1 結合 Hull-White 模型與求面積法評價雪球型債劵報告者 : 顏妤芳. 2 大綱簡介雪球型債劵契約研究方法評價雪球型債劵－第一步驟：計算各節點的最大最小可能債息－第二步驟：考慮票面利率不得低於 0% －第三步驟：計算債劵現值及考慮贖回條款.

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Presentation transcript:

1 結合 Hull-White 模型與求面積法評價雪球型債劵報告者 : 顏妤芳

2 大綱簡介雪球型債劵契約研究方法評價雪球型債劵－第一步驟：計算各節點的最大最小可能債息－第二步驟：考慮票面利率不得低於 0% －第三步驟：計算債劵現值及考慮贖回條款

3 簡介雪球型債劵契約 →

4 結構型商品當期票面利率與前一期票面利率相關票面利率不得低於 0% 反浮動延遲給付贖回條款 → 採用樹狀結構法與 Hull-White 利率模型

5 研究方法 Hull-White 利率模型：－為使模型符合期初期間結構的時間函數－ Mean reversion property Hull 和 White(1994) 提出兩階段評價方法：－ 1. 建構平行樹 : － 2. 加入利率調整項：

6 階段一建構平行三元樹為了防止機率為負, 故有平長. 垂直間距距離應用求面積法 ( Quadrature methods) 建構 Hull-White 多元樹無平長

7 階段一 : 建構平行三元樹間距高度限制設定垂直間距距離設定距離中心最長間距 j max =[0.184/(a Δ t)] 三種 Branches:

8 Branch (a) Equations: Solutions:

9 Branches (b) and (c) (b) Equations: (c) Equations: Solutions: Solutions:

10 階段二 : 加入利率調整項每一期調整移動的值不相同，但同一期是一樣的，利率結構沒有改變。計算第 i 期的利率平移量 αi 令 Q ij 代表走到 Node(i,j) 付 $1 的現值 Q 00 =1 Example: 假定現在的零息利率 ( 如右表 ) α 0 =3.824%, Maturity (year)Rate%

11 加入利率調整項 A B C D E F G H I

12 Hull-White trinomial tree A B C D E F G H I

13 階段一 : 建構多元數ㄟ－分配誤差應用 Quadrature methods 建構多元樹－ k 為正整數－

14 建構多元數 →

15 建構多元數

16 應用 Quadrature methods 建構多元樹－利用 Simpson‘s rule 求算

17 評價雪球型債劵第一步驟：計算各節點的最大最小可能債息第二步驟：考慮票面利率不得低於 0% 第三步驟：考慮贖回條款及計算債劵現值

18 評價雪球型債券第一步驟：計算各節點的最大最小可能債息－未考慮票面利率下限 0% Constant Integer

19 計算各節點的最大最小可能債息－定義節點 (i,j) 的父節點 (Parents) 節點 (i,j) 的子節點 (Children) (M,m) : : 節點 (i,j) 所有可能票面利率的集合

Δt 2Δt 3Δt －假設已知，到達節點 (3,1) 的其中一條路徑為節點 (0,0) 至節點 (1,1) 至節點 (2,0) 至節點 (3,1) →

Δt 2Δt 3Δt 找出 f 的上下限

22 第二步驟：考慮票面利率不得低於 0% 本期的債券利率 = 上期債券利率 +Inverse floater – 當利率 <0  債券利率重設為 0 第 i 期利率可能無法寫成 –Ex: 處理方法 : – 拿掉中小於 0 的狀態 – 加入狀態 0*  債券利率為 0 的 Case – 使用內插計算 0* 所對應的價格

23 在時，存在一個整數為 (M,m) 的下限 → → 考慮票面利率不得低於 0%

24 考慮票面利率不得低於 0% －情況一： M,m 皆大於等於 → 此節點的 (M,m) 不變，共 M-m+1 種債息－情況二： (M,m) 中有部份小於 → 此節點的 (M,m) 變成 (M,K i,0*) ，共 M-K i +2 種債息－情況三： (M,m) 皆小於 → 此節點的 (M,m) 變成 (0*,0*) ，只有 1 種債息

Δt 2Δt 3Δt －假設已知， (0*,0*)

26 若前一個 node 有 0* 的狀態, 如何計算最大最小債息使重設的利率也可寫成的形式取下高斯 => 為了利用內插法計算債券價值

Δt 2Δt 3Δt －節點 (3,6) 重設的票面利率為 →

Δt 2Δt 3Δt －節點 (3,5) 重設的票面利率為 →

Δt 2Δt 3Δt －

Δt 2Δt 3Δt

31 第三步驟 : 考慮贖回條款及計算債劵現值－定義 B(i,j,a) 代表節點 (i,j) 之票面利率為的情況下，於時的債劵現值－情況一. a 不等於 0* 情況二. a 等於 0*

32 ( 1,-5) ( 4,-4) (-2,-5,0*) (0*,0*) ( 0,-4,0*) ( 7,-2) Node(3,1) Node(4,3) Node(4,1) Node(4,2) Node(4,0) Node(4,-1) 3Δt 4Δt5Δt －節點 (3,1) 於時點共有 B(3,1,0) 、 B(3,1,-1) 、 B(3,1,-2) 、 B(3,1,-3) 、 B(3,1,-4) 、 B(3,1,0*) 共六種可能的債劵現值－ 1.a=-4 2.a=0*

33 第一種情況： a 不等於 0* －為債劵到期日

34 第一種情況： a 不等於 0* －不為債劵到期日

35 第二種情況： a 等於 0* －在時，重設票面利率為零 → 在時，重設利率分別為 → 假設

36 第二種情況： a 等於 0* －轉換形式 → 將 % 轉換成的形式 → A= → 將 % 轉換成的形式 → B= → 將 % 轉換成的形式 →C=

37 －使用線性內插法求算 B(4,1, ) 、 B(4,0, ) 以及 B(4,-1, )

38 評價雪球型債劵

39 結論與建議針對雪球型債劵高度路徑相依的債息問題以及贖回條款，提供了一個創新的數值方法，搭配 Hull-White 模型以及樹狀結構法，再應用 Quadrature methods ，將 Hull-White 三元樹延伸至多元樹，減少分配誤差對價格的影響

40 我的改良方法若不要取高斯, 則 K 為非整數, 調整項使其為整數即可避免線性內插法所造成的誤差使其為的整數倍數

41 如何選擇 h ? 舉例於時間 i=1, 令 h=  取最接近的整數, 則將原本的調整為

42 P1 P2 P3 P5 P4 最大問題所在 : Fit 期間結構解出各個節點每個機率

43 Thanks for your listening

44 Cap is a portfolio of interest rate options of caplet Caplet present value by Black’s equation

45 Cap is a portfolio of bond options Interest rate cap could be characterized as a portfolio of put options on zero-coupon bond. Caplet as a put options on zero-coupon bond: put option by Hull-White model :