布林代數的應用--- 全及項(最小項)和全或項(最大項)展開式

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布林代數的應用--- 全及項(最小項)和全或項(最大項)展開式第 4 章布林代數的應用--- 全及項(最小項)和全或項(最大項)展開式

將文字敘述轉換成布林方程式設計一個單一輸出之組合交換電路,主要的三個步驟: 1.找出一個表示電路行為的交換函數. 2.找出此函數之簡化的代數表示式. 3.利用可用的邏輯元件實現此簡化的函數. ,, Chap 4

利用布林變數來表示文字敘述: EX:瑪琍看電視如果是星期一晚上且她已經做完她的功課. Chap 4

Ex:警鈴會響若且唯若警鈴的開關打開且門沒有關，或時間是下午六點以後且窗戶沒有關。則 Chap 4

利用真值表設計組合邏輯 Ex:一交換電路具有3個輸入及1個輸出,輸入 A﹑B和C分別代表一個二進數N之第1個﹑ 第2個和第3個位元.如果時,則電路的輸出且若 ,則 . Chap 4

Sol:由真值中, 時之A ﹑B和C的組合值可推導出的代數表示式.則則可得電路為 Chap 4

全及項與全或項展開式全及項(minterm):n個變數的全及項是n個文字字元的乘積，其中每個變數只以變數或其補數形式出現一次，不能兩種同時出現。全或項(maxterm):n個變數的全或項是n個文字字元的和，其中每個變數只以變數或其補數的形式出現一次，不能同時出現。 Chap 4

3個變數的全及項與全或項 Chap 4

全及項展開式(minterm expansion)或標準積項和(standard sum of products) : Chap 4

全或項展開式(maxterm expansion)或標準和項積 (standard product of sum):一個函數f以全或項的積的形式來表示。 Chap 4

之補數的全及項與全或項 Ex: 則同理, Chap 4

一般的交換表示式轉換成全及項或者全或項展開式的方法---利用真值表或代數的方式。轉換成全及項展開式:利用定理 ,在每個積項加入缺少的變數再乘開即可。轉換成全或項展開式:利用定理 ,在每個和項加入缺少的變數再分解即可。 Chap 4

範例:求出之全及項展開式。 Sol: Chap 4

範例:求出之全或項展開式。 Sol: Chap 4

一般化的全及項與全或項展開式 3個變數之一般函數的真值表: 3個變數有256種不同的函數。 n個變數則有種可能的函數。 Chap 4

3變數一般化函數的全及項展開式: 若則全及項會出現在表示式中, 若則相對應之全及項不會出現。 3變數一般化函數的全或項展開式: 若則全及項會出現在表示式中, 若則相對應之全及項不會出現。 3變數一般化函數的全或項展開式: 若則全或項不會出現在表示式中, 若則會出現在表示式中。 Chap 4

之全及項展開式: 沒有出現在中的全及項會出現在中。之全或項展開式: 沒有出現在中的全或項會出現在中。 Chap 4

n個變數之一般化全及項展開式: Chap 4

已知2個函數之全及項展開式: 則乘積為 (因為除非 ) Chap 4

Ex:已知2個函數之全及項展開式: 則 Chap 4

和之間全及項與全或項展開式轉換的程序: Chap 4

未完全定義函數 Ex:電路N1的輸出驅動電路N2的輸入。假設對 w﹑x﹑y和z沒有任何的組合值可以使得A﹑ B和C產生001和110的情況。則函數F是未完全定義 (incompletely specified) Chap 4

則之全及項展開式為之全或項展開式為 1.若指定2個x的值均為0,則 2.若指定第一個x為1,第2個x為0,則則之全及項展開式為之全或項展開式為 1.若指定2個x的值均為0,則 2.若指定第一個x為1,第2個x為0,則 3.若指定2個x的值均為1,則第2種選擇可得到最簡解。 Chap 4

真值表建立的例子範例1:設計一個簡單的二元加法器，將2個1位元之二進數a和b做相加，得到一個2位元的和。則和 Chap 4

範例2:設計一個將兩個2-位元的二進位數相加而得到一個3-位元的二進數和的加法器，此電路具有四個輸入和三個輸出，如圖所示，試求出此電路的真值表。 Chap 4

範例2(續): 則輸出函數為 Chap 4

範例3:設計一個6-3-1-1的BCD數元的錯誤偵測器。若且唯若4個輸入(A,B,C,D)代表一個不正確碼的組合，則輸出(F)為1。 Sol:真值表 Chap 4

範例3(續): 則輸出函數為利用AND和OR閘實現的電路為 Chap 4

範例4:一個電路之4個輸入(A,B,C,D)代表一個 8-4-2-1的BCD數元。設計此電路使得輸出(Z)等於1，若且唯若當其輸入所代表的十進數字被3整除。假設只有正確的 BCD數元可以在輸入產生。 Sol:數元0﹑3﹑6和9恰好被3整除。所以輸入組合ABCD=0000﹑0011﹑0110和1001，使得 Z=1 。 Chap 4

範例4(續):真值表則輸出函數為 Chap 4

二進位加法器與減法器的設計設計一個具有進位輸入且用來將兩組4-位元無號的二進位數相加而產生一個4-位元和及一個進位輸出的並列式加法器。 Chap 4

利用連接4個全加法器的邏輯模組來設計: Chap 4

全加法器全加法器: Chap 4

全加法器的邏輯等式為: Chap 4

全加法器的邏輯電路為: Chap 4

利用全加法器來作二進位數的減法: 計算A-B,則將B的補數加上A即可。以2的補數來表示負數為例: Chap 4

利用全減法器來直接完成減法考慮xi=0 ，yi=1，且bi=1的情況 Chap 4

並列式全減法器並列式全減法器 Chap 4