1. Procentni račun Osnovne veličine procentnog računa su: -glavnica G -procentna stopa p -procentni prinos P Glavnica G je osnovna vrednost u odnosu na koju se računaju povećanja ili smanjenja za datu procentnu stopu. Procentna stopa p predstavlja broj koji pokazuje za koliko se jedinica menja(povećava ili smanjuje) glavnica na svakih svojih 100 jedinica.

2. Procentni prinos P predstavlja veličinu koja pokazuje ukupnu promenu glavnice G pri procentnoj stopi p. Procentna stopa p je veličina izražena u procentima (npr p=25%) ali ćemo nju uvek deliti sa 100 i koristiti njen decimalni zapis ( p=0.25).

3. Procentni račun od 100 Pri datoj procentnoj stopi p veličine G i P su direktno proporcionalne tj ako je veća glavnica G veći je i procentni prinos P što može i šematski da se predstavi: G 100% P p% Formirajući odavde proporciju dobijamo G : P = 100 : p ili ako stopu p koristimo u decimalnom zapisu dobijamo G : P = 1 : p Odavde dobijamo G=P/p, P=Gp, p=P/G

4. Primer: Ako je od 150 studenata koji su polagali ispit 78% studenta položilo, koliko je studenata palo ispit ? Ako među prelaznim ocenama ima 42 ocene 6, 23 ocena 7, 15 ocena 8, 12 ocena 9 a ostalo su desetke izrazi broj prelaznih ocena u procentima.

5. Rešenje: G=150, p=78%=0.78 Kako je G:P=1:p dobijamo 150:P=1:0.78 pa rešavanjem proporcije dobijamo da je P x 1 = 150 x 0.78 tj P=117. Znači 117 studenata je položilo ispit a palo je 150-117=33 studenta.

6. Kako imamo 117 prelaznih ocena i među njima 42 ocene 6 znači imamo da je G=117 i P=42 pa opet iz proporcije 117:42=1:p dobijamo da je p=0.35897 tj p=35.897%. Znači ocenu 6 dobilo je 35.897% studenata. Ocenu 7 dobilo je 23 studenta pa je 117:23=1:p pa je p=0.19658=19.658%

7. Ocenu 8 dobilo je 15 studenata tako da je 117:15=1:p tj p=0.1282=12.82% Ocenu 9 dobilo je 12 studenata tako da je 117:12=1:p tj p=0.10256=10.256% Preostalih 117-(42+23+15+12) =25 studenata dobilo je 10 ili procentualno 100%- (35.897%+19.658%+12.82%+10.256%)= =28.369% studenata je dobilo ocenu 10.

8. Procentni račun više 100 i procentni račun niže 100 Često se u praktičnim problemima pojavljuje uvećana ili umanjena glavnica G za odgovarajući procentni prinos P pri zadatoj stopi p tako da nam je umesto G poznato G+P ili G-P. U prvom slučaju radi se o procentnom računu više 100 (ili na 100) a u drugom slučaju radi se o procentnom računu niže 100 ( ili u 100).

9. Do odgovarajućih formula dolazimo rezonujući na isti način ili koristeći osobine proporcije tako da iz G : P = 1 : p dobijamo (G ± P):P=(1± p):p ili (G ± P):G=(1 ± p):1 Iz ovih proporcija imamo da je

10. Primer 1: Ako je cena neke robe sa PDV od 8% 24 840 dinara koliko iznosi cena bez PDV-a? Rešenje: Dato je p=8%=0.08, G+P=24840 dinara i treba izračunati G. Kako je znači G = 24840/(1+0.08) tj G=24840/1.08 pa dobijamo da je cena bez PDV G=23000 din.

11. Primene procentnog računa Ako se glavnica G 0 uzastopno menja po različitim stopama svaka sledeća promena se računa na glavnicu dobijenu posle prethodne promene.

12. Znači ako se glavnica G 0 prvo promeni (poveća ili smanji ) po stopi p 1 tada je nova vrednost glavnice G 1 =G 0 ± P 1 a kako je P 1 =G 0 *p 1 dobijamo G 1 =G 0 ± P 1 = G 0 ± G 0 p 1 = G 0 ( 1± p 1 ). Znači G 1 = G 0 ( 1± p 1 )

13. Posle druge promene po stopi p 2 nova vrednost glavnice je G 2 = G 1 ± P 2 = (kako je P 2 =G 1 p 2 ) = G 1 ± G 1 p 2 = = G 1 ( 1 ± p 2 )= (kako je G 1 =G 0 ( 1± p 1 )) = G 0 ( 1 ± p 1 )( 1± p 2 ) Znači G 2 = G 0 ( 1± p 1 )( 1± p 2 )

14. Nastavljajući na isti način dobijamo da se posle n uzastopnih promena po različitim procentnim stopama p 1,p 2,...p n krajnja vrednost glavnice G 0 dobija po formuli : G n = G 0 ( 1± p 1 )( 1± p 2 ).....(1 ± p n ) Do stope ukupne promene p u tj stope koja pokazuje koliko se ukupno procentualno početna vrednost promenila, dolazimo na sledeći način:

15. Ako se krajnja vrednost glavnice dobija samo sa jednom procentnom stopom,umesto n uzastopnih promena po različitim procentnim stopama p i,tada je G n =G 0 (1± p u ). Kako je G n = G 0 ( 1 ± p 1 )( 1 ± p 2 ).....(1± p n ) dobijamo G 0 (1± p u ) = G 0 ( 1 ± p 1 )( 1 ± p 2 ).....(1± p n )

16. Ako levu i desnu stranu podelimo sa G 0 dobijamo: 1 ± p u = (1± p 1 )( 1 ± p 2 ).....(1 ± p n ) tj p u = (1 ± p 1 )( 1 ± p 2 ).....(1 ± p n ) – 1 Ako je stopa p u pozitivna znači da je sa n uzastopnih promena došlo do povećanja glavnice G 0 tj da je krajnja vrednost veća od početne (G n > G 0 ) a ako je stopa p u negativna znači da su sukcesivne promene dovele do smanjenja početne vrednosti (G n < G 0 ).

17. Primer 1: Posle dva poskupljenja po stopama od 12.6% i 18.3% i jednog pojeftinjenja od 22.5% cena neke robe je 4526 dinara. Kolika je početna cena robe? Da li je krajnja cena veća od početne i koliko ta razlika iznosi u dinarima i procentima? Rešenje: p 1 =+12.6%= +0.126, p 2 =+18.3%= +0.183, p 3 = -22.5%= -0.225 G n = 4526

18. Kako je G n = G 0 ( 1 p 1 )( 1 p 2 ).....(1 p n ) Dobijamo 4526= G 0 (1+0.126)(1+0.183)(1-0.225) 4526= G 0 * 1.03234495 odakle je G 0 =4384.19 dinara

19. Znači G n > G 0 i ta razlika u dinarima je 4526-4384.19=141.81 dinar a u procentima p u = (1+0.126)(1+0.183)(1-0.225)- 1=0.0323 tj p u =3.23%.

20. Ukoliko želimo da promenjenu (povećanu ili smanjenu) glavnicu G n vratimo na početnu vrednost G 0 dobijamo stopu p 0 tj stopu vraćanja na početni nivo na sledeći način :

21. I) Ako je G n > G 0,krajnju vrednost G n treba umanjiti za procentni prinos P koji izračunavamo u odnosu na G n po stopi p 0 tj P = G n *p 0 tako da je G 0 = G n -P = G n -G n p 0 = G n (1-p 0 ) Kako je G n =G 0 (1+p u ) dobijamo

22. G 0 = G 0 (1+p u )(1-p 0 ) / : G 0 pa dobijamo 1= (1+p u )(1-p 0 ) odakle je tražena stopa vraćanja krajne vrednosti na početni nivo je Kako je i pri tome dobijamo da je.

23. Dakle stopa p 0, po kojoj uvećanu glavnicu G n treba umanjiti da bi se dobila prvobitna vrednost G 0, je manja od stope p u po kojoj je glavnica G 0 uvećana da bi se dobilo G n. II) Ako je G n < G 0 na isti način rezonujući dobijamo da je stopa vraćanja tj uvećanja krajnje vrednosti na nivo G 0 dobijamo po formuli

24. Kako je ovde i pri tome je, u ovom slučaju imamo da je. Dakle stopa p 0, po kojoj umanjenu glavnicu G n treba uvećati da bi se dobila prvobitna vrednost G 0, je veća od stope p u po kojoj je glavnica G 0 umanjena da bi se dobilo G n.

25. Rezime 1. Posle n uzastopnih promena po različitim procentnim stopama p 1,p 2,...p n krajnja vrednost glavnice G 0 dobija se po formuli : G n = G 0 ( 1± p 1 )( 1 ± p 2 ).....(1± p n ) 2. Stope ukupne promene p u p u = (1 ± p 1 )( 1± p 2 ).....(1± p n ) – 1 3. Stopa vraćanja krajne vrednosti na početni nivo a) Ako je G n > G 0 tj ako je p u > 0 : b) Ako je G n < G 0 tj ako je p u < 0 :

26. Ispitni zadatak : Posle dva pojeftinjenja po stopama od 6,52% i 9,17% i jednog poskupljenja po stopi od 12,34% cena neke robe je 10200 dinara.Odrediti: a) Početnu cenu robe, b) Ukupnu procentnu stopu po kojoj je i na koji način početna cena promenjena na vrednost zadnje cene c) Po kojoj stopi i na koji način treba promeniti zadnju cenu pa da se dobije početna cena,

27. d) Ako je planirano ukupno povećanje cene po stopi od 12,63%, kako i na koji način i po kojoj stopi treba posle tri napred date promene cena i četvrti put promeniti cenu? U tom slučaju izračunati procentnu stopu vraćanja zadnje cene na početni nivo. e) Ako je planirano ukupno smanjenje cene po stopi od 5,21%, kako i na koji način i po kojoj stopi treba posle tri napred date promene cena i četvrti put promeniti cenu? U tom slučaju izračunati procentnu stopu vraćanja zadnje cene na početni nivo.

28. f) Ako se do početne cene došlo tako što je na nabavnu cenu najpre plaćena provizija posredniku po stopi od 1,63% na nabavnu cenu i transportni troškovi po stopi od 2,61% na nabavnu cenu, a zatim na tako formiranu cenu još i porez na promet po stopi od 18,48%, izračunati: Nabavnu cenu, proviziju, transportne troškove i porez na promet.

29. Rešenje: p 1 =-6.52%= -0.0652, p 2 =-9.17%= -0.0917, p 3 = +12.34%= +0.1234 G n = 10200 a) Kako je G n = G 0 ( 1 p 1 )( 1 p 2 ).....(1 p n ) imamo da je 10200= G 0 (1-0.0652)(1-0.0917)(1+0.1234) odakle dobijamo da je G 0 =10693.45 dinara. Znači krajnja vrednost je manja od početne.

30. b) Iz formule p u = (1 p 1 )( 1 p 2 ).....(1 p n ) – 1 dobijamo p u = (1-0.0652)(1-0.0917)(1+0.1234) – 1 tj p u = - 0.0461= - 4.61% Kako je stopa ukupne promene negativna i ona pokazuje da je krajnja cena manja od početne tj da je došlo do sniženja početne cene za 4.61%.

31. c) Kako je p u negativno tj krajnja vrednost je manja od početne stopu vraćanja na početni nivo p 0 dobijamo po obrascu tako da je tj p 0 = 0.04833 a to znači da krajnju vrednost (G n = 10200 ),koja je manja od početne (G 0 = 10693.45), treba uvećati za 4.833% da bi se vratila na početni nivo. Primećujemo da je p 0 =4.833% veće od p u =4.61%.

32. d) Sa datim stopama početna cena se ukupno promenila tj smanjila za 4.61%. Ako je planirano ukupno povećanje početne cene za 12.63% znači da treba još jednom promeniti cenu po stopi p 4 da bi se postiglo ukupno povećanje od 12.63%.

33. Znači želimo da p u =+0.1263 pa treba odrediti stopu p 4 koja će sa prethodne 3 stope dati očekivano povećanje. Samim tim ova stopa ukupne promene biće: p u = (1-0.0652)(1-0.0917)(1+0.1234)(1+ p 4 ) – 1 Kako je p u = +0.1263 : +0.1263= (1-0.0652)(1-0.0917)(1+0.1234)(1+ p 4 ) – 1

34. Odavde dobijamo 0.1263=0.9348*0.9083*1.1234*(1+ p 4 ) – 1 tako da je 1.1263= 0.953855*(1+ p 4 ) pa je 1+ p 4 =1.18079 odnosno p 4 = 0.18079. Kako je p 4 pozitivno znači da četvrta promena treba da bude povećanje od 18.079%. Pošto je p u = +0.1263 stopa p 0 =0.1263/1.1263=0.11214 tj p 0 =11.214%

35. e) Sa datim stopama početna cena se ukupno promenila tj smanjila za 4.61%. Ako je planirano ukupno smanjenje početne cene za 5.21% znači da treba još jednom promeniti cenu po stopi p 4 da bi se postiglo ukupno smanjenje od 5.21%. Znači želimo da p u = -0.0521 pa treba odrediti stopu p 4 koja će sa prethodne 3 stope dati očekivano smanjenje. Samim tim ova stopa ukupne promene biće: p u = (1-0.0652)(1-0.0917)(1+0.1234)(1+ p 4 ) – 1

36. Kako je p u =-0.0521 : - 0.0521= (1-0.0652)(1-0.0917)(1+0.1234)(1+ p 4 ) – 1 Odavde dobijamo -0.0521=0.9348*0.9083*1.1234*(1+ p 4 ) – 1 tako da je 0.9479= 0.953855*(1+ p 4 ) pa je 1+ p 4 =0.99378 odnosno p 4 = -0.00622. Kako je p 4 negativno znači da četvrta promena treba da bude smanjenje od 0.622%. Pošto je p u = -0.0521 stopa p 0 će biti p 0 =0.0521/(1-0.0521)=0.05496 tj p 0 =5.496%.

37. f) Iz teksta imamo da je početna cena formirana tako što je nabavna cena uvećana za proviziju posredniku,transportne troškove i porez na promet tj G 0 = NC + Pr + T + PP pri čemu je: * provizija posredniku 1.63% od nabavne cene tj Pr=1.63%NC odnosno Pr=0.0163xNC, * transportni troškovi su računati po stopi od 2.61% na nabavnu cenu tj T=2.61%NC tj T=0.0261*NC,

38. Porez na promet je 18.48% ali ne od nabavne cene, jer stoji da je *na tako formiranu cenu * obračunat porez tj na cenu dobijenu uvećanjem nabavne cene za proviziju i transportne troškove, pa je PP = 18.48%(NC+Pr+T) = 0.1848*(NC+Pr+T)

39. PP=18.48%(NC+Pr+T)=0.1848*(NC+Pr+T) Ako ovo malo sredimo,ubacujući već dobijene relacije za Pr i T, (Pr=0.0163xNC, T=0.0261*NC ) dobijamo: PP=0.1848*(NC+0.0163NC+0.0261NC)= = 0.1848*NC(1+0.0163+0.0261)= = 0.1848*NC*1.0424 = 0.19264*NC

40. Da bi dobili koliko je NC,Pr,T i PP vratićemo se na početnu relaciju : G 0 = NC + Pr + T + PP Kako je G 0 =10693.45, Pr=0.0163*NC, T=0.0261*NC i PP=0.19264*NC, dobijamo: 10693.45=NC+0.0163NC+0.0261NC+0.19264NC tako da je 10693.45=NC(1+0.0163+0.0261+0.19264) 10693.45=NC*1.23504 pa je NC=8658.38 din. Znajući NC sada lako dobijamo:

41. Pr=0.0163*NC=0.0163*8658.38= 141.13 din. T=0.0261*NC= 0.0261*8658.38 = 225.98 din PP= 0.19264*8658.38 = 1667.95 dinara. Dobijeni rezultat možemo proveriti: 8658.38+141.13+225.98+1667.95= 10693.45 a to je G 0.

42. 2. Zbir cena proizvoda A,B i C je 19800 dinara pri čemu cene stoje u odnosu 2 : 3 : 4. Ako je proizvod A najpre poskupeo po stopi od 12.36% a zatim pojeftinio po stopi od 10.38%, proizvod B je najpre 2 puta pojeftinio po stopama od 9,72% i 11,33% a zatim poskupeo po stopi od 15.78% i proizvod C najpre 2 puta poskupeo po stopama od 6.38% i 12.43% a zatim pojeftinio po stopama od 8.95% i 9.72% izračunati :

43. A) Zbir ukupnih krajnjih cena sva tri proizvoda, B) da li je ovim promenama cena preduzeće ostvarilo gubitak ili dobitak i koliko on iznosi u dinarima i u procentima.

44. Rešenje: a) Cena proizvoda A : G 0 Cena proizvoda B : G’ 0 Cena proizvoda C : G 0 ’’ G 0 =?, G 0 ’=?, G 0 ’’=? Kako je G 0 + G 0 ’+ G 0 ’’=19800 I pri tome G 0 : G 0 ’ : G 0 ’’ = 2 : 3 : 4 Imamo da je G 0 =2k G 0 ’=3k G 0 ’’=4k

45. Iz G 0 + G 0 ’+ G 0 ’’=19800 sada dobijamo 2k + 3k + 4k = 19800 9k = 19800 pa je k = 2200 Znači: cena proizvoda A = 2k = 2*2200=4400 din. cena proizvoda B = 3k = 3*2200=6600 din. cena proizvoda C = 4k = 4*2200=8800 din.

46. Za proizvod A tj G 0 =4400 imamo: p 1 = +12.36%= + 0.1236, p 2 = -10.38%= - 0.1038 pa dobijamo G n = G 0 ( 1 ± p 1 )( 1 ± p 2 ).....(1± p n ) Gn=4400(1+0.1236)(1-0.1038) Gn = 4430.67 dinara

47. Za proizvod B tj G 0 ’=6600 imamo: p’ 1 = -9.72%= - 0.0972, p’ 2 = -11.33%= - 0.1133 pa dobijamo p 3 = +15.78%= + 0.1578 G’ n = G 0 ( 1 ± p 1 )( 1 ± p 2 ).....(1± p n ) G’ n =6600(1-0.0972)(1-0.1133)(1+0.1578) G’ n = 6117.10 dinara

48. Za proizvod C tj G 0 ’’=8800 imamo: p’’ 1 = + 6.38%= +0.0638, p’’ 2 = + 12.34%= +0.1234 p’’ 3 = -8.65%= - 0.0865 p’’ 4 = -9.72%= - 0.0972 pa dobijamo G’’ n = G 0 ( 1 ± p 1 )( 1 ± p 2 ).....(1± p n ) G’’ n =8800(1+0.0638)(1+0.1234)(1-0.0865)(1-0.0972) G’’ n = 8680.10 dinara

49. Zbir krajnjih cena sva tri proizvoda biće 4430.67 + 6117.10 + 8680.10 = 19227.87 b) Kako je početni zbir cena sva tri proizvoda bio 19800 dinara a zbir krajnjih cena je 19227.87 zaključujemo da je ovim promenama cena preduzeće ostvarilo gubitak koji u dinarima iznosi 19800 – 19227.87 = 572.13 dinara. Da bi izračunali koliko to iznosi procentualno u odnosu na početni zbir imamo da je G = 19800 i P=572.13 pa je p=P/G tj p= 572.13/19800 = 0.02889. Znači gubitak je 2.889% od početnog zbira.

50. 3. Cena neke robe je 1000 dinara. Posle 4 sukcesivna poskupljenja po istoj procentnoj stopi dobijena je cena od 1800 dinara. Po kojoj procentnoj stopi treba zadnju cenu promeniti da bi se dobila početna cena ? Ako se posle napred navedena 4 poskupljenja cena robe najpre poveća po stopi od 11.14% a zatim smanji za po stopi od 10.18% izračunati zadnju cenu robe.

51. Rešenje : Znači imamo 4 uzastopna povećanja po istoj procentnoj stopi tako da je G n = G 0 ( 1 + p)( 1 + p)(1+ p) (1+ p) odnosno G n = G 0 ( 1 + p) 4. Znači 1800 = 1000 ( 1 + p) 4 ( 1 + p) 4 = 1.8

52. tj p = 0.15829 = 15.829% Znači 4 sukcesivna povećanja su bila po stopi od 15.829%. Procentna stopa po kojoj zadnju cenu treba promeniti da bi se dobila početna cena je stopa p 0 pa kako je G n >G 0 :

53. Stopu p u možemo izračunati po obrascu ili iz činjenice da je G n =G 0 (1+p u ) tako da je 1800 = 1000(1+ p u ) 1800 = 1000(1+ p u ) 1+ p u = 1.8 tj p u = 0.8 Znači tako da je p 0 = 0.4444 = 44.44%

54. Pošto se cena dobijena posle 4 sukcesivna povećanja dalje menja imamo da je G 0 = 1800 p 1 = + 11.14% = 0.1114 p 2 = - 10.18% = 0.1018 G n = 1800( 1 + 0.1114)( 1 – 0.1018)= 1796.87