§10.2 对偶空间 一、对偶空间与对偶基 二、对偶空间的有关结果 三、例题讲析

一、对偶空间与对偶基 1、 对偶空间 定义 设 是数域 上的 维线性空间， 表示 上全体线性函数的集合，在 中定义加法 和数乘运算： 设 是数域 上的 维线性空间， 表示 上全体线性函数的集合，在 中定义加法 和数乘运算： 则　　　 构成数域 上的线性空间，称之为V 的对偶空间，记为

2、 对偶基 设 为数域 上线性空间 的一组基， 作映射 则 ，且 ① 对任意 有， 即，

② 线性无关. 证明：设 两端作用 得 线性无关. ③ 中任意线性函数可由 线性表出. 证明： ，对 ，设 则

综合②与③即得 定理2　取定线性空间V的一组基 若V上的n个线性函数　　　　　　满足 则　　　　　 为 的一组基. 称之为 　　 的对偶基.

3、例题讲析 例. 上线性空间 ,任意 个不同实数 根据拉格朗日插值公式，有多项式 则 且　　　　　　　　 　为 的一组基.

这是因为: ① 线性无关. 事实上，若有 用 依次代入上式则得: 线性无关. ② 为基.

设　　　　　　　　　是在　点的取值函数： 则线性函数满足 因此 是 的对偶基.

二、对偶空间的有关结果 1、定理3　设 　与 　 为线性 空间V的两组基，其的对偶基分别为 与 如果 则　　　　　 到 的过渡矩阵为 即，

证明：设V数域P上的一个n维线性空间， 与 是V的两组基，它们的对偶基分别是 即， 再设

其中， 于是有 即 或 所以， 　

2、线性函数空间的同构 定理4　设V为线性空间，　　是V的对偶空间 的对偶空间，即 定义映射 则 为同构映射.　即　

证： 同理 所以 保持加法和数量乘法.

首先： 是1-1对应的， 若 则对 , 即, 又 由 的任意性， 即 故 是单射.

注： 由Th3, 与 同构，而 是 上线性函数空间， 空间，所以 可看成 上线性函数空间, 与 是 互为线性函数空间的.

三、例题讲析 例1.设 是线性空间 的一组基, 是它的对偶基， 试证： 是 的一组基，并求它的对偶基. （用 表示）

解： 而 非退化. 故 是 的一组基. 它的对偶基

例2.设 是一个线性空间， 是 中的 非零向量. 证明： 存在 使 证： 的核 是 的真子空间，否则 即 从而 与已知矛盾.