Robust Characterization of Polynomials 1 Robust Characterization of polynomials “IT DOES NOT MAKE SENCE!” מרצים : אורי גרסטן יניב עזריה Ronitt Rubinfeld Madhu Sudan

Robust Characterization of Polynomials 2 בודק לתוכנית  Program Checker - בודק האם תוכנית P נותנת פלט נכון לקלט מסויים. X P(X) correct P(X) incorrect P

Robust Characterization of Polynomials 3 תוכנית נבדקת עצמית  Self-Testing Program - עבור פונקציה f בודק האם תוכנית P נכונה לרוב הקלטים. Inputs Space P incorrect P correct

Robust Characterization of Polynomials 4 תוכנית מתקנת עצמית  Self-Correcting Program - מקבלת תוכנית P שנכונה לרוב הקלטים ומשתמשת בה כדי לחשב את f נכונה על כל קלט בהסתברות גבוהה. Inputs Space Correct f(x) in high probability

Robust Characterization of Polynomials 5 מרחק בין פונקציות  בהנתן תחום סופי D, המרחק בין פונקציות f,g:  נאמר ש -f ו -g הן ε- קרובות אם :

Robust Characterization of Polynomials 6 ε – Self Tester  ε-self tester T בשביל פונקציה f מעל תחום D, זוהי תוכנית שמקבלת כקלט תוכנית P ו : – מקבל את P אם d(p,f) = 0. – דוחה את P ( בהסתברות גבוהה ) אם P ו -f הן לא ε- קרובות. – אחרת אין דרישה מ -T * כאן D הוא מרחב הסתברותי.

Robust Characterization of Polynomials 7 Testers for function families  תהי F משפחה של פונקציות : –ε-function family tester למשפחת פונקציות F, מקבל תוכנית P ובודק האם יש פונקציה f מתוך F כך ש ש -P היא ε- קרובה ל -f. F f קיימת פונקציה f שהיא ε-קרובה ל-P.

Robust Characterization of Polynomials 8 דוגמא – פונקציות לינאריות  משפחת הפונקציות הלינאריות :  בודק לתוכנית P עבור משפחת הפונקציות הלינראיות יבדוק האם P קרובה ללינאריות, כלומר האם קיימת f לינארית שקרובה ל -P.

Robust Characterization of Polynomials 9 איפיון לפונקציות לינאריות  נרצה לבדוק האם לתוכנית P יש את תכונת הלינאריות, כלומר :  אם P לא לינארית, אז קיימת דוגמה נגדית מגודל 3 שמוכיחה זאת.

Robust Characterization of Polynomials 10 בעיה!  בדר " כ לא נוכל לבדוק תכונה באופן מוחלט.  בדוגמא האחרונה, על מנת לבדוק לינאריות, יש לבדוק שכל הזוגות x, y מקיימים את התכונה :

Robust Characterization of Polynomials 11 פשרה  כדי להפוך איפיון למעשי, נתפשר על הדיוק.  תהי F היא משפחת פונקציות שמקיימת את התכונה לכל קלט, ותהי f פונקציה שמקיימת את התכונה לרוב הקלטים. אז קיימת פונקציה g מתוך F שקרובה ל -f. F g קיימת פונקציה g שהיא ε-קרובה ל-f.

Robust Characterization of Polynomials 12 אנקדוטה  באמצעות איפיון מקורב למשפחת הפוקנציות הלינאריות, נמצאו שיטות אקראיות ל -error detecting codes.  למי שילמד " נושאים מתקדמים ביותר בסיבוכיות ", זהו בסיס להוכחה ש : MIP = NEXPTIME

Robust Characterization of Polynomials 13 Exact and robust characterizations  בהמשך ניתן הגדרות מדויקות לאיפיון פונקציות.  exact – בדיקה האם פונקציה מקיימת תכונה מסויימת של משפחת פונקציות בצורה מדוייקת, כלומר לכל קלט אפשרי.  robust – בדיקה האם פונקציה מקיימת תכונה מסויימת של משפחת פונקציות בצורה מקורבת, כלומר לרוב הקלטים.

Robust Characterization of Polynomials 14 Exact and robust characterizations  עתה נתן מספר מושגים שישמשו אותנו להגדרת איפיונים מדוייקים של משפחות פונקציות  בפרט, נרצה לאפיין את משפחת הפולינום ממעלה d בעלי m משתנים.  בהמשך ההרצאה נראה שניתן לקרב איפיונים מדוייקים למשפחת הפולינומים.

Robust Characterization of Polynomials 15 שכונה  שכונה k- מקומית N היא k- יה סדורה מתוך D.  אוסף - שכונות k- מקומי N הוא קבוצה של שכונות k- מקומיות.

Robust Characterization of Polynomials 16 תכונה  תכונה k- מקומית P מעל אוסף שכונות N היא פונקציה : ( כאן D הוא תחום ו -R הוא טווח לפונקציה f).  נאמר שפונקציה f מספקת תכונה P אם :

Robust Characterization of Polynomials 17 exact characterization  תכונה P מעל אוסף שכונות N יקרא איפיון מדויק של משפחת פונקציות F אם : פונקציה f מספקת את P לכל השכונות N מתוך N בדיוק כאשר f היא מתוך F. N N P(N) = 1

Robust Characterization of Polynomials 18 דוגמה – פונקציות לינאריות  אוסף השכונות :  התכונה P היא 3- מקומות והיא מסתפקת ע " י :  לכן, מעל N, התכונה P היא איפיון 3- מקומי מדוייק של משפחת הפונקציות הלינאריות

Robust Characterization of Polynomials 19 robust characterization  תכונה P מעל אוסף שכונות N תקרא איפיון (ε,δ)- מקורב של F אם : – אם כאשר פונקציה f מספקת את P על כל השכונות N מלבד החלק ה -δ מהן, אז היא ε- קרובה לפונקציה g מתוך F. N P P P(N) = 0 P(N) = 1 δ*|N| F g קיימת פונקציה g שהיא ε-קרובה ל-f.

Robust Characterization of Polynomials 20 robust characterization  בנוסף, כל חברי F מספקות את P בכל השכונות של N. N N P(N) = 1

Robust Characterization of Polynomials 21 איפיונים מדוייקים של פולינומים  בחלק זה נראה מספר אפיונים מדוייקים מוכרים היטב של פולינומים ממעלה d.  נתבונן באוספים שונים של שכונות N. ולכל שכונה ספציפית N, נאמר שתכונה P מסופקת על ידי פונקציה f בשכונה N אם קיים פולינום ששווה ל -f על כל הנקודות ב -N.

Robust Characterization of Polynomials פולינומים עם משתנה אחד  יהי R חוג.  איפיון : נאמר שפונקציה f מ -R ל -R היא פולינום ממעלה לכל היותר d אם ורק אם : כאשר g הוא פולינום ממעלה לכל היותר d.  מבנה השכונות :

Robust Characterization of Polynomials פולינומים עם משתנה אחד – נקודות שוות מרחק  יהי Z m חוג.  נגדיר את המקדמים הבינומיים :  ונתבונן בנקודות שוות מרחק :

Robust Characterization of Polynomials פולינומים עם משתנה אחד – נקודות שוות מרחק  איפיון : נאמר שפונקציה f מ -Z m ל - Z m היא פולינום ממעלה לכל היותר d אם ורק אם :

Robust Characterization of Polynomials פולינומים עם משתנה אחד – נקודות שוות מרחק  מבנה השכונה :  ולכן אוסף השכונות האפשריות N:

Robust Characterization of Polynomials פולינומים רבי משתנים ע"י שימוש בקווים  איפיון זה נוגע לפונקציות m- מימדיות מעל שדה סופי F m.  יהיו :  אז הקו יהיה :  נשים לב ש -l הוא פולינום שתלוי רק ב -i.

Robust Characterization of Polynomials פולינומים רבי משתנים ע"י שימוש בקווים  אפיון : פונקציה f מ -F m ל -F היא פולינום ממעלה לכל היותר d אם ורק אם : f מוגבלת לקו l היא פולינום חד - משתני ב -i ממעלה לכל היותר d.

Robust Characterization of Polynomials פולינומים רבי משתנים ע"י שימוש בקווים  מבנה השכונה במקרה זה הוא קו l.  אוסף השכונות לכן :

Robust Characterization of Polynomials פולינומים רבי משתנים: נקודות שוות מרחק  איפיון – פונקציה :  היא פולינום ממעלה לכל היותר d אם ורק אם :

Robust Characterization of Polynomials פולינומים רבי משתנים: נקודות שוות מרחק  מבנה השכונה :  ולכן אוסף השכונות האפשריות N:

Robust Characterization of Polynomials פולינומים רבי משתנים: נקודות שוות מרחק (2)  איפיון זה נובע מהאיפיון הקודם, והוא אף נראה חלש יותר.  נציין את איפיון זה כי האיפיון המקורב המתאים לו שימושי מאוד.

Robust Characterization of Polynomials פולינומים רבי משתנים: נקודות שוות מרחק (2)  איפיון – פונקציה :  היא פולינום ממעלה לכל היותר d אם ורק אם :  הערכים של f בנקודות :  מתאימים לפולינום חד - משתני ממעלה לכל היותר d.

Robust Characterization of Polynomials פולינומים רבי משתנים: נקודות שוות מרחק (2)  מבנה השכונה :  ולכן אוסף השכונות האפשריות N:

Robust Characterization of Polynomials 34 איפיונים מקרובים של פולינומים  נציג ונוכיח כעת אלגוריתם שבודק את תכונת הדרגה לפולינומים, כלומר השאלה, בהנתן תוכנית P, האם P מחשבת ( בהסתברות גבוהה ) פולינום מדרגה d.  לאחר מכן, נראה אלגוריתים לבדיקה האם P אכן ε- קרובה לפולינום f ממעלה d.

Robust Characterization of Polynomials 35 בדיקת דרגה program degree-test (P,ε,β) Repeat Θ(1/εlog(1/β)) times Pick x, h from Z and test that: Reject P if the test fails more than an ε fraction of the time.

Robust Characterization of Polynomials 36 בדיקת דרגה - נכונות  כדי להוכיח שאכן P מחשבת פולינום מדרגה d: – נוכיח משפט על קיום פולינום ε- קרוב ל - P. – נציג נוסחה חדשה שמראה שאכן האלגוריתים מוודא את הקירבה לפולינום.

Robust Characterization of Polynomials 37 משפט – קירוב איפיון 5  יהי  ותהי  המקיימת :  אז קיים פולינום g ממעלה d אשר 2δ קרוב ל -P.

Robust Characterization of Polynomials 38 שלבים בהוכחה  נגדיר את g(x) להיות : 1. נראה ש -g הוא 2δ- קרוב ל -P. 2. נראה ש -g הוא פולינום ממעלה d.  מ -1 ו -2 נקבל את נכונות המשפט.

Robust Characterization of Polynomials 39 טענה 1  g ו -P שווים ביותר מ -(1-2δ) מהקלטים האפשריים. ( ולכן הם 2δ- קרובים )

Robust Characterization of Polynomials 40 הוכחת טענה 1  ראשית נשים לב שעבור הנקודות x כך ש :  מתקיים : P(x)=g(x) ( כי אם ההסתברות גדולה מחצי אז וודאי שהתנאי מתקיים לרוב הקלטים )

Robust Characterization of Polynomials 41 הוכחת טענה 1  נתבונן אם כן בקבוצת הנקודות הבעיתיות x כך ש :  כמה נקודות כאלו יש ?  אם יש יותר מ -2δ נקודות כאלה : 2δנקודות בעיתיות - נקודות "טובות"

Robust Characterization of Polynomials 42 הוכחת טענה 1  אז נקבל סתירה לתנאי מהנתון :  עבור הנקודות הלא בעיתיות מתקיים אם כן p(x)=g(x).

Robust Characterization of Polynomials 43 טענה 2  לכל  מתקיים :  כלומר g(x) קרוב מאוד ל -P.

Robust Characterization of Polynomials 44 הוכחת טענה 2  להוכחת טענה 2 נזדקק למעט הסתברות :  נסמן ב -p i את ההסתברות למאורע ה -i.  אם מתקיים :  אז : נוסחת ההסתברות השלמה

Robust Characterization of Polynomials 45 הוכחת טענה 2  מתקיים :  לכן מהנתון נקבל :

Robust Characterization of Polynomials 46 הוכחת טענה 2  את (1) נרשום כ :  ואת (2) נרשום כ :

Robust Characterization of Polynomials 47 הוכחת טענה 2  נרצה אם כן לחשב את ההסתברות הבאה :

Robust Characterization of Polynomials 48 הוכחת טענה 2  נסמן את המאורע A ונחשב את :

Robust Characterization of Polynomials 49 הוכחת טענה 2  על ידי שימוש ב -union bound נקבל :  ההסתברות לכל אחד מהמאורעות היא δ.  ולכן בסה " כ :

Robust Characterization of Polynomials 50 סיימנו? – לא!  ההסתברות הראשונה תלויה ב h1- ו h2-. אנו נרצה :  מהגדרת g ומהאבחנה הקודמת נקבל את הנ " ל.

Robust Characterization of Polynomials 51 טענה 3  לכל  אז :  ולכן g הוא פולינום ממעלה d.

Robust Characterization of Polynomials 52 הוכחת טענה 3  מתקיים :  ולכן לכל :0 ≤ i ≤ d+1 ( לפי הוכחת טענה 2)  יתרה מכך, אנו כבר יודעים היטב ש :

Robust Characterization of Polynomials 53 הוכחת טענה 3  משילוב השניים :  נשים לב שבאגף ימין אנו תלויים רק ב -h!  מסקנה – אם ההסתברות חיובית היא שווה ל -1. ולכן g הוא פולינום מדרגה d.

Robust Characterization of Polynomials 54 (e)-דיוק האלגוריתים  נראה שהאלגורים בודק את התכונה בהסתברות β  Need to say anything more???

Robust Characterization of Polynomials 55 Self-Testing Polynomials  בחלק זה נראה שימושים באיפיונים מקורבים כדי לבנות בודקים לתוכניות.  בעבר היה נהוג לבדוק תוכניות כך : – הגרל קלט x ובדוק אם P(x)=f(x).  החסרונות : – אנו מניחים ש -f עובדת נכון. – נהיה תלויים בזמן הריצה של f.  נראה שיטה " יותר עדיפה " לבדיקת תוכנית.

Robust Characterization of Polynomials 56 Test Sets  נגדיר את :  להיות (d,m)- קבוצת מדגם פולינומית אם : ישנו פולינום יחיד מדרגה d בעל m משתנים כך ש :  " ידוע ש " תמיד קיימת קבוצת מדגם בגודל (d+1) m

Robust Characterization of Polynomials 57 דוגמה  נניח שיש לנו תוכנית P שאמורה לחשב את :  בגישה המסורתית לבדיקת P יש צורך לדעת את הערך של f לכל x.  במקרה שלנו נצטרך רק את המידע הבא :  בנוסף לעובדה ש -f הוא פולינום מדרגה 3.

Robust Characterization of Polynomials 58 אלגוריתם בדיקה  בהנתן קבוצת בדיקה בגודל (d,m): 1. נבדוק האם P אכן מחשבת פולינום מדרגה d. 2. אם כן, נבדוק אם אכן P היא ε- קרובה ל -f.

Robust Characterization of Polynomials 59 בדיקת קירבה program equality-test (P,ε,β,T) for j going from 1 to t do Repeat Θ(log(d/β)) Pick h from Z and test that: Reject P if the test fails more than 1/4 th of the time.