RECTAS EN EL ESPACIO

Algebra lineal Rectas en el espacio

Algebra lineal Rectas en el espacio Eje X Eje Y Eje Z P u L Un punto P y una dirección u

Algebra lineal Rectas en el espacio

Algebra lineal Rectas en el espacio Un punto P y una dirección u u L PoPo P tu Eje X Eje Y Eje Z O PLPL

Algebra lineal Rectas en el espacio Ecuación de la recta L que pasa por P 0 (x o,y o,z o ) con vector director u=(a,b,c) El punto P(x,y,z)  L si y sólo si P-P o  u, es decir, si P-P o =tu, t   (x-x o, y-y o, z-z o )=t (a,b,c). Ecuaciones paramétricas de la recta L

Algebra lineal Rectas en el espacio Si las coordenadas del vector director u=(a,b,c) son todas no nulas, abc  0 Ecuación de la recta L que pasa por P 0 (x o,y o,z o ) con vector director u=(a,b,c) Ecuación simétrica de la recta L

Algebra lineal Rectas en el espacio Ejercicio Nº1 Encuentre la ecuación de la recta L que pasa por P(1,2,-1) y es paralela al vector u=(2,3,-2). ¿Está el punto (2,1,2) sobre la recta L? ¿Está el vector (3,5,-3) en la recta L?

Algebra lineal Rectas en el espacio Ejercicio Nº2 Encuentre la ecuación de la recta que pasa por los puntos P(2,3,-4) y Q(3,-2,5)

Algebra lineal Rectas en el espacio Ejercicio Nº3 Encuentre la ecuación de la recta L que contiene a (2,3,-2) y es paralela a la recta

Algebra lineal Rectas en el espacio Ejercicio Nº4 Encuentre la intersección de las rectas

Algebra lineal Rectas en el espacio Ejercicio Nº5 Encuentre la ecuación de la recta L que pasa por (-2,3,4) y es ortogonal a:

Algebra lineal Rectas en el espacio Solución Nº1: 2=1+2t  t=1/2 pero para y, 1  2+3(1/2). Por lo tanto el punto (2,1,3)  L. (3,5,-3)  L, ya que satisface las ecuaciones paramétricas de la recta para el valor del parámetro t=1. Sin embargo el vector v=(3,5,-3) no está en L ya que para eso el origen también debería estar en L y no lo está (x,y,z)  L si al sustituir en las ecuaciones anteriores hay algún valor de t que las satisfaga.

Algebra lineal Rectas en el espacio t . El vector director de la recta es: u=(3,-2,5)-(2,3,-4)=(1,-5,9). La ecuación de la recta viene dada por: Solución Nº2:

Algebra lineal Rectas en el espacio Dos rectas son paralelas si sus vectores directores son paralelos, por lo tanto, podemos tomar como vector director de L el mismo vector director de la recta dada que es (3,6,2) y así la ecuación de L es Solución Nº3:

Algebra lineal Rectas en el espacio ¿Hay valores de t, s para los cuales 1 + t = s -3 +2t = 4 + t -2 - t = -8 – s ? Solución Nº4: Punto de intersección es (2,-1,-3)

Algebra lineal Rectas en el espacio El vector director de L debe ser ortogonal a las rectas L 1 y L 2. Por lo tanto debe ser ortogonal a sus vectores directores (-2,3,5) y (4,-2,1), es decir, el producto vectorial de los dos Solución Nº5: =(13, 22, -8) La ecuación es

Algebra lineal Rectas en el espacio POSICIONES RELATIVAS ENTRE DOS RECTAS  Secantes:  Se cortan en un punto  Sus vectores directores no son paralelos  Se cruzan:  No se cortan  Sus vectores directores no son paralelos  Paralelas  Sus vectores directores son paralelos P = L 1  L 2 L 1  L 2 = 