Poglavlje 13: Vektori u trodimenzionalnom prostoru Odjeljak 13.1 Kartezijev koordinatni sustav u prostoru Pravilo desne ruke Pravokutne (ili kartezijeve) koordinate Formula za udaljenost Jednadžba sfere Simetrija Pravac kroz dvije točke Koordinate polovišta Odjeljak 13.2 Vektori u trodimenzionalnom prostoru Koordinate vektora Geometrijska interpretacija vektora Grafički prikaz a + b Norma, tj. duljina vektora Množenje skalarom Zbrajanje vektora Paralelni vektori Ilustracija paralelnih vektora Jedinični vektori   Odjeljak 13.3 Skalarni produkt Definicija Svojstva skalarnog produkta Dodatna svojstva Geometrijska interpretacija skalarnog produkta Teorem o kosinusu Okomiti vektori Projekcija i komponente Kutovi s jediničnim vektorima Cauchy-Schwarz-Bunjakovskijeva nejednakost    Odjeljak 13.4 Vektorski produkt Definicija Desne trojke vektora Svojstva Svojstva vektorskog produkta Mješoviti produkt Komponente od a x b Teoremi Odjeljak 13.5 Pravci Vektorska parametrizacija Oblici jednadžbe pravca, Presjek pravaca Udaljenost točke od pravca   Odjeljak 13.6 Ravnine Jednadžba I Jednadžba II Jedinične normale, Paralelne ravnine, Presjek ravnina Ravnina kroz tri nekolinearne točke Udaljenost točke od ravnine Salas, Hille, Etgen Calculus: One and Several Variables Copyright 2007 © John Wiley & Sons, Inc. All rights reserved.

Pravokutni koordinatni sustav u prostoru Pravilo desne ruke: ako savijeni prsti desne ruke pokazuju od pozitivnog dijela x-osi prema pozitivnom dijelu y-osi (najmanjim kutem), palac pokazuje pozitivan smjer z-osi. Točka na x-osi sa x-koordinatom x0 ima koordinate (x0, 0, 0); točka na y-osi sa y-koordinatom y0 ima koordinate (0, y0, 0); točka na z-osi sa z-koordinatom z0 ima koordinate (0, 0, z0). Salas, Hille, Etgen Calculus: One and Several Variables Copyright 2007 © John Wiley & Sons, Inc. All rights reserved.

Kartezijev koordinatni sustav u prostoru Postoje tri koordinatne ravnine; xy-ravnina, xz-ravnina, yz-ravnina. Točka P u trodimenzionalnom prostoru ima koordinate (x0, y0, z0) ako (1) ravnina kroz P paralelna sa yz-ravninom siječe x-os u (x0, 0,0), (2) ravnina kroz P paralelna sa xz-ravninom siječe y-os u (0, y0,0), (3) ravnina kroz P paralelna sa xy-ravninom siječe z-os u (0, 0,z0). Koordinate x0, y0, z0 se zovu pravokutne koordinate od P, ili češće u čast Descartesu, Kartezijeve koordinate od P. Salas, Hille, Etgen Calculus: One and Several Variables Copyright 2007 © John Wiley & Sons, Inc. All rights reserved.

Kartezijev koordinatni sustav u prostoru Formula za udaljenost točaka Udaljenost d između točaka i može se dobiti koristeći dva puta Pitagorin teorem. Salas, Hille, Etgen Calculus: One and Several Variables Copyright 2007 © John Wiley & Sons, Inc. All rights reserved.

Kartezijev koordinatni sustav u prostoru Sfera radijusa (polumjera) r sa središtem u P0(a, b, c) je skup točaka P(x, y, z) za koje je d(P, P0) = r . Za takve je točke [d(P, P0)]2 = r2. Primjenivši formulu za udaljenost dobivamo Ovo je jednadžba sfere radijusa r sa središtem u P0(a, b, c). Jednadžba predstavlja sferu radijusa r sa središtem u ishodištu. Salas, Hille, Etgen Calculus: One and Several Variables Copyright 2007 © John Wiley & Sons, Inc. All rights reserved.

Kartezijev koordinatni sustav u prostoru Simetrija Salas, Hille, Etgen Calculus: One and Several Variables Copyright 2007 © John Wiley & Sons, Inc. All rights reserved.

Kartezijev koordinatni sustav u prostoru Pravac kroz dvije točke Salas, Hille, Etgen Calculus: One and Several Variables Copyright 2007 © John Wiley & Sons, Inc. All rights reserved.

Kartezijev koordinatni sustav u prostoru Dužina Polovište Salas, Hille, Etgen Calculus: One and Several Variables Copyright 2007 © John Wiley & Sons, Inc. All rights reserved.

Vektori u trodimenzionalnom prostoru Vektor a za nas će biti uređena trojka realnih brojeva: a = (a1, a2, a3). Brojeve a1, a2, a3 zovemo komponente ili koordinate vektora a. Dva vektora su jednaki ako imaju iste koordinate; (a1, a2, a3) = (b1, b2, b3) ako i samo ako a1 = b1, a2 = b2, a3 = b3. Zbrajanje vektora Množenje vektora skalarom Salas, Hille, Etgen Calculus: One and Several Variables Copyright 2007 © John Wiley & Sons, Inc. All rights reserved.

Vektori u trodimenzionalnom prostoru Geometrijska interpretacija vektora Orijentirane dužine i su na različitim pozicijama, ali budući da imaju istu duljinu, smjer i orijentaciju, predstavljaju isti vektor: vektor a = (a1, a2, a3). Nulvektor 0 = (0, 0, 0) možemo predstaviti orijentiranom dužinom duljine 0. Nulvektor nema definiran smjer i orijentaciju. Salas, Hille, Etgen Calculus: One and Several Variables Copyright 2007 © John Wiley & Sons, Inc. All rights reserved.

Vektori u trodimenzionalnom prostoru Grafički prikaz a + b Za a = (a1, a2, a3) i b = (b1, b2, b3) definiramo a + b = (a1 + b1, a2 + b2, a3 + b3). Pravilo trokuta i pravilo paralelograma Salas, Hille, Etgen Calculus: One and Several Variables Copyright 2007 © John Wiley & Sons, Inc. All rights reserved.

Vektori u trodimenzionalnom prostoru Norma Norma (duljina) vektora a = (a1, a2, a3) je broj Svojstva norme: Salas, Hille, Etgen Calculus: One and Several Variables Copyright 2007 © John Wiley & Sons, Inc. All rights reserved.

Vektori u trodimenzionalnom prostoru Višekratnik vektora Salas, Hille, Etgen Calculus: One and Several Variables Copyright 2007 © John Wiley & Sons, Inc. All rights reserved.

Vektori u trodimenzionalnom prostoru Salas, Hille, Etgen Calculus: One and Several Variables Copyright 2007 © John Wiley & Sons, Inc. All rights reserved.

Vektori u trodimenzionalnom prostoru Paralelni vektori Salas, Hille, Etgen Calculus: One and Several Variables Copyright 2007 © John Wiley & Sons, Inc. All rights reserved.

Vektori u trodimenzionalnom prostoru Primjer paralelnih vektora Salas, Hille, Etgen Calculus: One and Several Variables Copyright 2007 © John Wiley & Sons, Inc. All rights reserved.

Vektori u trodimenzionalnom prostoru Jedinični vektori Vektore duljine 1 zovemo jediničnim vektorima. Za svaki nenul vektor a postoji jedinstveni jedinični vektor ua s istim smjerom i orijentacijom kao a. To je Vektori i = (1, 0, 0), j = (0, 1, 0), k = (0, 0, 1). su jedinični vektori koji su posebno korisni u računu jer se svaki vektor a može na jednostavan način prikazati kao jedinstvena linearna kombinacija ovih vektora: Salas, Hille, Etgen Calculus: One and Several Variables Copyright 2007 © John Wiley & Sons, Inc. All rights reserved.

Skalarni produkt Salas, Hille, Etgen Calculus: One and Several Variables Copyright 2007 © John Wiley & Sons, Inc. All rights reserved.

Skalarni produkt Svojstva skalarnog produkta Ako skalarno pomnožimo vektor sa samim sobom dobivamo kvadrat njegove norme: Dokaz Skalarni produkt proizvoljnog vektora s nulvektorom je nula: Dokaz (a1)(0) + (a2)(0) + (a3)(0) = 0, (0)(a1) + (0)(a2) + (0)(a3) = 0. Salas, Hille, Etgen Calculus: One and Several Variables Copyright 2007 © John Wiley & Sons, Inc. All rights reserved.

Skalarni produkt Daljnja svojstva (komutativnost, kvaziasocijativnost, distributivnost prema zbrajanju). Salas, Hille, Etgen Calculus: One and Several Variables Copyright 2007 © John Wiley & Sons, Inc. All rights reserved.

Skalarni produkt Geometrijska interpretacija skalarnog produkta Počinjemo od trokuta sa stranicama duljine a, b, c. Ako je θ jednak ½π, Pitagorin teorem nam daje c2 = a2 + b2. Teorem o kosinusu je generalizacija za proizvoljni kut θ, c2 = a2 + b2 − 2ab cos θ. Skica dokaza teorema: Iz slike je y2 + x2 = a2 i y = a cos θ. Zato je c2 = a2 + b2 − 2ab cos θ Salas, Hille, Etgen Calculus: One and Several Variables Copyright 2007 © John Wiley & Sons, Inc. All rights reserved.

Skalarni produkt Duljine stranica su ||a||, ||b||, ||a − b||. Teorem o kosinusu daje ||a − b||² = ||a||2 + ||b||2 − 2 ||a|| ||b|| cos θ. No iskoristimo li da je ||a||2 = a  a i slično za ostale dobivamo: Salas, Hille, Etgen Calculus: One and Several Variables Copyright 2007 © John Wiley & Sons, Inc. All rights reserved.

Skalarni produkt Dva vektora su okomiti ako je kut među njima pravi ili ako je jedan od vektora nulvektor. Stoga su dva vektora okomiti ako i samo ako im je skalarni produkt jednak nula. Zapisano simbolima: Jedinični vektori i, j, k su međusobno okomiti: i · j = i · k = j · k = 0. Salas, Hille, Etgen Calculus: One and Several Variables Copyright 2007 © John Wiley & Sons, Inc. All rights reserved.

Skalarni produkt Ortogonalna projekcija i komponente Salas, Hille, Etgen Calculus: One and Several Variables Copyright 2007 © John Wiley & Sons, Inc. All rights reserved.

Skalarni produkt Kutovi s vektorima i, j, k (kutovi smjera) i, j, k komponente jediničnog vektora su kosinusi smjera. Salas, Hille, Etgen Calculus: One and Several Variables Copyright 2007 © John Wiley & Sons, Inc. All rights reserved.

Skalarni produkt Cauchy-Schwarz-Bunjakovski nejednakost Budući je a · b = ||a|| ||b|| cos θ, gdje je θ kut između a i b, uzmemo li apsolutne vrijednosti i iskoristimo | cos θ| ≤ 1, dobivamo nejednakost Salas, Hille, Etgen Calculus: One and Several Variables Copyright 2007 © John Wiley & Sons, Inc. All rights reserved.

Vektorski produkt smjer orijentacija duljina Salas, Hille, Etgen Calculus: One and Several Variables Copyright 2007 © John Wiley & Sons, Inc. All rights reserved.

Vektorski produkt Desna trojka vektora Salas, Hille, Etgen Calculus: One and Several Variables Copyright 2007 © John Wiley & Sons, Inc. All rights reserved.

Vektorski produkt Svojstva desnih trojki vektora I. Budući je (a × b) · (a × b) = ||(a × b)||2 > 0, (a, b, a × b) je desna trojka. II. Ako je (a, b, c) desna trojka, onda su i (c, a, b) i (b, c, a) desne trojke. Množenjem bilo kojeg od triju vektora pozitivnim skalarom trojka ostaje desna: ako je (a, b, c) desna trojka i α > 0, onda su (αa, b, c), (a, αb, c), i (a, b, αc) također desne trojke. Množenjem bilo kojeg od triju vektora negativnim skalarom trojka postaje lijeva: ako je (a, b, c) desna trojka vektora i α < 0, onda (αa, b, c), (a, αb, c), i (a, b, αc) nisu desne trojke (tj. to su lijeve trojke). Salas, Hille, Etgen Calculus: One and Several Variables Copyright 2007 © John Wiley & Sons, Inc. All rights reserved.

Vektorski produkt Svojstva vektorskog produkta Vektorski produkt je antikomutativan: Skalare možemo izlučiti: Vrijede obje distributivnosti: Salas, Hille, Etgen Calculus: One and Several Variables Copyright 2007 © John Wiley & Sons, Inc. All rights reserved.

Vektorski produkt Mješoviti produkt ili umnožak Salas, Hille, Etgen Calculus: One and Several Variables Copyright 2007 © John Wiley & Sons, Inc. All rights reserved.

Vektorski produkt Komponente od a × b Salas, Hille, Etgen Calculus: One and Several Variables Copyright 2007 © John Wiley & Sons, Inc. All rights reserved.

Vektorski produkt Salas, Hille, Etgen Calculus: One and Several Variables Copyright 2007 © John Wiley & Sons, Inc. All rights reserved.

Pravci Vektorska jednadžba Salas, Hille, Etgen Calculus: One and Several Variables Copyright 2007 © John Wiley & Sons, Inc. All rights reserved.

Pravci Parametarska jednadžba pravca Kanonska ili simetrična jednadžba Presjek pravaca, paralelni pravci Dva različita pravca l1 : r(t) = r0 + td, l2 : R(u) = R0 + uD sijeku se ako i samo ako postoje brojevi t i u takvi da je r(t) = R(u). Salas, Hille, Etgen Calculus: One and Several Variables Copyright 2007 © John Wiley & Sons, Inc. All rights reserved.

Pravci Udaljenost od točke do pravca Neka je P0 točka na pravcu l i neka je d vektor smjera od l. Ako su P0 i Q kao na slici, lako vidimo da je Salas, Hille, Etgen Calculus: One and Several Variables Copyright 2007 © John Wiley & Sons, Inc. All rights reserved.

Ravnine Skalarna jednadžba ravnine Salas, Hille, Etgen Calculus: One and Several Variables Copyright 2007 © John Wiley & Sons, Inc. All rights reserved.

Ravnine Vektorska jednadžba ravnine Jednadžbu ravnine možemo zapisati u vektorskom obliku . Neka je Budući da je r0 = x0i + y0j + z0k i r = xi + yj + zk, (13.6.1) se može zapisati u obliku Salas, Hille, Etgen Calculus: One and Several Variables Copyright 2007 © John Wiley & Sons, Inc. All rights reserved.

Ravnine Jedinične normale Ako je N vektor normale (tj. okomit) na danu ravninu, tada su svi ostali vektori normale na danu ravninu paralelni s N i zato skalarni višekratnici od N Posebno, postoje dva jedinična vektora normale: i Presjek ravnina Salas, Hille, Etgen Calculus: One and Several Variables Copyright 2007 © John Wiley & Sons, Inc. All rights reserved.

Ravnine Ravnina određena trima nekolinearnim točkama Salas, Hille, Etgen Calculus: One and Several Variables Copyright 2007 © John Wiley & Sons, Inc. All rights reserved.

Ravnine Udaljenost točke od ravnine Salas, Hille, Etgen Calculus: One and Several Variables Copyright 2007 © John Wiley & Sons, Inc. All rights reserved.