אלגברה ליניארית 1

היום בשיעור: דירוג מטריצה פירוק LU פירוק cholsky מספר מצב של מטריצה

הקדמה תהי Ax=b מערכת משואות אזי הפתרון של x מוגדר להיות מטריצה אלמנטרית היא מטריצה יחידה מסדר n אשר יושם בה פעולה אלמנטרית. מטריצה הופכית היא מכפלה של מטריצות אלמנטריות שמיצגות את הפעולות האלמנטריות שיהפכו את A למטריצת יחידה

כדי לפתור מערכת משוואות ליניאריותAx=b , משתמשים באלגוריתם הבסיסי של אלימינציות גאוס. לפני שנעבור על האלגוריתם נדגיש כלל על הכופל שיאפס את האיבר בשורה הi-ית ובעמודה הj –ית כאשר האיבר על האלכסון קרוי איבר הציר. ובסוף התהליך מבצעים חילוץ לאחור

לדוגמא:

בעיות בשיטת הדירוג נתונה המערכת הבאה פיתרון המערכת הוא x=10 y=20 נתונה המערכת הבאה פיתרון המערכת הוא x=10 y=20 נניח שיש לנו מחשב אם שלוש ספרות דיוק במצב כזה התוצאה היא עכשיו הפיתרון הוא y=20.1 x=6!!! ,נוצרה שגיאה של 40% בx

המשך: ננסה שיטה שניה בה נחליף את השורה הראשונה עם השניה ונקבל (לאחר הכנסת העיגול) תמיד נשאף שאיבר הציר יהיה הגדול ביותר בעמודה כך יתר השורות יוכפלו במקדם קטן מאחד והתוצאה לא יכולה לברוח יותר מידי.

החלפת שורות ועמודות שחלוף בין שורות זהה להכפלת מטריצה אלמנטרית משמאל , שחלוף בין העמודות זהה להכפלת מטריצה אלמנטרית מימין , בכל פעולה על שורות יש להכפיל משמאל במטריצה אלמנטרית תואמת את וקטור הפתרונות ,בשחלוף עמודות מכפילים את וקטור המקדמים

PLU decomposition את המערכת Ax=b ניתן לפרק ל LU=PA P מטריצת פרמוטציות

PLU decomposition *בכל שלב יש לדאוג שאיבר הציר הוא האיבר הגדול ביותר בעמודה המדורגת *כל שחלוף שורה במטריצה המקורית נכנס למטריצת תמורה יש לעדכן את שלושת המטריצות U ,L ,P כאשר ב L משחלפים רק את האיברים מתחת לאכסון *כל פעולה אלמנטרית מעדכנת את מטריצה L במקום הספציפי שאופס על ידי הנגדי של פעולת האיפוס-נשמע מסובך בפועל זה פשוט אם המאפס הוא אזי במקום המתאפס ב L מציבים

PLU decomposition

PLU decomposition

PLU decomposition

PLU decomposition

חילוץ לאחור וחילוץ לפנים

המשך

פירוק cholsky תהי A מטריצה סימטרית חיובית אזי היא ניתנת לפירוק לצורה של בצורה זו מוצאים את "השורש" של המטריצה , למטריצות אלו ישומים רבים בבעיות מינימזציה. מטריצה A סימטרית אם: והיא חיובית אם מתקיים אחד מהתנאים הבאים 1 . 2 .כל הערכים העצמיים של A גדול מאפס 3 .כל המינורים הראשים של A גדולים מאפס.

דוגמא פרק את A פירוק cholsky: ראשית נבדוק אם A חיובית ממש

המשך לאחר שוידאנו שA חיובית ממש נבצע את הפירוק

Conditioning של מטריצה מספר מצב של מטריצה אוkapa מסדר P מוגדרת להיות: נתבונן בדוגמא הבאה לכמה שווה הוקטור x? אם נכניס שגיאה קטנה בפלט למשל בb2 . נשנה אותו ל 111.1 הוקטור X יהיה שווה

המשך שגיאה יחסית קטנה בפלט של 0.1/111=9.9*10-4 גרמה לשגיאה גדולה בקלט (1) מצב כזה נקרא ill-conditioned. זה אומר שהkapa של המטריצה היא גבוהה

נורמה של מטריצה נורמה 1 של מטריצה A זה סכום איברי העמודה המקסימלי (בערכים מוחלטים) נורמה 2 של מטריצה היא הערך העצמי המקסימאלי בערך מוחלט של M=A*A’ נורמה אינסוף של A זה סכום איברי השורה המקסימאלי

לדוגמא: What are the 1,2 , norm of the following matrix Norm 2: sqrt(max(eig(MM’)))=10.4269 Norm : 3+5+7=15

ולכן בדוגמה הקודמת אותו דבר יצא לנו בנורמה 1 (לא בכל מצב הנורמות שוות...) הkapa יצאה לנו גבוהה ומכך ניתן לראות שהמערכת היא ill-condition אילו היה מקבל ערך קטן לא הינו מקבלים מספר מצב כל כך גדול.

השפעת הטעות

Example 2 If and what is the maximum error in x? x=[1,1,1]T, |||M|||=12 Cond(M)=22.5

כפי שניתן לראות המטריצה בעלת דטרמיננטה שווה ל 0 ולכן היא סינגולארית- בעלת מרחב פתרונות ששווה לאין-סוף. אם נשנה את אחד הרכיבים במטריצה במעט, למשל נהפוך את 3 בשורה השנייה ל 3.0001 אז הדטרמיננטה תהיה כמעט לאפס והדטרמיננטה של המטריצה ההופכית תהיה גדולה מאוד, ולכן הkapa תהיה גבוהה.

הפיכת מטריצה-קופקטרים א.עבור כל מטריצה מסדר n*n ניתן להגדיר את מטריצת הקופקטרים (ad-joint ) כך עבור כל רכיב במטריצה המקורית הקופקטור שלו זה ערך הדטרמיננטה של כל הרכיבים אשר לא נמצאים בשורה ובעמודה של הרכיב הנוכחי.עבור כל רכיב יש להשאיר את הסימון השלילי והחיובי בהתאם. ב.יש לחלק את מטריצת הקו-פקטרים בדטרמיננטה של המטריצה המקורית ג.יש לבצע Transpose למטריצה המתקבלת

כאשר המטריצה מסדר 2*2

דוגמא:

דוגמא למטריצה מסדר 3*3