一. 机械波产生的条件 ---- 波源和介质 F 机械波源：作机械振动的物体 F 弹性介质：质元之间彼此有弹性 力联系的物质 § 16-1 机械波的产生和传播 二. 两类机械波 ---- 横波和纵波  横波：质元的振动方向与波动 的传播方向垂直

 纵波：质元的振动方向与波 动传播方向平行

三. 波阵面和波射线  波阵面 ( 波面 ) ： 某一时刻振动相 位相同的各点连成的面 ( 同相面 )  波前：波面中最前面的波面  波射线 ( 波线 ) ：波的传播方向 在各向同性媒介中，波线与波面 垂直 在各向同性媒介中，波线与波面 垂直

球面波 波阵面波射线 波阵面 平面波

F 弹性：外力去除后，物体的变 形随之消失的性质 基本变形： 拉伸、压缩、剪切 四. 弹性体的变形规律 体变 1. 弹性体的体积变形 立方体受正压力 f 作用 f f

体变 胁强 ( 应力 ) 胁变 ( 应变 ) ---- 体变弹性模量 定义

2. 弹性体的拉伸和压缩变形 设柱体受拉力作用 胁强 胁变 长变 ---- 杨氏模量 定义

---- 切变弹性模量 3. 弹性体的剪切形变 胁强 胁变 设柱体受切向力作用 切变 定义

讨论： Ê 弹性模量的大小决定于材料的 弹性，它反映了材料抵抗形变 的能力 Ë 液体和气体只能发生体积形变 ，因此只有体变弹性模量

五. 波速与弹性模量的关系 弹性波的波速由介质的弹性模量 和密度 (  ) 所决定 弹性波的波速由介质的弹性模量 和密度 (  ) 所决定  波速 ( 相速 ) ：单位时间内一定的 振动位相传播的距离 ---- 振动状态传播的快慢程度

l 在均匀各向同性的固体介质中 横波 纵波 l 液体和气体只有体变弹性，只能 传播纵波，即

l 对理想气体，其中的声速 : 比热比 l 在紧张的柔软绳中，横波的波速 T ：绳中的张力  ：单位长度的质量

 简谐波：谐振动在弹性媒质中的 传播所构成的波  波动方程：描述波动沿波线传 播的解析表达式 ---- 波源和媒质中各质元 作同频率的谐振动 § 16-2 平面简谐波 波动方程

一. 平面简谐波的波动方程 F 设波源在原点 O 作谐振动  原点的振动状态传输到 x 处的 P 点需时间

---- 平面谐波的波动方程  P 点在 t 时刻的位 移和原点在 时刻的位移相同, 即

---- 经 波形沿波线传播了  x 的距离 Ê 波动方程反映了波形的传播

l 振动状态传输

l 质元的振动 质元相位 Ë 波动方程反 映了各质元 的振动

当 x 一定时 ( 设为 x’) 当 x 一定时 ( 设为 x’) 令 振动曲线 ---- x’ 处质点的谐振动

 当 t 一定时 ( 设为 t’) 令 ----t’ 时刻波线上各质点的位移 t’ 时刻的 波形曲线

Í 波动方程的其他形式 其中 ---- 角波数

 波动沿 x 轴负向传播，波动方程为 二. 波动方程的微分形式 F 波线上任一点的振动速度

F 加速度

又 ---- 平面波波动方程的微分形式

Ê 上式反映一切平面波的共同特征  服从该式的任何物理量或系 统，一定是以 u 速度沿 x 方向 传播的平面波 Ë 波线上任一点的振动速度 v 是 t 的函数。而波的传播速度 u( 即相 速 ) ，与 t 无关

[ 例 1] 由麦克斯韦方程组说明真空 中电磁波为平面波。 解：在真空中有 且

又 同样可得

---- 平面电磁波波动方程 真空中波速  沿 x 方向传播时

[ 例 2] 沿 x 轴正向传播的平面余弦波, 原点 的振动方程为 波长 =36 米，试求：  波动方程；  x=9 米处质点的振动方程；  t =3 秒时的波形 方程和该时刻各波峰的位置坐标 解：  设所求波动方程为

 x=9m 时，其振动方程

 t =3s 时，波形方程 波峰处有 得 ---- 各波峰的位置坐标

[ 例 3] 下图为一平面余弦横波 t=0 时的波 形，此波形以 u=0.08 米 / 秒的速度沿 x 轴 正向传播。求：  a,b 两点的振动方向；  0 点的振动方程；  波动方程 解：  由波形传播过程知 a 向下, b 向上  设 0 点振动方程为

又 t =0 时：  波动方程为

[ 例 4] 波源在坐标原点 0 处, 其振动表达式 为, 由波源发出波长为 的平面 波沿 x 轴的正方向传播，在距波源 d 处有 一平面将波反射 ( 无半波损失 ) 。则在坐 标 x 处反射波的表达式为什么 ?

解：在 d 处的振 动方程为 反射至 x 处，又滞后

[ 例 5] 一平面波以速度 u=10m/s 沿 x 轴反向 传播，波线上 A 和 B 相距 5cm ， A 点的振 动方程为 y a =2cos(2  t+  ) 。试分别以 A 和 B 为坐标原点列出波动方程，并求出 B 点 振动速度的最大值 解：  以 A 为坐标原点的波动方程为  令 x=-0.05m ，得到 B 点的振动方程

以 B 点为坐标原点的波动方程为 

一. 波的能量 F 以纵波在细棒 中传输为例 § 16-3 波的能量 波的强度 动能 势能 能量 传播 波传播 媒质弹性形变 媒质质点振动  取体积元 ab 原长为  x, 长度变化为  y

体积元振 动速度 设体积元体积为  V, 质量为  m=  V 1. 振动动能 F 设波动方程为

体积元胁变：  y /  x 体积元所受弹性力 体积元的弹性势能 2. 弹性势能

即 F 体积元总能量

Ê 波传播时，任一体积元的动能、势能 和总能量作同相的周期性变化 Ë 体积元在平衡位置时, 动能、势能和总 能量最大；位移最大时，三者均为零  体积元总能量不守恒，它不断从前面 媒质吸收能量，又不断地将能量传递 给后面媒质 ---- 能量传播

二. 波的能量密度 F 能量密度：单位体积内的波动能量 F 平均能量密度 :

三. 波的能流密度 ( 波的强度 )  能流：单位时间内通过某 一面积传播的能量 F 平均能流 : F 能流密度 ( 波的强度 ) ：通过垂直于波传 播方向的单位面积的平均能流

其中 ---- 介质的特性阻抗 四. 波的吸收 F 波的吸收：波在传输过程中，强度和 振幅衰减的现象 定义 : 单位传输距离上，波幅衰减的相对 值为吸收系数 即

设 x =0 时， A = A 0 ， 则有

一. 惠更斯原理 论述：媒质中波动传到的各点都 可以看作是新的次波源，这些新 波源发射的波称为子波，其后任 一时刻这些子波的包络面就是该 时刻的新波阵面。 论述：媒质中波动传到的各点都 可以看作是新的次波源，这些新 波源发射的波称为子波，其后任 一时刻这些子波的包络面就是该 时刻的新波阵面。 § 16-4 惠更斯原理

球面波 平面波

二. 波的衍射、反射和折射 1. 衍射 F 波传播过程中遇到障碍物而发生 偏离原方向传播的现象。

2. 反射 而

3. 折射 设 n 21 ： 2 介质对 1 介质的相对折射率 n 21 ： 2 介质对 1 介质的相对折射率

一. 波的传播规律  独立性：几列波在媒质中相遇时, 各 个波将保持本身特性 ( 频率、波长、 振动方向等 ) 沿原方向继续传播，与 未相遇一样  叠加原理：在几列波相遇区域，任一 质点的振动为各个波单独在该点引起 的振动的合成 § 16-5 波的干涉

二. 波的干涉  相干波的条件：频率相同 ，振动方向相同，相位相 同或相位差恒定 F 干涉现象：波在媒质中叠 加时，出现某些地方振动 始终加强，某些地方振动 始终减弱或完全抵消的现 象 视频

F 设两相干波源的振动表达式为 传输到 P 点时振动方程为 P 点的合振动为

其中  空间某点 ---- 空间每点有恒定的合振幅 A

 空间各点的 不同，因此各点有不同 的合振幅 A Ì 由波的强度 所以叠加波的强度为 ---- 空间各点的强度与  有关，即随 位置而变化，但是稳定的

Í当Í当Í当Í当有 当 有 ---- 强度最强 ---- 强度最弱

Î 如果 ，波程差 ---- 半波长偶数倍 有 ---- 半波长奇数倍 有

[ 例 5] 两列相干平面简谐波沿 x 轴传播。 波源 S 1 和 S 2 相距 d=30m ， S 1 为坐标原点, 已知 x 1 =9m 和 x 2 =12m 处的两点是相邻的 两个因干涉而静止的点。求两波的波长 和两波源的最小位相差。 解：设 S 1 、 S 2 的初相位为  1 、  2 因 x 1 和 x 2 处为相邻干涉静止点，有

同理

相减得 k=-2 时，位相差最小

一. 驻波的产生和特点 F 驻波：两列振幅相同的相干波在 同一直线上沿相反方向传播时叠 加而成的波 § 16-6 驻 波

始终静止 --- 波节 振幅最大 --- 波腹

特点：  某些点始终静止 ( 波节 ) ，某些点的振幅 最大 ( 波腹 ) ，其它各点的振幅在 0--2A 之间，两相邻波节或波腹之间的距离 为 /2 ­ 每一时刻合成波波形一定，且不左右 移动 ---- 驻波 F 驻波没有振动和能量的传播 ---- 不是波， 只是一种特殊的振动形式

® 分段振动。相邻两波节之间各点振动 同步 ---- 同相；相邻两段的振动方向相 反 ---- 反相 二. 驻波的表达式 F 设相向而行的两列相干波为

合成波 讨论：  坐标为 x 处的质元作振幅为 的 谐振动 Ê 驻波表达式中不含 因子，即 它不是波动，只是振动

Ì 波腹的位置：满足 F 相邻波腹的间距为

Í 波节的位置：满足 F 同样可得相邻波节的间距也为

Í 两相邻波节间各点振动相位相同，相 邻两分段上各点振动相位相反 Î 驻波能量在波腹和波节之间交替转移 无能量的定向传播

三. 反射波的周相和半波损失 F 波疏媒质： 较小的媒质 F 波密媒质： 较大的媒质 ¬ 波疏 波密媒质 : 反射点出现波节

F 即在反射点反射波的相位有  突变 ---- 半波损失 ­ 波密 波疏媒质 : 反射点出现波腹 F 即在反射点入射波和反射波同相

入射波 反射波 解：入射波传播 到 x 0 点产生 的振动为 [ 例 6] 如图, 已知入射波的方程为 试求反射波的波动方程

设反射波方程为 因 x 0 处入、反射波的相位差为 可得

另解： x 0 处反射时相位产生 突变 所以反射波在 x 0 处的振动方程为 反射波传播 l 距离至 x 处，滞后 l/u 时间 入射波 反射波

 多普勒效应：波源、观 察者或两者相对媒质运 动时，观察者接收到的 波的频率不同于波源频 率的现象  设波传播速度为 u ，波源速度为 v s ， 观察者速度为 v b ，波源频率为  设波传播速度为 u ，波源速度为 v s ， 观察者速度为 v b ，波源频率为 § 16-7 多普勒效应 呜 视频 2 视频 2 视频 1 视频 1

1. 波源不动，观察者相对于媒质运动  观察者向波 源运动时 则波以速度 通过观察者 ---- 接受频率高于波源频率

 若观察者背离波源运动，则有 ---- 接受频率低于波 源频率 2. 观察者不动，波源相对媒质运动 波源向观察 者运动时 波源向观察 者运动时

---- 接受频率高于波源频率  若波源背离观察者运动，则有 ---- 接受频率低于波源频率

3. 波源和观察者同时相对于媒介运动  设波源和观察者相向运动，则波相对 于观察者的速度为 媒质中的波长为  波源和观察者相背离运动，则

讨论： ---- 马赫数 ---- 马赫角 冲击波

[ 例 7] 如图振源 S 位置固定, 反射面以速度 v=0.2m/s 朝观察者 R 运动， R 听到拍音频 率 b =4Hz, 求振源频率 s ( 已知空气中声 速为 340m/s) 解： R 可以直接接受 S 的 波和经反射的波 直接接受的频率 接受反射后波的频率

拍频