1. INVESTIGACION DE OPERACIONES I PARTE I
UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIA Facultad de Ingeniería Industrial y de Sistemas Area de Sistemas y Telemática
INVESTIGACION DE OPERACIONES I
PARTE I
Profesora: Ing. IRMA INGA SERRANO
2011

2. DATOS DEL CURSO
CODIGO DEL CURSO: ST-113
CREDITOS:
SISTEMA DE EVALUACION: F
Examen Parcial: Peso 1
Examen Final : Peso 2
Promedio de Prácticas: Peso 1
(4 prácticas calificadas, se elimina la mas baja)

3. CONTENIDO DELCURSO 1.- Introducción- Conceptos de Inv. de Operaciones.
2.- Programación Lineal
Formulación de Problemas de Prog. Lineal
Solución de problemas PL. Método simplex
Casos especiales de PL
Método simplex matricial
EXAMEN PARCIAL
Dualidad- Método simplex-dual
Análisis de Sensibilidad
3.- Programación Entera
Formulación de PE
Solución de problemas PE
4.- Programación por metas

4. INTRODUCCION ¿QUE ES LA INVESTIGACION DE OPERACIONES?
La Investigación de operaciones es también llamada Ciencia de la Administración ó Ciencia de las Decisiones ó de los Métodos Cuantitativos.
Aquí se muestra la definición que le dan algunos autores:
“Es el conjunto de conocimientos que involucran procedimientos racionales cuantitativos para la toma de decisiones con base en métodos científicos.”
“Es una disciplina que ayuda en la toma de decisiones mediante la aplicación de un enfoque científico a problemas de decisión que involucran factores cuantitativos”
Resumen:
“Es la aplicación del método científico a problemas de decisión”

5. Proceso de toma de decisiones en la solución de un problema
Análisis cualitativo
Determinar los criterios de evaluación
Definir el problema
Resumen y Evaluación
Toma de decisión
Análisis cuantitativo

6. RESUMEN HISTORICO
La Investigación de Operaciones tiene sus orígenes durante la Segunda Guerra Mundial cuando existía la necesidad urgente de asignar en forma efectiva los escasos recursos a las diferentes operaciones y actividades militares.
Los americanos y británicos encargaron a un grupo de científicos para que aplicando el método científico resuelvan problemas como despliegue de radares, colocación de minas, manejo de operaciones de bombardeo y otros problemas estratégicos y tácticos. Los esfuerzos de este primer grupo científico dieron resultados excelentes.
Al terminar la guerra el éxito de la IO generó gran interés en sus aplicaciones fuera del campo militar como la industria, los negocios, gobierno, etc.

7. Actualmente existen sociedades de profesionales de IO como:
En 1947 George Dantzing crea el Método Simplex para la resolución de problemas de programación lineal. Asimismo, otras herramientas de la IO como la Programación Dinámica, Líneas de Espera, Teoría de Inventarios, etc.se desarrollaron antes de
La revolución de las computadoras contribuyó al desarrollo de la IO y con ella surgió una nueva herramienta de la IO: la Simulación.
Actualmente existen sociedades de profesionales de IO como:
INFORMS (Instituto de Investigación de Operaciones y Ciencias de la Administración) con sede en EE.UU;
IFORS (Federación Internacional de Sociedades de Investigación de Operaciones) que agrupa a mas de 45 países miembros. Objetivo: desarrollo de la IO como ciencia unificada y avance en todas las naciones del mundo.

8. ARTE DE LA REPRESENTACION POR MEDIO DE MODELOS
SISTEMA: Conjunto de partes que interactúan entre si para lograr un conjunto de metas.
MODELOS: representación de objetos o de situaciones reales.
Tipos de Modelos
A) Por su forma de expresión
1.- Modelos Físicos: representación física de la realidad.
Ejm. maqueta de un edificio.
2.- Modelos Abstractos:
2.1. Modelo descriptivo:
Forma de expresión: lenguaje natural.
Metodología para solucionar el problema: sentido común

9. 2.1. Modelo Matemático
Forma de expresión: en forma cuantitativa mediante símbolos y expresiones matemáticos.
Metodología para solucionar el problema: método matemático
Características
Describe el problema en forma concisa
Facilita el manejo del problema y de sus interrelaciones
Facilita el uso de las técnicas matemáticas en computadoras
Entrega soluciones hallados con técnicas matemáticas que pueden ser las óptimas.

10. Mide la calidad de la solución sugerida.
Modelos de Simulación
Simula el sistema real.
En IO, un modelo de simulación es un conjunto de pasos enlazados lógicamente que simulan el comportamiento del sistema real y en el que se experimentarán las posibles soluciones.
Características:
Se utilizan en problemas cuya representación matemática es muy compleja
Puede llevarse a cabo usando muchos lenguajes de programación de computadoras y paquetes ya construidos
Mide la calidad de la solución sugerida.
Se puede determinar una buena solución, no necesariamente la óptima

11. B).- Modelos Matemáticos según su estructura
Modelo determinístico
Los datos o parámetros del sistema son conocidos con certeza.
Modelo probabilístico
Algunos parámetros son de tipo probable
Modelo lineal
Las relaciones funcionales son de tipo lineal
Modelo no lineal
Algunas relaciones funcionales son no lineales
Modelo Continuo
Las variables de decisión pueden tomar valores fraccionarios
Modelo Discreto
Una o mas variables de decisión toman valores enteros
Modelo estàtico
Las propiedades y relaciones funcionales no sufren cambios en el tiempo.
Modelo dinámico:
El tiempo juega en él un rol muy importante.

12. Técnicas de la IO Los modelos utilizados en la IO son :
Modelos matemáticos
Modelos de simulación
En los modelos matemáticos
Los problemas de optimización planteados dieron origen a una variedad de técnicas:
La programación lineal
La Programación lineal entera
La Programación no lineal
La programación dinámica
La programación de metas
La programación de redes, etc.

13. Metodología de la Investigación de Operaciones
1.- DEFINICION DEL PROBLEMA
Comprende:
Determinar claramente el o los objetivos del estudio
Identificar las partes de la organización involucrados en el estudio .
Recolección de datos relevantes
2.- FORMULACION DEL MODELO
Dependiendo de la definición del problema, el analista decide el tipo de modelo mas adecuado para representar el problema.
El modelo debe expresar en forma cuantitativa el objetivo del estudio y las limitaciones o restricciones del problema

14. 3.- SOLUCION DEL MODELO
En Modelos de simulación:
El concepto de optimidad no está tan bien definido y la solución son buenas y factibles pero no necesariamente la òptima.
Para obtener la solución se utiliza la computadora en el cual se programa los pasos indicados en el modelo o bien se utilizan los paquetes ya diseñados para este fin. (GPSS, Estela, Promodel, etc)
En Modelos Matemáticos:
Se utilizan técnicas de optimización bien definidos llamados algoritmos los cuales en forma iterativa halla la solución óptima.
Sin embargo, existen problemas con ciertas características que:
- necesita de muchas iteraciones para solucionarlos, ó
- a veces es imposible hallar una algoritmo de solución.
Entonces, existen otros métodos prácticos (heurísticos) basadas en reglas prácticas con el cual se obtiene una buena solución en forma rápida y simple. Ejm. Problemas de redes.

15. 4.- VALIDACION DEL MODELO
El modelo debe ser verificado y probado completamente para asegurar que ofrece una representación suficientemente precisa del problema real.
El ensayo y validación del modelo se llevan a cabo frecuentemente con problemas “de práctica” relativamente pequeños cuyas soluciones son conocidos o esperados.
5.- GENERACION DE INFORMES E IMPLEMENTACION
Presentar un informe con los resultados del modelo que sea de fácil comprensión para quien toma las decisiones. El informe también debe incluir la decisión recomendada y cualquier otra información respecto a los resultados que sean de utilidad para el tomador de decisiones.

16. TECNICA DE PROGRAMACION LINEAL
Es una de las técnicas mas potentes de la IO, debido a su flexibilidad para describir situaciones reales. Ha sido desarrollado para representar y solucionar problemas de decisión que implican la optimización (maximización o minimización) de una función lineal sujeta a restricciones lineales.
Se aplica en diferentes campos: industrial, militar, financiero, salud, informática, etc.
Es una herramienta determinística. Para compensar esta situación, una vez hallada la solución óptima la IO proporciona el “Análisis de sensibilidad”.

17. Estructura de un modelo de programación lineal
Un Problema de programación lineal tiene:
Variables de decisión: son aquellas definidas por el analista cuyos valores van a solucionar el problema
Función Objetivo (FO): Es aquella función lineal que se va a optimizar (Maximizar o Minimizar)
Restricciones: representan las limitaciones que tiene el problema.
Restricciones estructurales: son inecuaciones lineales de tipo >=, <= o = que un valor b.
Signo de las variables
Las variables de decisión pueden ser de tipo: >=0, <= 0 o sin restricción de signo (srs)

18. Forma general de un modelo de programación lineal
Sea Xi las variables de decisión del problema, (i= 1,2,..n)
FO: Max (ó Min) Z = c1x1 + c2X2 + ….. + cnXn
Sujeto a (s.a.):
a11X1 + a12X2 + a13X3 + …… + a1nXn ≤ b1
a21X1 + a22X2 + a23X3 + …… + a2nXn ≥ b2
…. ……….. ……… …………. .. ……… = …..
am1X1 + am2X2 + am3X3 + …… + amnXn bm
Xi (>=0, <=0, srs)

19. Problema
DFC es una empresa que fabrica escritorios, mesas y sillas. Para la manufactura de cada tipo de mueble de requiere de madera y dos tipos de mano de obra calificada: acabado y carpintería. La cantidad de recursos necesarios para elaborar cada tipo de mueble se da en la siguiente tabla:
  Madera Acabado Carpintería
MUEBLE (pie-tablón) (Hr) (Hr)
Escritorio Mesa
Silla
 Semanalmente se cuenta con 480 pies tablón de madera, 200 horas de acabado y 80 horas de carpintería.
Un escritorio se vende en $60 , una mesa en $30 y una silla en $20. La empresa opina que la demanda de escritorios y sillas es ilimitada pero que se puede vender a lo mas 5º mesas semanales.
Formule el problema como un PL para maximizar los ingresos semanales de la empresa, suponiendo que todo lo que se produce se vende y que las variables aceptan valores fraccionarios.

20. Suposiciones de la Programación lineal
Un problema de programación lineal satisface:
1.-Suposición de certidumbre
Los parámetros del sistema se conocen con certeza
2.- Suposición de divisibilidad
Las variables pueden tomar valores fraccionarios (valores reales)
3.- Suposición de proporcionalidad
La contribución de cada variable a al función objetivo y al lado izquierdo de cada restricción es proporcional al valor de la variable
4.- Suposición de Aditividad
La contribución de cada variable a al función objetivo y al lado izquierdo de cada restricción es independiente de los valores de las otras variables.

21. MODELOS IDEALES
a).- PL MAX IDEAL
PL que tiene:
* Todas sus restricciones de tipo ≤
* Xi ≥0
Max Z = c1x1 + c2X2 + ….. + cnXn
s.a:
a11X1 + a12X2 + a13X3 + …… + a1nXn ≤ b1
a21X1 + a22X2 + a23X3 + …… + a2nXn ≤ b2
…. ……….. ……… …………. .. ……… ≤ …..
am1X1 + am2X2 + am3X3 + …… + amnXn ≤ bm
Xi ≥ 0

22. b).- PL MIN IDEAL
PL que tiene:
* Todas sus restricciones de tipo ≥
* Xi ≥0
Min Z = c1x1 + c2X2 + ….. + cnXn
s.a:
a11X1 + a12X2 + a13X3 + …… + a1nXn ≥ b1
a21X1 + a22X2 + a23X3 + …… + a2nXn ≥ b2
…. ……….. ……… …………. .. ……… ≥ …..
am1X1 + am2X2 + am3X3 + …… + amnXn ≥ bm
Xi ≥ 0

23. Formulación de Problemas de Programación Lineal
Para la formulación del problema como un modelo de programación lineal (PL), se debe tener en cuenta lo siguiente:
El modelo es la representación del problema. Por lo tanto no se debe agregar ni quitar restricciones que no están en el problema. No debe tratar de solucionarlo mientras formula.
En cada restricción tome en cuenta que las unidades debe ser la misma tanto en el lado izquierdo como en el lado derecho.

24. Problem de producciòn
Una fábrica produce pinturas para exteriores y para interiores de casas, para distribuirlos al por mayor.
Para producir las pinturas se utilizan dos materiales básicos A y B. La disponibilidad máxima de A es de 60Tn y la de B es de 80Tn por día. La necesidad diaria de materia prima por cada Tn de pintura es el siguiente:
Pintura para exteriores: 1Tn de materia prima A y 2 Tn de materia prima B
Pintura para interiores: 2 Tn de materia prima A y 1 Tn de materia prima B
Un estudio de mercado ha establecido que la demanda diaria de pintura para interiores no puede ser mayor que la de pintura para exteriores en mas de 10 Tn. Asimismo, el estudio señala que la demanda máxima de pintura para interiores está limitada a 20 Tn diarias.
El precio al por mayor por Tn es de $3000 para la pintura de exteriores y de $2000 para la pintura para interiores.
¿Cuánta pintura para exteriores e interiores debe producir la compañía todos lo días para maximizar el ingreso total?
Nota: Suponga que todo lo que se produce se vende.

25. FORMULACION DEL PL
Sea X1: tn de pintura para exteriores a producir y vender por día
X2: tn de pintura para exteriores a producir y vender por día
FO: Max Z = 3000X X2
s.a.
X1 + 2X2 ≤ 60 (1)
2X1 + X2 ≤ 80 (2)
X2 – X1 ≤ 10 (3)
X2 ≤ 20 (4)
X1, X2 ≥ 0

26. CAPITULO III SOLUCION DE PROBLEMAS DE PL
La solución de un PL consiste en determinar los valores de las variables que cumplan con todas las restricciones y den el mejor valor para la F.O.
METODOS PARA LA SOLUCION DE un PL
1.- Método gráfico
Consiste en graficar las regiones que cumplan con cada una de las restricciones. La intersección de dichas regiones forma el espacio de soluciones factibles del PL (región factible).
La recta de la FO se fija en un punto de la región factible, luego se desplaza sobre ella en la dirección en el cual mejora Z.
El último punto (o puntos) que toca la recta de la FO antes de abandonar la región factible, es la solución óptima.

27. B A C D O X2 EJEMPLO: 1.- Sea el siguiente PL Max Z = 2X1 + 3X2 s.a.
Xi ≥0 Z
(1) B
(3) A C
Región Factible
(2) Z D X1 O
Solución óptima:
X1= 70 , X2= 90 (punto C)
Zop = 410

28. Tipos de regiones factibles: Las regiones factibles pueden ser:
A) cerrado
B) abierto
C) un segmento de recta
D) un punto X2 A
Región factible abierto Z B C X1

29. 2.- Problema
Bevco produce una bebida Cifrut con sabor a naranja que se obtiene al mezclar refresco con sabor a naranja y jugo de naranja. Cada Oz de refresco de naranja contiene 0.5 Oz de azúcar y 1 mg de vitamina C. Cada Oz de jugo de naranja contiene 0.25 OZ de azúcar y 3 mg de vitamina C.
A Bevco le cuesta 2 centavos cada Oz de refresco de naranja y 3 centavos cada Oz de jugo de naranja. El departamento de mercadotecnia de Bevco ha decidido que cada botella de 40 Oz de Cifrut debe contener por lo menos 80 mg de vitamina C y a lo mas 20 Oz de azúcar.
Formule y determine la solución óptima del problema para satisfacer sus necesidades al menor costo..

30. Sea X1: Oz de refresco de naranja en 1 botella de Cifrut
El modelo:
Sea X1: Oz de refresco de naranja en 1 botella de Cifrut
X2: Oz de jugo de naranja en 1 botella de Cifrut
MinZ = 2X1+ 3X2
s.a.
0.5 X X2 ≤ 20
X1 + 3X2 ≥ 80
X1 + X2 = 40
Xi ≥0
Solución óptima (Punto B)
X1=20, X2= Zop= 100 X2
(1)
(3)
Región factible A B
(2) Z X1

31. 2.- Método Algebraico- Método Simplex
El método Simplex es un método iterativo que empieza con una solución factible y en cada iteración obtiene una nueva solución que mejora Z, hasta encontrar la solución óptima, si existe.
Características
El método simplex soluciona modelos que tienen una forma específica conocida como forma estándar. Las restricciones de este PL son ecuaciones.
El método simplex divide las variables del PL en dos grupos:
Variables Básicas (VB) y
Variables No Básicas (VNB)
El método simplex utiliza el Método de Gauss-Jordan para solucionar el sistema de ecuaciones.
El método simplex halla soluciones básicas factibles (sbf)
sbf: solución que se encuentra en la intersección de las rectas (o planos o hiperplanos) de las restricciones.

32. FORMA ESTANDAR DE UN PL
Es un PL que tiene las siguientes características:
F.O. : Max ó Min
Los lados derechos de las restricciones son ≥0
Las restricciones son igualdades
Las variables son ≥0
Nota:
La forma estándar es un PL equivalente al original, por lo tanto la solución óptima de la forma estándar lo es del PL original.
Si la forma estándar es un PL no factible entonces el PL original también lo es.

33. Conversión de un PL en Forma Estándar
1.- Restricciones:
Restricción ≤ : Para convertirla en = se le adiciona una variable de holgura Si (Si ≥0), que representa la cantidad de recursos no utilizados, demanda insatisfecha, etc.
Ejm.
3X1+ 4X2 + 2X3 ≤ 500 …… (1)
3X1+ 4X2 + 2X3 +S1 = 500 …… (1)
Restricción ≥: Para convertirla en = se le agrega una variable de exceso Ei (Ei ≥0), que representa la cantidad excedente al requerimiento mínimo.

34. Ejm.
4X1+2X2+X3 ≥ 100 ……. (2)
4X1+2X2+X3 + e2 = 100 …(2)
Nota: Los coeficientes de Si y Ei en la función objetivo son cero.
2.- Variables
Variable Xi ≤0: Se hace un cambio de variable
Xi = - Xi’, tal que Xi’≥0
Variable Xi srs: Esta variable se reemplaza por la diferencia de dos variables no negativas
Xi = Xi’ – Xi” , tal que Xi’ y Xi” ≥0
Ejemplo.

35. VARIABLES BASICAS Y VARIABLES NO BASICAS
Un PL preparado para el Método simplex (forma estándar preparado) tiene:
n variables y m restricciones tal que n >m
Para resolver el sistema de ecuaciones, es necesario agrupar las variables en dos grupos:
VB: m variables para resolver el sistema de m ecuaciones
VNB: n-m variables que toman el valor arbitrario cero
SOLUCION BASICA DEL PL
Está formado por la unión del conjunto de VB y VNB

36. EJEMPLO:
PL original PL estándar
Max Z = 2X1 + 3X2 Max Z= 2X1+3X2
s.a. s.a.
2X1 + X2 ≤ … (1) 2X1+X2 + S1 = (1)
X1 + 2X2 ≤ 250 … (2) X1+2X2+ S2 = 250 … (2)
X2 ≤ 120 … (3) X2+ S3 = 120 … (3)
Xi ≥ Xi, Si ≥0
Número de Variables = n=5
Número de VB = número de restricciones = m =3
Número de VNB = n-m = 5-3 = 2

37. Método Simplex PASOS 1.- Determinar la solución inicial
Usando la forma estándar del PL original, determinar la sbf inicial el cual está formado por:
VB: las variables de holgura de cada restricción
VNB: las demás variables del PL
2.- Seleccionar la VNB entrante, utilizando la condición de optimidad.
Condición de optimidad: la VNB que entra debe ser aquella que tenga el mejor coeficiente para mejorar Z. Un empate se rompe arbitrariamente
El óptimo se alcanza cuando todas las VNB tienen coeficientes desfavorables para Z

38. 3.- Seleccionar la VB saliente, utilizando la condición de factibilidad.
Condición de factibilidad: el valor que tome la variable entrante debe ser de tal manera que las otras variables básicas sigan siendo factibles. Esta condición es la que determina la variable que sale.
Un empate se rompe arbitrariamente.
4.- Determinar la nueva solución
Realizar las operaciones matemáticas para determinar el valor de las nuevas VB y el valor de Z
5.- Volver al paso 2
Ejemplo: realizar el simplex algebraico para el problema

39. Método Simplex Tabular
El método simplex realiza todas sus operaciones matemáticas en el Tablero Simplex, el cual tiene la siguiente estructura:
Características de un Tablero Simplex en cualquier iteración
Los coeficientes de las VB en la fila Z, tienen valor cero.
Los coeficientes de la VB en las restricciones forman la matriz identidad
Todas las variables del modelo
Solución r Z
Coeficientes de las variables en la fila Z
Valor de Z
Coeficientes de las variables en
las restricciones
Valores de las VB VB

40. PASOS (METODO SIMPLEX TABULAR)
0.- Acondicionar la F.O.
Escribir la F.O. como si fuera una restricción
Ejm. Max Z = 2X1+ 3X2
Se escribe: Max Z – 2X1 - 3X2 = 0
1.- Determinar la SBF inicial
VB: Las variables de holgura de cada restricción
VNB: Las demás variables
2.- Seleccionar la VNB entrante
PL Max:
Seleccionar la VNB con C’< 0. Si hay varias, se escoge la que tiene el coeficiente mas negativo.
Si todas las variables tienen C’≥ 0, se ha llegado al tablero final

41. PL Min
Seleccionar la VNB con C’> 0. Si hay varias, se escoge la que tiene el coeficiente mas positivo.
Si todas las variables tienen C’≤ 0, se ha llegado al tablero final.
En cualquier caso, un empate se rompe arbitrariamente.
3.- Seleccionar la VNB saliente:
La VB que sale es aquella que tiene la menor razón r valor de la columna solución
coef. positivo de la VNB entrante
Un empate se rompe arbitrariamente.
4.- Nueva solución:
Realizar las operaciones necesarias (Gauss-Jordan) para obtener el nuevo Tablero Simplex
5.- Volver al paso 2.
r =

42. EJERCICIOS
Hallar la solución óptima de los siguientes PL ideales
1) Max Z = 2X1 + 3X2
s.a.
2X1 + X2 ≤ (1)
X1 + 2X2 ≤ (2)
X2 ≤ (3)
Xi ≥0
2) Max Z = 60X1 + 30X2 + 20X3
8X1 + 6X2 + X ≤ (1)
4X1 + 2X X3 ≤ (2)
2X X X3 ≤ (3)
Xi ≥0

43. Solución artificial para el Método Simplex
Si un PL tiene restricciones de tipo ≥ ó = (las cuales no tendrán variables de holgura) entonces existe un problema para formar la sbf inicial del método simplex.
Entonces, a las ecuaciones que no tienen variables de holgura, se le agrega una variable artificial ai (ai ≥0 ). Estas variables artificiales serán utilizadas como “variables de holgura” para formar la sbf inicial del simplex.
Ejm 3X1+4X2 ≥ (1) ; 2X1+3X2 = 60 … (2)
3X1+4X2–e1+a1 = (1) 2X1+3X2+ a2 = 60 ..(2)
Las variables artificiales no tienen significado físico para el modelo, por lo tanto se deben tomar medidas para llevarlas a nivel cero en la solución óptima. Para este propósito existen métodos como:
Técnica M ó método de la penalización
La técnica de las dos fases.

44. Técnica M (ó Método de la Penalización)
Pasos
1.- Agregar las variables artificiales a las ecuaciones que no tienen variables de holgura.
2.- Penalizar a las variables artificiales dándoles en la F.O. un coeficiente grande M (M>>0)desfavorable.
Para un PL Max:
Max Z= C1X1+ …… +CnXn – Ma1 – Ma2 - ….
Para un PL Min:
Min Z= C1X1+….. + CnXn + Ma1 + Ma2 + …
3.- Acondicionar la fila Z :
Las variables artificiales formarán parte de las VB iniciales, entonces deben tener coeficiente cero en la fila Z. De esta manera se tendrá una solución inicial artificial para el simplex.
4.- Realizar las operaciones comunes del método simplex para buscar la solución óptima, si existe.

45. Ejemplo: Min Z = 3X1+ 5X2 + 4X3 s.a. 2X1+ 4X2 +2X3 ≤ 80
Xi ≥0
Técnica M
Min Z= 3X1 + 5X2 +4X3 + Ma3 + Ma4
2X1 + 4X2 +2X3 + S1 = …... (1)
3X1 + 4X2 + X3 + S2 = ….. (2)
X1 + X2 +X3 + a = ……. (3)
X3 –e4 + a4 = ……. (4)
X1, X2, S1, S2, a3, e4, a4 ≥0

46. Acondicionando Z:
Primera forma
Las ecuaciones (3) y (4) se suman y se despeja:
a3 + a4 = 45– X1 – X2 – 2X3+ e4
Reemplazando en la F.O.
Min Z = 3X1+5X2 +4X3 + M (45-X1- X2-2X3 +e4)
= (3-M)X1 + (5-M)X2 + (4-2M)X3+ Me4 + 45M
Escribiendo la F.O. como restricción:
Min Z + (M-3)X1 + (M-5)X2 + (2M-4)X3– Me4 = 45M
Segunda forma:
Utilizando el método simplex matricial
Pasar al Tablero Simplex donde la solución inicial será:
VB: S1, S2 a3, a4
VNB: X1, X2, X3, e4
Valor inicial de Z: 45M

47. X1+2X2+X3 ≤ 400 X1+X2+X3 ≥ 300 X3 ≥ 50 Xi ≥ 0 EJEMPLO 2
Sea el siguiente PL:
Max Z = 3X1+4X2 + X3
S.a.
12x1+16x2+4x3 ≤ 4500
X1+2X2+X3 ≤ 400
X1+X2+X3 ≥ 300
X3 ≥ 50
Xi ≥ 0

48. Casos Especiales PL CON SOLUCIONES OPTIMAS ALTERNATIVAS
Es aquel PL que tiene mas de una solución óptima para el mismo valor de Zop.
Gráficamente:
La recta Z es paralela a una restricción límite antes de salir
En el Simplex:
La solución es óptima
Existe una VNB que tiene coeficiente 0 en la fila Z y que al entrar a la base se halla otra solución, pero Zop no cambia.
Ejm.
Max Z= 2X1+ 4X2
s.a.
X1 + 2X2 ≤ 100
X1 + X2 ≤ 80
X1 + X2 ≥ 20
Xi ≥0

49. PL NO ACOTADO
Es aquel PL que tiene soluciones factibles pero no tiene solución óptima.
Gráficamente:
El PL no acotado tiene región factible abierto.
En el PL no acotado la recta Z nunca sale de la región factible
En el Simplex:
El tablero no es óptimo
Existe VNB que entra pero no existe VB que sale (no existe r)
Ejemplo:
Max Z= 2X1+ 4X2
s.a.
X1 + 2X2 ≥ 100
X1 + X2 ≥ 80
X ≤ 100
Xi ≥0

50. Es aquel PL que no tiene soluciones factibles. Gráficamente:
PL NO FACTIBLE
Es aquel PL que no tiene soluciones factibles.
Gráficamente:
No existe región factible.
En el Simplex:
El último Tablero Simplex tiene como VB a variable(s) artificial(es) con valor >0
Ejemplo:
Max Z= 2X1+ 3X2
s.a.
X1 + 2X2 ≤ 100
X1 + X2 ≤ 80
X2 ≥ 60
Xi ≥0

51. Método Simplex Matricial
Sea el siguiente PL estándar de n variables (incluye variables de holgura, exceso y artificiales) y m restricciones:
Max (Min) Z = c1X1+c2X2 + ……. + cnXn
s.a.
a11X1+a12X2 + …….. + a1nXn = b1
a12X1+a22X2+ ……… + a2nXn = b2 ..
am1X1+ am2X2+ ……. + amnXn = bm
Xi ≥ 0

52. Si:
X T = (X1, X2, …., Xn) C = (c1, c2, …., cn)
a a12 …. a1n b1
(A, I) = a a22 …. a2n b = b2 …
am1 am2 …. Amn bm
Entonces el PL se puede escribir en forma matricial:
Max (Min) Z = C X
s.a.
(A, I) X = b
X ≥ 0

53. Tablero simplex matricial
Si el vector de variables se subdivide en dos grupos:
XII = variables básicas iniciales (holgura y artificiales)
XI = las otras variables (var de decisión y var de exceso)
De igual manera el vector de coeficientes de la F.O.:
CII = los coeficientes asociados a XII
CI = coeficientes asociados al vector XI
a). Tablero simplex inicial CI
CII XI
XII
Solución Z
CIIA - CI
CII b
CII
XII A I b

54. b). Tablero simplex en cualquier iteración
Sea: XB = variables básicas en la iteración
CB = coeficientes asociados a las variables básicas
B = matriz de coeficientes de las variables básicas (en el orden en que se han colocado XB
B-1= matriz inversa de B
El tablero simplex en esta iteración es: CI
CII XI
XII
Solución Z
CBB-1A - CI
CBB-1 - CII
CB B-1 b CB XB
B-1A
B-1
B-1 b

55. Cálculo de la matriz inversa con Excel
Pasos
1.- Escribir la matriz A de nxn
2.- En otro lado, seleccionar una matriz de nxn para el cálculo de A´
(automáticamente la primera celda de A´ se encuentra seleccionada para escribir alguna función.)
3.- Escribir (sobre la 1ra celda de A´) lo siguiente:
=MINVERSA(seleccionar la matriz A)
ctrl + shift (↑) + enter
Se obtiene la matriz inversa de A.
4.- Si se desea, se puede dar formato a las celdas para mostrar los números como fracciones (formato celdas fraccion).

56. Ejemplo:
Sea la siguiente matriz A de 3x3
Matriz inversa de A