מבוא למדעי המחשב סיבוכיות

סיבוכיות - מוטיבציה סידרת פיבונאצ'י: long fibonacci (int n) { if (n == 1 || n == 2) return 1; return (fibonacci(n-1) + fibonacci(n-2)); } long fibonacci (int n) { long tmp[LEN] = {1,1}, i; for (i=2 ; i<n ; i++) tmp[i] = tmp[i-1] + tmp[i-2]; return tmp[n-1]; }

חיפוש Search נתון מערך של שלמים ומספר שלם. יש לקבוע האם המספר נמצא במערך: יש להגדיר פונקציה המקבלת מערך של שלמים ואת אורכו וכן מספר שלם x, ומחזירה את האינדקס של התא במערך שבו נמצא x או-1 אם x לא נמצא במערך. int search (int arr[ ] , int size, int x) { int i; for ( i=0 ; i < size ; i++ ) { if ( x == arr[i] ) { return i; } return -1; כמה זמן ? כמה מקום ?

סיבוכיות Complexity נתון אלגוריתם הפועל על קלט. נביט על סדרה של קלטים ההולכים וגדלים (למשל, באלגוריתם החיפוש – גודל המערך הולך וגדל). נרצה לתאר כיצד יתנהג האלגוריתם (זמן ריצה+מקום) כאשר הקלט הולך וגדל (כאשר n ← ). סיבוכיות זמן: מספר הפעולות שמבצע האלגוריתם ביחס ל- n. סיבוכיות מקום: גודל המקום בו משתמש האלגוריתם ביחס ל- n. אנו מודדים סיבוכיות של אלגוריתמים במקרה הגרוע: Worst-case complexity

סיבוכיות Complexity אנו רוצים לדעת מהו סדר הגודל של סיבוכיות התכנית. לכן – הסיבוכיות נמדדת בהשוואה לפונקציות תוך הזנחת קבועים. הגדרה: הפונקציה g(n) היא בעלת סיבוכיות f(n) אם קיימים קבועים c ו- n0 כך שלכל n>n0 g(n)≤c·f(n) . אם הפונקציה g(n) היא בעלת סיבוכיות f(n), נסמן g(n)=O(f(n)).

סיבוכיות Complexity דוגמא לסדרי גודל: 3 1000 3000 1,000,000 4 10,000 40,000 5 100,000 500,000 6 6,000,000 10

חיפוש Search int search (int arr[ ] , int size, int x) { int i; for ( i=0 ; i < size ; i++ ) { if ( x == arr[i] ) { return i; } return -1; סיבוכיות זמן: O(n) אפשר יותר טוב ?

חיפוש בינארי נתון מערך ממוין של שלמים ומספר שלם. יש לקבוע האם המספר נמצא במערך: יש להגדיר פונקציה המקבלת מערך ממוין של שלמים ואת אורכו וכן מספר שלם x, ומחזירה את האינדקס של התא במערך שבו נמצא x או-1 אם x לא נמצא במערך.

חיפוש בינארי נתון מערך ממוין של שלמים ומספר שלם. יש לקבוע האם המספר x נמצא במערך. הרעיון: לנצל את העובדה שהמערך ממוין. לבדוק את היחס בין ערך האיבר האמצעי במערך לבין x: אם x שווה לו ← סיימנו! אם x קטן ממנו ← נחפש בחלק השמאלי. אם x גדול ממנו ← נחפש בחלק הימני.

חיפוש בינארי מימוש: משתני עזר: low – נקודת התחלת החיפוש במערך high – נקודת סיום החיפוש במערך. נבנה פונקציה הבודקת האם עבור low=0 ו- high=arr_len-1 נקבל את הפתרון.

חיפוש בינארי סיבוכיות זמן: O(logn) /* binsearch: find x in arr[low] <= arr[low+1] <= ... <= arr[high-1] */ int binsearch(int arr[], int low, int high, int x) { int mid; if (low > high) { /* arr is exhausted, n not found */ return -1; } mid = (low+high) / 2; /* middle of the relevant part of arr */ if (x < arr[mid]) /* search in the lower part */ return (binsearch(arr, low, mid-1, x)); else if (x > arr [mid]) /* search in the upper part */ return (binsearch(arr, mid+1, high, x)); else /* n found, return its index */ return mid; סיבוכיות זמן: O(logn)

סיבוכיות - דוגמא מערך בגודל n נקרא מושלם אם הוא מכיל אך ורק את המספרים 1,2,…,n כך שכל מספר מופיע בדיוק פעם אחת. דוגמא: מערך מושלם 3 2 4 1 5 2 4 1 5 מערך שאינו מושלם 3 2 4 1

סיבוכיות - דוגמא מערך בגודל n נקרא מושלם אם הוא מכיל אך ורק את המספרים 1,2,…,n כך שכל מספר מופיע בדיוק פעם אחת. הגדירו פונקציה המקבלת מערך ואת גודלו ומחזירה 1 אם המערך מושלם ו- 0 אחרת.

סיבוכיות - דוגמא int IsPerfect (int arr[], int len) { int i,j; for (i=0; i<len; i++){ if (arr[i]<1 || arr[i]>len) return FALSE; for (j=i+1; j<len; j++){ if (arr[i]==arr[j]) } return TRUE; סיבוכיות זמן: סיבוכיות מקום:

סיבוכיות - דוגמא מערך בגודל n נקרא מושלם אם הוא מכיל אך ורק את המספרים 1,2,…,n כך שכל מספר מופיע בדיוק פעם אחת. הגדירו פונקציה המקבלת מערך ואת גודלו ומחזירה 1 אם המערך מושלם ו- 0 אחרת. דרישות סיבוכיות: סיבוכיות זמן: O(n) סיבוכיות מקום: O(n)

סיבוכיות - דוגמא int IsPerfect (int arr[], int len) { int i, help[SIZE]={0}; for (i=0; i<len; i++){ if (arr[i]<1 || arr[i]>len) return FALSE; else help[arr[i]]++; } for (i=1; i<=len; i++){ if (help[i]!=1) return TRUE;

מיזוג merge נתונים שני מערכים ממוינים של שלמים. יש למזג את שני המערכים למערך ממוין אחד. הרעיון: עבור a,b – מערכי הקלט (ממוינים), c – מערך הפלט, נבצע: כל עוד יש איברים בשני המערכים: אם האיבר הנוכחי ב- a < האיבר הנוכחי ב-b העתק לפלט את האיבר הנוכחי ב- a קדם את מצביעי a ו- c אחרת העתק לפלט את האיבר הנוכחי ב- b קדם את מצביעי b ו- c העתק את שארית המערך a ל- c העתק את שארית המערך b ל- c

מיזוג merge סיבוכיות זמן: int merge (int list1[] , int size1 , int list2[] , int size2 , int list3[]) { int i1, i2, i3; if (size1+size2 > SIZE) { return FALSE; } i1 = 0; i2 = 0; i3 = 0; while (i1 < size1 && i2 < size2) { /* while both lists are non-empty */ if (list1[i1] < list2[i2]) { list3[i3++] = list1[i1++]; else { list3[i3++] = list2[i2++]; while (i1 < size1) { /* copy remainder of list1 */ while (i2 < size2) { /* copy remainder of list2 */ return TRUE; סיבוכיות זמן: