איפיון השיזור הקוונטי של מצבים טהורים הרצאה למבחן מאסטר ישי שמעוני

מבנה ההרצאה 1. מהו שיזור קוונטי. 2. אלגוריתמים קוונטיים לעומת אלגוריתמים קלאסיים. 3. הקשר בין יעילות אלגוריתמים לבין שיזור קוונטי. 4. הצגת המדד לשיזור של Grover. 5. איפיון השיזור הקוונטי של מצבים בעזרת המדד של Grover.

1. מהו שיזור קוונטי שיזור קוונטי מוגדר למערכות המורכבות מאוסף של n תופעות קוונטיות (לרוב בעלות שני מצבים), שנקראות ביטים קוונטיים, או qubits. ניתן לייצג את מצבי הבסיס של מערכת כזו כאוסף המצבים |0..0> - |1..1>. למצבים אלה ניתן גם להתייחס כייצוג בינארי של המצבים |0> - |2 n -1>. נסמן N=2 n.

1. מהו שיזור קוונטי ( המשך ) השיזור הקוונטי מוגדר כקשר בין qubits שונים במערכת, כלומר עד כמה פעולה מקומית על qubit אחד תשפיע על מצבם הקוונטי של qubits אחרים. השיזור הקוונטי מקיים את התכונות: הוא אינו מושפע מפעולות לוקליות. השיזור של מצב בסיס (מצב קלאסי) הוא 0. השיזור אינו יכול לגדול על ידי מדידה.

נדון באלגוריתמים קוונטיים בעלי מצב התחלתי |i> ובעלי מצב סופי |f>. פעולת האלגוריתם היא A|i>=|f>, כאשר A הוא אופרטור יוניטרי. תיאור זה של אלגוריתם קוונטי מתאים לשני סוגים של אלגוריתמים קלאסיים: 1. A(i m )=f m אלגוריתמים קוונטיים וקלאסיים

2. אלגוריתמים קוונטיים וקלאסיים ( המשך ) דוגמאות: אלגוריתם החיפוש של Grover הוא דוגמה לאלגוריתם מסוג A(i m )=f m, שבו A(i m )=1 אם"ם i m הוא המספר המבוקש. האלגוריתם הקוונטי עובד ביעילות של O(2 n/2 ), אוO(N 1/2 ), כאשר האלגוריתם הקלאסי היעיל ביותר האפשרי עובד ביעילות של O(2 n ), או O(N).

2. אלגוריתמים קוונטיים וקלאסיים ( המשך ) דוגמאות: טרנספורם פורייה הדיסקרטי (DFT) הוא דוגמה לאלגוריתם מסוג. הטרנספורם מגדיר טרנספורמציה מ- a k ל- b j (k,j בין 1 ל-m)

2. אלגוריתמים קוונטיים וקלאסיים ( המשך ) דוגמאות: יעילות האלגוריתם הקוונטי עבור DFT הוא O(n 2 ), בעוד יעילות האלגוריתם הקלאסי היעיל ביותר הידוע (FFT) הוא O(n 2 N). אלגוריתם DFT משמש באלגוריתם הפירוק לגורמים ראשוניים של Shor.

3. יעילות אלגוריתמים ושיזור קוונטי אלגוריתמים קוונטיים מבצעים פעולות באופן סימולטני על כל הווקטור. לפי הגדרתו, השיזור הקוונטי מאפשר ביצוע פעולות על מספר ביטים שזורים בעזרת אופרטור שפועל רק על אחד מהביטים השזורים. מקובל לחשוב היום שהיעילות הגבוהה שמראים האלגוריתמים הקוונטיים נובעת מהשיזור הגבוה שהם יוצרים תוך כדי פעולתם.

4. מדד Grover לשיזור קוונטי לכל אלגוריתם קוונטי שמוגדר לו מצב התחלתי ומצב סופי רצוי מתקיים A|i> = |f>. מכאן מתקבל ש- <f|A = <i|. ניתן להגדיר את סיכוי ההצלחה הקוונטי של כל אלגוריתם עבור מצב התחלתי כלשהו, |ψ> לפי P = | | 2 = | | 2.

4. מדד Grover לשיזור קוונטי ( המשך ) נגדיר את סיכוי ההצלחה הקוונטי המכסימלי עבור מצב התחלתי |ψ>, כאשר נאפשר ביצוע כל פעולה יוניטרית לוקלית, ובכך לא נשנה את השיזור של המצב P max = max U1..Un | | 2. פעולה יוניטרית לוקלית על מצב שאינו שזור כלל משאיר מצב שאינו שזור כלל ולכן נוכל לרשום P max = max e1..en | | 2.

ניתן להגדיר את מדד Grover לשיזור קוונטי:. מדד זה הוא מדד הניתן לחישוב בעזרת מחשב לכל מצב טהור, ועבור מצבים מסוימים ניתן לחשבו בצורה אנליטית. 4. מדד Grover לשיזור קוונטי ( המשך )

5. שימוש במדד Grover אחת הדוגמאות למצבים שנותחו באופן אנליטי הוא סופרפוזיציה שוות אמפליטודות של כל המצבים בעלי n qubits, שבהם m מתוך n הספרות בייצוג הבינארי שוות 1 (W-class). התוצאה שהתקבלה היא ניתן לראות התאמה מלאה בין התוצאה האנליטית (קו מלא) לתוצאה הנומרית (עיגולים).

5. שימוש במדד Grover ( המשך ) תוך שימוש בכלי הנומרי שפותח, ניתן לנתח את השיזור הקוונטי במצבים הנוצרים תוך כדי פעולת אלגוריתמים קוונטיים. הגרף הבא מראה את תוצאות הכלי הנומרי עבור התפתחות השיזור הקוונטי תוך כדי פעולת אלגוריתם החיפוש של Grover לרגיסטר בגודל 6 עד 13 qubits.