de voltaje Caso particular de 2 impedancias serie

33. La impedancia equivalente o admitancia de N impedancias conectadas en paralelo LCK en el nodo superior La admitancia equivalente de una conexión en paralelo es la suma de las admitancias individuales Impedancias en paralelo

34. Divisor de corriente Caso particular de 2 impedancias en paralelo

35. Transformaciones estrella-delta y delta-estrella Impedancias balanceadas

41. ANÁLISIS EN ESTADO ESTABLE SINUDOIDAL

42. La respuesta de estado estable o forzada de circuitos a entradas sinusoidales se puede obtener usando fasores Las leyes de Ohm y de Kirchhoff son aplicables a circuitos en C.A. Pasos para el análisis de circuitos en C.A.: 1.Transformar el circuito al dominio fasorial o de frecuencia 2.Resolver el problema usando técnicas de circuitos 3.Transformar los fasores resultantes al dominio del tiempo Introducción

43. Análisis nodal El análisis nodal se basa en las leyes de Kirchhoff

46. LCK en el supernodo Fuente de voltaje

48. POTENCIA INSTANTÁNEA Y PROMEDIO Potencia instantánea p(t): producto del voltaje instantáneo v(t) y la corriente instantánea i(t) a través de un elemento. Es la potencia en cualquier instante de tiempo y representa la tasa a la cual un elemento absorbe energía.

49. POTENCIA INSTANTÁNEA Y PROMEDIO Considerando el circuito de la siguiente figura: donde el voltaje y corriente en terminales son:

50. POTENCIA INSTANTÁNEA Y PROMEDIO La potencia instantánea absorbida por el ciercuito es: Utilizando la identidad trigonométrica: se tiene: Una parte es constante e independiente del tiempo (diferencia entre voltaje y corriente) La otra parte es una función sinusoidal de doble frecuencia

51. POTENCIA INSTANTÁNEA Y PROMEDIO P(t) es periodica p(t)=p(t+T 0 ) con un periodo de T 0 =T/2 debido a la doble frecuencia Cuando p(t) es positiva el cto. absorbe potencia de la fuente. Cuando p(t) es negativa el cto. Entrega potencia a la fuente.

52. POTENCIA INSTANTÁNEA Y PROMEDIO Potencia promedio: es el promedio de la potencia instantánea sobre un periodo: El promedio de una constante es la misma constante. El promedio de una sinusoide sobre su periodo es cero. Sustituyendo la potencia instantánea tenemos la potencia promedio:

53. POTENCIA INSTANTÁNEA Y PROMEDIO Entonces la potencia promedio es: donde la parte real es la potencia promedio La potencia promedio se puede encontrar sustituyendo los fasores de voltaje y corriente en la ec. De arriba:

54. POTENCIA INSTANTÁNEA Y PROMEDIO Caso 1: Cuando θ v = θ i, se tiene voltaje y corriente en fase (carga puramente resistiva) *Un cto. puramente resistivo absorbe potencia todo el tiempo. Caso 2: Cuando θ v – θ i = ±90º, se tiene un cto. Puramente reactivo. *Un cto. puramente reactivo no absorbe potencia promedio.

64. Máxima Transferencia de Potencia Promedio Un cto. de CA conectado a una carga Z L es representado por su equivalente de Thevenin: donde las impedancias de Thevenin Z Th y de carga Z L son:

65. Máxima Transferencia de Potencia Promedio Corriente a través de la carga: Potencia promedio entregada a la carga:

66. Máxima Transferencia de Potencia Promedio Igualando ambas derivadas a cero tenemos: La impedancia de carga Z L debe ser de la siguiente manera:

67. Máxima Transferencia de Potencia Promedio Para obtener la máxima transferencia de potencia promedio del cto. a la carga, la impedancia de la carga debe ser igual al conjugado complejo de la impedancia de Thevenin. Utilizando esta impedancia de carga, tenemos que la expresión para la máxima potencia promedio es: Cuando la carga es puramente real las condiciones para la máxima transferencia de potencia son: Es decir, la impedancia de carga (o resistencia) es igual a la magnitud de la impedancia de Thevenin.

72. Valor eficaz o RMS de una onda periódica El valor eficaz de cualquier corriente periódica resulta igual al valor de la corriente directa que, al fluir a través de una resistencia entrega la misma potencia promedio a la resistencia que la corriente periódica. La potencia promedio (activa) que entrega la corriente periódica i(t) a la resistencia es La potencia que entrega la corriente directa es Igualando se tiene el valor eficaz de la corriente

73. Valor eficaz de una forma de onda senoidal El valor eficaz para cualquier función peródica es dado by la siguiente expresión: Valor efectivo de una sinusoide i(t)=I m cos(ωt): De manera similar para un voltaje sinusoidal v(t)=V m cos(ωt):

74. Valor eficaz de una forma de onda senoidal La potencia promedio se puede expresar en función de valores RMS Similarmente, la potencia promedio en un resistor:

75. Valor eficaz de una forma de onda senoidal

78. *Tarea: problemas 11.19 a 11.28

79. Potencia aparente y factor de potencia La potencia promedio es el producto de 2 términos: Potencia aparente: producto de voltaje y corriente en valores rms (en VA) Factor de potencia: radio de la potencia promedio a la potencia aparente: El ángulo del factor de potencia θ v – θ i es igual al ángulo de la impedancia de carga si V es el voltaje en terminales de una carga e I es la corriente a través de la carga.

80. Potencia aparente y factor de potencia El factor de potencia tiene un rango de cero a uno. En una carga puramente resistiva el ángulo del FP es 0º y el FP=1. Entonces, la potencia aparente es igual a la potencia promedio. En una carga puramente reactiva el ángulo del FP es 90º y el FP=0. En este caso la potencia promedio es cero. Entre estos dos casos extremos el FP es dicho estar en adelanto o en atraso: FP en adelanto: la corriente adelanta al voltaje -> carga capacitiva. FP en atraso: la corriente atrasa al voltaje -> carga inductiva.

81. Potencia aparente y factor de potencia

84. *Tarea: problemas 11.29 a 11.31

85. Potencia compleja La potencia compleja S absorbida por una carga en CA es el producto del voltaje y el conjugado complejo de la corriente: En términos de valores RMS: *La magnitud y el ángulo de la potencia compleja son la potencia aparente y el ángulo del factor de potencia.

86. Potencia compleja Expresando la potencia compleja S en términos de la impedancia: Donde P y Q son las partes real e imaginaria de a potencia compleja: P es la potencia promedio o real y depende de la resistencia de la carga R. Q depende de la reactancia de la carga X y es llamada potencia reactiva.

87. Potencia compleja Entonces: P es la potencia promedio disipada por la carga. Q es una medida del intercambio sin pérdidas de energía entre la fuente y la parte reactiva de la carga.

88. Potencia compleja

92. *Tarea: Probs. 11.32 a 11.38

93. Corrección del factor de potencia La corrección del factor de potencia: es el proceso de incrementar el factor de potencia de la carga original sin alterar el voltaje o corriente

94. Corrección del factor de potencia Corrección del factor de potencia considerando el triangulo de potencias Si la carga inductiva original tiene una potencias inductiva S 1, entonces Incrementando el FP de cosθ 1 cosθ 2 sin alterar P, la nueva potencia reactiva es: Potencia reactiva reducida por el capacitor en derivación: Entonces: Capacitancia en derivación requerida:

95. Corrección del factor de potencia

96. *Tarea: Probs. 11.53 a 11.58

97. Voltajes trifásicos balanceados Las espiras están desfasadas 120º, por tanto los voltajes inducidos en las espíras son iguales en magnitud pero están desfasados 120º

98. Voltajes trifásicos balanceados Un sistema trifásico es dicho ser balanceado si los voltajes tienen la misma amplitud y frecuencia y están desfasados 120º uno de otro

99. Voltajes trifásicos balanceados

100. En una carga trifásica balanceada las impedancias de fase son iguales en magnitud y en fase Carga trifásica conectada en estrella balanceada Carga trifásica conectada en delta balanceada

101. Voltajes trifásicos balanceados *Tarea : problemas 12.1 a 12.5

102. Conexión estrella-estrella balanceada

103. Voltajes de fase asumiendo una secuencia positiva Voltajes línea a línea o de línea Conexión estrella-estrella balanceada

104. La magnitud de los voltajes de línea es √3 veces la magnitud de los voltajes de fase Conexión estrella-estrella balanceada

105. Aplicando la LVK a cada fase de la figura 12.10 se tienen las siguientes corrientes de línea Conexión estrella-estrella balanceada

108. *Tarea : problemas 12.6 a 12.10

109. Conexión estrella-delta balanceada

110. Asumiendo una secuencia positiva los voltajes de fase son: Los voltajes de línea son: Corrientes de fase de igual magnitud pero desfasadas 210º entre ellas:

111. Conexión estrella-delta balanceada Aplicando la LCK en los nodos A, B y C, se obtienen las corrientes de línea: Como La magnitud de la corriente de línea es √3 la magnitud de la corriente de fase: donde

112. Conexión estrella-delta balanceada Las corrientes de línea atrasan en 30º a las corrientes de fase asumiendo una secuencia positiva:

113. Conexión estrella-delta balanceada

115. *Tarea : problemas 12.11 a 12.16

116. Conexión delta-delta balanceada Voltajes de fase y de línea asumiendo secuencia positiva :

117. Conexión delta-delta balanceada Corrientes de fase: Corrientes de línea: Magnitud de corrientes de línea: Con un desfasamiento de 30º en atraso con respecto al ángulo de la corriente de fase. *Otra opción para su análisis es la conversión a estrella-estrella

118. Conexión delta-delta balanceada

119. *Tarea : problemas 12.17 a 12.20

120. Conexión delta-estrella balanceada Voltajes de fase en las fuentes conectadas en delta asumiendo secuencia positiva : Estos son iguales a los voltajes de línea

121. Conexión delta-estrella balanceada Aplicando ley de voltajes de Kirchhoff Usando

122. Conexión delta-estrella balanceada Corriente de línea: Asumiendo secuencia positiva: *Las corrientes de fase son iguales a las corrientes de línea

123. Conexión delta-estrella balanceada

124. *Tarea : problemas 12.21 a 12.24

125. Resumen

127. Potencia en un sistema balanceado Voltajes de fase en una carga conectada en estrella: Corrientes de fase en la carga: Potencia instantánea total en la carga:

128. Potencia en un sistema balanceado Utilizando la siguiente identidad trignométrica: Tenemos: *La potencia total instantánea en un sistema trifásico balanceado (en estrella o en delta) es constante

129. Potencia en un sistema balanceado La potencia trifásica total promedio es la suma de las potencias promedio en las fases (en conexión estrella o delta): Es similar para la potencia reactiva total promedio: Para una carga conectada en estrella: Para una carga conectada en delta: La potencia compleja total : Donde Z P puede ser de una estrella o una delta

130. Potencia en un sistema balanceado Alternativamente: *Los voltajes y las corrientes de fase y de línea están en valores rms

131. Potencia en un sistema balanceado *Un sistema trifásico utiliza una menor cantidad de cable que un sistema monofásico operando a la misma potencia absorbida y al mismo voltaje de línea *Asumiendo en ambos casos cables del mismo material, longitud y que las cargas son puramente resistivas a) El sistema monofásico utiliza dos cables, donde Las pérdidas de potencia en los dos cables son:

132. Potencia en un sistema balanceado b) El sistema trifásico utiliza tres cables, donde Las pérdidas de potencia en los tres cables son: Considerando que entregan la misma potencia total al mismo voltaje de línea se tiene:

133. Potencia en un sistema balanceado Donde: Entonces: Como se considera que entregan la misma potencia, entonces: El sistema monofásico utiliza 33% más material que el sistema trifásico: *Para entregar la misma potencia con un sistema trifásico se necesita menos material que con un sistema monofásico

134. Potencia en un sistema balanceado

145. *Tarea : problemas 12.25 a 12.39

146. Sistemas trifásicos desbalanceados Un sistema desbalanceado se debe a fuentes de voltaje desbalanceadas o cargas desbalanceadas: 1.Los voltajes de la fuente no son iguales en magnitud y/o en ángulo de fase. 2.Las impedancias de carga son desiguales. Los sistemas trifásicos desbalanceados son resueltos por medio de análisis de mayas y de nodos

147. Sistemas trifásicos desbalanceados Los sistemas trifásicos desbalanceados son resueltos por medio de análisis de mayas y de nodos. Cuando las impedancias de la carga no son iguales la carga está desbalanceada y las corrientes de línea se obtienen por ley de Ohm. Aplicando LCK al nodo N se obtiene la corriente en el neutro. En sistema de 3 cables las corrientes de línea se obtienen usando análisis de mallas.

148. Sistemas trifásicos desbalanceados

154. *Tarea : problemas 12.40 a 12.45

155. TRANSFORMADORES

156. CONCEPTOS BASICOS MÁQUINAS ELÉCTRICAS – Una máquina eléctrica es un dispositivo que transforma la energía cinética en energía eléctrica o viceversa, pasando ésta energía por una etapa de almacenamiento en un campo magnético. – Se clasifican en tres grandes grupos: generadores, motores y transformadores. – Los generadores transforman energía mecánica en eléctrica, mientras que los motores transforman la energía eléctrica en energía mecánica, pueden ser de CC y CA. Los transformadores conservan la forma de la energía eléctrica pero transforman sus características. – Una máquina eléctrica tiene un circuito magnético y dos circuitos eléctricos. Normalmente uno de los circuitos eléctricos se llama excitación, porque al ser recorrido por una corriente eléctrica produce los amper-vueltas necesarios para crear el flujo establecido en el conjunto de la máquina. – La principal razón del usos de la energía eléctrica es, que como tal, es la energía mas eficiente y limpia, con la facilidad de transmisión y control a grandes distancias.

157. EL CAMPO MAGNÉTICO En las Máquinas Eléctricas, los CAMPOS MAGNÉTICOS son los medios fundamentales por el cual la energía es convertida de una forma a otra. Existen cuatro principios básicos que describen cómo se utilizan los campos magnéticos. – Un conductor que conduce corriente eléctrica produce un campo magnético a su alrededor. (Ley de Ampere) – Un campo magnético variable en el tiempo induce un voltaje en una bobina de alambre si pasa a través de ésta. (Ley de Faraday) – Un conductor que conduce corriente en presencia de un campo magnético experimenta una fuerza inducida sobre él. – Un conductor eléctrico que se mueva en presencia de un campo magnético tendrá un voltaje inducido en él.

158. EL CAMPO MAGNÉTICO Producción de un Campo magnético, – La primera definición que es de utilidad es la Ley de Ampere, la cual representa la producción de un campo magnético por una corriente, ésta ley establece que la integral de línea de la intensidad del campo magnético, sobre cualquier trayectoria cerrada es igual a la corriente total que fluye por dicha trayectoria. – donde H es la intensidad de campo magnético el cual se produce por la corriente eléctrica ( Amp-V*metro) y dl es el diferencial de longitud a lo largo de una trayectoria de integración.

159. EL CAMPO MAGNÉTICO – Considere una corriente que fluye alrededor de un material ferromagnético – Aplicando al Ley de Ampere, la cantidad total del campo magnético inducido, será proporcional a la cantidad de corriente fluyendo a través de la bobina del conductor de N vueltas en el material ferromagnético. Se asume que la mayoría del flujo magnético será circulante por el núcleo.

160. EL CAMPO MAGNÉTICO – La corriente neta por el camino de integración es Ni, – En esencia, H es conocido como el esfuerzo de una corriente por establecer un campo magnético. La potencia del campo magnético producido en el núcleo depende del material de éste. La relación entre la intensidad de campo magnético H y la densidad de flujo magnético resultante B producida dentro del material es, – B = densidad de flujo magnético (weber-metro 2, Tesla (T)) –  = Permeabilidad magnética del material (Henrio-metro)

161. EL CAMPO MAGNÉTICO – La constante  puede ser expandida donde se incluye la permeabilidad relativa, definida como, –  0 = permeabilidad del espacio libre, – Entre mas alta la permeabilidad relativa, mas alto el flujo inducido en el núcleo. La permeabilidad relativa es una forma conveniente para comparar capacidad de magnetización de los materiales. – Debido a que la permeabilidad del acero es mucho mas alto que la del aire, la mayoría del flujo permanece en núcleo de acero en lugar de cruzar por el aire. El menor flujo de dispersión que no circula por el núcleo de acero es importante para determinar los enlaces de flujo entre las bobinas y la inductancias propias de las bobinas en transformadores y máquinas eléctricas.

162. EL CAMPO MAGNÉTICO – En un núcleo como el de la figura anterior, – El flujo total por unidad de área que fluye a través del núcleo ferromagnético es, – Asumiendo que la densidad de flujo en un núcleo ferromagnético es constante a través de un área constante A, la ecuación se simplifica, – Tomando en cuenta la intensidad de campo magnético H se tiene,

163. CIRCUITOS MAGNÉTICOS – El flujo magnético inducido en un material ferromagnético tiene su analogía con un circuito eléctrico, Circuito Eléctrico Circuito Magnético

164. CIRCUITOS MAGNÉTICOS – Refiriéndose a la analogía del circuito magnético, F es denotado como la fuerza magnetomotriz (FMM), la cual es similar a la fuerza electromotriz en un circuito eléctrico (FEM). Por consiguiente, se puede decir que F es la fuerza que genera un flujo magnético alrededor de un núcleo ferromagnético con un valor de Ni. Entonces la ecuación del circuito magnético es, – La polaridad de la FMM determinará la dirección del flujo. Para fácil determinación de la dirección del flujo se utiliza la regla de la mano derecha.

165. CIRCUITOS MAGNÉTICOS

166. – La reluctancia en un circuito magnético es similar al concepto de resistencia eléctrica, la cual es una medida de resistencia al flujo magnético en el material. De igual forma que la resistencia eléctrica, la reluctancia puede ser obtenida por las reglas serie y paralelo, serie paralelo – La inversa de la resistencia eléctrica es la conductancia, la cual es una medida de conductividad de un material. De la misma forma, la inversa de la Reluctancia es la Permeancia (P ) que es el grado en el que un material permite el flujo magnético.

167. CIRCUITOS MAGNÉTICOS – Así, – También,

168. CIRCUITOS MAGNÉTICOS – Usando la aproximación del circuito magnético, se simplifican los cálculos relacionados a campos magnéticos en un material ferromagnético, sin embargo, esta aproximación tiene inexactitudes debido a lo asumido al crear la aproximación (inexactitudes de 5% a la respuesta real). Posibles razones de la inexactitud son, 1.El circuito magnético se asume que todos los flujos están dentro del núcleo, pero en realidad una pequeña parte de los flujos se dispersan en el aire, el cual es llamado flujo de dispersión. 2.El calculo de la reluctancia se asume a cierta longitud media de la sección transversal del núcleo. Esto es valido para un material ferromagnético sin esquinas, en la practica normalmente se diseñan con esquinas, por lo tanto lo asumido no es valido. 3.En materiales ferromagnéticos, la permeabilidad varia con la cantidad de flujo en el material. La permeabilidad del material no es constante, puesto que existe una no-linealidad de permeabilidad. 4.Para núcleos ferromagnéticos donde se tiene un entrehierro, hay un Finding Effect (efecto marginal) que debería ser tomado en cuenta.

169. – Un material Ferromagnético como se muestra en la siguiente figura. Tiene 3 lados iguales, mientras que el cuarto lado es diferente, la profundidad o espesor del material es de 10 cm, las demás dimensiones se muestran en la figura. Además, tiene una bobina de 200 vueltas alrededor del lado izquierdo del núcleo. Si se tiene una permeabilidad de  r de 2500, ¿que tanto flujo producirá 1 Ampere de corriente en la bobina? – Ver 3 ejemplos CIRCUITOS MAGNÉTICOS

171. Here comes your footer  Page 171 La figura siguiente muestra un núcleo ferromagnético con un pequeño entrehierro de 0.05 cm y la longitud media es 40 cm, el área de la sección transversal del núcleo es de 12 cm 2, la permeabilidad relativa es de 4000 y la bobina de alambre tiene 400 vueltas. Suponga que el efecto marginal incrementa la sección efectiva del entrehierro en 5%. Dada esta información encuentre:  La reluctancia total del camino del flujo.  La corriente requerida para producir una densidad de flujo de 0.5 Teslas. CIRCUITOS MAGNÉTICOS

172. Here comes your footer  Page 172 Un núcleo ferromagnético con una permeabilidad relativa de 1500 es mostrado en la siguiente figura. La dimensiones son mostradas en la figura y la profundidad del núcleo es de 7 cm. Los entrehierros del lado izquierdo y derecho son 0.07 y 0.05 cm respectivamente. Debido a los efectos de marginación el área efectiva de los entrehierros es 5% mayor que las dimensiones del núcleo. Si el devanado colocado en el centro del núcleo tiene 400 vueltas y circula por el una corriente de 1 A. Calcular:  El flujo en la pierna izquierda, derecha y central del núcleo.  Cuál es la densidad de flujo en cada entrehierro. EJERCICIO

173. Here comes your footer  Page 173 COMPORTAMIENTO MAGNÉTICO DE LOS MATERIALES FERROMAGNÉTICOS  Si recuerdan la permeabilidad magnética del material es,  Se indicó que la permeabilidad magnética es muy alta, la cual puede ser hasta 6000 veces la del espacio libre.  En los ejemplos anteriores, se supuso que la permeabilidad del material era constante independientemente de la FMM aplicada al material.  Aunque la permeabilidad es constante en el aire, no lo es en los materiales ferromagnéticos.

174. Here comes your footer  Page 174 COMPORTAMIENTO MAGNÉTICO DE LOS MATERIALES FERROMAGNÉTICOS La intensidad de campo magnético es directamente proporcional a la fuerza magnetomotriz, y la densidad de flujo magnético es directamente proporcional al flujo para un núcleo dado. La pendiente de la curva de densidad de flujo contra intensidad de campo magnético para cualquier valor de H, en la figura 1-10h es por definición la permeabilidad del núcleo a dicha intensidad de campo magnético. La curva muestra que la permeabilidad es grande y relativamente constante en la región no saturada, y que decrece de manera gradual hasta un valor muy bajo cuando el núcleo se encuentra saturado.

176. Here comes your footer  Page 176 CURVA DE SATURACIÓN O CURVA DE MAGNETIZACIÓN  Suponiendo que una corriente directa alimenta el circuito de la sig. figura, la cual se incrementa de 0 A hasta la máxima corriente posible, se produce un fenómeno denominado saturación magnética

177. Here comes your footer  Page 177 PÉRDIDAS DE ENERGÍA POR HISTERÉSIS  Cuando un campo magnético aplicado a un material ferromagnético es suprimido, el material no anula completamente su magnetismo, sino que permanece un cierto flujo remanente, porque los átomos requieren energía para recuperar su posición anterior.  Para desimantarlo será precisa la aplicación de un campo contrario al inicial.  Este fenómeno se llama HISTÉRESIS magnética, que quiere decir, inercia o retardo.  Los materiales tiene una cierta inercia a cambiar su campo magnético.

178. Here comes your footer  Page 178 POR QUE OCURRE LA HISTÉRESIS?  Los átomos en un material magnético están agrupados en microscópicas regiones magnéticas a las cuales se aplica la denominación de dominios.  Se piensa que todos los átomos dentro de un dominio están polarizados magnéticamente a lo largo de un eje cristalino.  En un material no magnetizado, estos dominios se orientan en direcciones al azar Se usa un punto para indicar que una flecha está dirigida hacia afuera del plano, y una cruz indica una dirección hacia adentro del plano.  Si un gran número de dominios se orientan en la misma dirección el material mostrará fuertes propiedades magnéticas.

179. Here comes your footer  Page 179 POR QUE OCURRE LA HISTÉRESIS?  En el caso cuando los dominios están “totalmente” alineados con el campo externo, el incremento de la FMM aumentará muy poco el flujo (Saturación).  La Histéresis se produce cuando el campo magnético exterior se suprime, los dominios no se ubican de nuevo al azar.  Puesto que los dominios requieren energía para recuperar su anterior posición.  Este tipo de energía puede ser FMM en sentido opuesto, golpes mecánicos y el calor.  Las perdidas por histéresis en el núcleo de hierro corresponden a la energía requerida para reorientar los dominios durante cada ciclo de corriente alterna.  Se puede demostrar que el área encerrada comprendida en la curva de histéresis es directamente proporcional a la energía perdida en un ciclo de corriente alterna.  Estas pérdidas se traducen en forma de calor en el núcleo.

180. Here comes your footer  Page 180 PÉRDIDAS POR CORRIENTES FOUCAULT  Puesto que el núcleo de hierro de un transformador es un material conductor, el campo magnético del transformador induce una tensión en el núcleo. Entonces esta hace que circulen pequeñas corrientes dentro del núcleo. A estas corrientes se les llama corriente parásitas o corrientes de remolino.  Las corrientes inducidas forman anillos semejando un remolino, realmente hay un número infinito de anillos de corriente cubriendo completamente la sección transversal del núcleo.  Las corrientes parásitas se pueden considerar como corrientes de cortocircuito, ya que la única resistencia que encuentran es la pequeña resistencia del material del núcleo.

181. Here comes your footer  Page 181 PÉRDIDAS POR CORRIENTES FOUCAULT  Igual que las pérdidas por histéresis las corrientes parásitas toman energía de los devanados del transformador, por lo que representan pérdidas de potencia.  Las corrientes parásitas en un núcleo de transformador se reducen dividiendo el núcleo en muchas secciones planas o laminaciones y aislando estas laminaciones entre sí, por medio de un revestimiento aislante aplicado en ambos lados de la laminación.  Las pérdida de potencia debida a corrientes parásitas es proporcional a la frecuencia y a la magnitud de la corriente en el transformador.  Por tanto, las pérdidas por corrientes de Foucault al igual que las pérdidas por histéresis, limitan el uso de transformadores de núcleo de hierro en las aplicaciones de altas frecuencias.

182. Here comes your footer  Page 182 PERDIDAS POR FLUJOS DISPERSOS  Los flujos que escapan del núcleo de hierro y pasan únicamente a través de cada uno de los devanados del transformador son los flujos dispersos.  Esta fuga de flujos produce una inductancia propia en las bobinas primaria y secundaria la cual se debe tomar en cuanta.

183. Transformador ideal

184. Un transformador ideal es un dispositivo sin pérdidas, con un devanado de entrada y un devanado de salida. Relación de voltajes entre los devanados primario y secundario: Relación de corrientes entre devanados:

185. En cantidades fasoriales: Convención de puntos: 1.Si el voltaje primario es positivo en el extremo de la bobina marcado con punto, respecto al extremo que no tiene marca, el voltaje secundario será positivo también en el extremo marcado con punto. Las polaridades del voltaje son las mismas con respecto a los puntos en cada lado del núcleo. 2.Si la corriente primaria del transformador fluye hacia dentro del devanado primario por el extremo marcado con punto, la corriente secundaria fluirá hacia fuera del devanado secundario por el extremo marcado con punto.

186. Potencia de entrada al cto. primario del tro.: Potencia en el transformador ideal Potencia suministrada por cto. secundario del tro. a sus cargas: Los ángulos de voltaje y corriente no se afectan en un tro. Ideal. Los devanados primario y secundario tienen el mismo factor de potencia. La potencia de salida de un tro. Ideal es igual a su potencia de entrada: Sustituyendo en la ec. de potencia de salida:

187. Para las potencias reactiva y aparente se tiene la misma situación: Potencia en el transformador ideal

188. Transformación de impedancia a través de un transformador Al cambiar los niveles de voltaje y corriente, el tro. cambia la proporción entre el voltaje y la corriente (impedancia aparente de un elemento). Impedancia de carga Impedancia aparente del primario

189. Análisis de circuitos con tros ideales a)

190. Análisis de circuitos con tros ideales b)

191. Análisis de circuitos con tros ideales

192. Teoría de operación de los transformadores monofásicos reales

193. Here comes your footer  Page 193  La base de operación del transformador puede derivarse de la ley de Faraday:  La ley de Faraday establece que si un flujo atraviesa una espira de alambre conductor, se inducirá en ésta un voltaje directamente proporcional a la tasa de cambio del flujo con respecto al tiempo. Esto se expresa mediante la ecuación:  Si una bobina tiene N vueltas y el mismo flujo pasa a través de todas ellas el voltaje inducido en toda la bobina está dado por: donde: (1.22) (1.23) LEY DE FARADAY

194. Here comes your footer  Page 194  El signo menos en la ecuación expresa la ley de Lenz, la cual establece que la dirección del voltaje inducido en la bobina es tal que si los extremos de ésta estuvieran cortocircuitados, se produciría en ella una corriente que genera un flujo opuesto al flujo inicial.  Puesto que el voltaje inducido se opone al cambio que lo produce u origina, se incluye un signo menos en la ecuación  Debido a que la polaridad del voltaje inducido se puede obtener del análisis físico es posible eliminar el signo menos de la ecuación de faraday. LEY DE LENZ

195. Here comes your footer  Page 195  Utilizar la ecuación (1.23) en la práctica presenta una dificultad, puesto que establece que hay exactamente la misma cantidad de flujo en cada espira de la bobina.  Realmente el flujo se dispersa en los alrededores de la bobina.  La ecuación (1.24) considera el flujo en cada una de las espiras de la bobina (1.24) Si hay N espiras en la bobina, el voltaje total en ésta es (1.25) El término entre paréntesis se denomina enlaces de flujo, la ley de Faraday puede reescribirse como (1.26)

196. Here comes your footer  Page 196  Para el análisis de tros reales se utiliza el flujo medio por vuelta (1.27) Entonces la Ley de Faraday se escribe como (1.28)

197. Here comes your footer  Page 197 Solucionando (2- 17) para el flujo medio presente en el devanado primario del transformador, El flujo de la bobina primaria de un tro real puede dividirse en dos componentes: un flujo mutuo, que permanece en el núcleo y liga ambos devanados, y un flujo disperso pequeño que pasa a través de la bobina primaria pero retorna a ella a través del aire, sin cruzar por la bobina secundaria. Relación de voltaje del transformador

198. Here comes your footer  Page 198 Asimismo, el flujo en el devanado secundario es Entonces, el voltaje en el primario en términos de la Ley de Faraday para el circuito primario es:

199. Here comes your footer  Page 199 El flujo mutuo es el mismo en ambos devanados: El voltaje en el secundario en términos de la Ley de Faraday es: En un transformador bien diseñado la relación entre el Φ M >> Φ LP y Φ M >> Φ LP, entonces la relación entre el voltaje total en el primario y el voltaje total en el secundario del transformador es aproximadamente Cuanto menores sean los flujos dispersos en el transformador, más exacta será la aproximación a la relación de vueltas del transformad

200. Here comes your footer  Page 200 Aún cuando el circuito secundario esté abierto, puede fluir una corriente en el primario. Esta corriente total en vacío es la requerida para producir flujo en un núcleo ferromagnético real. Tiene dos componentes: 1.La corriente de magnetización i M requerida para producir el flujo en el núcleo del transformador. 2.La corriente de pérdidas en el núcleo i h+e requerida por el fenómeno de histéresis y por las corrientes parásitas. Corriente de magnetización en un transformador real

201. Here comes your footer  Page 201 Los puntos ayudan a determinar la polaridad de los voltajes y corrientes sin tener que recurrir a la inspección física de los devanados: 1.Una corriente que fluye hacia un devanado, por su extremo marcado con punto, produce una fuerza magnetomotriz positiva. 2.Una corriente que fluye hacia dentro del devanado, por el extremo no marcado con punto, produce una fuerza magnetomotriz negativa. Corriente de magnetización en un transformador real

202. Here comes your footer  Page 202 La fuerza magnetomotriz neta en el núcleo será Corriente de magnetización en un transformador real La fuerza magnetomotriz neta debe producir el flujo neto en el núcleo y debe ser igual a R la reluctancia del núcleo del transformador. Hasta tanto el núcleo esté saturado, la relación entre las corrientes primaria y secundaria es aproximadamente

203. Here comes your footer  Page 203 Para analizar un tro real como uno ideal se deben considerar los siguientes aspectos: 1.El núcleo no debe tener histéresis o corrientes parásitas. 2.La curva de magnetización debe tener Ia forma mostrada en la figura 2-15. Nótese que para un núcleo no saturado, la fuerza magnetomotriz neta es igual a 0, lo cual implica que N P i P =N S i S. 3.El flujo disperso en el núcleo debe ser cero ; esto implica que todo el flujo en el núcleo liga ambos devanados. 4.La resistencia de los devanados del transformador debe ser cero. Los tros reales bien diseñados están muy cerca de las condiciones de los tros ideales.

204. CIRCUITO EQUIVALENTE DE UN TRANSFORMADOR

205. Here comes your footer  Page 205 La construcción de cualquier modelo aproximado del transformador debe considerar las pérdidas que ocurren en los transformadores reales: 1.Pérdidas en el cobre (I 2 R ). Son pérdidas por calentamiento resistivo en los devanados primario y secundario del transformador. Son proporcionales al cuadrado de la corriente en los devanados. 2.Pérdidas por corrientes parásitas. Pérdidas por calentamiento resistivo en el núcleo del transformador. Son proporcionales al cuadrado del voltaje aplicado al transformador. 3. Pérdidas por histéresis. Están relacionadas con los reordenamientos de los dominios magnéticos en el núcleo durante cada semiciclo, como se explicó en el capítulo l. Son una función compleja no lineal del voltaje aplicado al transformador. 4. Flujo disperso. Los flujos Φ LP y Φ LS escapan del núcleo y pasan únicamente él través de uno de los devanados del transformador son flujos dispersos. Esta fuga de flujos produce una autoinductancia en las bobinas primaria y secundaria, y sus efectos deben tener se en cuenta.

206. Here comes your footer  Page 206 1.Las pérdidas en el cobre se modelan disponiendo de resistores R P y R S en los circuitos primario y secundario del transformador, respectivamente. 2.Los flujos dispersos en los devanados primario y secundario producen los siguientes voltajes inducidos Puesto que mucho del recorrido del flujo disperso es a través del aire, y dado que la reluctancia del aire es constante y mucho mayor que la del núcleo, el flujo es directamente proporcional a la corriente primaria, y el flujo Φ LS es directamente proporcional a la corriente secundaria. Circuito equivalente exacto de un transformador real

207. donde L P y L S son las autoinductancias de las bobinas de los circuitos primario y secundario. Entonces el flujo disperso se modela por medio de inductancias en los devanados primario y secundario. 3. La corriente de magnetización i m es proporcional (en la región no saturada) al voltaje aplicado al núcleo y atrasa el voltaje aplicado en 90º por tanto puede modelarse por una reactancia X M conectada a través de la fuente de voltaje primario. La corriente de pérdidas en el núcleo i h+e es proporcional al voltaje aplicado al núcleo que está en fase con el voltaje aplicado, entonces se modela por una resistencia Rc conectada a través de la fuente de voltaje primario

208. El circuito equivalente resultante se muestra en la figura 2-16. El voltaje aplicado es en realidad igual al voltaje de entrada menos las caídas internas de voltaje en los devanados. Para hacer un análisis práctico de circuitos que contienen transformadores el circuito equivalente debe ser referido a su lado primario o a su lado secundario

209. El circuito equivalente resultante se muestra en la figura 2-16. El voltaje aplicado es en realidad igual al voltaje de entrada menos las caídas internas de voltaje en los devanados.

210. REGULACION DE VOLTAJE EN TRANSFORMADORES Debido a que el transformador real tiene una impedancia serie dentro de él, su voltaje de salida cambia con respecto a la carga, aunque el voltaje de entrada permanezca constante. La regulación de Voltaje a plena carga esta definida:

211. REGULACION DE VOLTAJE Calculo fasorial del transformador,

212. EFICIENCIA DEL TRANSFORMADOR La eficiencia de los transformadores esta definida por: Tipos de perdidas en el transformador: – 1.- Perdidas por el cobre I 2 R – 2.- Perdidas por histéresis. – 3.- Perdidas por corrientes parasitas. Taps Transformador Conmutador de Taps bajo Carga Autotransformadores

219. TRANSFORMADORES TRIFÁSICOS

221. CONEXIONES DE UN TRANSFORMADOR TRIFASICO Los transformador trifásico consta de tres transformadores monofásicos o con un solo núcleo. Tanto los primarios y secundarios de un transformador trifásico pueden ser conectados independientemente en Y o , así que se tiene cuatro opciones de conexión: 1. Y - Y 2. Y -  3.  - Y 4.  - 

222. CONEXIONES DE UN TRANSFORMADOR TRIFASICO Y – Y La conexión Y – Y tiene dos principales problemas: Si la carga del circuito esta desbalanceada, los voltajes de fase del transformador pueden llegar a desbalan- cearse. Los voltajes de tercer armó- nicapueden ser grandes.

223. CONEXIONES DE UN TRANSFORMADOR TRIFASICO Y -  No tiene problemas con terceras armónicas. Debido a que el voltaje del secun- dario esta desfasado 30° con res- pecto al primario se tiene que poner mucha atención al poner dos o más en paralelo.

224. CONEXIONES DE UN TRANSFORMADOR TRIFASICO  - Y

225. CONEXIONES DE UN TRANSFORMADOR TRIFASICO  -  Esta conexión no presenta desfasaje entre ángulos, ni problemas por cargas desbalanceadas y armónicas. Tarea: – Demostrar utilizando Fasores, todas conexiones – Y-Y, Y- ,  -Y y  - .

226. CIRCUITOS ACOPLADOS MAGNÉTICAMENTE  Considere el siguiente circuito magnético del transformador monofásico.

227. CIRCUITOS ACOPLADOS MAGNÉTICAMENTE  Los flujos en cada bobina pueden ser expresados,  Las ecuaciones de voltaje pueden ser expresadas como,  De tal forma que,  a partir de esto se puede obtener el circuito magnético no lineal del transformador.

228. RELACIÓN DE VOLTAJE EN TRANSFORMADORES  Los flujos en cada bobina pueden ser expresados,  Expresado en términos de la ley de Faraday,  también,

229. RELACIÓN DE VOLTAJE EN TRANSFORMADORES  y  donde,  por lo tanto,  para la corriente,

230. Transformador ideal 1.La permeabilidad del núcleo es infinita 1.Todo el flujo está confinado en el núcleo y por tanto, enlaza todas las vueltas o espiras de ambos devanados. 1.Las pérdidas del núcleo y la resistencia de los devanados son cero.

231. Transformador ideal Por ley de Faraday

232. Transformador ideal Convirtiendo a fasores y dividiendo (2.1) entre (2.2)

233. Transformador ideal Mediante la ley de Ampere se encuentra la relación entre las corrientes en ambos devanados. La fuerza magnetomotriz (fmm) a lo largo de una trayectoria cerrada está dada por la integral de línea i : corriente total a través del área limitada por la trayectoria cerrada H : intensidad del campo magnético H ∙ds : producto de la componente tangencial de H y el incremento de distancia ds a lo largo de la trayectoria

234. Transformador ideal Aplicando la ley de Ampere a las trayectorias de flujo cerradas (líneas punteadas en la figura), se producen fmms en direcciones opuestas La integral de la intensidad de campo H alrededor de una trayectoria cerrada es cero cuando la permeabilidad es infinita. Entonces, la densidad de flujo con un valor finito produce una fem e finita inducida en cada devanado devida al flujo variable. En forma fasorial :

235. Transformador ideal En el transformador ideal I 1 debe ser cero si I 2 también lo es Si una impedancia Z 2 se conecta en el devanada secundario del transformador se tiene Sustituyendo V 2 e I 2 de (2.3) y (2.7) Entonces la impedancia a través del devanado primario es

236. Transformador ideal La impedancia conectada al lado secundario es referida al lado primario, multiplicando la impedancia del secundario por el cuadrado de la relación de voltaje primario al secundario En el transformador ideal, la potencia compleja que entra al devanado primario es igual a la potencia compleja que sale del devanado secundario

237. Transformador ideal Alternativamente

238. Bobinas magnéticamente acopladas En el estudio de un transformador real : 1.La permeabilidad no es infinita y por tanto, las inductancias son finitas 2.No todo el flujo que enlaza un devanado también enlaza todos los demás 3.Se encuentra presenta la resistencia de los devanados 4.Hay pérdidas en el núcleo de acero debido al cambio cíclico de la dirección del flujo Ahora consideraremos las 3 primeras características y seguiremos considerando insignificantes las pérdidas en el núcleo de acero

239. Bobinas magnéticamente acopladas

240. Enlaces de flujo debidos a la corriente i 1 Enlaces de flujo debidos a la corriente i 2 Enlaces de flujo cuando ambas corrientes actúan juntas

241. Bobinas magnéticamente acopladas Caídas de voltaje a través de las bobinas cuando los enlaces de flujo varían con el tiempo En forma fasorial

242. Bobinas magnéticamente acopladas En forma matricial (2.22) y (2.23) son Multiplicando (2.24) por la matriz de admitancias

243. Bobinas magnéticamente acopladas