1. Jorge A. Maidana - Norah S. Giacosa Silvia R. Beck -Walter von der Heyde Silvia R. Beck - Walter von der Heyde Jorge A. Maidana - Norah S. Giacosa Silvia R. Beck -Walter von der Heyde Silvia R. Beck - Walter von der Heyde CINEMATICACINEMATICA DEPARTAMENTO DE FISICA Cátedra: Física General DEPARTAMENTO DE FISICA Cátedra: Física General FACULTAD DE CIENCIAS EXACTAS QUÍMICAS Y NATURALES UNIVERSIDAD NACIONAL DE MISIONES

2. DEPARTAMENTO DE FISICA FACULTAD DE CS. EX. QCAS. Y NATURALES Universidad Nacional de Misiones (UNaM) Física es la ciencia natural que estudia las propiedades del espacio, del tiempo, de la materia y de la energía, así como sus interacciones, considerando aquellos fenómenos que son susceptibles de medida y de los cuales se pueden deducir leyes generales. La física no es sólo una ciencia teórica; es también una ciencia experimental. Como toda ciencia, busca que sus conclusiones puedan ser verificables mediante experimentos y que la teoría pueda realizar predicciones de experiencias futuras.

3. DEPARTAMENTO DE FISICA FACULTAD DE CS. EX. QCAS. Y NATURALES Universidad Nacional de Misiones (UNaM) SISTEMAS DE UNIDADES Los SISTEMAS DE UNIDADES son conjuntos de unidades convenientemente relacionadas entre sí, que se utilizan para medir diversas magnitudes directas (longitud, masa y tiempo) o indirectas (velocidad, densidad, fuerza, energía etc.). Se conocen tres sistemas de unidades: mks o Sistema Internacional, cgs y Técnico y un cuarto: el Sistema Anglosajón de Unidades o Inglés conjunto de unidades no métricas que se utilizan en muchos territorios de habla inglesa Las unidades correspondientes a las magnitudes (longitud, tiempo y masa) expresadas en cada uno de estos sistemas, se presentan a continuación. Los SISTEMAS DE UNIDADES son conjuntos de unidades convenientemente relacionadas entre sí, que se utilizan para medir diversas magnitudes directas (longitud, masa y tiempo) o indirectas (velocidad, densidad, fuerza, energía etc.). Se conocen tres sistemas de unidades: mks o Sistema Internacional, cgs y Técnico y un cuarto: el Sistema Anglosajón de Unidades o Inglés conjunto de unidades no métricas que se utilizan en muchos territorios de habla inglesa Las unidades correspondientes a las magnitudes (longitud, tiempo y masa) expresadas en cada uno de estos sistemas, se presentan a continuación. MAGNITUD M.K.S (S.I.) UNIDADC.G.S.UNIDADTECNICO UNIDAD UNIDADINGLESUNIDADLongitud metro (m) centímetro (cm) metro (m) Pie (ft) Masa kilogramo (kg) gramo (g) unidad técnica de masa (u.t.m.) libra-masa (lbm) Tiempo segundo (s)

4. DEPARTAMENTO DE FISICA FACULTAD DE CS. EX. QCAS. Y NATURALES Universidad Nacional de Misiones (UNaM) DEFINICIONES Y EQUIVALENCIAS METRO: es la longitud de trayecto recorrido en el vacío por la luz durante un tiempo de 1/299.792.458 de segundo. KILOGRAMO: es la masa de un cilindro de 39 milímetros de diámetro y de igual altura, fabricado con una aleación de 90% de platino y 10% de iridio ubicado en la Oficina Internacional de Pesos y medidas, en Sèvres - Francia. SEGUNDO: es la duración de 9.192.631.770 periodos de la radiación correspondiente a la transición entre los dos niveles hiperfinos del estado fundamental del átomo de cesio 133. METRO: es la longitud de trayecto recorrido en el vacío por la luz durante un tiempo de 1/299.792.458 de segundo. KILOGRAMO: es la masa de un cilindro de 39 milímetros de diámetro y de igual altura, fabricado con una aleación de 90% de platino y 10% de iridio ubicado en la Oficina Internacional de Pesos y medidas, en Sèvres - Francia. SEGUNDO: es la duración de 9.192.631.770 periodos de la radiación correspondiente a la transición entre los dos niveles hiperfinos del estado fundamental del átomo de cesio 133. Fuerza = masa x aceleración 1 newton (N) = 1 kilogramo (kg) x 1 metro/segundo 2 (m/s 2 ) 1 newton (N) = 10 3 gramos (g) x 10 2 centímetros/segundo 2 (cm/s 2 ) 1 newton (N) = 10 5 gramos (g) x centímetros/segundo 2 (cm/s 2 ) 1 dina (din) = 1 gramo (g) x 1 centímetro/segundo 2 (cm/s 2 ) 1 newton (N) = 10 5 dinas (din) Peso = masa x aceleración de la gravedad (9,8 m/s 2 ) 1 kilopondio (kp) = 1 unidad técnica de masa (u.t.m.) x 1 metro/segundo 2 (m/s 2 ) 1 kilopondio (kp) = 1 kilogramo (Kg) x 9,8 metros/segundo 2 (m/s 2 ) 1 unidad técnica de masa (u.t.m.) = 9,8 kilogramos (kg) 1 kilopondio (kp) = 9,8 Newton (N) 1 kilopondio (kp) = 9,8 x 10 5 dinas (din)

5. Magnitudes vectoriales Las magnitudes vectoriales son magnitudes que para estar determinadas precisan de un valor numérico, una dirección, un sentido y un punto de aplicación.Vector Un vector es la expresión que proporciona la medida de cualquier magnitud vectorial. Podemos considerarlo como un segmento orientado, en el que cabe distinguir: AUn origen o punto de aplicación: A. BUn extremo: B. Una dirección: la de la recta que lo contiene. BUn sentido: indicado por la punta de flecha en B. ABUn módulo, indicativo de la longitud del segmento AB. Magnitudes vectoriales Las magnitudes vectoriales son magnitudes que para estar determinadas precisan de un valor numérico, una dirección, un sentido y un punto de aplicación.Vector Un vector es la expresión que proporciona la medida de cualquier magnitud vectorial. Podemos considerarlo como un segmento orientado, en el que cabe distinguir: AUn origen o punto de aplicación: A. BUn extremo: B. Una dirección: la de la recta que lo contiene. BUn sentido: indicado por la punta de flecha en B. ABUn módulo, indicativo de la longitud del segmento AB. DEPARTAMENTO DE FISICA FACULTAD DE CS. EX. QCAS. Y NATURALES Universidad Nacional de Misiones (UNaM) Escalares y Vectores AB Magnitudes Escalares Denominamos Magnitudes Escalares a aquellas en las que las medidas quedan correctamente expresadas por medio de un número y la correspondiente unidad. Ejemplo de ello son las siguientes magnitudes, entre otras: MasaMasa TemperaturaTemperatura PresiónPresión DensidadDensidad Magnitudes Escalares Denominamos Magnitudes Escalares a aquellas en las que las medidas quedan correctamente expresadas por medio de un número y la correspondiente unidad. Ejemplo de ello son las siguientes magnitudes, entre otras: MasaMasa TemperaturaTemperatura PresiónPresión DensidadDensidad

6. Para sumar dos vectores se suman sus respectivas componentes. Regla del paralelogramo Se toman como representantes dos vectores con el origen en común, se trazan rectas paralelas a los vectores obteniéndose un paralelogramo cuya diagonal coincide con la suma de los vectores. Regla del paralelogramo Se toman como representantes dos vectores con el origen en común, se trazan rectas paralelas a los vectores obteniéndose un paralelogramo cuya diagonal coincide con la suma de los vectores. Adición de vectores: V 1 V 2 Para sumar dos vectores V 1 y V 2 se escogen como representantes dos vectores tales que el extremo de uno coincida con el origen del otro vector Adición de vectores: V 1 V 2 Para sumar dos vectores V 1 y V 2 se escogen como representantes dos vectores tales que el extremo de uno coincida con el origen del otro vector DEPARTAMENTO DE FISICA FACULTAD DE CS. EX. QCAS. Y NATURALES Universidad Nacional de Misiones (UNaM) Operaciones con Vectores VV1VV1 VV2VV2R x y VV1VV1 VV2VV2 R VV1VV1 VV2VV2R x y VV1VV1 VV2VV2 R Sustracción de vectores: V 1 V 2 V 1 V 2 Para restar dos vectores V 1 y V 2 se suma V 1 con el opuesto de V 2. Las componentes del vector resta se obtienen restando las componentes de los vectores. Sustracción de vectores: V 1 V 2 V 1 V 2 Para restar dos vectores V 1 y V 2 se suma V 1 con el opuesto de V 2. Las componentes del vector resta se obtienen restando las componentes de los vectores. VV1VV1 VV2VV2 R -V -V 2 x y VV1VV1 VV2VV2 R

7. PRODUCTO ESCALAR DE DOS VECTORES V 1 V 2 α Tomemos dos vectores V 1 y V 2, y llamemos α al ángulo que ellos forman. Entonces, el producto escalar entre dichos vectores es: El producto escalar de dos vectores es un número real que resulta al del producto de sus módulos por el coseno del ángulo que forman. PRODUCTO ESCALAR DE DOS VECTORES V 1 V 2 α Tomemos dos vectores V 1 y V 2, y llamemos α al ángulo que ellos forman. Entonces, el producto escalar entre dichos vectores es: El producto escalar de dos vectores es un número real que resulta al del producto de sus módulos por el coseno del ángulo que forman. DEPARTAMENTO DE FISICA FACULTAD DE CS. EX. QCAS. Y NATURALES Universidad Nacional de Misiones (UNaM) Propiedades del producto escalar 1 Conmutativa 2 Asociativa 3 Distributiva 4 El producto escalar de un vector no nulo por sí mismo siempre es positivo. Propiedades del producto escalar 1 Conmutativa 2 Asociativa 3 Distributiva 4 El producto escalar de un vector no nulo por sí mismo siempre es positivo. Operaciones con Vectores

8. PRODUCTO VECTORIAL DE DOS VECTORES V 1 V 2 α Tomemos dos vectores V 1 y V 2, y llamemos α al ángulo que ellos forman. Entonces, el producto vectorial entre dichos vectores es: El producto vectorial de dos vectores es otro vector cuya dirección es perpendicular a los dos vectores y su sentido igual al avance V 1 V 2 de un sacacorchos al girar de V 1 a V 2 PRODUCTO VECTORIAL DE DOS VECTORES V 1 V 2 α Tomemos dos vectores V 1 y V 2, y llamemos α al ángulo que ellos forman. Entonces, el producto vectorial entre dichos vectores es: El producto vectorial de dos vectores es otro vector cuya dirección es perpendicular a los dos vectores y su sentido igual al avance V 1 V 2 de un sacacorchos al girar de V 1 a V 2 Propiedades del producto escalar 1 No conmutativa 2 Homogénea 3 Distributiva 4 El producto vectorial de dos vectores paralelos es igual a un vector nulo. Propiedades del producto escalar 1 No conmutativa 2 Homogénea 3 Distributiva 4 El producto vectorial de dos vectores paralelos es igual a un vector nulo. DEPARTAMENTO DE FISICA FACULTAD DE CS. EX. QCAS. Y NATURALES Universidad Nacional de Misiones (UNaM) Operaciones con Vectores Área del paralelogramo Geométricamente, el módulo del producto vectorial de dos vectores coincide con el área del paralelogramo que tiene por lados a esos vectores. Área del paralelogramo Geométricamente, el módulo del producto vectorial de dos vectores coincide con el área del paralelogramo que tiene por lados a esos vectores. y x z VV1VV1 VV2VV2 V 1 x V V 1 x V 2α

9. DEPARTAMENTO DE FISICA FACULTAD DE CS. EX. QCAS. Y NATURALES Universidad Nacional de Misiones (UNaM) MECANICACINEMATICAMECANICACINEMATICA Desplazamiento (D) Es un vector cuyo origen se encuentra en la posición inicial de la trayectoria y su extremo en la posición final. Desplazamiento (D) Es un vector cuyo origen se encuentra en la posición inicial de la trayectoria y su extremo en la posición final. cinemática La cinemática es una parte de la mecánica, que estudia el movimiento mecánico de los cuerpos sin tener en cuenta la causa que lo origina. Para su estudio es importante uniformizar conceptos y criterios, antes del tratamiento del tema. Trayectoria (l) AC Si un móvil se desplaza desde el punto A hasta el punto C, el camino seguido recibe el nombre de trayectoria. La distancia recorrida y el valor del desplazamiento serán: Trayectoria (l) AC Si un móvil se desplaza desde el punto A hasta el punto C, el camino seguido recibe el nombre de trayectoria. La distancia recorrida y el valor del desplazamiento serán: A B CD Distancia recorrida (d) Es la longitud de la trayectoria, para el caso la suma de los segmentos AB y BC. Distancia recorrida (d) Es la longitud de la trayectoria, para el caso la suma de los segmentos AB y BC.

10. DEPARTAMENTO DE FISICA FACULTAD DE CS. EX. QCAS. Y NATURALES Universidad Nacional de Misiones (UNaM) Movimiento rectilíneo: Velocidad Velocidad Conocida la función v = f(t), se obtiene la posición x resolviendo la ecuación diferencial v = dx/dt, separando las variables e integrando O X A B rectilíneo El movimiento de un cuerpo es rectilíneo cuando su trayectoria es una línea recta. Si lo hace a lo largo de un eje OX, su posición será definida por su desplazamiento medido desde el origen O del eje. El desplazamiento puede relacionarse con el tiempo mediante una función x = f(t) de tal manera que: rectilíneo El movimiento de un cuerpo es rectilíneo cuando su trayectoria es una línea recta. Si lo hace a lo largo de un eje OX, su posición será definida por su desplazamiento medido desde el origen O del eje. El desplazamiento puede relacionarse con el tiempo mediante una función x = f(t) de tal manera que: O X A B xtvxtv x´ t´ v´ ∆x ∆t ∆v DesplazamientoDesplazamiento La velocidad media será: La velocidad instantánea :

11. DEPARTAMENTO DE FISICA FACULTAD DE CS. EX. QCAS. Y NATURALES Universidad Nacional de Misiones (UNaM) Movimiento rectilíneo: Aceleración El cambio vectorial de la velocidad al pasar de A a B está indicado por  v. Ello implica que v +  v = v' o sea  v = v'- v. El cambio vectorial de la velocidad al pasar de A a B está indicado por  v. Ello implica que v +  v = v' o sea  v = v'- v. vtvt v´ t´ O X A B Conocida la función a = f(t), se puede obtener la velocidad resolviendo la ecuación diferencial a= dv/dt, separando las variables e integrando. Será v 0 el valor de la velocidad en el tiempo t 0 v dv = a dt (dx/dt) = a dx La aceleración instantánea será: La aceleración media en el intervalo  t es:

12. DEPARTAMENTO DE FISICA FACULTAD DE CS. EX. QCAS. Y NATURALES Universidad Nacional de Misiones (UNaM) CINEMATICA Movimiento Rectilíneo Uniforme la distancia recorrida por un móvil es directamente proporcional al tiempo empleado en recorrerla. Es el caso en que la distancia recorrida por un móvil es directamente proporcional al tiempo empleado en recorrerla. Significa que, si para recorrer una distancia x un móvil que se mueve con movimiento uniforme emplea un tiempo t, para recorrer una distancia x´ empleará un tiempo t´ y para otra distancia x " otro tiempo t". Esas distancias y tiempos están en proporción y sea cual fuere la distancia que recorra el móvil, empleará un tiempo tal, que el cociente entre esa distancia y ese tiempo será siempre el mismo. En el movimiento rectilíneo uniforme, la velocidad es constante es decir sin aceleración

13. DEPARTAMENTO DE FISICA FACULTAD DE CS. EX. QCAS. Y NATURALES Universidad Nacional de Misiones (UNaM) posición La posición del cuerpo será reemplazando v en velocidad Es el caso en que el movimiento rectilíneo se lleva a cabo con aceleración constante. Si la aceleración es constante la velocidad será: CINEMATICA Movimiento Rectilíneo Uniformemente Acelerado v dv = a dt (dx/dt) = a dx

14. DEPARTAMENTO DE FISICA FACULTAD DE CS. EX. QCAS. Y NATURALES Universidad Nacional de Misiones (UNaM) Movimiento rectilíneo Bajo la Acción del Campo Gravitacional La principal característica de la caída de los cuerpos bajo la acción del campo gravitacional es que para todos, la aceleración de su movimiento es la misma. Ello significa que, lanzados desde una misma altura, todos alcanzan también velocidades iguales. Se puede caracterizar la caída libre diciendo que: La principal característica de la caída de los cuerpos bajo la acción del campo gravitacional es que para todos, la aceleración de su movimiento es la misma. Ello significa que, lanzados desde una misma altura, todos alcanzan también velocidades iguales. Se puede caracterizar la caída libre diciendo que: aceleración de la gravedad( g ) campo gravitacionalvelocidad Esa aceleración se llama aceleración de la gravedad ( g ) y su valor es de aproximadamente 9,80 m/s 2 lo que equivale a decir que un cuerpo que cae por acción del campo gravitacional va aumentando su velocidad en 9,80 metros por segundo, en cada segundo. ¨ En el vacío todos los cuerpos caen con la misma aceleración ¨ aceleración normalg = 9,807 m/s 2 Su valor no es el mismo para todos los lugares de la Tierra, depende de la latitud y de la altura sobre el nivel del mar. A 45° de latitud y al nivel del mar se llama aceleración normal: g = 9,807 m/s 2, aproximadamente.

15. DEPARTAMENTO DE FISICA FACULTAD DE CS. EX. QCAS. Y NATURALES Universidad Nacional de Misiones (UNaM) caída libre y tiro vertical en el vacío Movimiento Rectilíneo Uniformemente Aceleradoo Variado (M. R. U. V. ) g = 9,8 m/s 2. La caída libre y tiro vertical en el vacío, son casos particulares del Movimiento Rectilíneo Uniformemente Acelerado o Variado (M. R. U. V. ) puesto que en ellos la aceleración es constante e igual a g = 9,8 m/s 2. Estos movimientos se conocen generalmente como “movimientos verticales en el vacío”. caída libre y tiro vertical en el vacío Movimiento Rectilíneo Uniformemente Aceleradoo Variado (M. R. U. V. ) g = 9,8 m/s 2. La caída libre y tiro vertical en el vacío, son casos particulares del Movimiento Rectilíneo Uniformemente Acelerado o Variado (M. R. U. V. ) puesto que en ellos la aceleración es constante e igual a g = 9,8 m/s 2. Estos movimientos se conocen generalmente como “movimientos verticales en el vacío”. Movimiento rectilíneo Bajo la Acción del Campo Gravitacional Que se realicen en el vacío implica que aun llevándose a cabo en el aire, no se consideran algún tipo de resistencia al movimiento, como ser fuerzas de fricción o rozamientos, o fuerza de flotamiento (Arquímedes), que serían comunes en movimientos de cuerpos en el aire o en cualquier fluido, y para los casos a discutir libres también de la acción de campos eléctrico y magnético. La única fuerza que está actuando es el peso del cuerpo, la cual determina la existencia de la aceleración de la gravedad. Si bien esta aceleración no es constante en todos los puntos del planeta tomaremos por el momento el valor a considerar de 9,8 m/s 2. Que se realicen en el vacío implica que aun llevándose a cabo en el aire, no se consideran algún tipo de resistencia al movimiento, como ser fuerzas de fricción o rozamientos, o fuerza de flotamiento (Arquímedes), que serían comunes en movimientos de cuerpos en el aire o en cualquier fluido, y para los casos a discutir libres también de la acción de campos eléctrico y magnético. La única fuerza que está actuando es el peso del cuerpo, la cual determina la existencia de la aceleración de la gravedad. Si bien esta aceleración no es constante en todos los puntos del planeta tomaremos por el momento el valor a considerar de 9,8 m/s 2. Caída libre y Tiro vertical en el vacío

16. DEPARTAMENTO DE FISICA FACULTAD DE CS. EX. QCAS. Y NATURALES Universidad Nacional de Misiones (UNaM) v 0 t b) Se arroja un cuerpo hacia abajo, es decir con una velocidad inicial v 0, la distancia recorrida en t segundos será: g, t a) Se deja caer un cuerpo partiendo del reposo ( t 0 =0 ; v 0 =0), bajo la acción de g, al cabo de t segundos, la distancia recorrida será: v 0 velocidad final v Si se lo arroja verticalmente hacia abajo, con velocidad inicial v 0 la velocidad final v será: Caída Libre Movimiento Rectilíneo Uniformemente Acelerado Se trata de un Movimiento Rectilíneo Uniformemente Acelerado, por lo tanto son aplicables las ecuaciones: Movimiento rectilíneo Bajo Acción de la gravedad DISTANCIA RECORRIDA: VELOCIDAD FINAL:

17. DEPARTAMENTO DE FISICA FACULTAD DE CS. EX. QCAS. Y NATURALES Universidad Nacional de Misiones (UNaM) Tiro vertical Movimiento Rectilíneo Uniformemente Retardado Se trata de un Movimiento Rectilíneo Uniformemente Retardado, por lo tanto son aplicables las ecuaciones: DISTANCIA RECORRIDA: v 0 t a) Se arroja un cuerpo hacia arriba, del nivel cero (t 0 =0 ; y 0 =0), con una velocidad v 0, la distancia recorrida en t segundos será: v 0 la velocidad final v Si se lo arroja verticalmente hacia abajo, con velocidad inicial v 0 la velocidad final v será: VELOCIDAD FINAL: Movimiento rectilíneo Bajo Acción de la gravedad v 0 b) Se arroja un cuerpo hacia arriba, partiendo de un nivel distinto de cero, con una velocidad inicial v 0, la distancia será:

18. DEPARTAMENTO DE FISICA FACULTAD DE CS. EX. QCAS. Y NATURALES Universidad Nacional de Misiones (UNaM) Movimiento rectilíneo Bajo Acción de la gravedad MOVIMIENTORECTILINEOUNIFORMEMENTEACELERADO CAIDA LIBRE TIRO VERTICAL

19. t 1 v = 0 a) Tiempo t 1 para alcanzar la altura del punto B: se calcula haciendo v = 0 v = v 0 - gt v = v 0 - gt = 0 = 98 [ms -1 ] - 9,8 [ms -2 ] t 1 t 1 v = 0 a) Tiempo t 1 para alcanzar la altura del punto B: se calcula haciendo v = 0 v = v 0 - gt v = v 0 - gt = 0 = 98 [ms -1 ] - 9,8 [ms -2 ] t 1 DEPARTAMENTO DE FISICA FACULTAD DE CS. EX. QCAS. Y NATURALES Universidad Nacional de Misiones (UNaM) Movimiento rectilíneo Tiro Vertical - Caída Libre A B C y B se calcula con t 1 = 10s; y 0 = 100 m b) La altura máxima y B medida desde el suelo: se calcula con t 1 = 10s; y 0 = 100 m y B = y 0 + v 0 t - ½gt 2 = 100[m] +98 [ms -1 ] 10[s] -½ 9,8 [ms -2 ] 10 2 [s] 2 y B se calcula con t 1 = 10s; y 0 = 100 m b) La altura máxima y B medida desde el suelo: se calcula con t 1 = 10s; y 0 = 100 m y B = y 0 + v 0 t - ½gt 2 = 100[m] +98 [ms -1 ] 10[s] -½ 9,8 [ms -2 ] 10 2 [s] 2 Se lanza sin rozamiento un cuerpo hacia arriba como se muestra en la figura desde una altura y 0 = 100 m con una velocidad inicial v 0 = 98ms -1. se calcula con v para un tiempo t 2 =20,96s d) La velocidad al llegar al suelo: se calcula con v para un tiempo t 2 =20,96s v = v 0 - gt = -107,41 ms -1 (el signo sugiere un desplazamiento hacia abajo) se calcula con v para un tiempo t 2 =20,96s d) La velocidad al llegar al suelo: se calcula con v para un tiempo t 2 =20,96s v = v 0 - gt = -107,41 ms -1 (el signo sugiere un desplazamiento hacia abajo) c) El tiempo para que el cuerpo llegue al suelo se calcula igualando a cero la ecuación anterior y C = 0 = y 0 + v 0 t - ½gt 2 siendo sus raíces 20,96 s y -0,96s; (se toma la positiva) c) El tiempo para que el cuerpo llegue al suelo se calcula igualando a cero la ecuación anterior y C = 0 = y 0 + v 0 t - ½gt 2 siendo sus raíces 20,96 s y -0,96s; (se toma la positiva) t 1 = 10 s y B = 590m t 2 = 20,96 s v = -147,41ms -1 Calcular: B a) El tiempo t 1 para alcanzar la altura del punto B b) La altura máxima y B medida desde el suelo. AC c). El tiempo total del lanzamiento desde el punto A hasta C. d) La velocidad al llegar al suelo a g = 9,8 Reemplazando a por g = 9,8 ms -2 y teniendo que para cualquier tiempo t :Calcular: B a) El tiempo t 1 para alcanzar la altura del punto B b) La altura máxima y B medida desde el suelo. AC c). El tiempo total del lanzamiento desde el punto A hasta C. d) La velocidad al llegar al suelo a g = 9,8 Reemplazando a por g = 9,8 ms -2 y teniendo que para cualquier tiempo t :

20. DEPARTAMENTO DE FISICA FACULTAD DE CS. EX. QCAS. Y NATURALES Universidad Nacional de Misiones (UNaM) Movimiento curvilíneo: Velocidad S AB Consideremos una partícula que describe una trayectoria curvilínea S a lo largo de un arco desde A hasta B. Su posición esta definida por los vectores: A S B X Z Y t t' r r' O AB ∆r Y el vector desplazamiento AB se define por ∆r: Su velocidad media y componentes vectoriales serán: Su velocidad instantánea y sus componentes vectoriales : XY Z La magnitud de la velocidad y sus componentes a lo largo de los ejes X; Y y Z serán:

21. representa un vector de magnitud unitaria y dirección tangente a la trayectoria. DEPARTAMENTO DE FISICA FACULTAD DE CS. EX. QCAS. Y NATURALES Universidad Nacional de Misiones (UNaM) Movimiento curvilíneo: Velocidad Puede demostrarse que la velocidad es tangente a la trayectoria para ello se opera multiplicando y dividiendo por ∆s la ecuación: ΔrΔs BA Notar que Δr es casi igual a Δs y que a medida que B se acerca a A tanto mas lo es, por lo tanto el limite B B" B' A uTuT v T Por otra parte si

22. DEPARTAMENTO DE FISICA FACULTAD DE CS. EX. QCAS. Y NATURALES Universidad Nacional de Misiones (UNaM) Movimiento curvilíneo: Aceleración En el movimiento curvilíneo, la velocidad cambia su magnitud según su valor aumenta o disminuye, e indefectiblemente cambia su dirección debido a que la velocidad es tangente a la trayectoria y sigue la curvatura de esta. AB El cambio vectorial en la velocidad al pasar de A a B está dado por ∆v = v'- v por lo que la aceleración media e instantánea en el intervalo ∆t será: A S B X Z Y t t' O v' v v v v vv v Como la velocidad cambia en la dirección en la cual la trayectoria se curva la aceleración está siempre apuntando hacia la concavidad

23. DEPARTAMENTO DE FISICA FACULTAD DE CS. EX. QCAS. Y NATURALES Universidad Nacional de Misiones (UNaM) Movimiento curvilíneo: Aceleración Podemos escribir a la aceleración en función de sus componentes ortogonales: XYZ Las componentes de la aceleración a lo largo de los ejes X ; Y y Z son Si recordamos que: Podemos escribir: La magnitud de la aceleración será entonces:

24. DEPARTAMENTO DE FISICA FACULTAD DE CS. EX. QCAS. Y NATURALES Universidad Nacional de Misiones (UNaM) Movimiento curvilíneo bajo aceleración constante curvilíneo bajo aceleración constante, v El movimiento curvilíneo bajo aceleración constante, es el caso en que la aceleración se mantiene invariable tanto en su dirección como en su magnitud a lo largo de toda la trayectoria. Si de la ecuación de la aceleración se separan las variables y se la integra, se obtiene el valor de la velocidad v en función del tiempo: v = dr/dtvv 0 + a (t-t 0 ) Recordando que v = dr/dt y reemplazando v por v 0 + a (t-t 0 ) se obtiene la ecuación diferencial cuya solución nos da la posición de la partícula en cualquier instante. Ecuaci ó n que indica que la trayectoria es una par á bola.

25. XY Si elegimos el plano XY para el análisis del movimiento observamos que la velocidad inicial y sus componentes serán: DEPARTAMENTO DE FISICA FACULTAD DE CS. EX. QCAS. Y NATURALES Universidad Nacional de Misiones (UNaM) Movimiento de un proyectil Movimiento curvilíneo bajo aceleración constante v o a a = g Es el caso en que un cuerpo se mueve en un plano definido por los vectores v o y a bajo la acción de una aceleración constante a = g. A vovo X Y g h  O g g g vovo v ox v v g B v Si la velocidad v puede expresarse como: t 0 =0 y a=g=-u y g La misma y sus componentes vectoriales para t 0 =0 y a=g=-u y g serán: Puede observarse que la componente de la velocidad en la direcci ó n X permanece constante.

26. DEPARTAMENTO DE FISICA FACULTAD DE CS. EX. QCAS. Y NATURALES Universidad Nacional de Misiones (UNaM) Recordando que: a = g = -uy gr 0 = 0 t 0 = 0 la posición del proyectil en cualquier instante para a = g = -uy g y r 0 = 0 al tiempo t 0 = 0 será: XY Y sus componentes en las direcciones X e Y : ECUACION DE LA TRAYECTORIA t = x/v ox y = f(t)v ox = cos α v oy = sen α y = f(x) Remplazando t = x/v ox en la función y = f(t) considerando v ox = cos α y v oy = sen α se obtiene la ecuación de la trayectoria y = f(x) del proyectil: Movimiento de un proyectil Ecuación de la trayectoria

27. DEPARTAMENTO DE FISICA FACULTAD DE CS. EX. QCAS. Y NATURALES Universidad Nacional de Misiones (UNaM) Av y = 0 El tiempo requerido para que el proyectil alcance la máxima altura A se encuentra haciendo v y = 0, ya que en ese punto la velocidad del proyectil se hace horizontal: A tt h La altura alcanzada en el punto A se obtiene sustituyendo el valor de t por t h en la ecuación: tt v = 2t h x = v 0x t Se obtiene la distancia R sustituyendo t por t v = 2t h (tiempo de vuelo) en la ecuación x = v 0x t Notar que el alcance R es m á ximo cuando α =45 º TIEMPO PARA ALCANZAR LA ALTURA MAXIMA Movimiento de un proyectil Ecuaciones características ALTURA MAXIMA ALCANZADA DISTANCIA HORIZONTAL CUBIERTA O ALCANCE “R”

28. DEPARTAMENTO DE FISICA FACULTAD DE CS. EX. QCAS. Y NATURALES Universidad Nacional de Misiones (UNaM) Movimiento curvilíneo bajo aceleración constante ECUACION DE LA TRAYECTORIA TIEMPO PARA ALCANZAR LA ALTURA MAXIMA ALTURA MAXIMA ALCANZADA DISTANCIA HORIZONTAL CUBIERTA O ALCANCE “R” X Y O h vovo  g R

29. DEPARTAMENTO DE FISICA FACULTAD DE CS. EX. QCAS. Y NATURALES Universidad Nacional de Misiones (UNaM) Movimiento curvilíneo bajo aceleración constante La altura máxima: Y v 0 = α = Un cañón dispara una bala obstaculizado por una colina con velocidad v 0 = 200 m/s con un ángulo α = 40º respecto a la horizontal como se muestra en la figura. a) Calcular la posición y la velocidad de la bala 20 s después del disparo. b) Verificar si el proyectil supera la colina de 820 m de altura y da en un blanco a una distancia de 4.021 m medida desde el cañón. v 0 = α = Un cañón dispara una bala obstaculizado por una colina con velocidad v 0 = 200 m/s con un ángulo α = 40º respecto a la horizontal como se muestra en la figura. a) Calcular la posición y la velocidad de la bala 20 s después del disparo. b) Verificar si el proyectil supera la colina de 820 m de altura y da en un blanco a una distancia de 4.021 m medida desde el cañón. v P vyvy vxvx Las coordenadas en X e Y son: O X  v0v0v0v0 La posición para t=20 [s]: La velocidad para t=20 [s]: El alcance: El proyectil supera la colina y da en el blanco

30. DEPARTAMENTO DE FISICA FACULTAD DE CS. EX. QCAS. Y NATURALES Universidad Nacional de Misiones (UNaM) Componentes Tangencial y Normal de la aceleración t,A vaa a T AT a N AN Se observa una partícula cuyo movimiento describe una trayectoria curva. En el tiempo t, la misma se encuentra en A con velocidad v y aceleración a. Considerando que la aceleración a esta dirigida hacia el lado cóncavo de la trayectoria podemos descomponerla en una componente tangencial a T paralela a la tangente AT (aceleración tangencial) y una componente normal a N paralela a AN (aceleración normal). Cuando la partícula se mueve, la magnitud de la velocidad puede cambiar y ese cambio está relacionado con la aceleración tangencial, pero también la dirección de la velocidad cambia y ese cambio se relaciona con la aceleración normal. Cambio en la magnitud de la velocidad: aceleración tangencial. Cambio en la dirección de la velocidad: aceleración normal. Cambio en la magnitud de la velocidad: aceleración tangencial. Cambio en la dirección de la velocidad: aceleración normal. v u T u T v. La velocidad tangente a la curva se puede expresar como v = u T v donde u T es un versor que fija la dirección y el sentido de v. X Y O A N S T v u T dv/dt a N du T /dt va T El término u T dv/dt representa a N la componente tangencial de la aceleración. Calculando la variación du T /dt y multiplicando por v se obtiene a T la componente normal de la aceleración.

31. DEPARTAMENTO DE FISICA FACULTAD DE CS. EX. QCAS. Y NATURALES Universidad Nacional de Misiones (UNaM) Componentes Tangencial y Normal de la aceleración Calculo de du T /dt: u T du T /dt =0 u T S Calculo de du T /dt: Si la trayectoria fuera una recta, el vector u T seria constante y du T /dt =0. Siendo una curva, la dirección de u T varia a lo largo de S y su de derivada se puede calcular de la manera siguiente: u T Notar que du T /dt es normal a la curva. A A’S ρ dθ/ds= 1/ρ. ds/dt = vdθ/dt Si el cuerpo se mueve de A a A’ a lo largo la curva S con radio ρ, se observa que dθ/ds= 1/ρ. Siendo ds/dt = v se calcula dθ/dt : a T tangencial a N normal Reemplazando en la ecuación general se obtienen las componentes a T (tangencial) y a N (normal) de la aceleración. X Y O A S T v C r T’ A’ u N Como el vector u N es:

32. DEPARTAMENTO DE FISICA FACULTAD DE CS. EX. QCAS. Y NATURALES Universidad Nacional de Misiones (UNaM) Movimiento circular Velocidad angular vR En el caso en que la trayectoria es una circunferencia, la velocidad v es tangente al círculo y perpendicular al radio R. De la figura se observa que: dθ/dt ω La relación dθ/dt se define como velocidad angular ω y representa a la variación del ángulo descrito en la unidad de tiempo, radianes por segundo [rad.s -1 ] o [ s -1 ] v C O X R A s  v = Rdθ /dt Reemplazando en: v = Rdθ /dt se tiene: v por lo tanto la velocidad v puede representarse por el producto vectorial siguiente: Del gráfico se observa que: Por lo tanto la velocidad: Considerando que R es contante la derivada de la función será: R r v =  x r   X Z C A Y O

33. DEPARTAMENTO DE FISICA FACULTAD DE CS. EX. QCAS. Y NATURALES Universidad Nacional de Misiones (UNaM) Movimiento circular uniforme Velocidad angular ω Es el caso en que siendo la trayectoria una circunferencia, la velocidad angular ω es constante,y ya que la partícula pasa por cada punto a intervalos iguales de tiempo el movimiento es periódico. Si la velocidad angular es constante: t= P Rθ=2  Si el movimiento circular es uniforme se puede relacionar al tiempo t= P y a la trayectoria a una circunferencia de radio R por lo que θ=2  Los conceptos de período y frecuencia se aplican a todos los procesos que ocurren en forma cíclica es decir procesos que se repiten al completar un ciclo. Cuando el período se expresa en segundos, la frecuencia lo hace en segundos -1 o [ s -1 ] unidad conocida como Hertz [ Hz ]. R r  X Z C A Y O 

34. DEPARTAMENTO DE FISICA FACULTAD DE CS. EX. QCAS. Y NATURALES Universidad Nacional de Misiones (UNaM) Movimiento circular uniforme Aceleración angular Cuando la velocidad angular de una partícula cambia con el tiempo su aceleración será: Si la aceleración angular es constante esto es cuando el movimiento circular es uniformemente acelerado: ω Como el movimiento circular es en el plano la dirección de ω permanece invariable no así su magnitud, r  X Z A Y O R v C R A a ω= dθ/dt Combinando esta ultima ecuación con: ω= dθ/dt se tiene: En el caso particular de movimiento circular uniforme se tiene:

35. Fragmento de “El Universo Mecánico” clases dictadas por David Goodstein realizado por California Institute of Technology & The Corporation for Community College en 1985 Movimiento circular

36. FINCINEMATICA BIBLIOGRAFIA CONSULTADA: [1] SEARS, W.; ZEMANKY, M.; YUONG, H y FREEDMAN, R. (2004) Física Universitaria. Volumen 1. México. [2] SEARS, F. (1972) Electricidad y magnetismo. Fundamentos de Física II. Editorial Aguilar. Madrid. [3] ALONSO, M. y FINN, E. (1976) Física. Vol I: Mecánica. Fondo Educativo Interamericano. U.S.A. [4]SERWAY,R.FAUGHN,J. (2001) Física. Pearson Educación. Mexico. [5] FISICA GENERAL. Apuntes de cátedra. FCEQyN. UNaM. FACULTAD DE CIENCIAS EXACTAS QUÍMICAS Y NATURALES UNIVERSIDAD NACIONAL DE MISIONES